Производная сложной функции как решать: Производные сложных функций, основные формулы и примеры решений

Содержание

Производная сложной функции - примеры решений

Основные формулы

Здесь мы приводим примеры вычисления производных от следующих функций:
;   ;   ;   ;   .

Если функцию можно представить как сложную функцию в следующем виде:
,
то ее производная определяется по формуле:
.
В приводимых ниже примерах, мы будем записывать эту формулу в следующем виде:
.
где .
Здесь нижние индексы или , расположенные под знаком производной, обозначают переменные, по которой выполняется дифференцирование.

Обычно, в таблицах производных, приводятся производные функций от переменной x. Однако x – это формальный параметр. Переменную x можно заменить любой другой переменной. Поэтому, при дифференцировании функции от переменной , мы просто меняем, в таблице производных, переменную x на переменную u.

Простые примеры

Пример 1

Найти производную сложной функции
.

Решение

Запишем заданную функцию в эквивалентном виде:
.
В таблице производных находим:
;
.

По формуле производной сложной функции имеем:
.
Здесь .

Ответ

.

Пример 2

Найти производную

.

Решение

Выносим постоянную 5 за знак производной и из таблицы производных находим:
.

Применяем формулу производной сложной функции:
.
Здесь .

Ответ

.

Пример 3

Найдите производную
.

Решение

Выносим постоянную –1 за знак производной и из таблицы производных находим:
;
Из таблицы производных находим:
.

Применяем формулу производной сложной функции:
.
Здесь .

Ответ

.

Более сложные примеры

В более сложных примерах мы применяем правило дифференцирования сложной функции несколько раз. При этом мы вычисляем производную с конца. То есть разбиваем функцию на составные части и находим производные самых простых частей, используя таблицу производных. Также мы применяем правила дифференцирования суммы, произведения и дроби. Затем делаем подстановки и применяем формулу производной сложной функции.

Пример 4

Найдите производную
.

Решение

Выделим самую простую часть формулы и найдем ее производную. .

Применяем правило дифференцирования сложной функции.

.
Здесь мы использовали обозначение

.

Находим производную следующей части исходной функции, применяя полученные результаты. Применяем правило дифференцирования суммы:
.

Еще раз применяем правило дифференцирования сложной функции.

.
Здесь .

Ответ

.

Пример 5

Найдите производную функции
.

Решение

Выделим самую простую часть формулы и из таблицы производных найдем ее производную. .

Применяем правило дифференцирования сложной функции.
.
Здесь
.

Дифференцируем следующую часть, применяя полученные результаты.
.
Здесь
.

Дифференцируем следующую часть.

.
Здесь
.

Теперь находим производную искомой функции.

.
Здесь
.

Ответ

.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:

как найти, вычислить и понять с нуля

 

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная - одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

 

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

Правила нахождения производных

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

 

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того - это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило - если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Решение:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Пример:

Решение:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике - Элементы математического анализа

      Пример 1. Найти производную функции

y = cos 2x

      Решение. Воcпользовавшись формулой для производной сложной функции   y = cos (kx + b)   в случае, когда   = 2,   = 0,   получим

(cos 2x)' = – 2sin 2x .

      Замечание. Очень часто школьники, а также и студенты, при решении примера 1 пишут:

(cos 2x)' = – sin 2x .

      Это ошибка !!!

      Перепишем верный ответ еще раз:

(cos 2x)' = – 2sin 2x .

      Приведем также верные ответы в похожих примерах:

      Пример 2. Найти производную функции

y = sin3x

      Решение. Воcпользовавшись формулой для производной сложной функции   y = f (x)) c   в случае, когда   (x) = sin x ,   а   = 3,   получим

Ответ:

      Пример 3. Найти производную функции

y = (3x – 7)5 .

      Решение. Воcпользовавшись формулой для производной сложной функции   y = (kx + b)c   в случае, когда   = 3,   = – 7,   а   = 5,   получим

y' = 15(3x – 7)4 .

Ответ:

      Пример 4 . Найти производную функции

      Решение. Поскольку

,

то исходную функцию можно переписать в виде

      Воcпользовавшись формулой для производной сложной функции   y = f (x)) c   в случае, когда

,

а   = 8,   получим

Ответ:

      Пример 5 . Найти производную функции

      Решение. Воcпользовавшись правилом 5 для вычисления производной частного двух функций и формулой для производной сложной функции   y = arccos (kx + b)   в случае, когда   = 3,   = 0,   получим

Ответ:

.

      Пример 6. Найти производную функции

      Решение. Воcпользовавшись правилом 4 для вычисления производной произведения двух функций, формулой для производной сложной функции   y = arctg (kx + b)   в случае, когда   = 5,   = 0, и формулой для производной сложной функции   y = akx + b   в случае, когда   = 3,   = 2,   = 0,   получим

Ответ:

      Пример 7 . Найти производную функции

      Решение. Поскольку

то, воcпользовавшись формулой для производной сложной функции   y = e

 f (x)   в случае, когда   , и формулой для производной сложной функции   y = (kx + b)c   в случае, когда   с = – 1,   = 7,   = – 1,  получим

Ответ:

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Производная сложной функции.

Инструкционная карта № 19

Тақырыбы/ Тема: «Производная сложной функции».

Мақсаты/ Цель:

1.Обеспечить усвоение учащимися умения применять формулы дифференцирования сложной функции и вычисления этой производной при решении упражнений и заданий.

2. При решении упражнений, развивать у учащихся умения выделять главное, существенное в изучаемом материале, обучить умению рационально находить правильное решение изучаемого вопроса.

3. Создать условие для развития коммутативно-творческих умений: не шаблонно подходить решению разнообразных задач.

Теоретический материал:

На практике с производной сложной функции приходится сталкиваться очень часто, почти всегда, когда Вам даны задания на нахождение производных.

Смотрим на правило дифференцирования сложной функции: 

Разбираемся. Прежде всего, обратим внимание на запись . Здесь у нас две функции –  и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.

Функцию   будем называть внешней функцией, а функцию  – внутренней (или вложенной) функцией.

! Данные определения не являются теоретическими и не должны фигурировать в чистовом оформлении заданий. Эти неформальные выражения «внешняя функция», «внутренняя» функция только для того, чтобы Вам легче было понять материал.

Для того, чтобы прояснить ситуацию, рассмотрим:

Пример 1. Найти производную функции: 

Под синусом у нас находится не просто буква «икс», а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также мы замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя: 

В данном примере уже из моих объяснений интуитивно понятно, что функция  – это сложная функция, причем многочлен  является внутренней функцией (вложением), а  – внешней функцией.

Первый шаг, который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней.

В случае простых примеров вроде  понятно, что под синус вложен многочлен . А как же быть, если всё не очевидно? Как точно определить, какая функция является внешней, а какая внутренней? Для этого будем использовать следующий прием, который можно проводить мысленно или на черновике.

Представим, что нам нужно вычислить на калькуляторе значение выражения  при  (вместо единицы может быть любое число).

Что мы вычислим в первую очередь? В первую очередь нужно будет выполнить следующее действие: , поэтому многочлен  и будет внутренней функцией :
 
Во вторую очередь нужно будет найти , поэтому синус – будет внешней функцией:

После того, как  мы РАЗОБРАЛИСЬ с внутренней и внешней функциями самое время применить правило дифференцирования сложной функции .

