Признаки делимости на 5: Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11

Признаки деления

Автор(ы): Чернышов Валентин Вячеславович
Рубрика: Физико-математические науки
Журнал: «Евразийский Научный Журнал №4 2022»  (апрель, 2022)
Количество просмотров статьи: 206
Показать PDF версию Признаки деления

Чернышов Валентин Вячеславович

«Признаки делимости чисел до 20»

План исследований

На уроках математики в 6 классе изучается всего пять таких признаков. В их число входят следующие признаки: признак делимости на 2, признак делимости на 5, признак делимости на 10, признак делимости на 3 и признак делимости на 9. Становится интересно, а существуют ли признаки делимости для других натуральных чисел. Для того чтобы ответить на данный вопрос проведём некоторую исследовательскую работу.

Гипотеза исследования: существуют признаки делимости натуральных чисел на числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.

Каждый новый признак делимости натурального числа выводился на основе уже известного признака делимости натурального числа. Таким образом, из ранее известных признаков делимости двух натуральных чисел получается признак делимости для какого-либо третьего натурального числа.

Так же новые признаки делимости выводились на основе некоторых закономерностей натуральных чисел.

1. Введение.

Для того чтобы сокращать и приводить дроби к общему знаменателю необходимо знать признаки делимости натуральных чисел. Так же в наше время всё больше и больше вычислений производится на калькуляторе, что мешает развитию вычислительных умений. Для того, чтобы правильно и быстро считать необходимо знать признаки делимости натуральных чисел.

На уроках математики в 6 классе изучается всего пять таких признаков. В их число входят следующие признаки: признак делимости на 2, признак делимости на 5, признак делимости на 10, признак делимости на 3 и признак делимости на 9.

Становится интересно, а существуют ли признаки делимости для других натуральных чисел. Для того чтобы ответить на данный вопрос проведём некоторую исследовательскую работу.

Гипотеза исследования: существуют признаки делимости натуральных чисел на числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.

Рассмотрим методологию данного исследования.

Объект исследования: натуральные числа

Предмет исследования: признаки делимости натуральных чисел

Методы исследования: индуктивный и дедуктивный

Приёмы исследования: анализ и синтез

Цель исследования: определение признаков делимости для натуральных чисел на числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.

Для того, чтобы достичь цели исследования, необходимо поставить перед собой и выполнить некоторые задачи:

• Изучить признаки делимости натуральных чисел на числа 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 17, 19.

• Вывести признаки делимости для натуральных чисел на числа 6, 12, 14, 15, 16, 18, 20, опираясь на уже известные признаки делимости.

2.1. Признаки делимости натуральных чисел на числа 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11,

13,17,19.

В начале исследования обратимся к нашему учебнику [1]. В нём описываются пять признаков делимости натуральных чисел.

Признак делимости на 2: Если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой, то это число чётно (делится без остатка на 2), а если запись числа оканчивается нечётной цифрой, то это число нечётно.

Признак делимости на 5: Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится без остатка на 5. Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то число без остатка на 5 не делится.

Признак делимости на 10: Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10. Если запись числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10.

Признак делимости на 3: Если сумма цифр числа делится на 3, то число делится на 3; если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3.

Признак делимости на 9: Если сумма цифр числа делится на 9, то число делится на 9; если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9.

Для того, чтобы изучить другие признаки, обратимся к учебнику под редакцией Мордковича [2].

Признак делимости на 4: число, состоящее более чем из двух цифр, делится на 4 тогда и только тогда, когда делится на 4 число, образованное последними двумя цифрами заданного числа.

Далее обратимся к источникам из интернета.

Признак делимости на 8: Число делиться на 8 когда три его последние цифры —нули или образуют число, которое делиться на 8. [5]

Признак делимости на 125: Число делиться на 125 когда три его последние цифры —нули или образуют число, которое делиться на 125.

Признак делимости на 7: Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7. [4]

Признак делимости на 11: На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечетные места, либо равна сумме цифр, занимающих четные места, либо разнится от нее на число, делящееся на 11. [3]

Признак делимости на 13: Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13.

Признак делимости на 17: Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17.

