Математический анализ. (Виленкин)
Математический анализ. (Виленкин)
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯВВЕДЕНИЕ 2. Числовые множества. 3. Пустое множество. 4. Подмножество. 5. Пересечение множеств. 6. Сложение множеств. 7. Разбиение множеств.  8. Вычитание множеств. 9. Отображение множеств. 10. Краткие исторические сведения. Глава I. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО § 1. Тождественные преобразования многочленов 2. Целые рациональные выражения и функции. 3. Степень с натуральным показателем и ее свойства. 4. Многочлены. 5. Умножение многочленов. 6. Числовые кольца и поля. 7. Кольцо многочленов над данным числовым полем. 8. Бином Ньютона. § 2. Деление многочленов. Корни многочленов 2. Теорема Безу. Схема Горнера. 3. Корни многочлена. 4. Интерполяционные формулы. 5. Кратные корни. 6. Многочлены второй степени. 7. Многочлены с целыми коэффициентами. 8. Краткие исторические сведения. Глава II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА § 1. Общая теория уравнений 2. Область допустимых значений. 3. Уравнения. 4. Совокупности уравнений. 5. Преобразования уравнений. 6. Теоремы о равносильности уравнений. § 2. Уравнения с одним неизвестным 2.  Метод разложения на множители.3. Метод введения нового неизвестного. 4. Биквадратные уравнения. 5. Возвратные уравнения 3-й и 4-й степеней. § 3. Функциональные неравенства 2. Равносильные неравенства. 3. Доказательство неравенств. 4. Линейные неравенства. 5. Решение неравенств второй степени. 6. Решение алгебраических неравенств высших степеней. 7. Краткие исторические сведения. Глава III. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ СТЕПЕНИ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 1. Степени с целым показателем 2. Степень с нулевым показателем. 3. Степень с целым отрицательным показателем. § 2. Корни. Степени с рациональными показателями 2. Степени с рациональными показателями. 3. Свойства степеней с рациональными показателями. § 3. Иррациональные алгебраические выражения 2. Одночленные иррациональные выражения. 3. Сокращение показателей и приведение корней к общему показателю. 5. Вынесение алгебраических выражений из-под корня и внесение их под корень.  6. Возведение корня в степень. 7. Извлечение корня из корня. 8. Подобные корни. 9. Сложение и вычитание корней. 10. Уничтожение иррациональности в знаменателе или в числителе алгебраической дроби. 11. Преобразование выражений вида … 12. Смешанные задачи на преобразование иррациональных выражений. § 4. Иррациональные уравнения и неравенства 2. Сведение иррациональных уравнений к рациональным. 3. Уединение радикала. 4. Введение нового неизвестного. 5. Особые случаи решения иррациональных уравнений. 6. Иррациональные неравенства. 7. Краткие историчесие сведения. Глава IV. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ § 1. Системы алгебраических уравнений 2. Системы уравнений. 3. Геометрический смысл решений уравнений и систем уравнений с двумя неизвестными. 4. Совокупность уравнений. 5. Равносильные системы уравнений. 6. Метод подстановки. 7. Метод алгебраического сложения уравнений.  8. Метод введения новых неизвестных. 9. Системы однородных уравнений. 10. Геометрическая интерпретация решения систем двух уравнений с двумя неизвестными. § 2. Системы линейных уравнений 2. Теоремы о равносильности систем линейных уравнений. 3. Пример решения системы линейных уравнений методом Гаусса. 4. Метод Гаусса (приведение системы к обобщенно-треугольному виду). 5. Решение обобщенно-треугольной системы линейных уравнений. 6. Системы однородных линейных уравнений. § 3. Симметрические многочлены и их приложения к решению систем уравнений 2. Выражение степенных сумм 4. Системы симметрических алгебраических уравнений. 5. Применение симметрических многочленов к решению иррациональных уравнений. § 4. Неравенства с многими переменными 2. Среднее арифметическое и среднее геометрическое трех чисел. 3. Неравенство Коши (двумерный вариант). 4. Задачи на наибольшие и наименьшие значения.  § 5. Решение неравенств 2. Неравенства с двумя переменными. 