Призма и цилиндр: Комбинации цилиндра и призмы — урок. Геометрия, 11 класс.

Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Стереометрия

Справочник по математике

Геометрия (Стереометрия)

Вписанные и описанные фигуры

Призмы, вписанные в цилиндр. Свойства призмы, вписанной в цилиндр

Отношение объема прямоугольного параллелепипеда к объему описанного около этого параллелепипеда цилиндра

Отношение объема правильной n — угольной призмы к объему описанного около этой призмы цилиндра

Призмы, вписанные в цилиндр. Свойства призмы, вписанной в цилиндр

      Определение 1. Призмой, вписанной в цилиндр, называют такую призму, основания которой вписаны в окружности оснований цилиндра, а боковые ребра призмы являются образующими цилиндра (рис. 1).

      Определение 2. Если призма вписана в цилиндр, то цилиндр называют описанным около призмы.

Рис.1

      Прежде, чем перейти к вопросу о том, какую призму можно вписать в цилиндр, докажем следующее свойство призм.

      Утверждение 1. Если около оснований призмы можно описать окружности, то отрезок, соединяющий центры описанных окружностей, будет параллелелен и равен боковому ребру призмы.

      Доказательство. Рассмотрим призму   A₁A₂ … A_nA’₁A’₂ … A’_n,   у которой около оснований
A₁A₂ … A_n   и   A’₁A’₂ … A’_n   можно описать окружности. Пусть около нижнего основания   A₁A₂ … A_n   призмы   A₁A₂ . .. A_nA’₁A’₂ … A’_n   описана окружность с центром   O   радиуса   r.   Проведем через точку   O   прямую, параллельную боковому ребру   A₁A’₁   призмы и пересекающую плоскость верхнего основания в некоторой точке, которую обозначим   O’.

      Докажем, что точка   O’  является центром окружности радиуса   r,   описанной около верхнего основания призмы. С этой целью рассмотрим, например, четырехугольник   A₁A’₁O’O   (рис. 2).

Рис.2

      Этот четырехугольник является параллелограммом, поскольку прямые   A₁A’₁   и   OO’   параллелельны по построению, а прямые   A₁O   и   A’₁O’   параллельны как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью . Следовательно,

A’₁O’ = A₁O = r .

      Рассуждая аналогичным образом, заключаем, что

A’₁O’ = A’₂O’ = … =
= A’_nO’ = r ,

то есть точка   O’   – центр окружности радиуса   r,   описанной около верхнего основания призмы.

      В силу того, что четырехугольник   OO’A₁A’₁   является параллелограммом, получаем равенство

OO’ = A₁A’₁.

      Утверждение 1 доказано.

      Теорема. Около призмы можно описать цилиндр тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

1. Призма является прямой призмой;
2. Около оснований призмы можно описать окружности.

      Доказательство. Докажем сначала, что если около   n – угольной призмы описан цилиндр, то оба условия теоремы выполнены.

      Действительно, выполнение условия 2 следует непосредственно из определения цилиндра, описанного около призмы. Из этого определения также следует, что вписанная в цилиндр призма является прямой призмой, поскольку образующие цилиндра перпендикулярны к плоскостям его оснований,

      Таким образом, мы доказали, что, если призма вписана в цилиндр, то оба условия теоремы выполнены.

      Теперь рассмотрим прямую n – угольную призму высоты   h,   около оснований которой можно описать окружности, и докажем, что около такой призмы можно описать цилиндр.

      Обозначим буквой   O   центр окружности радиуса   r,   описанной около нижнего основания призмы, а символом   O’   обозначим центр окружности, описанной около верхнего основания призмы.

Рис.3

      Поскольку многоугольники, лежащие в основаниях призмы равны, то и радиусы описанных около них окружностей будут равны. Согласно утверждению 1 отрезок   OO’   параллелен и равен боковому ребру призмы. Так как рассматриваемая призма прямая, то ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания и равны высоте призмы   h.   Значит, и отрезок   OO’   перпендикулярен плоскости основания призмы и равен   h.

      Цилиндр с осью   OO’,   радиусом   r   и высотой   h   и будет описан около исходной призмы.

      Доказательство теоремы завершено.

      Следствие 1. Высота призмы, вписанной в цилиндр, равна высоте цилиндра.

