Производная от а: Производная показательной функции (a^x)’

122. Производные основных элементарных функций. Свойства производной

Таблица 10.1 – Производные основных элементарных функций

Рассмотрим некоторые свойства производной.

1. Производная постоянной равна нулю: .

Если У = С, то ∆У = С – С = 0, а .

Пример 3. Найдите производную функции .

Решение. По формуле найдем: .

Ответ. .

2. Постоянный множитель можно вынести за знак производной: .

Если то

, а

Пример 4. Найдите производную функции .

Решение. Перепишем функцию: . Найдем производную: .

Ответ. .

3. Производная суммы функций равна сумме производных этих функций: .

Если то

.

Пример 5. Найдите производную функции .

Решение. .

Ответ. .

4. Производная произведения функций:

.

Если то

, тогда

Пример 6. Найдите производную функции .

Решение. Обозначим и . Используем формулу производной произведения функций , получим: .

Ответ. .

5. Производная частного двух функций: .

Если , то ,

.

Пример 7. Найдите производную функции .

Решение. Обозначим и . Используем формулу производной частного двух функций:

.

Ответ. .

6. Производная сложной функции: .

Если , где , то есть сложная функция.

Если аргумент х получает приращение ∆Х, то U(Х) получает приращение ΔU, а функция получает приращение ΔУ. При этом , а значит , так как при ΔХ → 0, ΔU → 0.

Пример 8. Найдите производную функции .

Решение. Обозначим . Используем формулу производной сложной функции:

Ответ.

.

Пример 9. Найдите производную функции .

Решение. Обозначим . Используем формулу производной сложной функции:

Ответ. .

7. Производная обратной функции: .

Пусть равенство У = У (Х) имеет (определяет) обратную зависимость , для которой мы можем найти производную . Тогда легко найти и производную от исходной функции. Действительно, , откуда при и получаем .

Пример 10. Найдите производную .

Решение. Запишем обратную функцию . Найдем ее производную
по , получим: . Сравним это выражение с производной от по : .

Ответ. .

8. Производная неявной функции.

Если задана неявная функция , то для вычисления производной нужно приравнять производные от левой и правой частей, считая, что есть функция от , которая обращает соотношение в тождество.

Пример 11. Найдите производную функции , заданную соотношением .

Решение. , , тогда или .

Ответ.

9. Логарифмическое дифференцирование.

Иногда, прежде чем находить производную, удобно прологарифмировать функцию.

Пример 12. Найдите производную функции .

Решение. Прологарифмируем обе части равенства .

Дифференцируем обе части равенства:

, откуда .

Ответ. .

Пример 13. Найдите производную функции .

Решение. ; ;

;

Ответ. .

Ответьте на вопросы

1. Напишите формулу производной степенной функции.

2. Чему равна производная функции ?

3. Напишите формулы производных тригонометрических функций.

4. Чему равна производная показательной функции ?

5. Напишите формулы производных обратных тригонометри-ческих функций.

6. Напишите формулу производной функции.

7. Напишите формулу производной суммы функций.

8. Как прочитать формулу ?

9. Как прочитать формулу ?

10. Как найти производную неявной функции?

11. Как называется функция ?

< Предыдущая		Следующая >

Производная и экстремумы функции — Без Сменки

 Производная показывает насколько быстро что-то происходит. Насколько быстро идет человек, растет стресс перед экзаменами или увеличивается количество баллов для поступления. Если быть более точным с точки зрения математики, производная — это математическая функция, которая показывает скорость какого-то процесса.

👉🏻 Если мы посмотрим на эту самую функцию производной, то увидим, что есть особые точки, в которых процесс меняется — сначала возрастает, а потом начинает убывать, или наоборот. 

🔸 Например, ты беспокоился о поступлении, но потом вдруг сдал ЕГЭ, и стало все равно — стресс падает. Такие точки называют минимумами и максимумами. Именно они помогают нам в заданиях ЕГЭ на производную.