3. Задание областей неравенствами и системами неравенств. 4. Понятие о линейном программировании. 5. Краткие исторические сведения. Глава V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА § 1. Комплексные числа в алгебраической форме 2. Комплексные числа. 3. Сложение комплексных чисел; умножение на действительные числа. 4. Умножение комплексных чисел. 5. Квадратные уравнения с действительными коэффициентами. 6. Деление комплексных чисел. 7. Сопряженные комплексные числа. 8. Извлечение квадратных корней из комплексных чисел. § 2. Тригонометрическая форма комплексных чисел 2. Полярная система координат. 3. Тригонометрическая форма комплексного числа. 4. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. 5. Возведение комплексных чисел в степень. Формула Муавра. 6. Извлечение корня из комплексного числа. 7. Функции комплексного переменного и преобразования комплексной плоскости.  § 3. Некоторые виды алгебраических уравнений 2. Двучленные уравнения. 3. Корни из единицы и построение правильных многоугольников. 4. Трехчленные уравнения. § 4. Основная теорема алгебры многочленов и ее следствия 2. Многочлены с действительными коэффициентами. 3. Разложение на множители многочленов с действительными коэффициентами. Глава VI. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ § 1. Конечные цепные дроби 2. Пример цепной дроби. 3. Определение цепной дроби. 4. Представление рациональных чисел в виде конечной цепной дроби. 5. Подходящие дроби. 6. Свойства подходящих дробей. 8. Подходящие дроби и календарь. 9. Приближение цепной дроби подходящими дробями. § 2. Бесконечные цепные дроби 2. Подходящие дроби и наилучшие приближения иррациональных чисел рациональными. 3. Цепные дроби как вычислительный инструмент. 4. Краткие исторические сведения. Глава VII. КОМБИНАТОРИКА § 1. Комбинаторные задачи § 2.  Комбинаторные задачи. Продолжение§ 3. Определения и формулы § 4. Соединения с повторениями § 5. Комбинаторные задачи. Окончание § 6. Бином Ньютона и его обобщения § 7. Краткие исторические сведения Глава VIII. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ § 2. Сложные вероятности. Теоремы сложения и умножения. Условные вероятности § 3. Примеры вычисления вероятностей § 4. Полная вероятность. Формула Байеса § 5. Повторение испытаний § 6. Примеры вычисления вероятностей. Окончание § 7. Краткие исторические сведения |
Целые рациональные выражения. Дробные рациональные выражения. Основное свойство рациональной дроби
Справочник по математике для школьников и абитуриентов / Элементарная математика
Целые рациональные выражения
Целыми рациональными выражениями называются все числовые выражения, а также выражения с переменными, которые могут содержать действия сложения, вычитания, умножения, возведения переменных в натуральную степень.
Если рассматривать выражения от одной переменной, то простейшим примером целого рационального выражения является многочлен степени n ∈ N:
Другие примеры целых рациональных выражений:
Выражения
не являются целыми рациональными, поскольку содержат операции возведения в целую отрицательную степень и деления на переменные.
Дробные рациональные выражения. Основное свойство рациональной дроби
Дробными рациональными выражениями (дробно-рациональными выражениями) называются выражения с переменными, которые могут содержать действия сложения, вычитания, умножения, возведения переменных в натуральную степень и деления на выражения с переменными. Если рассматривать выражения от одной переменной, то примером дробно-рационального выражения является отношение двух многочленов:
Другие примеры дробных рациональных выражений:
Рациональной дробью называется выражение
где Р и Q — рациональные выражения, причем Q обязательно содержит переменные.
Примеры рациональных дробей:
Основное свойство дроби заключается в том, что числитель и знаменатель дроби можно умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, одночлен или многочлен,
если R≠0;
если R — целое рациональное выражение.
Приведем примеры на использование основного свойства дроби.
Пример 1.
Пример 2.
Пример 3.