Начинаем решать. Из предыдущего урока  мы помним, что оформление решения любой производной всегда начинается так – заключаем выражение в скобки и ставим справа вверху штрих:

Сначала находим производную внешней функции  (синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что . Все табличные формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением, в данном случае:

Обратите внимание, что внутренняя функция  не изменилась, её мы не трогаем.

Ну и совершенно очевидно, что 

Результат применения формулы  в чистовом оформлении выглядит так:

Далее мы берем производную внутренней функции, она очень простая:

Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:
Готово.

Если осталось какое-либо недопонимание, перепишите решение на бумагу и еще раз прочитайте объяснения.

Пример 2. Найти производную функции:  у'=(cos2x)'=-sin2x(2x)’=-2sin2x.

Пример 3. Найти производную функции:  Как всегда записываем:

Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем (мысленно или на черновике) вычислить значение выражения  при . Что нужно выполнить в первую очередь? В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание: , значит, многочлен  – и есть внутренняя функция:


И, только потом выполняется возведение в степень , следовательно, степенная функция – это внешняя функция:

Согласно формуле , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу: . Повторяем еще раз: любая табличная формула справедлива не только для «икс», но и для сложного выражения. Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции   следующий:

Снова подчеркиваю, что когда мы берем производную от внешней функции , внутренняя функция  у нас не меняется:

Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции и немного «причесать» результат:

Готово.

Пример 4. Найти производную функции:  у'= -(х2-1)'= - = - .

Для закрепления понимания производной сложной функции приведу пример без комментариев, попробуйте самостоятельно разобраться, порассуждать, где внешняя и где внутренняя функция, почему задания решены именно так?

Пример 5 а) Найти производную функции: 

б) Найти производную функции: 

Пример 6. Найти производную функции: 

Здесь у нас корень, а для того, чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:

Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции :

Степень снова представляем в виде радикала (корня), а для производной внутренней функции применяем простое правило дифференцирования суммы:

Готово.

Можно еще в скобках привести выражение к общему знаменателю и записать всё одной дробью. Красиво, конечно, но когда получаются громоздкие длинные производные – лучше этого не делать (легко запутаться, допустить ненужную ошибку, да и преподавателю будет неудобно проверять).

Пример 7. Найти производную функции:

y’=(1+ = - .

Интересно отметить, что иногда вместо правила дифференцирования сложной функции можно использовать правило дифференцирования частного , но такое решение будет выглядеть как извращение необычно. Вот характерный пример:

Пример 8. Найти производную функции:

Здесь можно использовать правило дифференцирования частного , но гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной функции:

Подготавливаем функцию для дифференцирования – выносим минус за знак производной, а косинус поднимаем в числитель:

Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя функция. 
Используем наше правило :

Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем обратно вниз:

Готово.

Пример 9. Найти производную функции: 

y’= - (arcos x)’ = - =.

До сих пор мы рассматривали случаи, когда у нас в сложной функции было только одно вложение. В практических же заданиях часто можно встретить производные, где, как матрешки, одна в другую,  вложены сразу 3, а то и 4-5 функций.

Пример 10. Найти производную функции: 

Разбираемся во вложениях этой функции. Пробуем вычислить выражение  с помощью подопытного значения . Как бы мы считали на калькуляторе?

Сначала нужно найти , значит, арксинус – самое глубокое вложение:

Затем этот арксинус единицы следует возвести в квадрат :

И, наконец, семерку возводим в степень :

То есть, в данном примере у нас три разные функции и два вложения, при этом, самой внутренней функцией является арксинус, а самой внешней функцией – показательная функция.

Начинаем решать

Согласно правилу  сначала нужно взять производную от внешней функции. Смотрим в таблицу производных и находим производную показательной функции:  Единственное отличие – вместо «икс» у нас сложное выражение  , что не отменяет справедливость данной формулы. Итак, результат применения правила дифференцирования сложной функции   следующий:

Под штрихом у нас снова сложная функция! Но она уже проще. Легко убедиться, что внутренняя функция – арксинус, внешняя функция – степень. Согласно правилу дифференцирования сложной функции сначала нужно взять производную от степени:

Теперь все просто, находим по таблице производную арксинуса и немного «причесываем» выражение:

Готово.

Пример 11. Найти производную функции: 

y’=2ln(2x-1)(ln(2x-1)’=2ln(2x-1)(2x-1)’ =2ln(2x-1)2=

На практике правило дифференцирования сложной функции почти всегда применяется в комбинации с остальными правилами дифференцирования.

Пример 12. Найти производную функции: 

Сначала используем правило дифференцирования суммы , заодно в первом слагаемом выносим постоянный множитель за знак производной по правилу :

В обоих слагаемых под штрихами у нас находится произведение функций, следовательно, нужно дважды применить правило :

Замечаем, что под некоторыми штрихами у нас находятся сложные функции , . Каламбур, но это простейшие из сложных функций, и при определенном опыте решения производных Вы будете легко находить их устно.
А пока запишем подробно, согласно правилу , получаем:

Готово.

! Обратите внимание на приоритет (порядок) применения правил: правило дифференцирования сложной функции применяется в последнюю очередь.

Пример 13 Найти производную функции: 

y’=( =

= + ctgx.

Практическая часть:

1 вариант

Найти производную сложной функции:

2 вариант

Найти производную сложной функции:

3 вариант

Найти производную сложной функции:

4 вариант

Найти производную сложной функции:

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

y=(x2-5x+8)6.

y= .

у = lg(5x2+1) .

y= .

3(e) .

y=ln .

y=tg(2x2+1) .

y=ln .

y=ln2(x2-1).

y=cos.

y=sin3mx .

y=arccos .

y=e, найти: y’().

y=sin, найти: y’().

y=3, найти: у’(1) .

у = (7-6х)12, найти: у'(1).

Контрольные вопросы:

  1. Дайте определение сложной функции.

  2. Как находится производная сложной функции? Пояснить ответ на примере.

Открытый урок по теме Производная сложной функции | Методическая разработка по математике по теме:

ОТКРЫТОЕ ЗАНЯТИЕ  ПО ДИСЦИПЛИНЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНОСТИ ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ И АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ

ТЕМА:   ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

ПЛАН ЗАНЯТИЯ

1     ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ

1.1   Вступление

1.2   Готовность группы к работе

1.3   Постановка цели занятия

2     ПОВТОРЕНИЕ ПРОЙДЕННОГО МАТЕРИАЛА

2.1   Фронтальный опрос

2.2   Индивидуальная работа по карточкам

2.3   Игра «Домино»

2.4   Устная работа

3    ОБЪЯСНЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА        

3.1   Производная  сложной функции

4     ПРИМЕНЕНИЕ ЗНАНИЙ ПРИ РЕШЕНИИ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

5 САМОСТОЯТЕЛЬНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ЗНАНИЙ, УМЕНИЙ И НАВЫКОВ

           5.1   Проверочная работа с выборочной системой ответов

6 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

6.1   Подведение итогов

6.2   Домашнее задание

ТЕМА:   ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Тип занятия: комбинированный

Цели изучения темы:

образовательная:

  1. формирование понятия сложной функции;
  2. формирование умения находить по правилу производную сложной функции;
  3. отработка алгоритма применения правила нахождения производной сложной функции при решении примеров.