      Следствие 2. Около любой прямой треугольной призмы можно описать цилиндр (рис. 4).

Рис.4

      Справедливость следствия 2 вытекает из того, что около любого треугольника можно описать окружность.

      Следствие 3. Около любого прямоугольного параллелепипеда (в частности, около куба прямоугольного параллелепипеда (в частности, около куба) можно описать цилиндр (рис. 5).

Рис.5

      Справедливость следствия 3 вытекает из того, что около любого прямоугольника можно описать окружность.

      Замечание 1. Если у прямоугольного параллелепипеда прямоугольного параллелепипеда три ребра, выходящие из одной вершины, равны  a, b, c  и различны, то существует три возможности описать около этого параллелепипеда цилиндр в зависимости от того, какое из ребер параллелепипеда выбрано в качестве образующей описанного цилиндра (рис. 6, 7, 8).

Рис.6

Рис.7

Рис.8

Рис.6

Рис.7

Рис.8

      Следствие 4 . Около любой правильной n — угольной призмы можно описать цилиндр (рис. 9).

Рис.9

      Для доказательства следствия 4 достаточно заметить, что правильная n – угольная призма – это прямая призма, основания которой являются правильными n – угольниками, а около любого правильного n – угольника можно описать окружность.

Отношение объема прямоугольного параллелепипеда к объему описанного около него цилиндра

      Задача 1. Около прямоугольного параллелепипеда прямоугольного параллелепипеда с ребрами   a, b, c   описан цилиндр так, что высота цилиндра равна   c .   Найти отношение объемов призмы и цилиндра.

      Решение. Объем прямоугольного параллелепипеда Объем прямоугольного параллелепипеда   ABCDA’B’C’D’   (рис.10)

Рис.10

вычисляется по формуле

а объем цилиндра, описанного около этого параллелепипеда, можно найти по формуле

где   R – это радиус окружности, описанной около прямоугольника со сторонами   a   и   b   (рис 11).

Рис.11

      Поскольку угол   ABC   прямой, то отрезок   AC   является диаметром окружности и равен   2R . По теореме Пифагора находим, что

4R² = a² + b² ,

      Следовательно,

      Таким образом

      Ответ.

      Задача 2. Около куба куба с ребром   a   описан цилиндр. Найти отношение объемов куба и цилиндра.

      Решение. Поскольку куб является прямоугольным параллелепипедом, прямоугольным параллелепипедом, у которого все ребра равны, то, используя результат задачи 1, получаем

      Ответ.

Отношение объема правильной n — угольной призмы к объему описанного около этой призмы цилиндра

      Задача 3. Около правильной n — угольной призмы описан цилиндр. Найти отношение объемов призмы и цилиндра.

      Решение. Поскольку и объем призмы,объем призмы, и объем цилиндра вычисляются по формуле

V = S_оснh,

а высота призмы равна высоте описанного около нее цилиндра, то для объемов правильной n — угольной призмы и описанного около нее цилиндра справедливо равенство

      С помощью формулы для площади правильного n — угольника, вписанного в окружность радиуса   R,   получаем, что

      Следовательно,

      Ответ.

      Следствие 5. Отношение объема правильной треугольной призмы правильной треугольной призмы к объему описанного около нее цилиндра равно

      Следствие 6. Отношение объема правильной четырехугольной призмы правильной четырехугольной призмы к объему описанного около нее цилиндра равно

      Следствие 7. Отношение объема правильной шестиугольной призмы к объему описанного около нее цилиндра равно

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Урок 12. Вписанная и описанная призмы

Призма, вписанная в цилиндр.

Призму называют вписанною в цилиндр, если её основания вписаны в основания цилиндра, а боковые рёбра касательные цилиндра.

При этом цилиндр называют описанным вокруг призмы. Понятно, что если касательные цилиндра перпендикулярны к плоскости основания, то призма, вписанная в цилиндр, будет прямою.

Из определения призмы, вписанной в цилиндр, вытекают её свойства:

– цилиндр можно описать вокруг прямой призмы, если её основанием является многогранник, вокруг которого можно описать окружность; при этом радиус цилиндра  R  равен радиусу этой окружности;
–  высота 

Н  призмы, которая соединяет центры окружностей, описанных вокруг основ, принадлежит оси цилиндра.