Основное свойство дроби может быть использовано для перемены знаков у членов дроби. Если числитель и знаменатель дроби
умножить на (-1), то получим
Отсюда значение дроби не изменится, если одновременно изменить знаки у
числителя и знаменателя. Если же изменить знак только у числителя или только у знаменателя, то и дробь изменит свой знак:
Также можно записать:
Пример 4.
Пример 5.
Сокращение рациональных дробей
Сократить дробь — это значит разделить числитель и знаменатель дроби на общий множитель.
Возможность подобного рода сокращения обусловлена основным свойством дроби.
Для того чтобы сократить рациональную дробь, нужно попытаться разложить на множители числитель и знаменатель. Если числитель и знаменатель имеют общие множители, то дробь можно сократить. Если общих множителей нет, то преобразование дроби посредством сокращения невозможно.
Пример 1. Сократить дробь
Решение.
Ответ:
Пример 2. Сократить дробь
Решение.
Ответ:
Полиномиальное деление и рациональные выражения — Рациональные выражения
…с одинаковым знаменателем
Сложение или вычитание рациональных выражений с одинаковым знаменателем подобно сложению или вычитанию дробей с одинаковым знаменателем. Мы складываем или вычитаем числители, оставляя знаменатель прежним. Такое расположение устраивает знаменателя, который любит себя таким, какой он есть.
Хорошо для него.
Примеры задач
Сложение рациональных выражений относительно просто. Складываем числители и упрощаем, собирая одинаковые члены. Однако, если к вам когда-нибудь придет друг, не спрашивайте, не хочет ли он взглянуть на ваш сборник терминов. Личный опыт говорит нам, что они, вероятно, не будут заинтересованы.
Пример задачи
Найти .
Складываем числители, оставляя знаменатель прежним.
Далее упрощаем, собирая одинаковые члены в числителе.
Вот и все. Так легко пещерный человек мог это сделать. Отлично, теперь мы услышим тех парней из рекламы Geico.
Однако при вычитании нужно быть осторожным еще с одним моментом: следите за всеми неверными знаками минус.
Пример задачи
Найти .
Вычитание числителей дает нам:
Обратите внимание, что мы вычитаем весь кусок ( x – 4), поэтому при упрощении нужно быть осторожным со знаками.
Мы не хотим взорвать это. Хм? О… удар кусками. Очень смешно.
Преимущество сложения или вычитания рациональных выражений с одним и тем же знаменателем заключается в том, что нам не нужно думать о знаменателе. Мы копируем его и беспокоимся о том, чтобы получить правильный числитель. Если бы нам не нужно было беспокоиться и о числителе, математика была бы идеальной.
…с разными знаменателями
Когда нас просят сложить или вычесть рациональные выражения с разными знаменателями, нам сначала нужно найти наименьший общий знаменатель (LCD) выражений. После превращения каждого выражения в эквивалентное выражение, где знаменателем является LCD, мы можем складывать или вычитать, как мы делали ранее. Нам нравится иметь возможность делать то, что мы делали раньше, потому что это означает, что нам нужно узнавать меньше нового. Наши мозги наполняются.
Чтобы найти LCD пары дробей, мы сначала факторизуем знаменатели. ЖК-дисплей должен содержать каждый фактор из каждого знаменателя.
Количество раз, когда коэффициент появляется на ЖК-дисплее, должно быть таким же, как 9.0039 наибольшее количество раз, когда множитель встречается в одном знаменателе. Не пытайтесь закоротить ЖК-дисплей. Он узнает и не будет этому рад. К тому же, он знает парня.
Сначала мы сделаем это с числовыми дробями.
Пример задачи
Найдите ЖК-дисплей и . Перепишите дроби в виде эквивалентных дробей, где знаменателями являются ЖК.
Чтобы найти LCD, сначала мы факторизуем знаменатели двух дробей.
Множители в знаменателях равны 5 и 6, поэтому в ЖКИ должны быть делители 5 и 6. Поскольку множитель 5 встречается дважды в одном из знаменателей, множитель 5 также должен дважды встречаться в ЖКИ. LCD двух фракций составляет:
5 × 5 × 6 = 150
Чтобы переписать дробь так, чтобы в знаменателе была ЖК, мы умножаем дробь на умную форму 1. Умная форма 1 использует множители ЖК, которые не т в знаменателе еще. Умно, правда? Как лиса.
