Алгебра Первообразная
Материалы к уроку
Конспект урока
Первообразная
|
На прошлых занятиях вы познакомились с правилами нахождения производной функции, узнали о применении производной для исследования функции на монотонность и экстремум; научились находить касательную к графику функции. Вспомним правила вычисления производных: Производная любого числа равна нулю. Производная икса равна единице. Производная ка икс плюс эм равна ка. Производная единицы, делённой на икс, равна минус единице, делённой на икс в квадрате. Производная корень из икс равна единице, делённой на два корень из икс. Производная синуса икс равна косинус икс. Производная косинуса икс равна минус синус икс. Производная икс в степени эн равна эн, умноженное на икс в степени эн минус один. |
Формулы дифференцирования:
|
|
Иногда приходится решать и обратные задачи, к примеру, восстановить закон движения по известной скорости. В математике принято взаимно обратным операциям присваивать специальные названия. Например, операция, обратная умножению, — это деление. Операция извлечения квадратного корня обратна возведению в квадрат.
|
Взаимно обратные операции: Сложение-вычитание; Умножение-деление; Извлечение квадратного корня–возведение в квадрат;
Дифференцирование–интегрирование (нахождение функции по данной производной). |
|
То есть функцию, выступающую как бы родоначальником для производной данной функции, принято называть первообразной. Определение: функцию игрек равное эф большое от икс называют первообразной для функции игрек равное эф малое от икс на заданном промежутке икс большое, если для любого икс, принадлежащего данному промежутку, выполнено равенство Промежуток, которому принадлежит икс, обычно не указывают, но подразумевают. |
|
|
Рассмотрим примеры. 1.Функция игрек, равное икс в квадрате, является первообразной для функции игрек, равное два икс, так как для любого икс справедливо равенство: производная икс в квадрате равна два икс. 2. Функция игрек, равное икс в кубе, является первообразной для функции игрек, равное три икс в квадрате, так как для любого икс справедливо равенство: производная икс в кубе равна три икс в квадрате. 3.Функция игрек, равное синус икс, является первообразной для функции игрек, равное косинус икс, так как для любого икс выполняется равенство: производная синуса икс равна косинус икс. 4.Функция игрек, равное корень из икс, является первообразной для функции игрек, равное один, делённое на два корень из икс, на промежутке от нуля до бесконечности, так как для любого икс больше нуля выполняется равенство: производная корень из икс равна единице, делённой на два корень из икс.
|
|
|
Зная формулы для нахождения производных, не сложно составить таблицу первообразных: 1.Первообразная нуля равна константе. 2.Первообразная единицы равна икс. 3.Первообразная для икс равна икс в квадрате, делённое на два. 4. Первообразная для функции икс в степени эн, эн принадлежит множеству натуральных чисел, равна икс в степени эн плюс один, делённое на эн плюс один. 5.Первообразная для функции один, делённое на икс в квадрате, равна минус один, делённое на икс. 6.Первообразная для функции один, делённое на корень из икс равна два корень из икс, причём икс больше нуля. 7. Первообразная для функции синус икс равна минус косинус икс. 8. Первообразная для функции косинус икс равна синус икс. 9. Первообразная для функции один, делённое на синус в квадрате икс, равна минус котангенс икс. 10. Первообразная для функции один, делённое на косинус в квадрате икс, равна тангенс икс.
|
|
|
Рассмотрим примеры на нахождение первообразной различных функций. Задание 1 Доказать, что функция является первообразной для функции , если первообразная функции равна икс в шестой степени, сама функция равна шесть икс в пятой степени. Решение: 1. По определению первообразной, функцию игрек, равное эф большое от икс, называют первообразной для функции игрек, равное эф малое от икс, на заданном промежутке икс большое, если для любого икс, принадлежащего данному промежутку, выполнено равенство 2. Найдём производную эф большое по формуле нахождения производной степенной функции , она равна шесть икс в пятой степени. Мы получили равенство двух выражений, значит, по определению первообразной, функция эф большое, равная икс в шестой степени, является первообразной для функции эф малая, равной шесть икс в пятой степени. |
Пример 1.
|
|
Задание 2 Для функции (игрек, равное эф от икс малое) найти первообразную, если (эф от икс равно минус один, делённое на икс в кубе). Решение: 1.По определению степени с целым отрицательным показателем представим выражение минус один, делённое на икс в кубе, в виде: минус икс в минус третьей степени.