развивающая:

  1. развивать умение обобщать, систематизировать на основе сравнения, делать вывод;
  2. развивать наглядно-действенное творческое воображение;
  3. развивать познавательный интерес.

воспитательная:

  1. воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов при нахождении производных сложных функций;
  2. формирование умения рационально, аккуратно оформить задание на доске и в тетради.
  3. воспитание дружеского отношения между студентами при проведении урока.

Обеспечение занятия:

  1. таблица производных;
  2. таблица Правила дифференцирования;
  3. карточки для игры домино;
  4. карточки – задания для индивидуальной работы;
  5. карточки – задания для проверочной работы.

Студент должен знать:

  1. определение производной;
  2. правила и формулы дифференцирования;
  3. понятие сложной функции;
  4. правило нахождения производной сложной функции.

Студент должен уметь:

  1. вычислять производные сложных функций, используя таблицу производных и правила дифференцирования;
  2. применять полученные знания к решению задач.

ХОД ЗАНЯТИЯ

I    ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ

  1. Вступление
  2. Готовность группы к работе
  3. Постановка цели занятия

II   ПРОВЕРКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ

а)   Вопросы для фронтального опроса:

  1. Что называется производной функции в точке?
  2. .Что такое дифференцирование?
  3. Какая функция называется дифференцируемой в точке?
  4. Что значит вычислить производную по алгоритму?
  5. Какие правила дифференцирования вы знаете?
  6. Как взаимосвязаны непрерывность функции в точке и ее дифференцируемость в этой точке?

б)  Индивидуальный работа  по карточкам

в)  Игра «Домино»

х/

0

()/

С/

()/

()/

f /(x)

()/

()/

()/

()/

()/

 

()/

()/

 

()/

()/

()/

()/

()/

()/

1

В комплекте «Домино» 20 карточек. Пары  перемешивают свои карточки, делят пополам  и начинают раскладывать домино с карточки, в которой заполнена только правая или левая часть. Далее вы должны найти на другой карточке выражение  тождественно равное выражению на первой карточке и т. д. В результате получается цепочка.

Домино считается разложенным только тогда, когда все карточки использованы  и   крайние половинки последней и первой карточки пустые.

Если не все карточки разложены, значит, вы где - то допустили ошибку, и её нужно найти.

Студенты, работающие в паре должны оценить друг друга и выставить оценки в лист контроля. Критерии оценки написаны на конвертах.

 Критерии оценки:

  1. “5” –  без ошибок;
  2. “4” –  1-2 ошибки;
  3. “3” –  3-4 ошибки.

Решение: .

Пример 4  Постановка проблемной ситуации:  найти производную функции

 у =ln( cos x).

Мы имеем здесь логарифмическую функцию, аргументом которой служит не независимая переменная х, а функция  cos x этого переменного. 

Как называются такого рода функции?

[Такого рода функции называются сложными

 функциями или функциями от функций.]

Умеем ли мы находить производные сложных функций?

[Нет.]

Значит, с чем мы должны сейчас познакомиться?

[С нахождением производной сложных функций.]

Как будет звучать тема нашего сегодняшнего занятия?

[Производная сложной функции]

Студенты сами формулируют тему и цели урока, преподаватель записывает тему на доске, а студенты – в тетради.

III     ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА

Правила и формулы дифференцирования, рассмотренные нами на прошлом занятии, является основными при вычислении производных.

Однако если для несложных выражений пользование основными правилами не представляет особого труда, то для сложных выражений, применение общего правила может оказаться делом весьма кропотливым.

Цель нашего сегодняшнего занятия рассмотреть понятие сложной функции и овладеть техникой дифференцирования сложной функции, т.е. техникой применения основных формул при дифференцировании сложных функций.

Производная  сложной функции

Из примера видно, что сложная функция это функция от функции. Следовательно, можно дать следующее определение сложной функции:

Определение: Функция вида

y = f ( g (x) )        

называется сложной функцией,  составленной  из функ ций f u g, или суперпозицией функций f и g. 

Пример: Функция  у =ln(cos x) есть сложная функция, составленная из функций

у = ln u    и    u = cos x .

Поэтому сложную функцию часто пишут в виде

y = f(u),         где        u = g(x).

                                Внешняя функция         Промежуточная

                                                                           функция

При этом аргумент х называют независимой перемен ной, а  u - промежуточным аргументом.

Вернемся к примеру. Производную каждой из этих функций мы можем вычислить, используя таблицу производных.

Как же вычислить производную сложной функции?

Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема: Если функция u = g(x) дифференци руема в некоторой точке х0, а функция y=f(u) дифференцируема в точке u0 = g(x0), то сложная функция у=f(g(x))  дифференцируема в данной точке x0.

При этом

или

  ,

т.е. производная от у по переменной х равна производной от у по переменной и, умноженной на производную от и по переменной х.

Правило:

  1. Чтобы найти производную сложной функции, надо ее правильно прочитать;
  2. Чтобы правильно прочитать функцию, надо определить в ней порядок действий;
  3. Функцию читаем в обратном порядку действий направлении;
  4. Производную  находим по ходу чтения функции.

А теперь разберем это на примере:

Пример1:  Функция  у =ln( cos x) получается последовательным выполнением двух операций: взятия косинуса угла х и нахождения от этого числа натурального логарифма:

.

Функция читается так:  логарифмическая  функция  от  тригонометрической функции.

Продифференцируем функцию:  у = ln( cos x)=ln u,  u=cos x.

.

На практике такое дифференцирование производится гораздо короче и проще, во всяком случае, без введения записи  и.

Искусство дифференцирования сложной функции заключается в умении видеть в момент дифференцирования только одну функцию (именно - дифференцируемую в данный момент), не замечая пока другие, откладывая их видение до момента дифференцирования.

Будем использовать при дифференцировании  дополненную таблицу производных.

.

Пример2: Найти производную функции у = (x3 - 5х + 7)9.

Решение:   Обозначив в «уме»  u = х3 – 5x +7,    получим у = u9. Найдем:

и                            

По формуле имеем

4 ПРИМЕНЕНИЕ ЗНАНИЙ ПРИ РЕШЕНИИ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

1)   ;

2)    ;

3)  ;

4)   ;

5)   ;

5 САМОСТОЯТЕЛЬНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ЗНАНИЙ, УМЕНИЙ И НАВЫКОВ

5.1  Проверочная работа в форме теста

Спецификация теста:

  1. Тест гомогенный;
  2. Тест закрытой формы;
  3. Количество заданий – 3;
  4. Время выполнения задания – 5мин.;
  5. За правильный ответ испытуемый получает 1 балл,

      за неправильный – 0 баллов.

Инструкция: выберите  правильный вариант ответа.

Критерии оценки:

“5” – 3 балла

“4” – 2 балла

“3”  - 1 балл

Студенты решают на листочках и проверяют ответы с помощью ключа, представленного на доске. Ставят оценку в лист контроля (самоконтроль).

Вариант 1

Выберите правильный вариант ответа

  1. Производная функции  равна:

а) ;                        б) ;                        в) .