Признак делимости на 19: Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19. [4]

2.2. Признаки делимости натуральных чисел на числа 6, 12, 14, 15, 16, 18, 20.

Признак делимости на 6. Число 6 является произведением чисел 2 и 3, следовательно, объединяет оба эти признак. Таким образом, получаем, что число делится на 6, если оно чётное и сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 12. Число 12 является произведением чисел 4 и 3, следовательно, объединяет оба эти признак. Таким образом, получаем, что число делится на 12, если сумма его цифр делится на 3 и число состоящее из двух последних чисел делится на 4.

Признак делимости на 14. Число 14 получается при умножении чисел 2 и 7, а значит, содержит их признаки делимости. Получаем, что натуральное число делится на 14, если результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 и оно чётное.

Признак делимости на 15. Число 15 является произведением чисел 5 и 3, следовательно, объединяет оба эти признак. Таким образом, получаем, что число делится на 15, если оно оканчивается на 0 или 5 и сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 16. Для того, что бы вывести признак делимости на 16 обратимся к признакам делимости на 4 и на 8. Для того, чтобы определить делится число на 4 или нет, нужны две последние цифры этого числа, а для 8 — последние три цифры. Далее замечаем, что 4=2², а 8=2³. Значит если число получено путём возведения 2 в n-ую степень, будет делить число, последние n цифр которого делятся на 2

n. 16=2⁴, значит натуральное число делится на 16, если число, состоящее из 4 последних цифр, так же делится на 16.

Признак делимости на 18. Число 18 является произведением чисел 2 и 9, следовательно, объединяет оба эти признак. Таким образом, получаем, что число делится на 18, если оно чётное и сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 20. Число 20 является произведением чисел 4 и 5, следовательно, объединяет оба эти признак. Таким образом, получаем, что число делится на 20, если оно оканчивается на 0 или 5 и число, состоящее из двух последних чисел, делится 4. Учитывая то, что число, делящееся на 4, не может оканчиваться на 5, получаем, что число делится на 20, если оно оканчивается на 0, а число, состоящее из двух последних чисел, делится на 4.

3 Заключение.

В ходе исследования мы рассмотрели признаки делимости натуральных чисел на числа 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 17, 19 и, на основе этих признаков вывели новые признаки делимости натуральных чисел на числа: 6, 12, 14, 15, 16, 18, 20.

Получается, что гипотеза оказалась верна: существуют признаки делимости натуральных чисел на числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Только не всеми признаками удобно пользоваться. Некоторые из признаков делимости натуральных чисел требуют значительных вычислений для того, чтобы ими воспользоваться.

При разных вычислениях приходится делить натуральные числа не только на числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, но и на более большие. Получаем, что в перспективе исследования найти или вывести признаки делимости натуральных чисел на числа больше 20.

Во время исследования использовались следующие источники:

Список литературы

1. Математика. 6 класс. Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. — М.: ЗМнемозина, 2012. —288с.

2. Математика. 6 классс. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. —М.: Мнемозина, 2009. — 264 с.

3. http://maths.yfa1.ru/arifmetica.php?id=10

4. http://su0.ru/W3BQ

5. http://u.to/gPY3Dg

Признаки делимости. 5 класс — презентация онлайн

1. ТЕМА УРОКА: Признаки делимости

ТЕМА УРОКА:
ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ
5 класс
учитель математики МКОУ СОШ
с. Н. Батако Гагиева А.О.

2. Цель урока:

ЦЕЛЬ УРОКА:
Рассмотреть
признаки
делимости на 2,3,4,5,6,9,10,11 и
12
Закрепить признаки в ходе
решения примеров

3. Устная работа:

УСТНАЯ РАБОТА:
1)Из
множества чисел выберите
четные:
125; 258; 3021; 885; 3598410;
2225698; 458741
2)Из множества чисел выберите
нечетные числа:
3321; 2517; 2010; 548796; 102;
58479632; 1111

4. Вычислить:

ВЫЧИСЛИТЬ:
а)215+321=
536
б)214+625=
839
в)
662
38+624=
г)402+654=
д)211+259=
е)748+129=
1056
470
877

5. Представить данное число в виде произведения двух чисел:

ПРЕДСТАВИТЬ ДАННОЕ ЧИСЛО В ВИДЕ
ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ЧИСЕЛ:
а)36: 36=6* 6=4 * 9=2*18=1*36
б)48:
48=6*8=4*12=3*16=1*48
в)250: 250=25*10=5*50=125*2=250*1
г)100: 100=2*50=4*25=1*100
д)63:
63=7*9=3*21=1*63

6.

