Произведение трех векторов: Глава 33. Смешанное произведение трех векторов

Содержание

Смешанное произведение трех векторов14

Смешанным произведением трех векторов называется скалярное произведение векторного произведения первых двух векторов на третий.

Если векторы заданы в декартовом ортонормированном базисе , то есть если

то их смешанное произведение равно определителю третьего порядка, в первой строке которого находятся координаты первого вектора, во второй — координаты второго, в третьей – координаты третьего,

. ( 23 )

Пример. Смешанное произведение векторов

на основании формулы (23) равно

Из формулы (23) и свойств определителей вытекают два следующих соотношения, касающиеся возможности переставлять местами сомножители смешанного произведения:

На основании формулы (17) для скалярного произведения мы можем записать следующую формулу для смешанного произведения:

Из нее, в частности, вытекает

Геометрический смысл смешанного произведения. Абсолютная величина смешанного произведения векторов равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на сторонах,

=. ( 24 )

Действительно, площадь основания и высота такого параллелепипеда соответственно равны

, ,

откуда следует формула (24).

Условие компланарности трех векторов. Три ненулевых вектора компланарны тогда и только тогда, если их смешанное произведение равно нулю.

Пример. Векторы пре-дыдущего примера компланарны, так как их смешанное произве-дение равно нулю.

Пример. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами

, Рис. 10 и длину ее высоты , опущенной из вершины (рис. 10)

Введем в рассмотрение векторы

Данная пирамида построена на них как на сторонах. Ее объем равен шестой части объема параллелепипеда, построенного на тех же векторах как на сторонах. Следовательно, на основании формулы (24)

куб.единиц

Длину высоты находим, исходя из известной школьной формулы. Именно:

Так как

получаем

лин.единиц.

Что такое вектор и его орт?
Дать определение равных векторов; противоположных векторов.
Какие векторы называются коллинеарными? компланарными?
Как можно определить сумму векторов? разность векторов? произведение вектора на число?
Что такое составляющая вектора вдоль оси? проекция вектора на ось?
По какой формуле можно найти проекцию вектора на ось?
Что такое базис на плоскости? в пространстве?
Что такое декартов ортонормированный базис?
Сформулировать теорему о разложении вектора по базису.
Что такое координаты вектора в данном базисе? что представляют собой координаты вектора в декартовом ортонормированном базисе?
Какая существует связь между линейными операциями над векторами и операциями над их координатами?
Сформулировать необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов; (не)компланарности трех векторов.
Как найти координаты вектора, зная координаты его начала и конца?
Как найти длину, направляющие косинусы и орт вектора, заданного в декартовом ортонормированном базисе?
Перечислите основные способы задания векторов.
Дать определение скалярного произведения двух векторов.
Какая существует связь между скалярным произведением и проекцией вектора на ось?
Перечислите свойства скалярного произведения.
Как найти скалярное произведение векторов, заданных в декартовом ортонормированном базисе?
Как найти угол между двумя векторами с помощью скалярного произведения?
Как найти проекцию вектора на ось с помощью скалярного произведения?
Дать определение правой тройки векторов.
Дать определение векторного произведения двух векторов.
В чем состоит геометрический смысл модуля (длины) векторного произведения?
Перечислите свойства векторного произведения.
Как найти векторное произведение векторов, заданных в правом декартовом ортонормированном базисе?
Дать определение смешанного произведения трех векторов.
Как найти смешанное произведение векторов, заданных в декартовом ортонормированном базисе?
В чем состоит геометрический смысл смешанного произведения?

Как найти смешанное произведение трех векторов: алгоритм, примеры

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel.ru Математика Геометрия Смешанное произведение векторов

В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти смешанное произведение трех векторов через вычисление определителя соответствующей матрицы, перечислим свойства этой операции, а также разберем пример решения задачи.

Нахождение смешанного произведения векторов
Свойства смешанного произведения векторов
Пример задачи

Нахождение смешанного произведения векторов

Смешанное произведение векторов равняется определителю матрицы, которая составлена из координат этих векторов.

Алгоритм действий следующей:

Допустим, у нас есть три вектора: a = {a_x; a_y; a_z}, b = {b_x; b_y; b_z} и с = {с_x; с_y; с_z}. Чтобы найти их смешанное произведение (в декартовой системе) мы составляем матрицу с элементами, как показано ниже, и затем просто вычисляем ее определитель.

Свойства смешанного произведения векторов

1. Модуль смешанного произведения трех векторов равняется объему параллелепипеда, который образован этими векторами.

V_{паралл.} = |a · [b × c]|

2. Объем пирамиды, которая образована тремя векторами, равняется 1/6 от модуля смешанного произведения данных векторов.

V_{паралл.} = 1/6 · |a · [b × c]|

3. Смешанное произведение трех ненулевых компланарных векторов равняется нулю.

4. a · [b × c] = b · (a · c) – c · (a · b)

5. a · [b × c] = b · [c × a] = c · [a × b] = –a · [c ×b] = –b · [a ×c] = –c · [b ×a]

6. a · [b × c] + b · [c × a] + c · [a × b] = 0 (тождество Якоби)

Пример задачи

Найдем смешанное произведение векторов a = {3; 8; 4}, b = {1; -10; 12} и с = {11; 5; 9}.

Решение:

a · [b × c] = 3 · (-10) · 9 + 11 · 8 · 12 + 1 · 5 · 4 – 11 · (-10) · 4 – 3 · 5 · 12 – 1 · 8 · 9 = -270 + 1056 + 20 + 440 – 180 – 72 = 994

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

Умножение векторов

Это сочетание слов «умножение» и «вектор» появляется как минимум в четырех случаях:

умножение вектора на скаляр
скалярное умножение векторов
умножение вектора на матрицу
векторное умножение векторов

, из которых только четвертая может рассматриваться как (полу)групповая операция. Хотя остальные тоже важны, здесь я расскажу только о последних. векторное умножение (произведение) определено для трехмерных векторов. Чтобы продолжить, нам понадобятся понятия

право- и леворукости , которые применимы к трем взаимно перпендикулярным векторам.