        

  1. Производная функции  равна:

а)   ;                        б)  ;                           в)   .

  1. Вычислить производную для функции :

а)   ;                         б)   ;                в)   .

Вариант 2

Выберите правильный вариант ответа

  1. Производная функции  равна:

а)   ;                        б)    ;                        в)   .

                

  1. Производная функции  равна:

а)    ;                        б)    ;                        в)    .

  1. Вычислить производную для функции :

а)   ;                        б) ;                        в)    .

Вариант 3

Выберите правильный вариант ответа

  1. Производная функции  равна:

а)    ;                        б)    ;                 в)     .                

 

  1. Производная функции  равна:

а)   ;                        б)    ;                в)     .

  1. Вычислить производную для функции :

а)    ;                        б)    ;                в)     .

Вариант 4

Выберите правильный вариант ответа

  1. Производная функции  равна:

а)    ;                        б)    ;                в)      .        

        

  1. Производная функции  равна:

а)     ;                б)       ;                в)     .

  1. Вычислить производную для функции :

а)    ;                б)     ;                        в)    .

Ключи ответов

№ задания

1 вариант

2 вариант

3вариант

4 вариант

ответ

ответ

ответ

ответ

1

в

б

в

а

2

б

б

б

в

3

а

в

в

в

6 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

6.1 Подведение итогов

  1. рефлексия;
  2. выставление оценок;
  3. сдача листов контроля.

Производная имеет очень большое применение в геометрии, физике, механике, экономике, в приближенных вычислениях, при исследовании функций. Вы будете использовать производную в ходе изучения дисциплины Основы алгоритмизации и программирования при составлении программ для работы с графикой.

Н.И. Лобачевский “… нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…”

6.2 Домашнее задание


Лист контроля

Фамилия, имя студента

Работа на уроке

игра “Математическое домино”

Тест

Итоговая оценка

 

 

 

 

Лист контроля

Фамилия, имя студента

Работа на уроке

игра “Математическое домино”

Тест

Итоговая оценка

 

 

 

 

Лист контроля

Фамилия, имя студента

Работа на уроке

игра “Математическое домино”

Тест

Итоговая оценка

 

 

 

 

Лист контроля

Фамилия, имя студента

Работа на уроке

игра “Математическое домино”

Тест

Итоговая оценка

 

 

 

 

Лист контроля

Фамилия, имя студента

Работа на уроке

игра “Математическое домино”

Тест

Итоговая оценка

 

 

 

 

Полная таблица производных элементарных функций

Что такое производная и зачем она нужна

Прежде чем переходить к таблице для вычисления производных, дадим определение производной. В учебнике оно звучит так:

Производная функции — это предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Если же говорить простыми словами, то производная функции описывает, как и с какой скоростью эта функция меняется в данной конкретной точке. Процесс нахождения производной называется дифференцированием.

Объясним на примере: допустим, Маша решила по утрам делать зарядку и стоять в планке. В первую неделю она держалась каждый день по 10 секунд, но начиная со второй недели смогла стоять в планке с каждым днем на 3 секунды дольше. Успехи Маши можно описать следующими графиками:

Очевидно, что в первую неделю результаты Маши не менялись (т. е. были константой), скорость прироста оставалась нулевой. Если мы заглянем в таблицу производных простых функций, то увидим, что производная константы равна нулю.

у = 10

у′ = 0

Во вторую неделю время выполнения планки с 10 сек начало увеличиваться на 3 сек ежедневно.

у = 10 + 3х

Снова смотрим в таблицу дифференцирования производных, где указано, что производная от х равна 1.

у = 10 + 3х

у′ = 0 + 3

у′ = 3

Вот так с помощью таблицы производных и элементарной математики мы докажем, что успехи Маши росли со скоростью 3 сек в день.

Это был очень простой пример, который в общих чертах объясняет азы дифференциального исчисления и помогает понять, для чего нужны формулы из таблицы производных функций. Но разобраться в решении задач, где скорость меняется нелинейно, конечно, не так просто.

Производные основных элементарных функций

Таблица производных для 10 и 11 класса может включать только элементарные часто встречающиеся функции. Приведем несколько формул, которых достаточно для решения большинства задач.

Функция f (x)

Производная f' (х)

С (т. е. константа, любое число)

0

х

1

х2

xn

n x xn-1

√x

1/(2√x)

1/x

-1/x2

sin x

cos x

cos x

-sin x

tg x

1/cos2(X)

ctg x

-1/sin2x

ex

ex

ax

ax * ln a

ln x

1/x

logax

1/(x * ln a)

arcsin x

1/(√1-x2)

arccos x

-1/(√1-x2)

arctg x

1/(1+x2)

arcctg x

-1/(1+x2)

Элементарные функции можно складывать, умножать друг на друга, находить их разность или частное — словом, выполнять любые математические операции. Но для этого существуют определенные правила.

Общие правила дифференцирования

Для решения задач на дифференцирование нужно запомнить (или записать в шпаргалку) пять несложных формул:

(U + V)′ = U′ + V′

(U - V)′ = U′ - V′

(U × V)′ = U′V + V′U

(U/V)' = (U'V - V'U)/V2

(C × F)′ = C × F′

В данном случае U, V, F — это функции, а C — константа (любое число).

Как видите, сложение и вычитание производных выполняется по правилам, которые знакомы нам еще из младших классов. С константой тоже все просто — ее можно смело выносить за знак производной. Специально запоминать придется лишь формулы, где требуется разделить одну функцию на другую или перемножить их и найти производную от результата.

Например: требуется найти производную функции y = (5 × x3).

y′ = (5 × x3)′

Вспомним, что константу, а в данном случае это 5, можно вынести за знак производной:

y′ = (5 × x3)’ = 5 × (x3)′ = 5 × 3 × х2 = 15х2

Правила дифференцирования сложных функций

Конечно, далеко не все функции выглядят так, как в вышеуказанной таблице. Как быть с дифференцированием, например, вот таких функций: y = (3 + 2x2)4? Чтобы решить эту задачку, требуется:


  1. упростить выражение, используя замену переменной;

  2. применить правило дифференцирования сложных функций.

Сложной функцией называют такое выражение, в котором одна функция словно вложена в другую. Производную сложной функции f(y) можно найти по следующей формуле: (f(y))′ = f′(y)×y′. Другими словами, нужно умножить производную, условно говоря, внешней функции на производную внутренней.

Пример 1

Допустим, нам нужно найти производную от y = (3 + 2x2)4.

Заменим 3 + 2x2 на u и тогда получим y = u4.

Согласно приведенному выше правилу дифференцирования сложных функций у нас получится:

y = y′u × u′x = 4u3 × u'x

А теперь выполним обратную замену и подставим исходное выражение:

4u3 × u′x = 4 (3 + 2x2)3 × (3 + 2x2)′ = 16 (3 + 2x2)3 × х

Пример 2

Найдем производную для функции y = (x3 + 4) cos x.