Признак делимости на 2:ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 2:
Натуральное
число делится на 2
тогда и только тогда, когда
последняя цифра в записи числа
чётная: 0, 2, 4, 6 или 8.
Например:
1) число 15893 не делится на 2,т.к. 3нечетное число
2)число 45 326 делится на 2, т.к. 6
четное число

7. Признак делимости на 2:

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 2:
Выпишите числа ,которые делятся на 2:
4756
180 861
4756
217525
82 385
100000
100 000
6112448
1583
10287126
41 9817
597154
6112448
10287126
28727
597154

8. Признак делимости на 2:

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 2:
Какую цифру можно вставить вместо * в число
512* так, чтобы число делилось на 2?
5120
5122
5124
5126
5128

9. Признак делимости на 3:

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 3:
Натуральное число делится на 3
тогда и только тогда, когда
сумма его цифр делится на 3.
Например:
1)число 21 543 делится на 3, т. к.
1+2+3+4+5=15, а 15 делится на 3,
2) число 9 034 не делится на 3, т.к.
3+4+9+0=16, а 16 не делится на 3.

10. Признак делимости на 3:

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 3:
Выпишите числа, которые делятся на 3:
2 472
5 893
6 789
5 895
8 170
8 237
9 123
7 555
8 765
247
1 739
2 472, т.к. 2+4+7+2=15 ,а 15делится на 3
6 789, т.к. 6+7+8+9=30,а 30 делится на 3
5 895, т.к. 5+8+9+5=27,а 27делится на 3
9 123, т.к. 9+1+2+3=15,а 15делится на 3
2 739, т.к.2+7+3+9=21,а 21 делится на 3

11. Признак делимости на 3:

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 3:
Какую
цифру нужно вставить
вместо звездочки в число 927*5
так, чтобы число делилось на 3?
цифру 1 , тогда 92715
цифру 4 , тогда
92745
Цифру 7 , тогда
92775

12. Признак делимости на 4:

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 4:
Натуральное
число делится на 4 тогда
и только тогда, когда последние две его
цифры образуют число, делящееся на 4.
Например:
1)число 24144 делится на 4, т.к. 44
делится на 4;
2)число 96563 не делится на 4, т.к. 63
не делится на 4.

13. Признак делимости на 4:

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 4:
Выпишите числа, которые делятся на 4:
12 3458
67 8905
45 7842
1246
6 7324
82 128
55 7760
3 4982
68 6808
4564
33 9074
6 7324
82 128
55 7760
68 6808
4564

14. Признак делимости на 4:

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 4:
Какую
цифру нужно вставить вместо
звездочки в число 87 94* цифру так,
чтобы число делилось на 4.
Цифру 0 — 87940
Цифру 4 87944
Цифру 8 — 87948

15. Признак делимости на 5:

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 5:
Натуральное число делится на 5 тогда и
только тогда, когда последняя цифра в
записи числа 0 или 5.
Например:
1)число 10 890 делится на 5,
2)число 8 994 не делится на 5.

16. Признак делимости на 5:

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 5:
Выпишите числа, которые делятся на 5:
59 000
887 128
65758
6 6155
32840
14 437
52 766
338960
35 559
90 0034
590 895
59 000
6 6155
32840
338960
590 895

17.

Признак делимости на 5:ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 5:
Какую
цифру нужно вставить
вместо звездочки в число
422 89* цифру так, чтобы число
делилось на 5.
или цифру 0 — 422890
или цифру 5 — 422895

18. Признак делимости на 6:

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 6:
Натуральное число делится на 6 тогда
и только тогда, когда оно делится на
2 и на 3 одновременно.
Например:
1)число 3 576 делится на 6, т.к. оно
делится и на 2 и на 3,
2) число 89 331 не делится на 6, т.к. оно
делится на 3, но не делится на 2.

