Наибольшее и наименьшее значение логарифмической функции. Задание В15
В этой статье мы рассмотрим решение двух примеров, которые на первый взгляд очень похожи, а на второй принципиально отличаются друг от друга.
Итак.
Пример 1
Найдите наибольшее значение функции на отрезке .
Чтобы найти наибольшее значение функции, нам надо найти ее производную, затем приравнять производную к нулю, определить ее знаки и выяснить поведение функции на отрезке.
В этом примере под знаком логарифма стоит выражение в пятой, то есть в нечетной степени. Если мы возводим отрицательное число в нечетную степень, то в результате получаем отрицательное число. Поскольку выражение по знаком логарифма должно быть больше нуля, следовательно, и отсюда .
Упростим функцию: вынесем показатель степени за знак логарифма. Получим .
Найдем производную функции. (Не забываем, что мы, строго говоря, имеем дело со сложной функцией.
)
Найдем нули производной:
Определим знаки производной: (учитываем, что )
И, соответственно, поведение функции:
В точке производная меняет знак с «+» на «-«, следовательно, это точка максимума функции. Точка -4 принадлежит заданному отрезку:
Следовательно, в точке функция принимает наибольшее значение на отрезке .
Найдем значение функции при :
Ответ: 20.
Замечание. Так как при решений заданий В-части в ответе должно получиться целое число или конечная десятичная дробь, а натуральный логарифм при рациональном аргументе принимает такие значения только в том случае, если его аргументом является число 1, то мы могли бы сразу сказать, что , т.к. . Но это для тех, кому трудно освоить алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке.
Пример 2.
Найдите точку максимума функции
В этом примере под знаком логарифма стоит выражение в квадрате.
Выражение в четной степени больше нуля, если основание степени не равно нулю, поэтому область допустимых значений этой функции . Если бы мы решили вынести показатель степени за знак логарифма, то получили бы такое выражение:
При вынесении четной степени не забываем ставить модуль! Если бы мы забыли поставить знак модуля, то сузили бы область определения функции.
Далее, чтобы взять производную, нам пришлось бы раскрыть модуль, а для этого рассмотреть два промежутка: и . Но поскольку в школе практически не рассматривают нахождение производной от функции с модулем, мы не будем выносить показатель степени за знак производной, а найдем производную сложной функции:
Найдем нули производной:
В точке -4 производная не определена, но меняет знак.
Исследуем знаки производной:
В точке производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-«, следовательно, это точка максимума функции.
Ответ: -5
Вероятно, Ваш браузер не поддерживается.
Чтобы использовать тренажёр «Час ЕГЭ», попробуйте скачать
Firefox
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
| 1 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное х | |
| 2 | Оценить интеграл | интеграл натурального логарифма x относительно x | |
| 3 | Найти производную — d/dx | 92)||
| 21 | Оценить интеграл | интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x | |
| 22 | Найти производную — d/dx | грех(2x) | |
| 23 | Найти производную — d/dx | 9(3x) по отношению к x||
| 41 | Оценить интеграл | интеграл от cos(2x) относительно x | |
| 42 | Найти производную — d/dx | 1/(корень квадратный из х) | |
| 43 | Оценка интеграла 9бесконечность | ||
| 45 | Найти производную — d/dx | х/2 | |
| 46 | Найти производную — d/dx | -cos(x) | |
| 47 | Найти производную — d/dx | грех(3x) | 92+1|
| 68 | Оценить интеграл | интеграл от sin(x) по x | |
| 69 | Найти производную — d/dx | угловой синус(х) | |
| 70 | Оценить предел | ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х | |
| 85 | Найти производную — d/dx | лог х | |
| 86 | Найти производную — d/dx | арктан(х) | |
| 87 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное 5х92) Содержание:
Натуральный логарифм (ln) является обратной функцией e x ; Это логарифм по основанию e (основание всегда положительное число). Этот факт вступает в игру, когда мы находим производную натурального журнала. Это называется натуральный логарифм из-за «е» (число Эйлера). Меркатор (1668 г.) впервые использовал термин «натуральный» (в латинской форме log naturalis ) для любого логарифма по основанию e (цитируется по O’Connore & Robertson, 2001). Производная от ln(x) или ln(kx) равна 1/x. В обозначениях это: Натуральная логарифмическая функция и ее производная определены в области x > 0. Производная ln(k), где k — любая константа, равна нулю.Вторая производная от ln(x) равна -1/x 2 . Это можно получить с помощью степенного правила, потому что 1/x можно переписать как x -1 , что позволяет вам использовать это правило. Производная от ln: Шаги Посмотрите это короткое (2 мин) видео, чтобы увидеть, как получается производная от ln с помощью неявного дифференцирования. Производную от ln x Посмотрите это видео на YouTube. Видео не видно? Кликните сюда. Чтобы найти производную от ln(x), используйте тот факт, что y = ln x можно переписать как . Шаг 2: Перепишите (используя алгебру), чтобы получить: Шаг 3: Подставьте ln(x) вместо y: Ссылки Экспоненциальный обзор. Получено 12 ноября 2021 г. с: https://mste.illinois.edu/malcz/ExpFit/REVIEW-answers.html |
Другими словами, y = ln x — это то же самое, что: 
В видео также показано, как вычислить производную от ln( k x) и x 2 : 