Чтобы сделать это с рациональными выражениями вместо рациональных чисел, нам нужно факторизовать многочлены вместо чисел.
Рекомендуется сначала упростить каждое рациональное выражение, чтобы ЖК-дисплей был максимально простым. Мы не хотим, чтобы ЖК-экран был сложным, потому что тогда песня Аврил Лавин будет крутиться у нас в голове весь день. Снова .
Пример задачи
Найдите ЖК рациональных выражений.
Для каждого выражения напишите эквивалентное выражение, в котором знаменатель — ЖК-дисплей.
Во-первых, разложите выражения на множители:
Мы можем упростить первое выражение, поэтому в дальнейшем мы будем иметь дело с рациональными выражениями:
LCD должен содержать все множители в любом из знаменателей. Поскольку ни один из этих факторов не встречается более одного раза, нам не нужно придумывать какие-то вычурные трюки, и LCD — это просто все три фактора, умноженные вместе:
( x 2 + 2)( x + 3)( x + 2)
Нет смысла делать лишнюю работу, так что оставим LCD. Кто-то другой может прийти и почистить его, если захочет.
Чтобы написать рациональное выражение над общим знаменателем, мы умножаем выражение на умную форму 1. Умная форма 1 должна использовать множители, которые есть в LCD, но еще не в знаменателе дроби. Боже, сколько правил. Что это, Советская Россия?
Теперь, когда мы знаем, как находить ЖК-дисплеи, мы можем складывать и вычитать рациональные выражения с разными знаменателями. Во-первых, мы ставим рациональные выражения над одним и тем же знаменателем. Затем мы добавляем или вычитаем их в зависимости от того, что говорит нам задача. Если задача говорит нам спрыгнуть со скалы, мы делаем это, но только с очень короткой скалы. Надо быть умным в этих вещах.
Пример задачи
Добавить .
Сначала мы находим LCD двух выражений, то есть ( х + 1)( х + 2). Эквивалентные рациональные выражения:
Теперь, когда у нас есть выражения с одинаковым знаменателем, мы можем сделать сложение:
Это выражение упрощается до , что является нашим окончательным ответом.
Если ваш учитель не попросит вас умножить знаменатель, не беспокойтесь. Если учитель просит вас прыгнуть со скалы, скажите ей, что проблема опередила ее, и вы уже справились.
Упрощение рациональных выражений
Горячая математикаКак вы знаете, Рациональное число такое, которое может быть выражено как доля , то есть,
п д ,
где п и д являются целые числа (и д ≠ 0 ).
Точно так же рациональное выражение (иногда называют алгебраическая дробь ) можно представить как частное многочлены , т.е. п д где п и д полиномы (и д ≠ 0 ).
Пример 1:
3 Икс 3 + 5 Икс 2 у − 7 у 3
является рациональным выражением, поскольку оба
числитель
и
знаменатель
являются
многочлены
.
(»
3
» считается полиномом… он очень простой, только с одним членом.)
5 Икс + 3 6 Икс + Икс − Икс у
является нет рациональное выражение. Знаменатель нет многочлен.
Рациональное выражение можно упростить, если числитель и знаменатель содержат Общий делитель .
Пример 2:
Упрощать.
3 Икс + 6 9 Икс 2 − 9 Икс − 54
Во-первых, вынесите константу как из числителя, так и из знаменателя.
Написать
9
как
3
⋅
3
.
3 Икс + 6 9 Икс 2 − 9 Икс − 54 «=» 3 Икс + 6 3 ⋅ 3 ( Икс 2 − Икс − 6 )
Затем разложите квадратное число в знаменателе. (Найдите два числа с произведением − 6 и сумма − 1 .)
«=» 3 ( Икс + 2 ) 3 ⋅ 3 ( Икс + 2 ) ( Икс − 3 )
Наконец, отмените общие факторы.