19. Признак делимости на 6:

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 6:
Какие из чисел делятся на 6:
33 556, 28 312, 3 459, 81 432,
4 038, 22 446, 224 103,
999 999 999, 6 237, 576 ?

20. Признак делимости на 6:

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 6:
Какую
цифру нужно вставить вместо звездочки в
число 658*2 так, чтобы число делилось на 6.
Цифру
0 — и тогда 65802 будет делится на
6
Цифру 3 — и тогда 65832 будет делится на
6
Цифру 6 — и тогда 65862 будет делится на
6
Цифру 9 — и тогда 65892 будет делится на
6

21.

Признак делимости на 8:ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 8:
Натуральное число делится на 8
тогда и только тогда, когда
последние три его цифры образуют
число, делящееся на 8.
Например:
1)число 812 872 делится на 8, т.к.
872 делится на 8,
2)число 1723 не делится на 8, т.к.
723 не делится на 8

22. Признак делимости на 8:

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 8:
В
число 794 8*2 вставь вместо
звездочки цифру так, чтобы число
делилось на 8.
Цифру
3 — и тогда 79832 будет
делится на 8
Цифру 7 — и тогда 79872 будет
делится на 8

23. Признак делимости на 9:

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 9:
Натуральное число делится на 9
тогда и только тогда, когда сумма
его цифр делится на 9.
Например:
1)число 45 981 делится на 9,т.к.
4+5+9+8+1=27, а 27 делится на 9,
2) число 7 734 не делится на 9, т.к.
7+7+3+4=21,а 21 не делится на 9.

24. Признак делимости на 9:

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 9:
Какие из чисел делятся на 9:
67 980, 90 909, 12 861, 77 444,
809, 672, 567 902, 37 332, 8 009,
39 627, 45 035 ?

25.

Признак делимости на 9:ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 9:
Какую
цифру нужно вставить
вместо звездочки в число
77 *55 так, чтобы число делилось
на 9.
Цифру 3 — и тогда 77355 будет
делится на 9, т.к. 7+7+3+5+5=27, а
число 27 делится на 9

26. Признак делимости на 10:

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 10:
Натуральное число делится на 10
тогда и только тогда, когда оно
оканчивается на 0.
Например:
1) число 520 890 делится на 10,
2)число 69 677 не делится на 10.

27. Признак делимости на 10:

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 10:
Какие из чисел делятся на
10:
20 800, 65 705, 687, 20 780,
34 341, 10 001, 38 000, 54
544, 6 720, 6 932, 903 ?

28. Признак делимости на 10:

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 10:
Какую
цифру нужно вставить
вместо звездочки в число 89 75*
так, чтобы число делилось на 10?
Цифру
0 и тогда 89 750 будет
делится на 10

29. Признак делимости на 11:

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 11:
Натуральное число делится на 11 тогда
и только тогда, когда разность между
суммой его цифр, стоящих на нечетных
местах, и суммой цифр, стоящих на
четных местах, делится на 11.
Например:
число 120 340 528 делится на 11, т.к.
1+0+4+5+8=18, 2+3+0+2=7,а 18-7=11 и
11 делится на 11.

30. Признак делимости на 11:

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 11:
Какие из чисел делятся на 11:
1 353
1353
6 259
6 259
78 908
47 278
47 278
236 873
395 615
395 615
89 890
3 538 194
3 538 194
561
561

31. Признак делимости на 11:

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 11:
Какую цифру нужно вставить вместо
звездочки в число 7 490 *01 так, чтобы
число делилось на 11?
Цифру 9 и тогда 7490901 будет делится
на 11, т.к. 7+9+9+1=26 и 4+0+0=4,
и разность этих сумм 26-4=22 -делится
на 11

32. Признак делимости на 12:

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 12:
Натуральное число делится
на 12 тогда и только тогда,
когда оно делится на 3 и на
4 одновременно.
Например:
число 47 184 делится на 12,
т.к. оно делится на 3 и на 4.

33. Признак делимости на 12:

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 12:
Какие из чисел делятся на 12:
3 852, 89 677, 4 428,
556 677, 432, 416 184, 4 002
264, 9 636, 79 435, 798 ?

34.