Математика — обязательный для сдачи на ЕГЭ предмет, без которого не получишь аттестат. Это также один из самых сложных экзаменов для выпускников. Рассказываем, как сдать ЕГЭ по математике на 80+ баллов и делимся лучшими ресурсами для подготовки.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ 

✅ Производная — это показатель скорости изменения функции. Функцию можно нарисовать, и значит производную тоже можно нарисовать на том же самом графике функции. Возьмем на графике функции любую точку и назовем ее x0. И проведем касательную к функции в этой точке. Напомню, что касательная — это такая прямая, которая имеет с функцией в области этой точки только одну точку пересечения x0. 

🔹 Эта прямая будет наклонена к оси OX, и у нее есть формула, как и у любой другой прямой — y = kx + b. В этой формуле за угол наклона отвечает коэффициент k. Производная отвечает за возрастание или убывание функции, то есть за наклон функции. И есть три вещи которые отвечают за наклон на этом графике в точке x0: угол наклона, коэффициент k и производная функции. 

❗️ И если три разные вещи отвечают за одно и тоже, то скорее всего они равны — так и есть. Производная в точке x0 в точности равна коэффициенту k, касательной проведенной к функции в точке x0, и равна тангенсу угла наклона этой касательной. Это свойство и называют геометрическим смыслом производной. Осталось только понять, что с этим делать и как применять! 🌟

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ 

Производная — это специальная функция, которая получается с помощью математической операции бла-бла-бла. Это конечно важно и полезное определение, но появились же производные не так, что кому-то показалось мало обычных функций и он придумал еще одно математическое развлечение.

💁🏻‍♂️ Было все примерно так — в жизни есть какие-то процессы, например, увеличение известности Инстасамки в интернете. Этот процесс происходит с космической скоростью: вот пару месяцев назад ее никто не знал, и вот ее уже обсуждают даже бабушки у подъездов. А как измерить скорость распространения ее известности — она же сильно увеличивается?

🔸 Раньше для этого нужно было строить график функции популярности смотреть по нему на сколько быстро растете известность в равные промежутки времени и …. Это безумно долго. 

Поэтому чтобы измерять скорость любого процесса и придумал специальную операцию — извлечение производной. А сама производная — это прежде всего скорость какого-то процесса или функции, если речь идет о математике. Отсюда очень естественно выходит физический смысл производной.

✅ Производная от пути — это СКОРОСТЬ изменения координаты от времени или простая скорость. А производная от скорости — это скорость изменения скорости от времени, или самое обычное ускорение. Поэтому чтобы найти скорость нужно извлечь по всем законам математики производную от функции координаты. А чтобы найти ускорение нужно по тем же самым законам извлечь производную от функции скорости.

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter. Мы обязательно поправим!

производная

| Определение и факты

наклон линии

Просмотреть все СМИ

Похожие темы:

исчисление дифференциация флексия частная производная вторая производная

Просмотреть весь связанный контент →

производная , в математике скорость изменения функции по отношению к переменной.

Производные лежат в основе решения задач исчисления и дифференциальных уравнений. Как правило, ученые наблюдают за изменяющимися системами (динамическими системами), чтобы получить скорость изменения некоторой интересующей нас переменной, включают эту информацию в некоторое дифференциальное уравнение и используют методы интегрирования для получения функции, которую можно использовать для предсказания поведения исходной переменной. системы в различных условиях.

Геометрически производную функции можно интерпретировать как наклон графика функции или, точнее, как наклон касательной в точке. Его вычисление, по сути, происходит из формулы наклона прямой линии, за исключением того, что для кривых необходимо использовать процесс ограничения. Наклон часто выражается как «увеличение» над «пробегом» или, в декартовых терминах, как отношение изменения х к изменению х . Для прямой линии, показанной на рисунке, формула наклона имеет вид (

y ₁ − y ₀ )/( x ₁ − x ₀ ). Еще один способ выразить эту формулу [ F ( x ₀ + H ) — F ( x ₀ )/ H , если ч используется для x , если ч используется для x x , если ч используется для x , если ч используется для )]/ ч , если ч используется для )]/ ч , если ч используется для ). ₁ − x ₀ и f ( x ) для y . Это изменение в обозначениях полезно для перехода от идеи наклона линии к более общему понятию производной функции.