2. По формуле нахождения первообразной степенной функции, найдём первообразную для функции эф от икс, равное минус икс в минус третьей степени. Получим, минус икс в степени минус три плюс один, делённое на минус три плюс один. Упрощая выражение, имеем минус икс в степени минус два, делённое на минус два, сократив минусы, получаем: икс в степени минус два, делённое на два. По определению степени с целым отрицательным показателем представим выражение в виде: один, делённое на два икс в квадрате. Таким образом, первообразной для функции эф от икс малое, равной минус один, делённое на икс в кубе, является функция эф большое, равная один, делённое на два икс в квадрате.
|
Пример 2.
|
Остались вопросы по теме? Наши педагоги готовы помочь!
Подготовим к ЕГЭ, ОГЭ и другим экзаменам
Найдём слабые места по предмету и разберём ошибки
Повысим успеваемость по школьным предметам
Поможем подготовиться к поступлению в любой ВУЗ
Выбрать педагогаОставить заявку на подбор
| 1 | Найти производную — d/dx | ||
| 2 | Оценить интеграл | интеграл натурального логарифма x относительно x | |
| 3 | Найти производную — d/dx | 92)||
| 21 | Оценить интеграл | интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x | |
| 22 | Найти производную — d/dx | грех(2x) | |
| 23 | Найти производную — d/dx | 9(3x) по отношению к x||
| 41 | Оценить интеграл | интеграл от cos(2x) относительно x | |
| 42 | Найти производную — d/dx | 1/(корень квадратный из х) | |
| 43 | Оценка интеграла 9бесконечность | ||
| 45 | Найти производную — d/dx | х/2 | |
| 46 | Найти производную — d/dx | -cos(x) | |
| 47 | Найти производную — d/dx | грех(3x) | 92+1|
| 68 | Оценить интеграл | интеграл от sin(x) по x | |
| Найти производную — d/dx | угловой синус(х) | ||
| 70 | Оценить предел | ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х | |
| 85 | Найти производную — d/dx | лог х | |
| 86 | Найти производную — d/dx | арктан(х) | |
| 87 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное 5х92 |
Математическая сцена — Производные, урок 5
Математическая сцена — Производные, урок 5 — Цепное правило2009 Расмус Эф и Джанн Сак |
Урок 5
Цепное правило
Пример 1
Дифференцировать f(x) =
(х 3 +1) 2 .
Единственный способ, который у нас есть делать это до сих пор, сначала умножая скобки, а затем дифференциация. Если мы сделаем это, мы получим
f(x) = x 6 + 2x 3 +1 и, следовательно, f(x) = 6x 5 +6x 2 .
Это не проблема с
простой пример, такой как приведенный выше, но что произойдет, если у нас, например,
f(x) = (x 3 +1) 6 ?
В этом случае требуется слишком много усилий, чтобы умножить скобки перед
дифференциация.
Чтобы различать составные функции, подобные этой, мы используем так называемое цепное правило.
Делаем пример 1
еще раз, чтобы увидеть, как это работает.
f(x) является примером
составная функция, представленная в функциях 2.
Его можно записать как f(u) = u 2 , где u = x 3 +1, ты
функция от x, то есть u(x) = x 3 +1.
Цепное правило гласит, что мы
сначала продифференцируем f(u) относительно u как переменной и получим f(u) = 2u (точно так же, как (x 2 ) = 2x)
Далее дифференцируем u и получаем
u(x) = 3x 2 .
