Ранг расширенной матрицы: Ранг расширенной матрицы примеры. Определение ранга матрицы

Содержание

1.4. Ранг матрицы.

Напомним, рангом матрицы называется максимальное число ее линейно независимых строк или максимальное число ее линейно независимых столбцов порядок всех отличных от нуля миноров этой матрицы.

Ранг матрицы может быть найден методом элементарных преобразований матрицы или методом окаймляющих миноров.

Рассмотрим на примере первый метод. Метод элементарных преобразований заключается в следующем:

исходная матрица А с помощью элементарных преобразований приводится к ступенчатому виду;
число ненулевых строк в полученной ступенчатой матрице и есть ранг матрицы А.

Задача 9. Найти ранг матриц:

а) ;

б) .

а) С помощью элементарных преобразований приведем матрицу к ступенчатому виду: ~,

Т.к. полученная ступенчатая матрица содержит две ненулевых строки, то ранг исходной матрицы и равен 2.

б) ~~

~~[] ~ .

Таким образом, ранг матрицы равен 3, поскольку полученная ступенчатая матрица содержит три ненулевых строки.

Раздел 2. Системы линейных алгебраических уравнений.

2.1. Решение систем с квадратной матрицей, определитель которой отличен от нуля.

Задача 1. Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместность и решить тремя способами: 1) методом Крамера; 2)методом Гаусса;

3) средствами матричного исчисления. .

Для доказательства совместности системы воспользуемся теоремой Кронекера – Капелли: система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицыА системы равен рангу расширенной матрицы.

произведем элементарные преобразования над расширенной матрицей~~~~

~~.

Таким образом, , значит, система совместна.

1) Метод Крамера:

В результате, по формулам Крамера имеем:

,,.

Таким образом, решением системы является .

2) Метод Гаусса:

Суть метода – привести расширенную матрицу системы путем элементарных преобразований к ступенчатому или, другими словами, треугольному виду. Заметим, что эти преобразования уже были выполнены при доказательстве совместности системы линейных уравнений:

Далее, запишем «преобразованную» систему линейных уравнений, коэффициентами которой являются элементы полученной треугольной матрицы:

Решая полученную систему, учитывая последнее уравнение, из второго уравнения найдем :,

;

из третьего уравнения :,

Таким образом, решение системы .

2) Решим систему линейных уравнений средствами матричного исчисления. Для этого запишем исходную систему в виде матричного уравнения

, где

,,.

Тогда, согласно формуле, .

Убедимся в том, что матрица существует, для этого вспомним, что определитель(вычислен при решении системы уравнений методом Крамера).

Таким образом, поскольку матрица А невырожденная, то она имеет обратную. Найдемпо формуле:

,,,,,,

,,.

Таким образом, , а значит,

Системы m линейных уравнений с n неизвестными (общий случай). Исследование на совместность.

При рассмотрении общего случая решения систем линейных уравнений применяется метод Гаусса, в котором расширенная матрица приводится к ступенчатому виду, а также метод прямоугольника, в котором расширенная матрица приводится к треугольной или диагональной (этот метод уже был рассмотрен при вычислении определителей).

Задача 2. Исследовать систему на совместность:

Преобразуем расширенную матрицу системы:

~~.

Следовательно, ранг расширенной матрицы системы равен, в то время как, ранг матрицы системы(поскольку количество ненулевых строк в матрице системы равно трем, а в расширенной матрице – четырем). Значит, поскольку, то данная система несовместна, т.е. не имеет решений.

Задача 3. Решить систему уравнений:

Вычислим ранг расширенной матрицы системы, выполняя элементарные преобразования, согласно алгоритму метода Гаусса:

~~~~.

Значит, ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы, а именно, . Поскольку, гдеn=4 – количество переменных, то исходная система уравнений имеет бесконечное множество решений.

Главная матрица системы имеет вид и соответствует базисным переменным. Тогда оставшаяся переменная- свободная. Придадим ей произвольное значение С,, гдеС –любое действительное число.

Запишем систему, соответствующую полученной матрице:

Учитывая, что , получаем:

или .

Выражая из второго уравнения через, получаемВыражая из первого уравнения, получаем

Таким образом, общее решение системы имеет вид:

Вкачестве частного решения можно привести, которое получается из общего, если положитьС=0.

Задача 4. Решить систему уравнений методом прямоугольника:

Выпишем расширенную матрицу системы:

. Приведем ее к диагональному виду.

Шаг 1. В качестве разрешающего элемента выберем элемент, стоящий на главной диагонали, например, . Тогда первая строка – разрешающая, ее переписываем без изменений, а элементы разрешающего столбца (первого), за исключениемобращаем в ноль. Все остальные элементы пересчитываем по правилу прямоугольника, получаем:

Шаг 2. В качестве разрешающего элемента можно взять . Разделим элементы разрешающей строки (второй) на. Получим:

. Аналогично первому шагу, разрешающую строку (вторую) оставляем без изменений, а все элементы разрешающего столбца (второго), кроме , обращаем в ноль; все другие элементы пересчитываем по правилу прямоугольника:

Шаг 3. В качестве разрешающего элемента возьмем .

Очевидно, . Что совпадает с числом неизвестных, а значит, система совместна, и более того, имеет единственное решение.

Выпишем систему линейных уравнений, соответствующую последней матрице:

из которой сразу получаем решение исходной системы: .

Ранг — матрица — система

Cтраница 3

КРИТЕРИЙ СОВМЕСТНОСТИ системы линейных уравнений, теорема Кронекера-Капелли: для совместности системы линейных уравнений необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы. [31]

Она имеет лишь тривиальное ( нулевое) решение тогда и только тогда, когда гя, где г — ранг матрицы системы. В частности, если гп-п, то для того, чтобы система имела только тривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы система была невырожденной. [32]

Из теоремы Кронекера-Капелли следует, что однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы меньше количества неизвестных. [33]

Множество всех решений однородной системы линейных уравнений с п неизвестными является подпространством размерности п — г, где г —

ранг матрицы системы.

[34]

Для того чтобы система линейных алгебраических уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы равнялся рангу матрицы системы. [35]

Размерность линейного пространства решений однородной системы линейных уравнений равна п — г, где п — число неизвестных, г — ранг матрицы системы. [36]

Поскольку, согласно теоремам 1 и 3 из § 1, от каждой системы линейных уравнений можно перейти к эквивалентной ей ступенчатой системе, а ранги матрицы системы и ее расширенной матрицы, в силу теоремы 3, при этом меняться не будут, то достаточно установить справедливость теоремы 4 для ступенчатой системы. Для ступенчатой же системы, в силу теоремы 1, ранги матрицы системы и ее расширенной матрицы равны тогда и только тогда, когда эти матрицы имеют одинаковое число ненулевых строк, или, что то же самое, тогда и только тогда, когда первый ненулевой элемент последней ненулевой строки расширенной матрицы не располагается в столбце свободных членов.

Из анализа ступенчатой системы, проведенного в § 1, известно, что это имеет место тогда и только тогда, когда система совместна. [37]

Всякий минор матрицы системы является в то же время и минором расширенной матрицы. Следовательно, ранг матрицы системы не может быть больше ранга расширенной матрицы, а может быть только меньше или равняться этому рангу. Теорема Кронекера — Капелли утверждает, что если ранг матрицы системы меньше ранга расширенной матрицы, то система несовместна, а если равен ему, то совместна. [38]

Так как ранг матрицы системы

меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечно Много решений: одно неизвестное может быть взято произвольно. [39]

Три направляющих косинуса для каждого главного напряжения должны находиться из системы трех уравнений. Так как ранг матрицы системы (1.22) после подстановки в нее одного из главных, напряжений равен двум, одно из уравнений (1.22) является следствием двух других. [40]

Всякий минор матрицы системы является в то же время и минором расширенной матрицы. Следовательно, ранг матрицы системы не может быть больше ранга расширенной матрицы, а может быть только меньше или равен этому рангу. Теорема Кронекера — Капелли утверждает, что если ранг матрицы системы меньше ранга расширенной матрицы, то система несовместна, а если равен ему, то совместна. [41]