Формулы вычисления радиуса  R  описанной окружности.

Где a, b, с  – стороны, h – высота, d – диагональ.

ПРИМЕР:

Можно или нет описать цилиндр вокруг прямой призмы, в основании которой лежит треугольник ?

РЕШЕНИЕ:

Да, так как вокруг любого треугольника можно описать окружность.

ПРИМЕР:

Можно или нет описать цилиндр вокруг прямой призмы, в основании которой лежит ромб, если он не является квадратом ?

РЕШЕНИЕ:

Нет, так как вокруг ромба, который не является квадратом, нельзя описать окружность.

Призма, описанная вокруг цилиндра.

Касательной плоскостью цилиндра называют плоскость, которая проходит через касательную цилиндра и перпендикулярная к плоскости осевого сечения, в котором находится касательная цилиндра.

Призму называют описанной вокруг цилиндра, если её основания описаны вокруг оснований цилиндра, а боковые грани принадлежат плоскостям, которые касаются цилиндра.

При этом цилиндр называют вписанным в призму, так как касательные цилиндра перпендикулярные к плоскости оснований, и боковые грани призмы, в которых находятся касательные, также перпендикулярные к плоскости оснований, то есть призма, описанная вокруг цилиндра, будет прямой.

По определению призмы, описанной вокруг цилиндра, определим её свойства:

– цилиндр можно вписать в прямую призму, если её основания будут многогранники, в которые можно вписать окружности; при этом радиус цилиндра  r  равен радиусу этой окружности; 
– высота  Н  призмы, которая соединяет центры окружностей, вписанных в основания, принадлежит оси цилиндра.

Формулы вычисления радиуса  r  описанной окружности.

Где h – высота, S – площадь, р – полупериметр, a – сторонa.

ЗАДАЧА:

Вокруг цилиндра, высота которого равна  5 см, описали четырёхугольную призму, три стороны которой в порядке следования равны  

3 см, 4 см  и  7 см.  

Найти площадь боковой поверхности призмы.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим неизвестную сторону четырёхугольника основания  х. Так как этот четырёхугольник описан вокруг окружности, то 

3 + 7 = 4 + х,

откуда  х = 6 см.

Площадь боковой поверхности призмы

S_бок = P × l

где, 

Р – периметр основания,

l – боковое ребро, которое равно высоте цилиндра.

Имеем:

Р = 3 + 7 + 4 + 6 = 20 (см).

S_бок = 20 × 5 = 100 (см²).

ОТВЕТ:  100 см².

Задания к уроку 12

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

Призма против цилиндра — объяснение, типы, примеры решений и часто задаваемые вопросы

Призма представляет собой объемную фигуру, состоящую из двух параллельных конгруэнтных сторон, известных как ее основания, соединенных боковыми гранями, которые являются параллелограммами. С другой стороны, цилиндр — это труба, состоящая из двух параллельных конгруэнтных окружностей и прямоугольника, основанием которого является окружность окружности. Более того, призмы представляют собой трехмерные твердые фигуры, состоящие из сторон и граней, которые представляют собой многоугольники — двумерные фигуры, содержащие прямые стороны. И призма, и пирамида попадают в более крупную категорию — многогранники, поскольку стороны и основания — это многоугольники. Призмы не имеют закругленных сторон, закругленных углов или закругленных краев в отличие от цилиндров и сфер.

Типы призм

В зависимости от типа основания многоугольника призмы подразделяются на два типа:

В зависимости от формы основания призмы подразделяются на различные типы:

Треугольная призма: A треугольная призма – это призма, основания которой имеют треугольную форму.

Прямоугольная призма: Призма, основания которой имеют прямоугольную форму, считается прямоугольной призмой (прямоугольная призма имеет кубическую форму).

Помимо правильных и неправильных призм, призмы часто подразделяются на два разных типа в зависимости от расположения оснований:

(Изображение будет загружено в ближайшее время)

Чем цилиндр отличается от призмы

Принимая во внимание характеристики призм, конусы, цилиндры и сферы удаляются как призмы, поскольку они имеют изогнутые грани. Это также удаляет пирамиды, поскольку они не содержат одинаковых форм основания или одинаковых поперечных сечений.

