Ответ: $i.$
Найти действительные решения следующего уравнения:
1.431. $12((2x+i)(1+i)+(x+y)(3-2i))=17+6i.$
Ответ: $x=1/3; y=1/4.$
Решить следующие системы линейных уравнений:
1.432. $(3-i)z_1+(4+2i)z_2=1+3i;$
$(4+2i)z_1-(2+3i)z_2=7.$
Ответ: $z_1=1; z_2=i.$
1.433. $(2+i)z_1+(2-i)z_2=6;$
$(3+2i)z_1+(3-2i)z_2=8.$
Ответ: $z_1=2+i; z_2=2-i.$
Решить комплексные уравнения онлайн с решением
Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Для наглядности решим такое задание:
Вычислить \[ (z_1\cdot z_2)^{10},\] если \[z_1=-1+\sqrt 3i, z_2=\frac{1}{4}(\cos
30^{\circ}+i\sin30^{\circ}).
{10}}\cdot(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})\]
Данное уравнение можно решить еще одним способом, который сводится к тому, чтобы привести 2 -е число в алгебраическую форму, после чего выполнить умножение в алгебраической форме, перевести результат в тригонометрическую форму и применить формулу Муавра:
\[z_2=\frac{1}{4} (\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6})= \frac{1}{4}(\frac{\sqrt3}{2}+\frac{i}{2})=\frac{\sqrt3}{8}+\frac{i}{8}.\]
Решить систему уравнений вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн
решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео
инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы
можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте
в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
Уравнения с комплексными числами — Алгебра II
Все ресурсы по Алгебре II
10 Диагностических тестов 630 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
Алгебра II Помощь » Математические отношения и основные графики » Воображаемые числа » Уравнения с комплексными числами
– это действительные числа.
Оценить.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Чтобы два мнимых числа были равны друг другу, их мнимые части должны быть равны. Поэтому мы устанавливаем и решаем для in:
Сообщить об ошибке
Если и действительные числа, и , что если ?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы решить для , мы должны сначала решить уравнение с комплексным числом для и .
Поэтому нам необходимо сопоставить действительную часть комплексного числа с действительной частью выражения, а мнимую часть комплексного числа с мнимой частью выражения. Таким образом, мы получаем:
и
. Мы можем использовать подстановку, заметив, что первое уравнение можно переписать как и подставив его во второе уравнение. Таким образом, мы можем решить для :
С этим значением мы можем найти: 04
Таким образом, наш окончательный ответ
Сообщить об ошибке
Решить если .
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Решите эту задачу так же, как и любую другую задачу по алгебре, следуя своему порядку действий. Сначала мы оценим, что находится внутри скобок: . На этом этапе нам нужно знать следующие свойства :
Следовательно, и исходное выражение становится
Сообщить об ошибке
.
Возможные ответы:
Ни один из других ответов.
Правильный ответ:
Объяснение:Первым шагом является вычисление выражения. Преобразовав выражение в FOIL, мы получим:
Теперь нам нужно упростить любые члены, которые мы можем, используя свойства
9005 005
Следовательно, выражение принимает вид
Сообщить Ошибка
Решите для:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы решить эту задачу, нам нужно сначала упростить наше уравнение. Первое, что мы должны сделать, это распределить квадрат, что дает нам
Теперь на самом деле это просто .
Следовательно, это становится
. Теперь все, что нам нужно сделать, это решить для в уравнении:
, что дает нам
. 005
Сообщить об ошибке
Решите для и :
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Помните, что
Итак, степени цикличны. Это означает, что когда мы пытаемся вычислить значение показателя степени , мы можем игнорировать все степени, кратные , потому что они заканчиваются умножением конечного результата на , и, следовательно, ничего не делают.
Это означает, что
Теперь, помня отношения показателей степени , мы можем упростить это до:
Поскольку элементы слева и справа должны соответствовать (без смешивания и сопоставления!), мы получаем отношения:
Независимо от того, как вы ее решаете, вы получаете значения , .
Сообщить об ошибке
Решить
Возможные ответы:
Все действительные числа
Нет решения
Правильный ответ:
Нет решения
Объяснение:
Чтобы решить
Вычтите из обеих сторон:
Что никогда не верно, поэтому решения нет.
Сообщить об ошибке
Уведомление об авторских правах
Все ресурсы по алгебре II
10 Диагностические тесты 630 практических тестов Вопрос дня Карточки Учитесь по концепции
сложных уравнений
сложных уравнений| Комплексные числа и уравнения |
Содержание
| A/ Определение равенства | |
| B/ Линейные уравнения с комплексными решениями | |
| C/ Квадратные уравнения с комплексными решениями | |
| 403 | 93 9 Решения |
.
.
A/ Определение равенства
Прежде чем мы сможем решать уравнения со сложными решениями, мы должны определить отношение равенства между такими числами. Мы должны указать, что означает равенство двух комплексных чисел. Что ж, поскольку каждое комплексное число состоит из действительной и мнимой частей, кажется логичным заявить, что действительные части должны быть одинаковыми, а мнимые части должны быть равны, чтобы два комплексных числа были равны друг другу.
| Два комплексных числа a + b i и c + d i равны тогда и только тогда, когда a c и 9030 = 9030 д . Real части a и c равны и |
.
B/ Линейные уравнения с комплексными решениями
Используя определение равенства между комплексными числами, мы можем легко решить линейные уравнения с одной или двумя переменными , как показано в этих примерах. В случае двух переменных мы обычно заканчиваем тем, что решаем систему двух уравнений с двумя неизвестными. Для уравнений с одной переменной мы используем метод умножения на сопряженную единичную дробь, чтобы разделить на коэффициент переменной, которую мы ищем.
.