В этом пункте мы будем предполагать, что дана совместная система из т линейных уравнений с п неизвестными. Обозначим буквой г ранг матрицы системы. Поскольку ранг расширенной матрицы тоже равен г, мы можем выбрать базисный минор расширенной матрицы так, чтобы он был расположен в матрице системы. Данная нам система линейных уравнений, согласно предложению 2 § 4, перейдет в эквивалентную ей систему из г линейно независимых уравнений. [43]

Пусть матрица системы — квадратная. Для того чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю. [44]

Тогда, если ранг матрицы системы равен числу неизвестных ( г п), то система имеет единственное решение. Если ранг матрицы системы меньше числа неизвестных ( гп), то система имеет бесконечно много решений, а именно: некоторым п — r неизвестным можно придавать произвольные значения, тогда оставшиеся г неизвестных определятся уже единственным образом. [45]

Страницы: 1 2 3 4

Расширенная матрица

Марко Табога, доктор философии

Расширенная матрица — это результат объединения столбцов двух или более матрицы с одинаковым количеством строк.

Расширенные матрицы используются в линейной алгебре для

экономно представлять системы линейные уравнения;
быстро выполнять и отслеживать элементарная строка операций и преобразований в эквивалент системы;
одновременно выполнять элементарные операции над строками в более чем одной системе;
вывести обратные матрицы.

Содержание

Определение
Расширенная матрица системы линейных уравнений
Отслеживание операций с элементарными строками
Одновременные операции со строками в нескольких системах
Использование расширенных матриц для получения обратных матриц

Определение

Далее следует простое определение.

Определение Позволять быть матрица и а матрица. Тогда расширенная матрица является в матрица, полученная путем добавления столбцов справа от тех, .

Обратите внимание, что две матрицы должны иметь одинаковый номер. строк.

Когда мы пишем элементы расширенной матрицы, вертикальная линия используется для визуально разделить столбцы от тех, кто , как показано на следующем примере.

Пример Пусть Тогда, расширенная матрица is

Расширенная матрица системы линейных уравнений

Рассмотрим линейную систему уравнения в неизвестные представлены как где это матрица коэффициентов, это вектор неизвестных и это вектор констант.

Расширенная матрица системы

Пример Система двух уравнений в трех неизвестныйскан быть представлено в матричной форме какгде расширенная матрица системы

Отслеживание операций с элементарными строками

Как мы объяснили раньше были два способа выполнить элементарную операцию строки:

выполнить операцию непосредственно над линейной системой;
выполнить его на единичной матрице, а затем предварительно умножить систему на преобразованная матрица, которую вы получили.

В случае, если элементарных операций несколько, начнем с тождества матрицу и последовательно выполнять над ней все операции. Когда мы закончим, мы предварительно умножить исходную систему на полученную таким образом матрицу. Эта процедура эквивалентно выполнению последовательности операций непосредственно в системе.

Мы можем ясно увидеть две процедуры параллельно, выполнив последовательность желаемых операций на расширенном матрицагде является единичной матрицей.

Пример Рассмотрим систему двух уравнений в двух неизвестныеМы имеют Позволять мы выполняем две операции строки. В первой операции мы вычитаем умножить первое уравнение на второе, и мы получитьВ вторую операцию, умножаем второе уравнение на :Из расширенной матрицы, мы видим, что преобразованная система остров тождественная матрица была преобразована в матрицаМы можно легко проверить, что исходная система, предварительно умноженная на равен новому система:

Одновременные операции над строками в нескольких системах

Расширенную матрицу можно использовать для одновременного выполнения элементарной строки. операции над более чем одной системой уравнений при условии, что все системы имеют одинаковую матрицу коэффициентов .

Предположим, у вас есть две системы с одинаковой матрицей коэффициентов. но два разных вектора констант и :

Выполнение элементарной операции над строкой на расширенном матрикс так же, как отдельное выполнение операции на двух дополненных матрицы и

Чтобы понять, почему это так, обозначим через матрица, полученная путем выполнения операции над единичной матрицей. Затем, операцию можно выполнить над двумя системами, предварительно умножив их на :

Ясно, что мы можем вычислить те же самые величины, используя большее расширенное матрица:

Пример Рассмотрим систему двух уравнений в двух неизвестный вместе со вторым система: мы имеют Вычесть первый ряд из второй: Разделить второй ряд по : вычесть второй ряд от первый: Таким образом, первая система имеет стать и его решение это вторая система имеет стать и его решение

В предыдущем примере мы преобразовали в единичную матрицу и и в решения двух систем. Это общий результат: когда матрица коэффициентов была преобразована в единичную матрицу, то векторы констант были преобразованы в решения линейной системы. В самом деле, если расширенная матрица была преобразована втогда первая система остров вторая система

Использование расширенных матриц для получения обратных матриц

Учитывая полный ранг матрица , его инверсия удовлетворяет уравнениегде это единичная матрица.

Как следствие, проблема нахождения обратной равносильно поиску решений системы уравнения в неизвестные: где, в -й уравнение, вектор неизвестных это -й столбец и вектор констант это -й столбец .

Эти системы имеют одинаковую матрицу коэффициентов. Поэтому мы можем использовать технику проиллюстрировано в предыдущем разделе, то есть мы можем использовать расширенный матрица одновременно выполнять элементарные операции со строками и решать системы.

Расширенную матрицу можно просто записать помощь являются столбцы .

Если преобразовать матрицу коэффициентов в единичную матрицу элементарными операциями над строками, то столбцы превращаются в решения системы уравнений (как объяснялось в предыдущем абзаце), и расширенная матрица становится

Пример Определите матричный набор вверх по расширенному матрицаразделить второй ряд по : вычесть второй ряд от будет первый, инверсия

Как указывать

Пожалуйста, указывайте как:

Taboga, Marco (2021). «Дополненная матрица», Лекции по матричной алгебре. https://www.statlect.com/matrix-алгебра/аугментед-матрица.

[решено] Выберите неверное утверждение из следующих вариантов.

Выберите неверное утверждение из следующих вариантов.

Если A — матрица коэффициентов, K — расширенная матрица, а R — ранг матрицы

Если R (A) ≠ R (K), уравнения несовместимы и не имеют решений
Если R (A) = R (K ) = n, уравнения совместны и имеют единственное решение
Если R (A) = R (K) < n, уравнения совместны и имеют бесконечное число решений
Если R (A) = R (K) > n, уравнения совместны и имеют бесконечное число решений

Вариант 4: Если R (A) = R (K) > n, уравнения непротиворечивы и имеют бесконечное число решений

Бесплатно

CT 1: Инженерная математика

1,3 тыс. пользователей

10 вопросов

5 баллов

15 минут

Понятие:

Система линейных неоднородных уравнений в матричной форме записывается так:

A X = B

\begin{массив}{*{20}{с}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{массив}} \right]\) ; \(X = \left[ {\ begin {массив} {* {20} {c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ {{x_3}} \end{массив}} \right]\) ; \(B = \left[ {\ begin {массив} {* {20} {c}} {{b_1}}\\ {{Би 2}}\\ {{b_3}} \end{массив}} \right]\)

a ₁₁ x ₁ + a ₁₂ x ₂ + a ₁₃ x ₃ = b ₁

a ₂₁ x ₁ + a ₂₂ x ₂ + a ₂₃ x ₃ = b ₂

a ₃₁ x ₁ + a ₃₂ x ₂ + a ₃₃ x ₃ = b ₃

Множество значений x ₁ , x ₂ , x ₃ , удовлетворяющее приведенным выше уравнениям, называется решениями системы.

Непротиворечивые и непротиворечивые уравнения/системы:

Если уравнение имеет одно или более решений, то уравнение называется непротиворечивым, в противном случае, если решения не существует, уравнение называется несогласованным.

Расширенная матрица K определяется как:

\({\rm{K\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\ тт {А}} & {\ тт {В}} \end{массив}} \right] = \left[ {\begin{массив}}{*{20}{c}} {{{\rm{a}}_{11}}}&{{{\rm{a}}_{12}}}&{{{\rm{a}}_{13{\rm{\; }}}}}\\ {{{\rm{a}}_{21}}}&{{{\rm{a}}_{22}}}&{{{\rm{a}}_{23}}}\\ {{{\rm{a}}_{31}}}&{{{\rm{a}}_{32}}}&{{{\rm{a}}_{33}}} \end{массив}{\rm{\;}}\begin{массив}{*{20}{c}} {{{\rm{b}}_1}}\\ {{{\rm{b}}_2}}\\ {{{\rm{b}}_3}} \end{массив}} \right]\)

Ранг матрицы:

Ранг матрицы определяется как максимальное количество линейно независимых строк или максимальное количество линейно независимых столбцов в матрице. В матрице размера p × q максимальный ранг матрицы = min (p, q).

Условия непротиворечивости и непротиворечивости:

Случай 1 (непротиворечивые уравнения).

Если ранг A = ранг K, то непротиворечива только система уравнений. Опять же, если ранг A = ранг K = n (n — количество неизвестных переменных в системе), то система имеет единственное решение, и если ранг A = ранг K < n, то система имеет бесконечных решений .

Случай 2 (Несовместимые уравнения).

Если ранг A ≠ ранг K, то система не имеет решений.

Примечание: Ранг любой матрицы не может быть больше, чем порядок матрицы (или количество неизвестных переменных системы), поэтому вариант 4 неверен.

Скачать решение PDF

Поделиться в WhatsApp

Последние обновления лектора BPSC

Последнее обновление: 30 сентября 2022 г.