Для дифференцирования этой функции воспользуемся формулой (UV)′ = U′V + V′U.

y′ = (x3 + 4)′ × cos x + (x3 + 4) × cos x′ = 3x2 × cos x + (x3 + 4) × (-sin x) = 3x2 × cos x – (x3 + 4) × sin x

Полная таблица производных

Зная правила дифференцирования сложных функций и руководствуясь указанными выше формулами, можно успешно решать задачи из школьной программы. Но существует также полная таблица производных сложных функций для студентов и инженеров. Мы не будем приводить все формулы из нее, но дадим небольшую шпаргалку, которая сделает сложные функции не такими уж сложными.

Это таблица производных некоторых функций, которые могут встретиться в экзаменационных задачах.

Функция f (x)

Производная f' (х)

(kx + b)c

kc (kx + b)c-1

( f (x))c

с x (f(х))c-1 x f'(х)

ekx+b

kekx+b

ef(x)

ef(x) x f'(х)

akx+b

akx+b x ln a x k

sin (kx + b)

k cos (kx + b)

sin ( f (x))

cos ( f (x)) x f'(х)

cos (kx + b)

-k sin (kx + b)

cos ( f (x))

-sin( f (x)) x f'(х)

arctg (kx + b)

1/(1+(kx+b)2)

arctg ( f (x))

f'(x)/(1+(f(x))2)

arcctg (kx + b)

-1/(1+(kx+b)2)

arcctg ( f (x))

-f'(x)/(1+(f(x))2)

Производная | ЕГЭ по математике (профильной)

Производной функции $y = f(x)$ в данной точке $х_0$ называют предел отношения приращения функции к соответствующему приращению его аргумента при условии, что последнее стремится к нулю:

$f'(x_0)={lim}↙{△x→0}{△f(x_0)}/{△x}$

Дифференцированием называют операцию нахождения производной.2-3t + 7$, где $x(t)$ — координата в момент времени $t$. В какой момент времени скорость точки будет равна $12$?

Решение:

1. Скорость – это производная от $x(t)$, поэтому найдем производную заданной функции

$v(t) = x'(t) = 1,5·2t -3 = 3t -3$

2. Чтобы найти, в какой момент времени $t$ скорость была равна $12$, составим и решим уравнение:

$3t-3 = 12$

$3t = 15$

$t = 5$

Ответ: $5$

Геометрический смысл производной

Напомним, что уравнение прямой, не параллельной осям координат, можно записать в виде $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент прямой. Коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси $Ох$.

$k = tgα$

Производная функции $f(x)$ в точке $х_0$ равна угловому коэффициенту $k$ касательной к графику в данной точке:

$f'(x_0) = k$

Следовательно, можем составить общее равенство:

$f'(x_0) = k = tgα$


На рисунке касательная к функции $f(x)$ возрастает, следовательно, коэффициент $k > 0$. Так как $k > 0$, то $f'(x_0) = tgα > 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением $Ох$ острый.


На рисунке касательная к функции $f(x)$ убывает, следовательно, коэффициент $k < 0$, следовательно, $f'(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.


На рисунке касательная к функции $f(x)$ параллельна оси $Ох$, следовательно, коэффициент $k = 0$, следовательно, $f'(x_0) = tg α = 0$. Точка $x_0$, в которой $f '(x_0) = 0$, называется экстремумом.

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.


Решение:

Касательная к графику возрастает, следовательно, $f'(x_0) = tg α > 0$

Для того, чтобы найти $f'(x_0)$, найдем тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси $Ох$. Для этого достроим касательную до треугольника $АВС$.


Найдем тангенс угла $ВАС$. (Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.)

$tg BAC = {BC}/{AC} = {3}/{12}= {1}/{4}=0,25$

$f'(x_0) = tg ВАС = 0,25$

Ответ: $0,25$

Производная так же применяется для нахождения промежутков возрастания и убывания функции:

Если $f'(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.

Если $f'(x) < 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

На рисунке изображен график функции $y = f(x)$. Найдите среди точек $х_1,х_2,х_3…х_7$ те точки, в которых производная функции отрицательна.

В ответ запишите количество данных точек.


Решение:

Отрицательным значениям производной соответствуют интервалы, на которых функция $f (x)$ убывает. Поэтому, выделим на рисунке интервалы, на которых функция убывает.


В выделенных интервалах находятся точки $х_2, х_4$. В ответ напишем их количество $2$.

Ответ: $2$

{\, ​​# 1}} \ newcommand {\ u} {\ Big (\! \ sin x \ cos \ l \ e {3z} \ r + \ cos x \ sin \ l \ e {3z} \ r \! \ Big) \ cosh y} \ newcommand {\ v} {\ Big (\! \ cos x \ cosh \ l \ e {3z} \ r- \ sin x \ sinh \ l \ e {3z} \ r \! \ Big) \ sinh y} $ ПОДСКАЗКА : Представьте свою комплексную функцию $ f $ как действительную и мнимую составляющие.


Напомним, что комплексные производные по $ z = x + \ i y $ и $ \ z = x - \ i y $ определяются как: $$ \ frac {\ partial} {\ partial z} = \ frac {1} {2} \ left ( \ frac {\ partial} {\ partial x} - \ i \ frac {\ partial} {\ partial y} \верно), \ quad \ frac {\ partial} {\ partial \ z} = \ frac {1} {2} \ left ( \ frac {\ partial} {\ partial x} + \ i \ frac {\ partial} {\ partial y} \верно).

$

Действительно,
$$ \ begin {case} г = х + \ я у, \\ \ г = х - \ я у \ end {case} \ подразумевает \ begin {case} х = \ гидроразрыва {1} {2} \ l z + \ z \ r, \\ у = \ гидроразрыва {1} {2i} \ l z - \ z \ r \ end {case} \ подразумевает \ begin {case} \ frac {\ partial {x}} {\ partial {z}} = \ frac {1} {2}, & \ frac {\ partial {x}} {\ partial {\ z}} = \ frac {1} {2}, \\ \ frac {\ partial {y}} {\ partial {z}} = \ frac {1} {2i}, & \ frac {\ partial {y}} {\ partial {\ z}} = - \ frac {1} {2i}. \\ \ end {case} $$ Следовательно $$ \ frac {\ partial {f}} {\ partial {\ z}} = \ frac {\ partial {f}} {\ partial {x}} \ frac {\ partial {x}} {\ partial {\ z}} + \ frac {\ partial {f}} {\ partial {y}} \ frac {\ partial {y}} {\ partial {\ z}} = \ frac {1} {2} \ bigg ( \ frac {\ partial {f}} {\ partial {x}} + \ i \ frac {\ partial {f}} {\ partial {y}} \ bigg)