Пример 1 (2 неизвестных)
Найти значения для x и y , если
3 х + yi = 5 х + 1 + 2 i
Мы поместим все переменные члены в левую часть уравнения и оставим комплексное число в правой части уравнения. Затем мы найдем x и y .
2 x + yi = 1 + 2 i
так, 2 x = 1, и yi = 2 i
решение равно х = ½ и y = 2.
.
Пример 2 (1 неизвестно)
Решить для x :
Инструкции по делению одного комплексного числа на другое см. в предыдущем уроке alg9 о мнимых и комплексных числах.
.
C/ Квадратные уравнения с комплексными решениями
Помните, когда мы решали квадратные уравнения с помощью квадратной формулы, были моменты, когда нам приходилось отвечать: «Для этого уравнения нет НАСТОЯЩИХ корней или решений», потому что дискриминант
(b² 4ac) был отрицательным ( меньше нуля). Как только мы вводим наборы мнимых и комплексных чисел, каждое квадратное уравнение имеет решение. Теперь мы должны указать характер решений , а также количество решений. И, как и раньше, когда мы были ограничены решениями в наборе действительных чисел, есть три возможности. Может быть уникальное (2 равных) действительное или сложное решение, два действительных решения или два сложных или мнимых решения.
Пример 3
Единственное действительное решение получается из формы ( x h)² = 0 с решением x = h.
Решите ( x 5)² = 0. Извлекая квадратный корень из обеих частей, мы получаем x 5 = 0, поэтому x = 5.
.
Пример 4
Уникальное комплексное решение получается из формы x ² + k ² = 0 с решением x = к i .
Решите х ² + 49 = 0. Транспонируя 49, мы получаем х ² = 49, поэтому х = 7 i .
.
Пример 5
Два действительных решения получаются из формы ( x h)² = k , когда k > 0 ( k положительно)
Решите ( x 5)² = 25.
Укореняя обе стороны, получаем х 5 = ! 5,
так что х = 5! 5, что дает х = 10 или х = 0
Если изобразить эту параболическую функцию на графике, она будет иметь нули ( x — точки пересечения) в точках 0 и 10.
Пример 6
Два комплексных решения получаются из формы ( x h)² = k , когда k < 0 ( k отрицательно)
Решить ( x 5)² = 25.
Укоренив обе стороны, получаем x 5 = ! 5 и ,
так что х = 5! 5 и , которые являются сопряженными.
x = 5 + 5 i или x = 5 5 i
.
Мы изучили 3 способа решения квадратных уравнений, когда мы были ограничены реальными решениями. Эти методы работают для всех квадратных уравнений. Они множатся на , на завершают квадрат и на квадратную формулу . Чтобы узнать об этих методах, изучите урок alg6.2 под названием «Квадратные уравнения».
Как видно из приведенных выше примеров, если мы возведем в квадрат квадратное выражение, мы сможем легко решить, поскольку получим форму ( x h)² = k , а затем просто возьмем квадратный корень из обоих стороны.
Квадратная формула была получена путем завершения квадрата и решения общей формы квадратного уравнения a x ² + b x + c = 0, поэтому, если мы не можем факторизовать, мы всегда можем использовать формулу для решить любое квадратное уравнение.
Пример 7
Используйте квадратичную формулу для решения x ² + 5 x + 8 = 0. Укажите количество и характер решений.
В этом уравнении a = 1, b = 5 и c = 8. Подставляя в формулу, получаем:
Имеются два комплексно-сопряженных корня.
Дискриминант определяет природу корней.
Если b² 4ac = 0, то существует один вещественный корень.
Если b² 4ac > 0, есть 2 действительных корня, а если b² 4ac < 0, есть 2 сложных корня.
.
Практика
1/
а) Определите, является ли 1 + 2 i решением x ² 2 x + 5 = 0
b) Определите, является ли 1 i решением x ² 2 x + 2 = 0
.
2/ Решить для x и y :
3 х + 1 + ( у + 2) i = 2 х + 2 и .
.
3/ Решить для x . Дайте ответы в виде комплексных чисел.
| а) (3 + i ) x + i = 5 i | б) (2 + i ) x i = 5 + i | в) (2 + 3 i ) x 2 i = 2 ix + 5 4 i |
| 3 |
.
4/ Решите эти квадратные уравнения. Дайте ответы в виде комплексных чисел по мере необходимости.
| а) х ² 5 х + 7 = 0 | б) 2 х ² 3 х + 2 = 0 | c) 3 x ² 2 x 1 = 0 |
.
.
Решения
1/
а) (1 + 2 i )² 2(1 + 2 i ) + 5 = 1 + 4 i + 4 i ² 2 4 i + 5
, когда мы собираем подобные члены, мы получаем: 4 + 4 i ² = 0,
Таким образом, (1 + 2 i ) является решением x ² 2 x + 5 = 0.
б) (1 i )² 2(1 i ) + 2 = 1 2 i + i ² 2 + 2 и + 2
собирая подобные члены, получаем: 1 + i ² = 0, так как i ² = 1.
Таким образом, (1 i ) является решением x ² 2 x + 2 = 0.
.
2/ Решить для x и y :
3 x + 1 + ( y + 2) i = 2 x + 2 yi .
3 x + 1 + yi + 2 i = 2 x + 2 yi
x yi = 1 2 i , что означает x = 2 = 1 и 9035
.
3/ Решить для x . Дайте ответы в виде комплексных чисел.
| а) (3 + i ) x + i = 5 i (3 + i 5 9 0 3 1 ) 903 1 я | б) (2 + i ) x i = 5 + i (2 + i ) x = 5 + 2 i x = (5 + 2 i ) / (2 + i ) | c) (2 + 3 i ) x 2 i = 2 ix + 5 4 i 2 x + 3 ix 0352 2 ix = 5 4 i + 2 i |
.