Два неколлинеарных (непараллельных) векторов определяют плоскость, и есть два способа построить третий вектор перпендикулярно этой плоскости (и, следовательно, двум заданным векторам). или правил для левшей . Направление, определяемое правилом правой руки, обычно предпочтительнее другого. Если смотреть с вершины указательного пальца (z), движение от среднего пальца (x) к большому пальцу (y) будет положительным (против часовой стрелки).

Покойный Исаак Исимов однажды с опаской предположил, что технический прогресс может привести к изменениям в тезаурусе, которые устранит такие дорогие сердцу понятия, как направления по часовой и против часовой .

К счастью, никакой технический прогресс не мог повлиять на физическую основу правила правой руки.

Пусть a и b — два неколлинеарных векторов. Их крест (или внешний , или вектор ) произведение определяется как вектор a × b , перпендикулярный как a, так и b, направление которого

a 9003 таково, что три вектора 9003 , b и a × b образуют правую систему.
длина равна площади параллелограмма, построенного на векторах а и б .

Перекрестное произведение коллинеарных векторов определяется как 0. (Что согласуется с неколлинеарным случаем, поскольку мы можем думать о двух параллельные векторы как определяющие (одну линию) параллелограмм с нулевой площадью.

Очевидно, что произведение не имеет единичного элемента. С одной стороны, справедливы как ассоциативный, так и распределительный законы. Для последнего это очевидно из геометрических соображений. Из дистрибутивного закона следует однородность (при условии, конечно, что мы сначала установим какую-то непрерывность. Но это осуществимо: небольшие изменения либо в a , либо в b приводят к небольшим изменениям площади определяемого ими параллелограмма. Плоскость не меняется радикально либо.) Для скаляра t

(t a ) × b = a × (t b ) = t ( a × b )

Перекрестное произведение также антикоммутативное :

а × б = — б × а

как следует из определения.

Перекрестное произведение может быть выражено в терминах определителя 3×3 . Пусть e ₁ , e ₂ и e ₃ — три взаимно ортогональных единичных вектора, образующих правый система. Потом опять по определению

e ₃ = e ₁ × e ₂ , e ₂ = e ₃ × e ₁ , e ₁ = е ₂ × е ₃

IF A = A ₁ E ₁ + A ₂ E ₂ + A ₃ 3 + A ₃ 377 3737 3 9038 3 _{3 _{3 3 3 _{3 34 .0037 b} = b ₁ e ₁ + b ₂ e ₂ + b ₃ e ₃ then}}

a × b = (a ₂ b ₃ — a ₃ b ₂ ) e ₁ — (a ₁ b ₃ — a ₃ b ₁ ) e ₂ + (a ₁ b ₂ — a ₂ b ₁ ) и ₃

, который часто записывается как

Ассоциативный закон не выполняется для векторного произведения. То есть в общем случае

a × ( b × c ) ≠ ( a × b ) × c .

Например,

д ₁ ×( e ₁ × e ₂ ) = e ₁ × e ₃ = — 9 4 ₄

тогда как

(E ₁ × E ₁ ) × E ₂ = 0 × E ₂ = 0.

а × ( б × с ) = ( а · с ) б — ( а · б ) в 9.

Особенно полезно смешанное произведение трех векторов:

a ·( b × c ) = det( a b c ),

где точка обозначает скалярное произведение и определитель det( a b c ) имеет векторы a , b , c в качестве столбцов. Определитель равен объему параллелепипеда, образованного тремя векторами.

Что можно умножить?

Что такое умножение?
Умножение уравнений
Умножение функций
Умножение матриц
Умножение чисел
Колышковый пасьянс и теория групп
Умножение перестановок
Умножение наборов
Умножение векторов
Умножение вектора на матрицу
Векторное пространство и пространства со скалярным произведением
Таблицы сложения и умножения в различных основаниях
Умножение точек на окружности
Умножение точек на эллипсе

93$, то скалярное тройное произведение $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ (в указанном порядке) равно следующему определителю, $\vec{u} \cdot ( \vec{v} \times \vec{w}) = \begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3\\ v_1 & v_2 & v_3\\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix} = u_1 \begin{vmatrix} v_2 & v_3\\ w_2 & w_3 \end{vmatrix} — u_2 \begin{vmatrix} v_1 & v_3\\ w_1 & w_3 \end{vmatrix} + u_3 \begin{vmatrix} v_1 & v_2\\ w_1 & w_2 \end {vmatrix}$.

Геометрически модуль скалярного тройного произведения $\biggr \rvert \vec{u} \cdot ( \vec{v} \times \vec{w} ) \biggr \rvert$ равен объему параллелепипед, сформированный из векторов $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$, как показано на следующем рисунке.

Кроме того, важно отметить, что $\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = \vec{v} \cdot (\vec{w} \times \vec {u}) = \vec{w} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})$, что можно доказать, отметив, что следующие определители приводят к перестановке двух строк, что эквивалентно умножению определителя $\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$ на $(-1)(-1) = 1$. 93$ компланарны. Тогда эти векторы лежат на плоскости и, таким образом, один из размеров соответствующего параллелепипеда, образованного этими векторами, имеет нулевую длину, поэтому $\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = 0$.

$\Leftarrow$ Предположим, что $\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = 0$. Тогда объем, натянутый на $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$, равен нулю, что означает, что эти векторы должны лежать на одной плоскости, и, следовательно, они компланарны.
No related posts.