Признак делимости на 12:ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 12:
Какую цифру нужно вставить вместо
звездочки в число 16* 740 так, чтобы
число делилось на 12?
Цифру
0 — и тогда
делится на 12
Цифру 3 — и тогда
делится на 12
Цифру 6 — и тогда
делится на 12
Цифру 9 — и тогда
делится на 12
160740 будет
163740 будет
166740 будет
169740 будет

35. Признаки делимости:

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ:
Из множества чисел
2 475, 15 897, 5 897, 6 782, 28 170,
54872, 852214, 3 6985 , 3258741
выпиши те, которые:
а) делятся на 2;
б) делятся на 2 и на 5;
в) делятся на 3 и на 5;
г) не делятся ни на2, ни на 3.

36. Признаки делимости:

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ:
Среди
натуральных решений
неравенства 403 < x < 420 найди
все числа, которые делятся на 3, но
не делятся на 9.

37. Признаки делимости:

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ:
Напишите
наибольшее
четырехзначное число, делящееся
на 5, но не делящееся на 2.

38. Признаки делимости:

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ:
В число 8 10* вместо звездочки
подставьте цифру так, чтобы:
а) число делилось на 5, но не делилось
на 2;
б) число делилось и на 2 и на 5.
в) число не делилось ни на 2, ни на 5.
г) число делилось на 2, но не делилось
на 5.

39. Признаки делимости:

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ:
Выпишите
все натуральные числа,
кратные 4 и расположенные между
числами 623 и 650.

40. Признаки делимости:

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ:
Выпиши
все натуральные
числа, которые делятся на 8
и расположены между
числами 2000 и 2 030.

41. Признаки делимости:

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ:
Из
чисел
97, 65, 72, 125, 138, 1 923, 651,
132, 972, 780, 207, 912, 108, 361,
954, 549, 3333
выпишите числа, которые
делятся на 3, но не делятся на
9, и расположите их в порядке
возрастания.

42. Самостоятельная работа:

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА:
Угадайте число, если оно начинается на 1,
делится на 9 и на 5, но не делится на 2.
Трехзначное число с первой цифрой 8 делится
на 9, на 5 и на 2. Какое это число?
Запиши множество решений неравенства
361 < х < 395, делителями которых
являются числа 2 и 3.
Запиши множество чисел, делящихся на 11,
которые являются решениями неравенства:
321 < х < 352.

43. Домашнее задание:

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:
П.3.1
№604
№605

теория чисел — шаблон для всех двоичных цепочек, делящихся на 5

$\begingroup$

Например, $x = 101$ делится на $5$, потому что это целое число 5. То же самое для $x=1111$ также делится на 5, так как это целое число 15. Однако $x=1100$ равно не делится на $5$, так как это целое число 12.

Существует ли шаблон, который распознает двоичные цепочки, делящиеся на 5?

• теория чисел
• модульная арифметика
• двоичный

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Мы можем использовать счастливое лицо пятикратности!

Старт в состоянии $0$. Следуйте за соответствующими стрелками, читая цифры двоичного числа слева направо. Если вы снова окажетесь в состоянии $0$, ваше число будет делиться на $5$ (а если нет, номер состояния даст вам остаток).

---

Как это работает? Что ж, если мы находимся в состоянии $k$, это означает, что цифры, которые мы прочитали до сих пор, образуют число $n$ с остатком $k \equiv n \mod 5$. Если мы затем прочитаем другую цифру $b$, мы фактически перейдем к новому числу $n’ = 2n + b$. Таким образом, нам нужно перейти в состояние $(2k + b) \bmod 5$, что мы и делаем на приведенном выше графике. Таким образом, если мы в конце концов окажемся в состоянии $0$, мы будем знать, что остатка нет, и число, которое мы читаем, делится на 5.