$

Любую сложную функцию $ \ f: \ Bbb Z \ to \ Bbb Z $ можно записать как $$ е \ влево (г \ вправо) = е \ влево (х, у \ вправо) = и \ влево (х, у \ вправо) + \ я v \ влево (х, у \ вправо), $$ где $ u = \ Re \ left (f \ right) $ и $ v = \ Im \ left (f \ right) $ - действительные функции, которые являются действительной и мнимой составляющими $ f $ соответственно.{3z} \ right) \, $ действительная и мнимая компоненты $ u $ и $ v $ могут быть вычислены следующим образом: $$ \ begin {выровнено} \ sin z & = \ sin \ l \ xy \ r = \ sin \ l x \ r \ cos \ l \ y \ r + \ cos \ l x \ r \ sin \ l \ y \ r = \\ & = \ sin x \ cosh y + \ i \ cos x \ sinh y, \\ \ e {z} & = \ e {\ xy} = \ e x \ big (\ cos y + \ i \ sin y \ big), \\ z + \ e {3z} & = \ xy + \ e {3x} \ big (\ cos y + \ i \ sin y \ big) = х \ е {3х} \ соз у + \ я \ л у + \ е {3х} \ грех у \ г. \ end {выровнен} $$ Обозначая $ \ \ R: = x \ e {3x} \ cos y $ и $ \ I: = y + \ e {3x} \ sin y, \, $ мы пишем $$ \ begin {выровнено} f \ l z \ r & = f \ big (\ R + \ i \ I \ big) = \ sin \ big (\ R + \ i \ I \ big) = \ underbrace {\ sin \ R \ cosh \ I} _ {: = u} + \ i \ underbrace {\ cos \ R \ sinh \ I} _ {: = v} \ end {выровнен} $$ Следовательно $$ f \ l z \ r = f \ l \ xy \ r = u \ l x, y \ r + \ i v \ l x, y \ r, \ \ \ text {где} \ \ \ \ begin {case} u \ l x, y \ r = \ sin \ l x \ e {3x} \ cos y \ r \ cosh \ l y + \ e {3x} \ sin y \ r \\ v \ l x, y \ r = \ cos \ l x \ e {3x} \ cos y \ r \ sinh \ l y + \ e {3x} \ sin y \ r \ end {case} $$ Напоследок пишем $$ \ bbox [5pt, граница: 2pt, сплошной # FF0000] {\ е \ л х, у \ г = \ sin \ l x \ e {3x} \! \ cos y \ r \ ch \ l y + \! \ e {3x} \! \ sin y \ r + \ i \ cos \ l x \ e {3x} \! \ cos y \ r \ sinh \ l y + \! \ e {3x} \! \ sin y \ r \ }

$

Надеюсь, вы сможете выбрать его отсюда и вычислить производную $$ \ frac {\ partial {f}} {\ partial {\ z}} = \ frac {1} {2} \ bigg ( \ frac {\ partial {f}} {\ partial {x}} + \ i \ frac {\ partial {f}} {\ partial {y}} \ bigg)

$

10.1 Производные комплексных функций

10.1 Производные комплексных функций
Далее: 10.2 Дифференцируемые функции на Up: 10. Производная Предыдущая: 10. Производная & nbsp Индекс

Вы знакомы с производными функций от к , и с Обоснование определения производной как наклона касательной к кривой. Для сложных функций геометрическая мотивация отсутствует, но определение формально то же, что и определение производных действительных функций.

По определению предела можно сказать, что дифференцируемо в если , и является предельной точкой и существует функция такой которая непрерывна при, и такой, что

(10.2)

и в этом случае равно.

Иногда полезно перефразировать условие (10.2) следующим образом: является дифференцируемый в, если , является предельной точкой , и есть функция такая, что непрерывна в точке, и

(10.3)

В таком случае, . 10,4 Замечание. Непосредственно из (10.3) следует, что если дифференцируема в точке, тогда непрерывна при.

Доказательство. Поскольку в точке дифференцируемы, существуют функции , такой, что, непрерывны при, а




Следует, что

и непрерывна при.

Мы можем позволить и мы видим дифференцируемо при а также

Доказательство: доказательство предоставляется вам.

Доказательство: согласно нашим предположениям, существуют функции


такая, что непрерывна в точке, непрерывна в точке а также

Если , тогда , поэтому мы можем заменить в (10.15) с помощью, чтобы получить

Используя (10.14) для переписывания, получаем

Следовательно, мы имеем

и непрерывна при. Следовательно, дифференцируемо в и

Доказательство: если , мы видели выше, что это дифференцируемый и . Позвольте быть комплексной функцией, и позволять .Предположим, дифференцируем в, и. потом . По цепному правилу дифференцируем в, и




Далее: 10.2 Дифференцируемые функции на Up: 10. Производная Предыдущая: 10. Производная & nbsp Индекс

Дифференцирующие комплексные экспоненты

Теперь напишем e zt = u ( t ) + iv ( t ), где u и v являются реальные функции.
Тогда имеем:

u '+ iv ' = ze zt = ( a + ib ) ( u + iv ) = au - bv i + av + bu ).


Получаем пару реальных уравнений:

u '' - au '= au ' - bv '- a ( au - bv )


= au '- b ( av + bu ) - a ( au - bv ) = au '- ( a 2 + b 2 ) ( u ),


u '' - 2 au '+ ( a 2 + b 2 ) u = 0.


Аналогично у нас есть:

v '' - 2 av '+ ( a 2 + b 2 ) v = av ' + bu '- 2 av ' + ( a 2 + b 2 ) v


= b ( au - bv ) - a ( av + bu ) + ( a 2 + b 2 ) v = 0.


Таким образом, как действительная, так и мнимая части e zt являются решениями вещественное дифференциальное уравнение второй степени:

y '' - 2 ay '+ ( a 2 + b 2 ) y = 0.


В формате z это:

Мы можем напрямую проверить, что y = Ae zt подчиняется этому уравнению, для A любая комплексная константа.
Если y = Ae zt , тогда y '= Aze zt и y '' = Az 2 e zt , получаем:



Этому же уравнению подчиняется комплексное сопряжение Ae zt и затем складывая решение и его комплексное сопряжение, получаем действительное решение уравнения:

И наоборот, мы можем показать, что это общее решение при условии z не реально.
Предположим, что y удовлетворяет: .
Положить y '- zy = w .
Тогда:

Так а также , для некоторых постоянный В .
Так .
Положить y = e zt x , для некоторой функции x .
Тогда .
Так .
Теперь два случая: Наконец, чтобы y были реальными, нам нужно .
Мы показали, что общее действительное решение уравнения y '- 2 ay ' + ( a 2 + b 2 ) y = 0 является , где z = a + ib .

Производная со сложным шагом - Graduate Descent

Оцените производные, просто передав комплексное число вашей функции!

$$ f '(x) \ приблизительно \ frac {1} {\ varepsilon} \ text {Im} \ Big [f (x + i \ cdot \ varepsilon) \ Big]

$


Напомним, приближение центрированной разности - довольно точный метод для аппроксимирующие производные функции одной переменной \ (f \), что требует только двух оценки функций. Аналогичный вывод, основанный на разложении в ряд Тейлора со сложным возмущением, дает нам аналогичную точность приближения с вычисление одной (комплексной) функции вместо двух (действительных) функций оценки.2} {3!} F '' '(x) + \ cdots

$


Как обычно, с помощью маленького \ (\ varepsilon \) выбросим старшие термины. И мы приходим к следующему приближению:

$$ f '(x) \ приблизительно \ frac {1} {\ varepsilon} \ text {Im} \ Big [f (x + i \ cdot \ varepsilon) \ Big]

$


Если вместо этого мы возьмем действительную часть и решим для \ (f (x) \), мы получим приближение к значению функции в \ (x \):

$$ f (x) \ приблизительно \ text {Re} \ Big [f (x + i \ cdot \ varepsilon) \ Big]

$


Другими словами, вычисление одной (сложной) функции вычисляет как значение функции и производная.