Викторина по Британике

Дайте определение: математические термины

Вот ваша миссия, если вы решите ее принять: Дайте определение следующим математическим терминам до того, как истечет время.

Для кривой это отношение зависит от того, где выбраны точки, отражая тот факт, что кривые не имеют постоянного наклона. Чтобы найти наклон в желаемой точке, выбор второй точки, необходимой для расчета отношения, представляет собой трудность, потому что, в общем, отношение будет представлять только средний наклон между точками, а не фактический наклон в любой точке (9).0019 см. рисунок ). Чтобы обойти эту трудность, используется процесс ограничения, при котором вторая точка не фиксируется, а задается переменной, например ч в соотношении для прямой линии выше. Нахождение предела в этом случае — это процесс нахождения числа, к которому отношение приближается, когда

ч приближается к 0, так что предельное отношение будет представлять фактический уклон в данной точке. Над частным [ f ( x ₀ + h ) − f ( x ₀ )]/ h , чтобы его можно было переписать в форме, в которой предел, когда h приближается к 0, можно увидеть более непосредственно. Рассмотрим, например, параболу, заданную выражением x ² . При нахождении производной x ² , когда x равно 2, частное равно [(2 + h ) ² − 2 ² ]/ h . Расширяя числитель, частное становится (4 + 4 ч + ч ² — 4)/ ч = (4 ч + ч ² )/ ч . И числитель, и знаменатель по-прежнему приближаются к 0, но если

ч на самом деле не ноль, а очень близко к нему, то ч можно разделить, получив 4 + ч , что, как легко заметить, приближается к 4 как ч. приближается к 0.

Итак, производная от f ( x ) при x ₀ , записанная как F ′ ( x ₀ ), ( D F / D x ) ( x ₀ ), или D F (20202020202020202020 10.02020250202020 10.0920 . . . 10205025. ), определяется так, как если бы этот предел существовал.

Дифференцирование, т. е. вычисление производной, редко требует использования основного определения, вместо этого его можно выполнить, зная три основные производные, используя четыре правила работы и зная, как манипулировать функциями.

Редакция Британской энциклопедии Эта статья была недавно отредактирована и дополнена Эриком Грегерсеном.

Производная константы (числа)

Производная любой константы (это просто способ обозначить любое число) равна нулю.

Это достаточно легко запомнить, но если вы студент, который в настоящее время занимается математическим анализом, вам нужно помнить множество различных форм, которые может принимать константа. Сначала рассмотрим более очевидные случаи.

9{\ простое число} = 0 \)

Константы в «маскировке»

Вы узнаете о нескольких различных типах констант в математике. Пара, которая сразу приходит на ум:

\(е \приблизительно 2,718\)

\(\пи \приблизительно 3,142\)

Это известные, но есть и другие, с которыми вы наверняка работали. Рассмотрим \(\sqrt{2}\) или \(\ln\left(5\right)\). Оба они являются константами (если вы не уверены, введите их в свой калькулятор — вы получите десятичный эквивалент), поэтому их производные также равны нулю. 92\) (график ниже), наклон может меняться от точки к точке, потому что график искривлен.

Но как выглядит функция, если это постоянная функция? Ниже приведен график \(f(x) = 2,5\).

Этот график представляет собой линию, поэтому наклон во всех точках одинаков. Далее, это горизонтальная линия. Наклон любой горизонтальной линии равен нулю. Поскольку график любой постоянной функции представляет собой такую ​​горизонтальную линию, производная всегда равна нулю.

реклама

Резюме

Вероятно, у вас никогда не возникнет проблем с поиском производной константы, если она является частью многочлена или другой функции. Но будьте осторожны, обращая внимание на различные формы, которые может принимать константа, поскольку профессора и преподаватели любят проверять, замечаете ли вы такие вещи.