На приведенной выше диаграмме состояний графически представлена ​​именно эта логика. Вместо этого вы могли бы использовать его как стол:

\begin{массив}{ccc} k & b & 2k + b & (2k + b) \bmod 5\\ \hline 0 и 0 и 0 и 0 \\ 0 и 1 и 1 и 1 \\ 1 и 0 и 2 и 2 \\ 1 и 1 и 3 и 3 \\ 2 и 0 и 4 и 4 \\ 2 и 1 и 5 и 0 \\ 3 и 0 и 6 и 1 \\ 3 и 1 и 7 и 2 \\ 4 и 0 и 8 и 3 \\ 4 и 1 и 9 и 4 \\ \hline \end{array}

---

Это также дает хорошее ментальное правило. {k+1}.$$ Отсюда легко видеть, что сумма нечетных цифр и сумма четных цифр равны. 9k+1$ позиций. Умножьте результат с нечетных позиций на $2$ и прибавьте к четным; и мод на $5$.

Пример: я набираю наугад: $101110101000111010111$

Сгруппируйте его в четыре секции:

$\цвет{синий}1\цвет{оранжевый}0\цвет{фиолетовый}1\цвет{красный}1\цвет {синий} 1 \ цвет {оранжевый} 0 \ цвет {фиолетовый} 1 \ цвет {красный} 0 \ цвет {синий} 1 \ цвет {оранжевый} 0 \ цвет {фиолетовый} 0 \ цвет {красный} 0 \ цвет {синий }1\цвет{оранжевый}1\цвет{фиолетовый}1\цвет{красный}0\цвет{синий}1\цвет{оранжевый}0\цвет{фиолетовый}1\цвет{красный}1\цвет{синий}1 $

Позиции $\color{blue}{4k}$ (это все $\equiv 1\pmod 5$) Считаю/добавляю: $\color{blue}6$.

В позициях $\color{purple}{4k+2}$ (это все $\equiv -1\pmod 5$) я считаю/прибавляю $\color{purple}4$. Вычитая, я получаю $6-4\экв 2\pmod 5$.

В позициях $\color{red}{4k+1}$ (это все $\equiv 2\pmod 5$) я считаю: $\color{red}2$.

И в позициях $\color{orange}{4k+3}$ ($\equiv -2\pmod 5$) я получаю: $\color{orange}1$. Вычитая, я получаю $2-1=1$, что эквивалентно $1\times 2\equiv 2\pmod 5$.

Итак, умножьте нечетные позиции на $2$, чтобы получить $2$, и прибавьте к четным позициям $2$, чтобы получить $2+2 = 4$, и я вывожу:

$101110101000111110101000111010111_2\equiv 4\pmod 5$.

Я гуглил «двоично-десятичный преобразователь» и находил эту симпатичную маленькую страницу: https://www.rapidtables.com/convert/number/binary-to-decimal.html

И я вижу $101110101000111010111_2 = 1528279$, что составляет $\экв 4\pmod 5$.

….

По сути, это правило «отбрасывания всех остальных цифр», чтобы определить, делится ли число с основанием $10$ на $11$.

…..

Чтобы показать, насколько быстро это может быть:

Я конвертирую $35765$ в $1000101110110101$ и делаю

$1000|1011|1011|0101$ и вычисляю $(3-1) + 2(2 -3)=2+(-2)=0$, поэтому оно делится на $5$.

$\endgroup$

$\begingroup$

Я использую тот же подход, что и rogerl, но использую шестнадцатеричное число (по основанию 16), а не по основанию 4. Проверка делимости на 5 по основанию 16 работает так же, как проверка делимости на 3 по основанию 10, потому что 3 делится (10-1) и 5 делений (16-1). 94 + \точки$$ с $0 \le a_i<16$.

Но $16\экв 1 \pmod{15}$, поэтому $$n \эквив a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + \dots \pmod{15}$$ А так как 3 и 5 делят 15, у нас также есть $$n \эквив a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + \dots \pmod{3}$$ $$n \equiv a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + \dots \pmod{5}$$

Таким образом, мы можем проверить делимость на 5 шестнадцатеричного числа, просто сложив его шестнадцатеричные цифры по модулю 5. (И Конечно, мы можем получить шестнадцатеричные цифры двоичного числа, сгруппировав биты в блоки по 4).

Например, $123_{10}$ равно $$0111 1011_2$$ в двоичном формате и $$\mathrm{7b}_{16}$$ в шестнадцатеричном формате. Значения этих двух блоков равны $7$ и $11$. $7 + 11 = 18 \equiv 3\pmod{5}$, поэтому $$0111 1011_2$$ дает остаток 3 при делении на 5.