Является ли цилиндр призмой

Цилиндр представляет собой призму только с одним счетом, т.е. оба являются твердыми телами. Цилиндры и призмы похожи по этой общей характеристике. При этом давайте посмотрим, что такое цилиндр и чем он отличается от призмы. Цилиндр — это геометрическая фигура вращения, а призма — нет.

• Цилиндр состоит только из одной формы, в то время как призма имеет множество форм в зависимости от формы двух концов.

• Цилиндр не имеет вершин, а призма имеет различные вершины. Цилиндр содержит 2 изогнутых ребра, а призма не имеет изогнутого ребра.

• Цилиндр имеет 2 круглых конца, а призма может иметь прямоугольные, треугольные, правильные или неправильные многоугольники или пятиугольники.

Цилиндр из стекла не рассеивает белый свет, а стеклянная призма создает спектры, которые можно отобразить на экране.

Наблюдая характеристики цилиндра, мы можем сказать, что цилиндр — это призма с бесчисленным количеством граней. Это означает, что призма становится цилиндром по мере того, как количество сторон ее основания становится все больше и больше.

Круглые цилиндры

Когда мы говорим, является ли цилиндр призмой, мы иногда имеем в виду цилиндрическую призму. Это означает круглый цилиндр, который представляет собой фигуру, подобную призме, и имеет основание в форме круга.

Объем круглого цилиндра

​= (Площадь круга). (Высота)

= (π⋅ (радиус) ² )⋅(высота)

= πr ² ч

Призмы и призмоподобные фигуры

Объем призмы = (площадь основания) . (Высота)

Высоту призмы измеряем перпендикулярно плоскости ее основания. Это верно, даже когда призма находится на боку или когда она наклонена, что известно как наклонная призма.

Прямоугольные призмы

Помните, что любая грань прямоугольной призмы может быть ее основанием, поскольку мы измеряем высоту призмы перпендикулярно этой грани.

Решенные примеры

Пример:

У вас есть правильная прямоугольная призма, и вам нужно найти периметр и площадь основания. Размеры данной призмы следующие:

Длина = 60 см

Ширина = 10 см

Высота = 5 см

Решение: Чтобы вычислить периметр, используйте формулу, чтобы узнать периметр прямоугольной призмы, потому что имя говорит вам, что основание представляет собой прямоугольник.

Периметр = 2л + 2ш

= 2(60) + 2(10)

=120 см+20 см

=140 см

Площадь основания эквивалентна длине × ширине (как всегда для прямоугольника), что равно:

Площадь основания = 60 см × 10 см

= 600 см ²

Пример:

Найдите площадь поверхности прямоугольной призмы из приведенного выше примера.

Решение:

Используя формулу для площади поверхности = 2b + ph

2(600 см ² ) + 140 см (5)

= 1200 см ² + 700

= 1900 см ²

Пример: 

Длина апофемы шестигранного угла вместе с длиной основания призмы и высотой равна 7 см, 11 см и 16 см соответственно. Найдите общую площадь поверхности.

Решение:

Формула общей площади поверхности шестиугольной призмы:

TSA = 6ab + 6bh

Подставляя полученные значения,

= 1518 см ²

Пирамиды, призмы, цилиндры и конусы (предварительная алгебра, площадь и объем) – Mathplanet

Площадь поверхности – это площадь, описывающая материал, который будет использоваться для покрытия геометрического тела. Когда мы определяем площади поверхности геометрического тела, мы берем сумму площадей каждой геометрической формы внутри тела.

Объем — это мера того, сколько может вместить фигура, и измеряется в кубических единицах. Объем говорит нам кое-что о возможностях фигуры.

Призма – объемная фигура, имеющая две параллельные конгруэнтные стороны, называемые основаниями, которые соединены боковыми гранями, являющимися параллелограммами. Существуют как прямоугольные, так и треугольные призмы.

Чтобы найти площадь поверхности призмы (или любого другого геометрического тела), мы вскрываем это тело, как картонную коробку, и расплющиваем его, чтобы найти все содержащиеся в нем геометрические формы.

Чтобы найти объем призмы (неважно, прямоугольной она или треугольной), мы умножаем площадь основания, называемую площадью основания B, на высоту h. 9{2}\cdot h$$

Пирамида состоит из трех или четырех треугольных боковых поверхностей и трех- или четырехсторонней поверхности соответственно в основании.