Код :

  def complex_step (f, eps = 1e-10):
    "" "
    Функция высшего порядка принимает одномерную функцию, которая вычисляет значение и
    возвращает функцию, которая возвращает приближение пары значение-производная.
    "" "
    def f1 (x):
        y = f (complex (x, eps)) # преобразовать ввод в комплексное число
        return (y.real, y.imag / eps) # возвращаем значение функции и градиент
    вернуть f1
  

Простой тест:

  f = лямбда x: exp (x) + cos (x) +10 # функция
g = лямбда x: exp (x) -sin (x) # градиент
х = 1.0
печать (f (x), g (x))
печать complex_step (f) (x)
  

Прочие комментарии

  • Использование комплексно-пошагового метода для оценки градиентов многомерной функции требуют независимых приближений для каждого измерения Вход.

  • Хотя комплексно-ступенчатое приближение требует только одной функции оценка, вряд ли это быстрее, чем выполнение двух оценок функций потому что операции над комплексными числами обычно намного медленнее, чем над числами с плавающей запятой или удваивается.

Код : Проверьте суть для этого сообщения.

2.6: Уравнения Коши-Римана - Математика LibreTexts

Уравнения Коши-Римана являются нашим первым следствием того факта, что предел, определяющий \ (f (z) \), должен быть одинаковым независимо от того, в каком направлении вы приближаетесь к \ (z \ ) из. Уравнения Коши-Римана станут одним из самых важных инструментов в нашем наборе инструментов.

2.7.1 Частные производные как лимиты

Прежде чем перейти к уравнениям Коши-Римана, напомним о частных производных.Если \ (u (x, y) \) является функцией двух переменных, то частные производные от \ (u \) определяются как

\ [\ dfrac {\ partial u} {\ partial x} (x, y) = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ dfrac {u (x + \ Delta, y) - u (x, y) } {\ Delta x}, \]

, т. Е. Производная от \ (u \) с постоянной \ (y \).

\ [\ dfrac {\ partial u} {\ partial y} (x, y) = \ lim _ {\ Delta y \ to 0} \ dfrac {u (x, y + \ Delta y) - u (x, y )} {\ Delta y}, \]

, т. Е. Производная от \ (u \), сохраняющая постоянную \ (x \).

2.7.2 Уравнения Коши-Римана

Уравнения Коши-Римана используют частные производные от \ (u \) и \ (v \), чтобы позволить нам делать две вещи: во-первых, чтобы проверить, имеет ли \ (f \) комплексную производную, и во-вторых, чтобы вычислить, что производная. Начнем с формулировки уравнений в виде теоремы.

Теорема \ (\ PageIndex {1} \): уравнения Коши-Римана

Если \ (f (z) = u (x, y) + iv (x, y) \) аналитический (комплексно дифференцируемый), то

\ [f '(z) = \ dfrac {\ partial u} {\ partial x} + i \ dfrac {\ partial v} {\ partial x} = \ dfrac {\ partial v} {\ partial y} - i \ dfrac {\ partial u} {\ partial y} \]

В частности,

\ [\ dfrac {\ partial u} {\ partial x} = \ dfrac {\ partial v} {\ partial y} \ text {и} \ dfrac {\ partial u} {\ partial y} = - \ dfrac { \ partial v} {\ partial x}.\]

Эту последнюю систему дифференциальных уравнений в частных производных обычно понимают под уравнениями Коши-Римана.

Вот краткая форма уравнений Коши-Римана:

\ [u_x = v_y \]

\ [u_y = -v_x \]

Доказательство

Предположим, что \ (f (z) \) дифференцируема в некоторой области \ (A \) и

\ [f (z) = f (x + iy) = u (x, y) + iv (x, y). \]

Мы вычислим \ (f '(z) \), приближаясь к \ (z \) сначала в горизонтальном направлении, а затем в вертикальном направлении.Мы будем использовать формулу

\ [f '(z) = \ lim _ {\ Delta \ to 0} \ dfrac {f (z + \ Delta z) - f (z)} {\ Delta z}, \]

где \ (\ Delta z = \ Delta x + i \ Delta y \).

Горизонтальное направление: \ (\ Delta y = 0, \ Delta z = \ Delta x \)

\ [\ begin {array} {rcl} {f '(z)} & = & {\ lim _ {\ Delta z \ to 0} \ dfrac {f (z + \ Delta z) - f (z)} { \ Delta z}} \\ {} & = & {\ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ dfrac {f (x + \ Delta x + iy) - f (x + iy)} {\ Delta x}} \\ {} & = & {\ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ dfrac {(u (x + \ Delta, y) + iv (x + \ Delta x, y)) - (u (x, y ) + iv (x, y))} {\ Delta x}} \\ {} & = & {\ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ dfrac {u (x + \ Delta x, y) - u ( x, y)} {\ Delta x} + i \ dfrac {v (x + \ Delta x, y) - v (x, y)} {\ Delta x}} \\ {} & = & {\ dfrac { \ partial u} {\ partial x} (x, y) + i \ dfrac {\ partial v} {\ partial x} (x, y)} \ end {array} \]

Вертикальное направление: \ (\ Delta x = 0 \), \ (\ Delta z = i \ Delta y \) (Мы сделаем это немного быстрее.)

\ [\ begin {array} {rcl} {f '(z)} & = & {\ lim _ {\ Delta z \ to 0} \ dfrac {f (z + \ Delta z) - f (z)} { \ Delta z}} \\ {} & = & {\ lim _ {\ Delta y \ to 0} \ dfrac {(u (x, y + \ Delta y) + iv (x, y + \ Delta y)) - (u (x, y) + iv (x, y))} {i \ Delta y}} \\ {} & = & {\ lim _ {\ Delta y \ to 0} \ dfrac {u (x, y + \ Дельта y) - u (x, y)} {i \ Delta y} + i \ dfrac {v (x, y + \ Delta y) - v (x, y)} {i \ Delta y}} \\ { } & = & {\ dfrac {1} {i} \ dfrac {\ partial u} {\ partial y} (x, y) + \ dfrac {\ partial v} {\ partial y} (x, y)} \ \ {} & = & {\ dfrac {\ partial v} {\ partial y} (x, y) - i \ dfrac {\ partial u} {\ partial y} (x, y)} \ end {array} \ ]

Мы нашли два различных представления \ (f '(z) \) в терминах частичных \ (u \) и \ (v \).Если сложить их вместе, мы получим уравнения Коши-Римана:

\ [f '(z) = \ dfrac {\ partial u} {\ partial x} + i \ dfrac {\ partial v} {\ partial x} = \ dfrac {\ partial v} {\ partial y} - i \ dfrac {\ partial u} {\ partial y} \ \ \ Rightarrow \ \ \ dfrac {\ partial u} {\ partial x} = \ dfrac {\ partial v} {\ partial y}, \ text {и} - \ dfrac {\ partial u} {\ partial y} = \ dfrac {\ partial v} {\ partial x}. \]

Оказывается, обратное верно и будет нам очень полезно.

Теорема \ (\ PageIndex {2} \)

Рассмотрим функцию \ (f (z) = u (x, y) + iv (x, y) \), определенную в области \ (A \).Если \ (u \) и \ (v \) удовлетворяют уравнениям Коши-Римана и имеют непрерывные частичные, то \ (f (z) \) дифференцируема на \ (A \).