Вот несколько более крупных примеров.

1000 декабря
ящик 0011 1110 1000
знач 3 14 8
суммы 3 2 0 по модулю 5
остаток = 0
    
19136214
0001 0010 0011 1111 1110 1101 0110
   1 2 3 15 14 13 6
   1 3 1 1 0 3 4
остаток 4
 

Вот ссылка на небольшой живой скрипт Python, который выполняет эти вычисления.

Как я уже говорил ранее, вы также можете использовать этот метод для делимости на 3, просто добавьте по модулю 3 вместо 5. Или добавьте по модулю 15 и проверьте делимость на 15, 5 и 3 одновременно.

Обратите внимание, что вы можете выполнять этот тест в любом порядке, но если вы начинаете слева, не забудьте дополнить битовую строку нулями (если необходимо), чтобы общее количество битов делилось на 4.

$\endgroup$

2.5: Правила делимости — Mathematics LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

7463

• Pamini Thangarajah
• Mount Royal University 91\):

  Пусть \(x \in \mathbb{Z_+}\). \(2 \mid x\) тогда и только тогда, когда \(2 \mid b\). Другими словами, \(2\) делит целое число тогда и только тогда, когда единица целого числа равна \(0, 2, 4, 6,\) или \(8\).

  Доказательство:

  Так как \( 2\mid 10\), \(x=10 a+b\) и по теореме делимости I, \(2 \mid x\) тогда и только тогда, когда \(2 \mid b\).\(\Box \)

  Делимость на \(5:\)

   

  \(5 \mid x\) тогда и только тогда, когда \(5 \mid b\). Другими словами, \(5\) делит целое число тогда и только тогда, когда первая цифра целого числа равна \(0,\) или \(5\).

  Доказательство:

  Поскольку \( 5 \mid 10\), \(x=10 a+b\) и по теореме I о делимости \(5 \mid x\) тогда и только тогда, когда \( 5 \mid b\).\(\Box \)

  Делимость на \(10:\)

   

  \(10 \mid x\) тогда и только тогда, когда \(10 \mid b\). Другими словами, \(10\) делит целое число тогда и только тогда, когда цифра единиц целого числа равна \(0,\).

  Доказательство:

  Поскольку \( 10 \mid 10\), \(x=10 a+b\) и по теореме I о делимости \(10 \mid x\) тогда и только тогда, когда \( 10 \mid b\).\(\Box \) 9n\) для любого положительного целого числа \(n\).

  Пример \(\PageIndex{1}\):

  Используя признаки делимости, проверьте, делится ли число \(824112284 \) на:

  1. \(5\)
  2. \(4\)
  3. \( 8\)

  Решение:

  1.   \(824112284\) равно , не делится на \(5.\)

  Правило : Единица числа должна быть либо \(0\), либо \(5.\)

  Поскольку последняя цифра не \(0\) или \(5,\) \(824112284\)  равно не делится на \(5.\)

  2. \(824112284 \) делится на на \(4.\)

  Правило : Последние две цифры числа должны быть кратными на 4.

  Последние две цифры числа \(824112284\) равны \(84=(4)(21). \)

  Поскольку \(84\) делится на \(4, 824112284\), то делится тоже по \(4\).

  3. \(824112284 \) не делится на на \(8.\)

  Правило : Последние три цифры числа должны делиться на 8. 9{n-2}+ \cdots+ d_2 10+d_1)+ (d_0.\]

  Пример \(\PageIndex{2}\):

  Найдите возможные значения пропущенной цифры \(x\), если \( 1234×51234 \) делится на \(3.\)

  Решение:

  Рассмотрим следующее:

  Правило делимости числа 3 следующее: если сумма цифр целого числа является числом, которое делится на 3, то большее исходное число также делится на 3.

  Сумма цифр равна \(2(1+2+3+4)+5 +x=25 +x.\) Так как \(3\mid (25+x)\), \(25+x =27, 30\) или \(33\). Отсюда \(x=2,5\) или \(8\). 9{n-2}+ \cdots+ d_2 10+d_1\).

  Доказательство:

  Предположим, \(7\mid x.

  No related posts.