Наконец, мы умножаем два результата
вместе и получите
е (х) =
2u3x 2 . Возвращая значение u, получаем f(x)
=2 ( х 3 +1)3х 2 = 6x 5 +6x 2
Это дает нам правило называемое Цепным правилом, которое гласит, что
(f(u(x)) = f(u(x))u(x) |
Мы только указали правило здесь, но его легко доказать для всех непрерывных дифференцируемых функции.
Пример 2
Дифференцировать композит функция f(x) = sin 2 х.
Обозначение грех 2 х другой способ записи (sin x) 2 так что квадрат — это внешняя функция, а sin x — внутренняя функция. Начать с мы разделим это на две части, но с практикой этого не будет необходимый.
ф(х) =
(sin x) 2 можно записать как f(u) =
и 2 где и = грех х.
f(u) = 2u и u= cos x , так что умножение вместе получаем
f(x) = 2ucos x = 2 sin x cos x
Цепное правило гласит, что для дифференцируем составную функцию, мы дифференцируем внешнюю функцию и умножить на производную внутренней функции.
Пример 2 +
Дифференцируем f(x) = sin x 2 . Это можно записать как f(u) = sin u, где ты = х 2
Таким образом, в этом случае синус является внешней функцией и квадрат является внутренним функция
f(x) = cos x 2 2x
Пример 3
Мы можем использовать правила cos x = sin (/ 2 x) и sin x = cos(/ 2 x), чтобы найти производную от cos x.
cos x = f(x) = sin (/ 2 x)
Производная синуса, внешняя функция является cos и производной от (/ 2 x), внутренняя функция равна 1, поэтому мы получаем
.ф(х) = cos(/ 2 х)(1)
= грех х (1)
= грех х
Пример 4
Найдите производную f(x) = sin 2 x 2 .
Это можно записать как f(x) = (sin x 2 ) 2 Итак, у нас есть тройная составная функция. Самая внешняя функция является квадратичной, затем синус и, наконец, еще один квадратичный.
Мы можем написать f = u 2 , где u = sinv и v = х 2 . Различение каждой функции и умножение дает нам 2 u cos v 2x, и сложив обратно значения u и v, получим результат:
f(x) = 2 sin x 2 cos x 2 2x | Первый мы дифференцируем квадрат, оставляя sin x 2 без изменений. Затем мы дифференцируем функцию синуса, чтобы получить cos и оставить х 2 без изменений, наконец, мы дифференцируем х 2 и получи 2х. |
Пример 5
а) f(x) = e 2x | Дифференцирование экспоненциальной функции оставляет ее неизменной. |
производная от 2x равна 2.
Дифференцирование экспоненциальной функции оставляет ее неизменной, т. производная от x 2 + 1 равна 2x. |
в) f(x) = e sin
x | Дифференцирование экспоненциальной функции оставляет ее неизменной, т. производная от sin x равна cos x. |
Теперь мы хотим найти правило для дифференциации f(x) = lnx.
Мы используем метод под названием неявное дифференцирование , что означает дифференциацию обеих сторон уравнение.
Если f(x) = ln x, то e f(x) = х.
Если мы продифференцируем обе части уравнения, мы получим следующее;
e f(x) = х
e f(x) ф(х) = 1 Использование цепного правила.
Решая f(x), мы получаем
.f(x) = 1/e f(x)
= 1/x Помните, что x = e f(x) .
Теперь мы можем найти производную от другого логарифмические функции.
Найдите производную f(x) = log x.
Сначала мы должны напомнить себе о правила логарифмирования и соотношение между логарифмами с разным основанием. Этот нужное нам правило:
Таким образом, мы можем переписать любой логарифм как натуральный логарифм, ln x.
Логарифм ln 10 является константой, которая не влияет на производная, остальное просто.
Аналогичные расчеты работают для любой функции журнала, поэтому мы можем обобщить следующие три правила:
Пример 6
Дифференцируем f(x) = ln(x 2 + 1).