Доказательство

Доказательство этого - сложное упражнение в анализе. Это несколько выходит за рамки этого класса, поэтому мы его пропустим. Если вам интересно, приложив немного усилий, вы сможете понять это.

2.7.3 Использование уравнений Коши-Римана

Уравнения Коши-Римана предоставляют нам прямой способ проверки дифференцируемости функции и вычисления ее производной.z. \ nonumber \]

Пример \ (\ PageIndex {2} \)

Используйте уравнения Коши-Римана, чтобы показать, что \ (f (z) = \ overline {z} \) не дифференцируемо.

Решение

\ (f (x + iy) = x - iy \), поэтому \ (u (x, y) = x, v (x, y) = -y \). Получение частных производных

\ (u_x = 1 \), \ (u_y = 0 \), \ (v_x = 0 \), \ (v_y = -1 \)

Поскольку \ (u_x \ ne v_y \), уравнения Коши-Римана не выполняются и, следовательно, \ (f \) недифференцируемо.

Теорема \ (\ PageIndex {3} \)

Если \ (f (z) \) дифференцируемо на диске и \ (f '(z) = 0 \) на диске, то \ (f (z) \) постоянно.

Доказательство

Поскольку \ (f \) дифференцируема и \ (f '(z) \ Equiv 0 \), уравнения Коши-Римана показывают, что

\ [u_x (x, y) = u_y (x, y) = v_x (x, y) = v_y (x, y) = 0 \ nonumber \]

Мы знаем из многомерного исчисления, что функция от \ ((x, y) \) с обеими частями, равными тождественному нулю, является константой.Таким образом, \ (u \) и \ (v \) постоянны, а значит, и \ (f \).

2.7.4 \ (f '(z) \) как матрица \ (2 \ times 2 \)

Напомним, что мы могли бы представить комплексное число \ (a + ib \) как матрицу \ (2 \ times 2 \)

\ [a + ib \ \ leftrightarrow \ \ begin {bmatrix} a & -b \\ b & a \ end {bmatrix}. \]

Теперь, если мы запишем \ (f (z \) через \ ((x, y) \), мы получим

\ [f (z) = f (x + iy) = u (x, y) + iv (x, y) \ \ leftrightarrow \ f (x, y) = (u (x, y), v (x , у)).\]

У нас

\ [f '(z) = u_x + iv_x, \]

, поэтому мы можем представить \ (f '(z) \) как

\ [\ begin {bmatrix} u_x & -v_x \\ v_x & u_x \ end {bmatrix}. \]

Используя уравнения Коши-Римана, мы можем заменить \ (- v_x \) на \ (u_y \) и \ (u_x \) на \ (v_y \), что дает нам представление

\ [f '(z) \ \ leftrightarrow \ \ begin {bmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \ end {bmatrix}, \]

т.е. \ (f '(z) \) - это просто якобиан \ (f (x, y) \).

Мне легче запомнить якобиан, чем уравнения Коши-Римана. Поскольку \ (f '(z) \) - комплексное число, я могу использовать матричное представление в уравнении 1, чтобы запомнить уравнения Коши-Римана!

Взятие производных на Python. Узнайте, как работать с исчисляемой частью… | Дарио Радечич

Это будет что-то, что рассматривается в вашем классе Calc 1 или онлайн-курсе, включая только функции, которые имеют дело с отдельными переменными, например, f (x) .Цель состоит в том, чтобы пройти через некоторые основные правила дифференциации, пройти их вручную, а затем на Python. Давайте начнем.

Правило мощности

Правило мощности гласит следующее:

Что не требует пояснений, если вы слушали какой-нибудь класс calc раньше. Если нет, давайте рассмотрим простой пример. Ваша функция f (x) равна x до пятой. Теперь используйте правило мощности для вычисления производной. Это довольно просто:

Теперь давайте посмотрим, как вычислить это в Python.Во-первых, необходимо импортировать библиотеку, а затем объявить переменную, которую вы будете использовать в качестве буквы в своих функциях. Вот как это сделать для функции с одной переменной:

После того, как эти ячейки выполнены, становится тривиальным взять производную ( та же функция, что и выше ):

Обратите внимание на это красивое форматирование печати - выглядит как уравнение написано в LaTeX!

Правило продукта

Правило произведения гласит, что если f (x) и g (x) являются двумя дифференцируемыми функциями, то производная вычисляется как первая функция, умноженная на производную второй плюс второй раз производная от первого.Это могло показаться немного запутанным, если выразить это словами, поэтому вот обозначение:

Давайте посчитаем один пример вручную. У нас есть следующее:

Как видите, квадрат x плюс 1 будет f (x) , а косинус x будет g (x) . А вот как это сделать на Python:

Также просто. Обязательно посмотрите, где вы ставите эти скобки. Также обратите внимание, что вы не можете использовать косинус из библиотек math или numpy , вам нужно использовать один из sympy .

Правило цепочки

Если вы решите глубже погрузиться в алгоритмы машинного обучения, вы увидите, что правило цепочки появляется повсюду - градиентный спуск , обратное распространение , вы называете это. Он имеет дело с вложенными функциями, например, f (g (x)) , и заявляет, что производная вычисляется как производная внешней функции, умноженная на внутреннюю, а затем все умноженные на производную внутренней функции. . Вот обозначение:

А вот простой пример, рассчитанный вручную:

Реализация Python снова настолько проста, насколько это возможно:

Правильная обработка сложных дифференциалов в задачах оптимизации и аппроксимации

Функции комплексных переменных часто возникают при постановке задач обработки сигналов.Основные правила исчисления дифференцирования и интегрирования функций комплексных переменных напоминают, но не идентичны правилам их аналогов с реальными переменными. Напротив, стандартные правила исчисления по дифференцированию, интегрированию, разложению в ряд и т. Д. Являются частными случаями комплексного анализа с ограничением комплексной переменной действительной линией. Цель этой лекции - рассмотреть основы функций комплексных переменных, выделить различия и сходства с их аналогами с реальными переменными и изучить операцию сложного дифференцирования с учетом приложений оптимизации и аппроксимации.В частности, основной результат этой лекции - понять дифференцирование по сопряженной переменной (/ 2 2z f r r) (z z,), известное как исчисление Виртингера, и его применение в задачах оптимизации и аппроксимации.

Актуальность. Комплексный анализ - это насыщенная и интересная тема, тесно связанная с основами нашей профессии. Чтобы проиллюстрировать его фундаментальный характер, важно помнить, что независимая переменная передаточной функции, e.g., H s () или H z (), является комплексной переменной. Следовательно, передаточная функция, концепция, лежащая в основе многих операций обработки сигналов, представляет собой не что иное, как отображение через функцию комплексной переменной. На заре обработки сигналов, в конце 1970-х - начале 1980-х, учебную программу по электротехнике нельзя было считать «хорошей» без обязательного курса комплексного анализа, в котором дифференцируемые функции, ряды Тейлора / Лорана, контурное интегрирование и вычисление остатков, были подробно представлены студентам бакалавриата.С течением времени внимание студентов бакалавриата было направлено в другое место, а темы сложных расчетов были исключены из большинства учебных программ бакалавриата.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *