Раскрытие скобок с отрицательными и положительными числами: Как правильно раскрывать скобки?

Раскрытие скобок: правила, примеры, решения

Раскрытие скобок является одним из видов преобразования выражения. В этом разделе мы опишем правила раскрытия скобок, а также рассмотрим наиболее часто встречающиеся примеры задач.

Что называется раскрытием скобок?

Скобки используются для указания на порядок выполнения действий в числовых и буквенных выражениях, а также в выражениях с переменными. От выражения со скобками удобно перейти к тождественно равному выражению без скобок. Например, заменить выражение 2·(3+4) на выражение вида 2·3+2·4без скобок. Этот прием носит название раскрытия скобок.

Определение 1

Под раскрытием скобок подразумевают приемы избавления от скобок и рассматривают его обычно в отношении выражений, которые могут содержать:

• знаки «+» или «-» перед скобками, в которые заключены суммы или разности;
• произведение числа, буквы или нескольких букв и суммы или разности, которая помещена в скобки.

Так мы привыкли рассматривать процесс раскрытия скобок в курсе школьной программы. Однако никто не мешает нам посмотреть на это действие шире. Мы можем назвать раскрытием скобок переход от выражения, которое содержит отрицательные числа в скобках, к выражению, не имеющему скобок. К примеру, мы можем перейти от 5+(−3)−(−7) к 5−3+7. Фактически, это тоже раскрытие скобок.

Точно также мы можем заменить произведение выражений в скобках вида (a+b)·(c+d) на сумму a·c+a·d+b·c+b·d. Такой прием также не противоречит смыслу раскрытия скобок.

Вот еще один пример. Мы можем допустить, что в выражениях вместо чисел и переменных могут быть использованы любые выражения. Например, выражению x2·1a-x+sin(b)  будет соответствовать выражение без скобок вида x2·1a-x2·x+x2·sin(b) .

Отдельного внимания заслуживать еще один момент, который касается особенностей записи решений при раскрытии скобок. Мы можем записать начальное выражение со скобками и полученный после раскрытия скобок результат как равенство. Например, после раскрытия скобок вместо выражения 3−(5−7) мы получаем выражение 3−5+7. Оба этих выражения мы можем записать в виде равенства 3−(5−7)=3−5+7.

Проведение действий с громоздкими выражениями может потребовать записи промежуточных результатов. Тогда решение будет иметь вид цепочки равенств. Например, 5−(3−(2−1))=5−(3−2+1)=5−3+2−1 или 5−(3−(2−1))=5−3+(2−1)=5−3+2−1.

Правила раскрытия скобок, примеры

Приступим к рассмотрению правил раскрытия скобок.

У одиночных чисел в скобках

Отрицательные числа в скобках часто встречаются в выражениях. Например, (−4) и 3+(−4). Положительные числа в скобках тоже имеют место быть.

Сформулируем правило раскрытия скобок, в которых заключены одиночные положительные числа. Предположим, что а – это любое положительное число. Тогда (а) мы можем заменить на а, +(а) на +а, -(а) на –а. Если вместо а взять конкретное число, то согласно правилу: число (5) запишется как 5, выражение 3+(5) без скобок примет вид 3+5, так как +(5) заменяется на +5, а выражение 3+(−5) эквивалентно выражению 3−5, так как +(−5) заменяется на −5.

Положительные числа обычно записываются без использования скобок, так как скобки в этом случае излишни.

Теперь рассмотрим правило раскрытия скобок, внутри которых содержится одиночное отрицательное число. +(−a) мы заменяем на −a,  −(−a) заменяется на +a. Если выражение начинается с отрицательного числа (−a), которое записано в скобках, то скобки опускаются и вместо (−a) остается −a.

Приведем примеры:  (−5) можно записать как  −5,  (−3)+0,5 принимает вид −3+0,5,  4+(−3) превращается в 4−3, а −(−4)−(−3) после раскрытия скобок принимает вид 4+3, так как −(−4) и −(−3) заменяется на +4 и +3.

Следует понимать, что записать выражение 3·(−5) как 3·−5 нельзя. Об этом речь пойдет в следующих пунктах.

Давайте посмотрим, на чем основываются правила раскрытия скобок.

Согласно правилу разность a−b равна a+(−b). На основе свойств действий с числами мы можем составить цепочку равенств (a+(−b))+b=a+((−b)+b)=a+0=a, которая будет справедлива. Эта цепочка равенств в силу смысла вычитания доказывает, что выражение a+(−b)  — это разность a−b.

Основываясь на свойствах противоположных чисел и правил вычитания отрицательных чисел мы можем утверждать, что −(−a)=a, a−(−b)=a+b.

Встречаются выражения, которые составляются из числа, знаков минуса и нескольких пар скобок. Использование приведенных выше правил позволяет последовательно избавляться от скобок, продвигаясь от внутренних скобок к наружным или в обратном направлении. Примером такого выражения может быть −(−((−(5)))). Раскроем скобки, продвигаясь изнутри наружу: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5))=−(5)=−5. Также этот пример можно разобрать и в обратном направлении: −(−((−(5))))=((−(5)))=(−(5))=−(5)=−5.

Под a и b можно понимать не только числа, но также произвольные числовые или буквенные выражения со знаком «+» впереди, которые не являются суммами или разностями. Во всех этих случаях можно применять правила точно также, как мы делали это в отношении одиночных чисел в скобках.

К примеру, после раскрытия скобок выражение −(−2·x)−(x2)+(−1x)−(2·x·y2:z) примет вид 2·x−x2−1x−2·x·y2:z. Как мы это сделали? Мы знаем, что −(−2·x) есть +2·x, а так как это выражение стоит вначале, то +2·x можно записать как 2·x, −(x2)=−x2, +(−1x)=−1x и −(2·x·y2:z)=−2·x·y2:z.

В произведениях двух чисел

Начнем с правила раскрытия скобок в произведении двух чисел.

Предположим, что a и b – это два положительных числа. В этом случае произведение двух отрицательных чисел −a и −b вида (−a)·(−b) мы можем заменить на (a·b), а произведения двух чисел с противоположными знаками вида (−a)·b и a·(−b) заменить на (−a·b). Умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс, как и умножение плюса на минус дает минус.

Верность первой части записанного правила подтверждается правилом умножения отрицательных чисел. Для подтверждения второй части правила мы можем использовать правила умножения чисел с разными знаками.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1

Рассмотрим алгоритм раскрытия скобок в произведении двух отрицательных чисел -435 и -2, вида(-2)·-435 . Для этого заменим исходное выражение на 2·435 . Раскроем скобки и получим 2·435 .

А если мы возьмем частное отрицательных чисел (−4):(−2), то запись после раскрытия скобок будет иметь вид 4:2

На месте отрицательных чисел −a и −b могут быть любые выражения со знаком минус впереди, которые  не являются суммами или разностями. К примеру, это могут быть произведения, частные, дроби, степени, корни, логарифмы, тригонометрические функции и т.п.

Раскроем скобки в выражении  -3·xx2+1·x·(ln5). Согласно правилу, мы можем произвести следующие преобразования:   -3·xx2+1·x·(ln5)=-3·xx2+1·x·ln5=3·xx2+1·x·ln5.

Выражение (−3)·2 можно преобразовать в выражение (−3·2). После этого можно раскрыть скобки: −3·2.

 23·-45=-23·45=-23·45

 Деление чисел с разными знаками также может потребовать предварительного раскрытия скобок:  (−5):2=(−5:2)=−5:2 и  234:(-3,5)=-234:3,5=-234:3,5.

Правило может быть использовано для выполнения умножения и деления выражений с разными знаками. Приведем два  примера.

-1x+1:x-3=-1x+1:x-3=-1x+1:x-3

и 

sin(x)·(-x2)=(-sin(x)·x2)=-sin(x)·x2

В произведениях трех и большего количества чисел

Перейдем к произведенимя и частным, которые содержат большее количество чисел. Для раскрытия скобок здесь будет действовать следующее правило. При четном количестве отрицательных чисел можно опустить скобки, заменив числа противоположными. После этого необходимо заключить полученное выражение в новые скобки. При нечетном количестве отрицательных чисел, опустив скобки, заменить числа на противоположные. После этого полученное выражение необходимо взять в новые скобки и поставить перед ним знак минус.

Пример 2

Для примера, возьмем выражение 5·(−3)·(−2), которое представляет собой произведение трех чисел. Отрицательных чисел два, следовательно, мы можем записать выражение как  (5·3·2) и затем окончательно раскрыть скобки, получив выражение 5·3·2.

В произведении (−2,5)·(−3):(−2)·4:(−1,25):(−1)  пять чисел являются отрицательными. поэтому (−2,5)·(−3):(−2)·4:(−1,25):(−1)=(−2,5·3:2·4:1,25:1). Окончательно раскрыв скобки, получаем  −2,5·3:2·4:1,25:1.

Обосновать приведенное выше правило можно следующим образом. Во-первых, такие выражения мы можем переписать как произведение, заменив умножением на обратное число деление. Представляем каждое отрицательное число как произведение множительного числа и -1 или -1 заменяем на (−1)·a.

Используя переместительное свойство умножения меняем местами множители и переносим все множители, равные −1, в начало выражения. Произведение четного числа минус единиц равно 1, а нечетного – равно 

−1, что позволяет нам использовать знак минус.

Если бы мы не использовали правило, то цепочка действий по раскрытию скобок в выражении -23:(-2)·4:-67 выглядела бы следующим образом:

-23:(-2)·4:-67=-23·-12·4·-76==(-1)·23·(-1)·12·4·(-1)·76==(-1)·(-1)·(-1)·23·12·4·76=(-1)·23·12·4·76==-23·12·4·76

Приведенное выше правило может быть использовано при раскрытии скобок в выражениях, которые представляют собой произведения и частные со знаком минус, не являющихся суммами или разностями. Возьмем для примера выражение

 x2·(-x):(-1x)·x-3:2.

Его можно привести к выражению без скобок  x2·x:1x·x-3:2 .

Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «+»

Рассмотрим правило, которое можно применить для раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс, а «содержимое» этих скобок не умножается и не делится на какое-либо число или выражение.

Согласно правилу скобки вместе со стоящим перед ними знаком опускаются, при этом знаки всех слагаемых в скобках сохраняются. Если перед первым слагаемым в скобках не стоит никакого знака, то нужно поставить знак плюс.

Пример 3

Для примера приведем выражение (12−3,5)−7.  Опустив скобки, мы сохраняем знаки слагаемых в скобках и ставим перед первым слагаемым знак плюс. Запись будет иметь вид (12−3,5)−7=+12−3,5−7. В приведенном примере знак перед первым слагаемым ставить не обязательно, так как +12−3,5−7=12−3,5−7.

Пример 4

Рассмотрим еще один пример. Возьмем выражение  x+2a-3×2+1-x2-4+1x и проведем с ним действия  x+2a-3×2+1-x2-4+1x==x+2a-3×2+1-x2-4+1x

Вот еще один пример раскрытия скобок:

Пример 5

2+x2+1x-x·y·z+2·x-1+(-1+x-x2)==2+x2+1x-x·y·z+2·x-1-1+x+x2

Как раскрываются скобки, перед которыми стоит знак минус

Рассмотрим случаи, когда перед скобками стоит знак минус, и которые не не умножаются (или делятся) на какое-либо число или выражение.

Согласно правилу раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «-», скобки со знаком «-» опускаются, при этом знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.

Пример 6

К примеру:

—12=12,-1x+1=-1x+1,-(-x2)=x2

Выражения с переменными могут быть преобразованы с использованием того же правила:

—x+x3-3—2·x2+3·x3·x+1x-1-x+2,

получаем x-x3-3+2·x2-3·x3·x+1x-1-x+2.

Раскрытие скобок при умножении числа на скобку, выражения на скобку

Здесь мы рассмотрим случаи, когда нужно раскрыть скобки, которые умножаются или делятся на какое-либо число или выражение. Тут применимы формулы вида (a1±a2±…±an)·b=(a1·b±a2·b±…±an·b) или b·( a1±a2±…±an)=(b·a1±b·a2±…±b·an), где a1, a2, …, an и b – некоторые числа или выражения.

Пример 7

Например, проведем раскрытие скобок в выражении (3−7)·2. Согласно правилу, мы можем провести следующие преобразования: (3−7)·2=(3·2−7·2). Получаем 3·2−7·2.

Раскрыв скобки в выражении 3·x2·1-x+1x+2, получаем  3×2·1-3·x2·x+3·x2·1x+2.

Умножение скобки на скобку

Рассмотрим произведение двух скобок вида (a1+a2)·(b1+b2). Это поможет нам получить правило для раскрытия скобок при проведении умножения скобки на скобку.

Для того, чтобы решить приведенный пример, обозначим выражение (b1+b2) как b. Это позволит нам использовать правило умножения скобки на выражение. Получим (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2)·b=(a1·b+a2·b)=a1·b+a2·b. Выполнив обратную замену b на (b1+b2), снова применим правило умножения выражения на скобку:  a1·b+a2·b==a1·(b1+b2)+a2·(b1+b2)==(a1·b1+a1·b2)+(a2·b1+a2·b2)==a1·b1+a1·b2+a2·b1+a2·b2

Благодаря ряду несложных приемов мы можем прийти к сумме произведений каждого из слагаемых из первой скобки на каждое из слагаемых из второй скобки. Правило можно распространить на любое количество слагаемых внутри скобок.

Сформулируем правила умножения скобки на скобку: чтобы перемножить между собой две суммы, необходимо каждое из слагаемых первой суммы перемножить на каждое из слагаемых второй суммы и сложить полученные результаты.

Формула будет иметь вид:

(a1+a2+…+am)·(b1+b2+…+bn)==a1b1+a1b2+…+a1bn++a2b1+a2b2+…+a2bn++…++amb1+amb1+…ambn

Проведем раскрытие скобок в выражении (1+x)·(x2+x+6) Оно представляет собой произведение двух сумм.  Запишем решение: (1+x)·(x2+x+6)==(1·x2+1·x+1·6+x·x2+x·x+x·6)==1·x2+1·x+1·6+x·x2+x·x+x·6

Отдельно стоит остановиться на тех случаях, когда в скобках присутствует знак минус наряду со знаками плюс. Для примера возьмем выражение  (1−x)·(3·x·y−2·x·y3).

Сначала представим выражения в скобках в виде сумм: (1+(−x))·(3·x·y+(−2·x·y3)). Теперь мы можем применить правило: (1+(−x))·(3·x·y+(−2·x·y3))==(1·3·x·y+1·(−2·x·y3)+(−x)·3·x·y+(−x)·(−2·x·y3))

Раскроем скобки: 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x·2·x·y3.

Раскрытие скобок в произведениях нескольких скобок и выражений

При наличии в выражении трех и более выражений в скобках, раскрывать скобки необходимо последовательно. Начать преобразование необходимо с того, что два первых множителя берут в скобки. Внутри этих скобок мы можем проводить преобразования согласно правилам, рассмотренным выше. Например, скобки в выражении (2+4)·3·(5+7·8).

В выражении содержится сразу три множителя (2+4), 3 и (5+7·8). Будем раскрывать скобки последовательно. Заключим первые два множителя еще в одни скобки, которые для наглядности сделаем красными: (2+4)·3·(5+7·8)=((2+4)·3)·(5+7·8).

В соответствии с правилом умножения скобки на число мы можем провести следующие действия: ((2+4)·3)·(5+7·8)=(2·3+4·3)·(5+7·8).

Умножаем скобку на скобку: (2·3+4·3)·(5+7·8)=2·3·5+2·3·7·8+4·3·5+4·3·7·8.

Скобка в натуральной степени

Степени, основаниями которых являются некоторые выражения, записанные в скобках, с натуральными показателями можно рассматривать как произведение нескольких скобок. При этом по правилам из двух предыдущих пунктов их можно записать без этих скобок.

Рассмотрим процесс преобразования выражения  (a+b+c)2. Его можно записать в виде произведения двух скобок  (a+b+c)·(a+b+c).  Произведем умножение скобки на скобку и получим a·a+a·b+a·c+b·a+b·b+b·c+c·a+c·b+c·c.

Разберем еще один пример:

Пример 8

1x+23=1x+2·1x+2·1x+2==1x·1x+1x·2+2·1x+2·2·1x+2==1x·1x·1x+1x·2·1x+2·1x·1x+2·2·1x+1x·1x·2++1×2·2+2·1x·2+2·2·2

Деление скобки на число и скобки на скобку

Деление скобки на число предполагает, что необходимо разделить на число все заключенные в скобки слагаемые. Например, (x2-x):4=x2:4-x:4 .

Деление можно предварительно заменить умножением, после чего можно воспользоваться подходящим правилом раскрытия скобок в произведении. Это же правило применимо и при делении скобки на скобку.

Например, нам необходимо раскрыть скобки в выражении (x+2):23 . Для этого сначала заменим деление умножением на обратное число (x+2):23=(x+2)·23. Умножим скобку на число (x+2)·23=x·23+2·23.

Вот еще один пример деления на скобку:

Пример 9

1x+x+1:(x+2) .

Заменим деление умножением: 1x+x+1·1x+2.

Выполним умножение:  1x+x+1·1x+2=1x·1x+2+x·1x+2+1·1x+2.

Порядок раскрытия скобок

Теперь рассмотрим порядок применения правил, разобранных выше в выражениях общего вида, т.е. в выражениях, которые содержат суммы с разностями, произведения с частными, скобки в натуральной степени.

Порядок выполнения действий:

• первым делом необходимо выполнить возведение скобок в натуральную степень;
• на втором этапе производится раскрытие скобок в произведениях и частных;
• заключительным шагом будет раскрытие скобок в суммах и разностях.

Рассмотрим порядок выполнения действий на примере выражения  (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). Намнем преобразование с выражений 3·(−2):(−4) и 6·(−7), которые должны принять вид (3·2:4) и (−6·7). При подстановке полученных результатов в исходное выражение получаем: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6·7). Раскрываем скобки:−5+3·2:4+6·7.

Имея дело с выражениями, которые содержат скобки в скобках, удобно проводить преобразования, продвигаясь изнутри наружу.

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

Раскрытие скобок: правила, примеры, решения

Раскрытие скобок является одним из видов преобразования выражения. В этом разделе мы опишем правила раскрытия скобок, а также рассмотрим наиболее часто встречающиеся примеры задач.

Что называется раскрытием скобок?

Скобки используются для указания на порядок выполнения действий в числовых и буквенных выражениях, а также в выражениях с переменными. От выражения со скобками удобно перейти к тождественно равному выражению без скобок. Например, заменить выражение 2·(3+4) на выражение вида 2·3+2·4без скобок. Этот прием носит название раскрытия скобок.

Определение 1

Под раскрытием скобок подразумевают приемы избавления от скобок и рассматривают его обычно в отношении выражений, которые могут содержать:

• знаки «+» или «-» перед скобками, в которые заключены суммы или разности;
• произведение числа, буквы или нескольких букв и суммы или разности, которая помещена в скобки.

Так мы привыкли рассматривать процесс раскрытия скобок в курсе школьной программы. Однако никто не мешает нам посмотреть на это действие шире. Мы можем назвать раскрытием скобок переход от выражения, которое содержит отрицательные числа в скобках, к выражению, не имеющему скобок. К примеру, мы можем перейти от 5+(−3)−(−7) к 5−3+7. Фактически, это тоже раскрытие скобок.

Точно также мы можем заменить произведение выражений в скобках вида (a+b)·(c+d) на сумму a·c+a·d+b·c+b·d. Такой прием также не противоречит смыслу раскрытия скобок.

Вот еще один пример. Мы можем допустить, что в выражениях вместо чисел и переменных могут быть использованы любые выражения. Например, выражению x2·1a-x+sin(b)  будет соответствовать выражение без скобок вида x2·1a-x2·x+x2·sin(b) .

Отдельного внимания заслуживать еще один момент, который касается особенностей записи решений при раскрытии скобок. Мы можем записать начальное выражение со скобками и полученный после раскрытия скобок результат как равенство. Например, после раскрытия скобок вместо выражения 3−(5−7) мы получаем выражение 3−5+7. Оба этих выражения мы можем записать в виде равенства 3−(5−7)=3−5+7.

Проведение действий с громоздкими выражениями может потребовать записи промежуточных результатов. Тогда решение будет иметь вид цепочки равенств. Например, 5−(3−(2−1))=5−(3−2+1)=5−3+2−1 или 5−(3−(2−1))=5−3+(2−1)=5−3+2−1.

Правила раскрытия скобок, примеры

Приступим к рассмотрению правил раскрытия скобок.

У одиночных чисел в скобках

Отрицательные числа в скобках часто встречаются в выражениях. Например, (−4) и 3+(−4). Положительные числа в скобках тоже имеют место быть.

Сформулируем правило раскрытия скобок, в которых заключены одиночные положительные числа. Предположим, что а – это любое положительное число. Тогда (а) мы можем заменить на а, +(а) на +а, -(а) на –а. Если вместо а взять конкретное число, то согласно правилу: число (5) запишется как 5, выражение 3+(5) без скобок примет вид 3+5, так как +(5) заменяется на +5, а выражение 3+(−5) эквивалентно выражению 3−5, так как +(−5) заменяется на −5.

Положительные числа обычно записываются без использования скобок, так как скобки в этом случае излишни.

Теперь рассмотрим правило раскрытия скобок, внутри которых содержится одиночное отрицательное число. +(−a) мы заменяем на −a,  −(−a) заменяется на +a. Если выражение начинается с отрицательного числа (−a), которое записано в скобках, то скобки опускаются и вместо (−a) остается −a.

Приведем примеры:  (−5) можно записать как  −5,  (−3)+0,5 принимает вид −3+0,5,  4+(−3) превращается в 4−3, а −(−4)−(−3) после раскрытия скобок принимает вид 4+3, так как −(−4) и −(−3) заменяется на +4 и +3.

Следует понимать, что записать выражение 3·(−5) как 3·−5 нельзя. Об этом речь пойдет в следующих пунктах.

Давайте посмотрим, на чем основываются правила раскрытия скобок.

Согласно правилу разность a−b равна a+(−b). На основе свойств действий с числами мы можем составить цепочку равенств (a+(−b))+b=a+((−b)+b)=a+0=a, которая будет справедлива. Эта цепочка равенств в силу смысла вычитания доказывает, что выражение a+(−b)  — это разность a−b.

Основываясь на свойствах противоположных чисел и правил вычитания отрицательных чисел мы можем утверждать, что −(−a)=a, a−(−b)=a+b.

Встречаются выражения, которые составляются из числа, знаков минуса и нескольких пар скобок. Использование приведенных выше правил позволяет последовательно избавляться от скобок, продвигаясь от внутренних скобок к наружным или в обратном направлении. Примером такого выражения может быть −(−((−(5)))). Раскроем скобки, продвигаясь изнутри наружу: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5))=−(5)=−5. Также этот пример можно разобрать и в обратном направлении: −(−((−(5))))=((−(5)))=(−(5))=−(5)=−5.

Под a и b можно понимать не только числа, но также произвольные числовые или буквенные выражения со знаком «+» впереди, которые не являются суммами или разностями. Во всех этих случаях можно применять правила точно также, как мы делали это в отношении одиночных чисел в скобках.

К примеру, после раскрытия скобок выражение −(−2·x)−(x2)+(−1x)−(2·x·y2:z) примет вид 2·x−x2−1x−2·x·y2:z. Как мы это сделали? Мы знаем, что −(−2·x) есть +2·x, а так как это выражение стоит вначале, то +2·x можно записать как 2·x, −(x2)=−x2, +(−1x)=−1x и −(2·x·y2:z)=−2·x·y2:z.

В произведениях двух чисел

Начнем с правила раскрытия скобок в произведении двух чисел.

Предположим, что a и b – это два положительных числа. В этом случае произведение двух отрицательных чисел −a и −b вида (−a)·(−b) мы можем заменить на (a·b), а произведения двух чисел с противоположными знаками вида (−a)·b и a·(−b) заменить на (−a·b). Умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс, как и умножение плюса на минус дает минус.

Верность первой части записанного правила подтверждается правилом умножения отрицательных чисел. Для подтверждения второй части правила мы можем использовать правила умножения чисел с разными знаками.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1

Рассмотрим алгоритм раскрытия скобок в произведении двух отрицательных чисел -435 и -2, вида(-2)·-435 . Для этого заменим исходное выражение на 2·435 . Раскроем скобки и получим 2·435 .

А если мы возьмем частное отрицательных чисел (−4):(−2), то запись после раскрытия скобок будет иметь вид 4:2

На месте отрицательных чисел −a и −b могут быть любые выражения со знаком минус впереди, которые  не являются суммами или разностями. К примеру, это могут быть произведения, частные, дроби, степени, корни, логарифмы, тригонометрические функции и т.п.

Раскроем скобки в выражении  -3·xx2+1·x·(ln5). Согласно правилу, мы можем произвести следующие преобразования:   -3·xx2+1·x·(ln5)=-3·xx2+1·x·ln5=3·xx2+1·x·ln5.

Выражение (−3)·2 можно преобразовать в выражение (−3·2). После этого можно раскрыть скобки: −3·2.

 23·-45=-23·45=-23·45

 Деление чисел с разными знаками также может потребовать предварительного раскрытия скобок:  (−5):2=(−5:2)=−5:2 и  234:(-3,5)=-234:3,5=-234:3,5.

Правило может быть использовано для выполнения умножения и деления выражений с разными знаками. Приведем два  примера.

-1x+1:x-3=-1x+1:x-3=-1x+1:x-3

и 

sin(x)·(-x2)=(-sin(x)·x2)=-sin(x)·x2

В произведениях трех и большего количества чисел

Перейдем к произведенимя и частным, которые содержат большее количество чисел. Для раскрытия скобок здесь будет действовать следующее правило. При четном количестве отрицательных чисел можно опустить скобки, заменив числа противоположными. После этого необходимо заключить полученное выражение в новые скобки. При нечетном количестве отрицательных чисел, опустив скобки, заменить числа на противоположные. После этого полученное выражение необходимо взять в новые скобки и поставить перед ним знак минус.

Пример 2

Для примера, возьмем выражение 5·(−3)·(−2), которое представляет собой произведение трех чисел. Отрицательных чисел два, следовательно, мы можем записать выражение как  (5·3·2) и затем окончательно раскрыть скобки, получив выражение 5·3·2.

В произведении (−2,5)·(−3):(−2)·4:(−1,25):(−1)  пять чисел являются отрицательными. поэтому (−2,5)·(−3):(−2)·4:(−1,25):(−1)=(−2,5·3:2·4:1,25:1). Окончательно раскрыв скобки, получаем  −2,5·3:2·4:1,25:1.

Обосновать приведенное выше правило можно следующим образом. Во-первых, такие выражения мы можем переписать как произведение, заменив умножением на обратное число деление. Представляем каждое отрицательное число как произведение множительного числа и -1 или -1 заменяем на (−1)·a.

Используя переместительное свойство умножения меняем местами множители и переносим все множители, равные −1, в начало выражения. Произведение четного числа минус единиц равно 1, а нечетного – равно −1, что позволяет нам использовать знак минус.

Если бы мы не использовали правило, то цепочка действий по раскрытию скобок в выражении -23:(-2)·4:-67 выглядела бы следующим образом:

-23:(-2)·4:-67=-23·-12·4·-76==(-1)·23·(-1)·12·4·(-1)·76==(-1)·(-1)·(-1)·23·12·4·76=(-1)·23·12·4·76==-23·12·4·76

Приведенное выше правило может быть использовано при раскрытии скобок в выражениях, которые представляют собой произведения и частные со знаком минус, не являющихся суммами или разностями. Возьмем для примера выражение

 x2·(-x):(-1x)·x-3:2.

Его можно привести к выражению без скобок  x2·x:1x·x-3:2 .

Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «+»

Рассмотрим правило, которое можно применить для раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс, а «содержимое» этих скобок не умножается и не делится на какое-либо число или выражение.

Согласно правилу скобки вместе со стоящим перед ними знаком опускаются, при этом знаки всех слагаемых в скобках сохраняются. Если перед первым слагаемым в скобках не стоит никакого знака, то нужно поставить знак плюс.

Пример 3

Для примера приведем выражение (12−3,5)−7.  Опустив скобки, мы сохраняем знаки слагаемых в скобках и ставим перед первым слагаемым знак плюс. Запись будет иметь вид (12−3,5)−7=+12−3,5−7. В приведенном примере знак перед первым слагаемым ставить не обязательно, так как +12−3,5−7=12−3,5−7.

Пример 4

Рассмотрим еще один пример. Возьмем выражение  x+2a-3×2+1-x2-4+1x и проведем с ним действия  x+2a-3×2+1-x2-4+1x==x+2a-3×2+1-x2-4+1x

Вот еще один пример раскрытия скобок:

Пример 5

2+x2+1x-x·y·z+2·x-1+(-1+x-x2)==2+x2+1x-x·y·z+2·x-1-1+x+x2

Как раскрываются скобки, перед которыми стоит знак минус

Рассмотрим случаи, когда перед скобками стоит знак минус, и которые не не умножаются (или делятся) на какое-либо число или выражение. Согласно правилу раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «-», скобки со знаком «-» опускаются, при этом знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.

Пример 6

К примеру:

—12=12,-1x+1=-1x+1,-(-x2)=x2

Выражения с переменными могут быть преобразованы с использованием того же правила:

—x+x3-3—2·x2+3·x3·x+1x-1-x+2,

получаем x-x3-3+2·x2-3·x3·x+1x-1-x+2.

Раскрытие скобок при умножении числа на скобку, выражения на скобку

Здесь мы рассмотрим случаи, когда нужно раскрыть скобки, которые умножаются или делятся на какое-либо число или выражение. Тут применимы формулы вида (a1±a2±…±an)·b=(a1·b±a2·b±…±an·b) или b·( a1±a2±…±an)=(b·a1±b·a2±…±b·an), где a1, a2, …, an и b – некоторые числа или выражения.

Пример 7

Например, проведем раскрытие скобок в выражении (3−7)·2. Согласно правилу, мы можем провести следующие преобразования: (3−7)·2=(3·2−7·2). Получаем 3·2−7·2.

Раскрыв скобки в выражении 3·x2·1-x+1x+2, получаем  3×2·1-3·x2·x+3·x2·1x+2.

Умножение скобки на скобку

Рассмотрим произведение двух скобок вида (a1+a2)·(b1+b2). Это поможет нам получить правило для раскрытия скобок при проведении умножения скобки на скобку.

Для того, чтобы решить приведенный пример, обозначим выражение (b1+b2) как b. Это позволит нам использовать правило умножения скобки на выражение. Получим (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2)·b=(a1·b+a2·b)=a1·b+a2·b. Выполнив обратную замену b на (b1+b2), снова применим правило умножения выражения на скобку:  a1·b+a2·b==a1·(b1+b2)+a2·(b1+b2)==(a1·b1+a1·b2)+(a2·b1+a2·b2)==a1·b1+a1·b2+a2·b1+a2·b2

Благодаря ряду несложных приемов мы можем прийти к сумме произведений каждого из слагаемых из первой скобки на каждое из слагаемых из второй скобки. Правило можно распространить на любое количество слагаемых внутри скобок.

Сформулируем правила умножения скобки на скобку: чтобы перемножить между собой две суммы, необходимо каждое из слагаемых первой суммы перемножить на каждое из слагаемых второй суммы и сложить полученные результаты.

Формула будет иметь вид:

(a1+a2+…+am)·(b1+b2+…+bn)==a1b1+a1b2+…+a1bn++a2b1+a2b2+…+a2bn++…++amb1+amb1+…ambn

Проведем раскрытие скобок в выражении (1+x)·(x2+x+6) Оно представляет собой произведение двух сумм.  Запишем решение: (1+x)·(x2+x+6)==(1·x2+1·x+1·6+x·x2+x·x+x·6)==1·x2+1·x+1·6+x·x2+x·x+x·6

Отдельно стоит остановиться на тех случаях, когда в скобках присутствует знак минус наряду со знаками плюс. Для примера возьмем выражение  (1−x)·(3·x·y−2·x·y3).

Сначала представим выражения в скобках в виде сумм: (1+(−x))·(3·x·y+(−2·x·y3)). Теперь мы можем применить правило: (1+(−x))·(3·x·y+(−2·x·y3))==(1·3·x·y+1·(−2·x·y3)+(−x)·3·x·y+(−x)·(−2·x·y3))

Раскроем скобки: 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x·2·x·y3.

Раскрытие скобок в произведениях нескольких скобок и выражений

При наличии в выражении трех и более выражений в скобках, раскрывать скобки необходимо последовательно. Начать преобразование необходимо с того, что два первых множителя берут в скобки. Внутри этих скобок мы можем проводить преобразования согласно правилам, рассмотренным выше. Например, скобки в выражении (2+4)·3·(5+7·8).

В выражении содержится сразу три множителя (2+4), 3 и (5+7·8). Будем раскрывать скобки последовательно. Заключим первые два множителя еще в одни скобки, которые для наглядности сделаем красными: (2+4)·3·(5+7·8)=((2+4)·3)·(5+7·8).

В соответствии с правилом умножения скобки на число мы можем провести следующие действия: ((2+4)·3)·(5+7·8)=(2·3+4·3)·(5+7·8).

Умножаем скобку на скобку: (2·3+4·3)·(5+7·8)=2·3·5+2·3·7·8+4·3·5+4·3·7·8.

Скобка в натуральной степени

Степени, основаниями которых являются некоторые выражения, записанные в скобках, с натуральными показателями можно рассматривать как произведение нескольких скобок. При этом по правилам из двух предыдущих пунктов их можно записать без этих скобок.

Рассмотрим процесс преобразования выражения  (a+b+c)2. Его можно записать в виде произведения двух скобок  (a+b+c)·(a+b+c).  Произведем умножение скобки на скобку и получим a·a+a·b+a·c+b·a+b·b+b·c+c·a+c·b+c·c.

Разберем еще один пример:

Пример 8

1x+23=1x+2·1x+2·1x+2==1x·1x+1x·2+2·1x+2·2·1x+2==1x·1x·1x+1x·2·1x+2·1x·1x+2·2·1x+1x·1x·2++1×2·2+2·1x·2+2·2·2

Деление скобки на число и скобки на скобку

Деление скобки на число предполагает, что необходимо разделить на число все заключенные в скобки слагаемые. Например, (x2-x):4=x2:4-x:4 .

Деление можно предварительно заменить умножением, после чего можно воспользоваться подходящим правилом раскрытия скобок в произведении. Это же правило применимо и при делении скобки на скобку.

Например, нам необходимо раскрыть скобки в выражении (x+2):23 . Для этого сначала заменим деление умножением на обратное число (x+2):23=(x+2)·23. Умножим скобку на число (x+2)·23=x·23+2·23.

Вот еще один пример деления на скобку:

Пример 9

1x+x+1:(x+2) .

Заменим деление умножением: 1x+x+1·1x+2.

Выполним умножение:  1x+x+1·1x+2=1x·1x+2+x·1x+2+1·1x+2.

Порядок раскрытия скобок

Теперь рассмотрим порядок применения правил, разобранных выше в выражениях общего вида, т.е. в выражениях, которые содержат суммы с разностями, произведения с частными, скобки в натуральной степени.

Порядок выполнения действий:

• первым делом необходимо выполнить возведение скобок в натуральную степень;
• на втором этапе производится раскрытие скобок в произведениях и частных;
• заключительным шагом будет раскрытие скобок в суммах и разностях.

Рассмотрим порядок выполнения действий на примере выражения  (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). Намнем преобразование с выражений 3·(−2):(−4) и 6·(−7), которые должны принять вид (3·2:4) и (−6·7). При подстановке полученных результатов в исходное выражение получаем: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6·7). Раскрываем скобки:−5+3·2:4+6·7.

Имея дело с выражениями, которые содержат скобки в скобках, удобно проводить преобразования, продвигаясь изнутри наружу.

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

Раскрытие скобок / Рациональные числа / Справочник по математике 5-9 класс

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по математике 5-9 класс
4. Рациональные числа
5. Раскрытие скобок

Замена выражения, которое записано со скобками, на выражение, равное ему, но записанное без скобок называют раскрытием скобок.

При раскрытии скобок используем следующие правила:

Если перед скобками стоит знак «+», то можно опустить скобки и этот знак «+», сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках. Если первое слагаемое в скобках записано без знака, то его надо записать со знаком «+».

Примеры:

Чтобы записать сумму, противоположную сумме нескольких слагаемых, надо изменить знаки данных слагаемых.

Примеры:

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак ««, надо заменить этот знак на «+», поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные, а потом раскрыть скобки.

Примеры:

Подобные слагаемые

Подобные слагаемые — это слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть, т. е. подобные слагаемые могут отличаться только коэффициентами.

Так, например, в выражении 3 + 7 2 5 подобными слагаемыми будут 3 и 2, а также 7 и 5 .

Чтобы сложить (или привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на общую буквенную часть.

Примеры:

1) 5 + 2 = 7;

2) 3 + 7 2 5 = (3 2) + (7 5 ) = + 2.

3) 4 + 5 3 = (4 3) + 5 = 7 + 5.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Положительные и отрицательные числа. Координаты на прямой

Модуль числа

Рациональные числа

Сравнение рациональных чисел

Сложение рациональных чисел

Вычитание рациональных чисел

Умножение рациональных чисел

Деление рациональных чисел

Свойства действий с рациональными числами

Решение уравнений

Рациональные числа

Правило встречается в следующих упражнениях:

6 класс

Номер 1097, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1147, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1209, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 1273, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1283, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1486, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1501, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1513, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1523, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1564, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

7 класс

Номер 47, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 80, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 386, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 449, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 472, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 598, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 623, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1054, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1079, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1082, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

---

Раскрывающие скобки

Продолжаем изучать азы алгебры. В этом уроке мы научимся расширять алгебраические выражения. Раскрыть скобки означает избавиться от скобок в выражении.

Чтобы раскрыть скобки, нужно выучить наизусть два правила. При регулярной практике вы сможете легко раскрывать скобки, а правила, которые вам приходилось запоминать, можно будет благополучно забыть.

Первое правило раскрытия скобок

Рассмотрим следующее выражение:

8 + (-9 + 3)

Значение этого выражения равно 2. Раскройте круглые скобки в этом выражении. Раскрыть скобки означает избавиться от них, не затрагивая значение выражения. То есть значение выражения 8 + (-9 + 3) по-прежнему должно быть 2.

Первое правило раскрытия скобок следующее:

При раскрытии скобок, если перед ними стоит знак плюс скобки, этот плюс удаляется вместе со скобками.

Итак, мы видим, что в выражении 8+(-9+3) стоит плюс перед скобками. Этот плюс надо убрать вместе со скобками. Другими словами, скобки исчезают вместе со знаком плюс перед ними. А то, что было в скобках, будет записано без изменений:

Получилось выражение без скобок 8-9+3. Это выражение равно 2, так же как предыдущее выражение со скобками было равно 2.

8 + (−9 + 3) = 2

8 − 9+ 3 = 2

Таким образом, между выражениями 8+(-9+3) и 8-9+3 можно поставить знак равенства, так как они равны одному и тому же значению:

8 + (-9 + 3 ) = 8 − 9 + 3

2 = 2

---

Пример 2. Раскрыть скобки в выражении 3 + (-1 — 4)

Перед скобками стоит плюс, поэтому плюс опускается вместе с скобки. То, что было в скобках, останется без изменений:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

---

Пример 3. Раскрыть круглые скобки в выражении 2 + (-1)

Перед скобками стоит плюс, поэтому плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках, останется неизменным:

2 + (−1) = 2 − 1

В этом примере раскрытие скобок стало своего рода обратной операцией, заменяющей вычитание сложением. Что это значит?

В выражении 2 — 1 есть вычитание, но его можно заменить сложением. Тогда мы получаем 2 + (-1). Но если в выражении 2 + (-1) раскрыть скобки, то получится исходное 2 — 1.

Таким образом, вы можете использовать первое правило заключения в скобки для упрощения выражений после некоторых преобразований. То есть избавиться от скобок и сделать проще.

Например, упростите выражение 2a + a- 5b + b.

Чтобы упростить это выражение, вы можете комбинировать подобные термины. Напомним, что для того, чтобы объединить одинаковые члены, складываем коэффициенты подобных членов и результат умножаем на общую буквенную часть:

Получаем выражение 3a + (-4b). В этом выражении мы раскрываем скобки. Перед скобками стоит плюс, поэтому используем первое правило раскрытия скобок, т.е. опускаем скобки вместе с плюсом перед скобками:

3a + (−4b) = 3a − 4b

Таким образом, выражение 2a+a-5b+b упрощается до 3a-4b.

После раскрытия одной из скобок по пути могут быть другие скобки. Примените к ним те же правила, что и к первому. Например, раскройте скобки в следующем выражении:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6)

Вот два места, где необходимо раскрыть скобки. В этом случае применяется первое правило раскрытия скобок, а именно удаление скобок вместе со знаком плюс перед скобками:

2 + (-3 + 1) + 3 + (-6) = 2 — 3 + 1 + 3 — 6

---

Пример 3. Раскройте скобки в выражении 6+(-3)+(- 2)

В обоих местах, где есть скобки, перед ними стоит плюс. Здесь снова применяется первое правило раскрытия скобок:

6 + (−3) + (−2) = 6 − 3 − 2

---

Иногда первое слагаемое в скобках пишется без знака. Например, в выражении 1+(2+3-4) первое слагаемое в скобках 2 пишется без знака. Возникает вопрос: какой знак будет стоять перед двойкой после того, как скобки и плюсик перед скобками опущены? Ответ очевиден: перед двойкой будет плюсик.

На самом деле, даже в скобках перед двойкой стоит плюс, но мы его не видим из-за того, что он не записан. Мы уже говорили, что полная запись положительных чисел выглядит как +1, +2, +3. А вот плюсы традиционно не записываются, поэтому мы видим обычные положительные числа 1, 2, 3.

Следовательно, чтобы раскрыть скобки в выражении 1+(2+3-4), нужно скобки убрать как обычно , вместе со знаком плюс перед скобками, но запишите первое слагаемое, которое было в скобках со знаком плюс:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

---

Пример 4. Раскрыть скобки в выражении -5 + (2 — 3)

Перед скобками стоит знак плюс , поэтому применяем первое правило раскрытия скобок, а именно, опускаем скобки вместе со знаком плюс перед скобками. Но первое слагаемое в скобках надо писать со знаком плюс:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

---

Пример 5. Раскрыть скобки в выражении (-5)

Перед скобками стоит знак плюс, но он не пишется, потому что перед ним нет других чисел или выражений. Наша задача убрать скобки, применив первое правило пояснения скобок, а именно убрать скобки вместе с плюсом (даже если он невидим)

(-5) = -5

---

Пример 6. Раскрыть скобки в выражении 2a + (-6a + b)

Перед скобками стоит знак плюс, поэтому плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках, будем писать без изменений: 9Пример 7. Раскройте скобки в выражении два места в этом выражении, где скобки должны быть раскрыты. В обоих местах перед скобками стоит плюс, так что плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках, запишем без изменений:

5а + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d

---

Второе правило раскрытия скобок

Теперь рассмотрим второе правило раскрытия скобок. Он применяется, когда скобкам предшествует знак минус.

Если перед скобками стоит минус, то этот минус удаляется вместе со скобками, но слагаемые, которые были в скобках, меняют знак на противоположный.

Например, раскройте скобки в следующем выражении

5 − (−2 − 3)

Видим, что перед скобками стоит минус. Поэтому нам нужно применить второе правило расширения, а именно убрать скобки вместе с минусом перед этими скобками. В этом случае слагаемые, которые были в скобках, поменяют знак на противоположный:

Получили выражение без скобок 5 + 2 + 3. Это выражение равно 10, как и предыдущее выражение со скобками равно 10.

5 — (-2 — 3) = 10

5 + 2 + 3 = 10

Таким образом, между выражениями 5-(-2-3) и 5+2+3 можно поставить знак равенства, так как они равны одному и тому же значению:

5 − (-2 — 3) = 5 + 2 + 3

10 = 10

---

опустить скобки вместе со знаком минус перед скобками. В этом случае запишите слагаемые, которые стояли в скобках, с противоположными знаками:

6 — (-2 — 5) = 6 + 2 + 5

---

Пример 3. Раскрыть скобки в выражении 2 — (7 + 3)

Перед скобками стоит знак минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:

2 − (7 + 3) = 2 − 7 − 3

---

Пример 4. Раскрыть скобки в выражении -(-3 + 4)

Перед скобки, поэтому применим второе правило раскрытия скобок:

−(−3 + 4) = 3 − 4

---

Пример 5. Раскрыть скобки в выражении -(-8 — 2) + 16 + (-9 — 2)

Есть два места, где вам нужно раскрыть скобки. В первом случае нужно применить второе правило, а к выражению +(-9 — 2) нужно применить первое правило:

-(-8 — 2) + 16 + (-9 — 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

---

Пример 6. Раскрыть скобки в выражении -(-a — 1)

Перед скобками стоит знак минус, поэтому применим второе правило раскрывающиеся скобки:

−(−a − 1) = a + 1

---

Пример 7. Раскрыть скобки в выражении второе правило раскрытия скобок:

−(4a + 3) = −4a − 3

---

Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок: 9Пример 9. Раскрыть скобки в выражении 3c + 5)

Есть два места, где нужно раскрыть скобки. В первом случае нужно применить первое правило, а к выражению -(3c+5) нужно применить второе правило:

2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2а + 3б — б — 3в — 5 9Пример 10. Раскрыть круглые скобки в выражении . Сначала вы применяете вторую из раскрывающихся скобок, затем первую, а затем снова вторую:

−a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) =  −a + 4a − 6b + 8c − 15

---

Что нужно знать о раскрывающихся скобках

Правила использования скобок, которые мы только что обсуждали, основаны на дистрибутивном законе умножения:

a(b+c) = ab + ac

Фактически, раскрывающиеся скобки — это процедура, посредством которой общий множитель умножается на каждое слагаемое в скобках. В результате такого умножения скобки удаляются.

Например, раскройте скобки в выражении 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Поэтому, если вы хотите умножить число на выражение в скобки (или выражение в скобках, умноженное на число), вы должны сказать раскрыть скобки.

Но как распределительный закон умножения связан с правилами раскрытия скобок, которые мы обсуждали ранее?

Дело в том, что любым скобкам предшествует общий делитель. В примере 3×(4+5) общий делитель равен 3. А в примере a(b+c) общим делителем является переменная a .

Если перед скобками нет чисел или переменных, то общий делитель равен 1 или -1, в зависимости от того, какой знак стоит перед скобками. Если перед скобками стоит знак плюс, то общий делитель равен 1. Если перед скобками стоит минус, то общий делитель равен -1.

Например, раскройте скобки в выражении -(3b-1). Перед скобками стоит минус, поэтому надо использовать второе правило раскрытия скобок, т.е. убрать скобки вместе с минусом перед скобками. Запишите выражение, которое было в скобках с противоположными знаками:

−(3b − 1) = −3b + 1

Мы расширили скобки, используя правило раскрытия скобок. Но те же скобки можно расширить, используя распределительный закон умножения. Для этого сначала запишите перед скобками общий множитель 1, который не был записан:

−1(3b −1)

Минус, стоявший перед скобками, относится к этой единице. Теперь вы можете расширить скобки, применив распределительный закон умножения. Для этого умножьте общий множитель -1 на каждое слагаемое в скобках и сложите результаты.

Для удобства замените разницу в скобках суммой:

−1(3b −1) = −1( 3b + (−1) )

Затем умножь общий коэффициент -1 на каждое слагаемое в скобках :

−1(3b −1) = −1(3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

Как и в прошлый раз, мы получили выражение -3b+1. Все согласятся, что на этот раз для решения такого простого примера требуется больше времени. Поэтому разумнее использовать готовые правила раскрытия скобок, о которых мы говорили в этом уроке:

−(3b − 1) = −3b + 1

Но полезно знать, как работают эти правила. .

---

В этом уроке мы изучили еще одно преобразование личности. Вместе с раскрывающимися скобками, разложением на множители путем вынесения общих множителей и подобными терминами мы можем немного расширить круг решаемых задач. Например:

Раскройте скобки и объедините одинаковые члены в следующее выражение:

Здесь нам нужно выполнить два действия — сначала раскрыть скобки, а затем объединить одинаковые члены. Итак, по порядку:

1) Раскрыть скобки:

2) Объединить одинаковые члены:

В полученном выражении -10b+(-003

) можно раскрыть скобки:

3

3

---

Пример 2. Раскройте круглые скобки и соедините одинаковые члены в следующем выражении:

1) Раскройте скобки:

2) Объедините подобные члены: На этот раз для экономии времени и места мы не будем записывать, как умножаются коэффициенты. буквенная часть

---

Пример 3. Упростим выражение 8m+3m и найдем его значение при m = -4

1) Сначала упростим выражение. Чтобы упростить выражение 8m+3m, мы можем вынести общий множитель m за скобки:

8m+3m = m(8+3)

2) Найдите значение выражения m(8+3), когда m = -4. Для этого замените m(8+3) на -4

m (8 + 3) = -4 (8 + 3) = -4 × 8 + (-4) × 3 = -32 + (-12 = −44

---

Видео Урок

Упражнения

Задача 1. Расширить скобки в следующем выражении:

Показать решение

Задача 2. Распределение рукавах в следующих0003

Показать решение

Задача 3. Раскрыть круглые скобки в следующем выражении:

Показать решение

Задача 4. Раскрыть круглые скобки в следующем выражении:

Показать решение 5 802 900 скобки в следующем выражении:

Показать решение

Задача 6. Раскрыть круглые скобки в следующем выражении:

Показать решение

Задача 7. Раскройте круглые скобки в следующем выражении:

Показать решение

Задача 8. Раскройте круглые скобки в следующем выражении:

Показать решение

Задача 9. Раскройте круглые скобки в следующем выражении:

3 9 Показать Решение

Задача 10. Раскройте скобки в следующем выражении:

Показать решение

Задача 11. Раскройте скобки в следующем выражении:

Показать решение

Задача 12. Расширить скобки в следующем выражении:

Показать решение

Задача 13. Расширить скобки. скобки в следующем выражении:

Показать решение

Задача 15. Раскройте круглые скобки в следующем выражении:

Показать решение

Задача 16. Раскройте скобки в следующем выражении:

Показать решение

Задача 17. Раскройте скобки в следующем выражении:

Показать решение

Задача 18. Раскройте скобки в следующем выражении :

Показать решение

Задача 19. Раскрыть скобки в следующем выражении:

Показать решение

Задача 20. Раскрыть скобки в следующем выражении:

Показать решение

Задача 21. Раскрыть круглые скобки в следующем выражении:

Показать решение

Задание 22. Раскрыть круглые скобки и объединить одинаковые члены в следующем выражении:

Показать решение 9000 23. Раскройте скобки и соедините одинаковые члены в следующем выражении:

Показать решение

---

Видеоурок

Как выполнить биномиальное разложение – mathsathome.com

Видеоуроки биномиального расширения

Как выполнить биномиальное расширение

Биномиальное расширение – отрицательные степени

Что такое биномиальная теорема?

Биномиальная теорема — это алгебраический метод расширения любого бинома вида (a+b) ⁿ без необходимости раскрывать все n скобок по отдельности. Формула биномиальной теоремы утверждает, что .

Бином содержит ровно два члена. Эти два термина должны быть постоянными терминами (сами по себе числами) или степенями 𝑥 (или любой другой переменной).

Бином можно возвести в степень, например (2𝑥+3) ⁵ , что означает (2𝑥+3)(2𝑥+3)(2𝑥+3)(2𝑥+3)(2𝑥 +3). Однако расширение этого множества скобок — медленный процесс, и чем в большую степень возводится бином, тем легче вместо этого использовать биномиальную теорему.

Вот первые 5 биномиальных разложений, полученных из биномиальной теоремы.

Просто замените ‘a’ на первый член бинома, а ‘b’ на второй член бинома.

Например, расширьте (2𝑥+3)

⁵ .

В этом примере ‘a’ = 2𝑥 и ‘b’ = 3.

Нам нужно разложение, содержащее степень 5:

a ⁵ + 5a ^{4 4 3 B 2 + 10A 2 B 3 + 5AB 4 + B 5}

ЗАПИСЬ В ЗДЕАЦИЯХ ‘A’ = 2𝑥 и ‘B’ 7. 3, 7070 7070. :

(2𝑥) ⁵ + 5 (2𝑥) ⁴ (3) + 10 (2𝑥) ³ (3) ² + 10 (2𝑥) ² (3) ³ + 5 (2𝑥) (3) 50580 4 80581 5

We then simplify the terms to get:

(2𝑥+3) ⁵ = 32𝑥 ⁵ + 240𝑥 ⁴ + 720𝑥 ³ + 1080𝑥 ² + 810𝑥 + 243

Как выполнить биномиальное разложение с помощью треугольника Паскаля

Числа в треугольнике Паскаля образуют коэффициенты в биномиальном разложении. Для любого биномиального расширения (a+b) ⁿ , коэффициенты для каждого члена разложения даны n-й строкой треугольника Паскаля. Например, если бином возвести в степень 3, то, глядя на 3-ю строку треугольника Паскаля, коэффициенты равны 1, 3, 3 и 1.

Вот первые пять биномиальных разложений с перечисленными коэффициентами. Каждый биномиальный коэффициент находится с помощью треугольника Паскаля.

Эта анимация также сообщает нам расчет ⁿ C _r , который можно использовать для расчета этих коэффициентов на калькуляторе.

Чтобы использовать треугольник Паскаля для биномиального разложения (a+b) ⁿ :

1. Найдите количество членов и их коэффициенты в n-й строке треугольника Паскаля.
2. Начните с первого термина, содержащего a ⁿ и не содержащего b терминов.
3. Уменьшайте мощность на с каждым членом расширения.
4. Увеличивайте мощность b с каждым термином расширения.
5. Упростите каждое из условий расширения.

Например, расширьте (𝑥 + 2)

³ .

Шаг 1. У нас есть бином в степени 3, поэтому мы смотрим на 3-ю строку треугольника Паскаля. У нас есть 4 слагаемых с коэффициентами 1, 3, 3 и 1.

Шаг 2. a — первое слагаемое внутри скобки, равное 𝑥, а b — второе слагаемое внутри скобки, равное 2. n — это степень в скобках, поэтому n = 3.

Начнем с первого члена как ⁿ , который здесь 𝑥 ³ .

Шаг 3. Уменьшаем мощность 𝑥 с каждым членом разложения. Итак, 𝑥 ³ становится 𝑥 ² , затем 𝑥 и, наконец, полностью исчезает к четвертому члену.

Шаг 4. Мы увеличиваем степень числа 2 с каждым членом расширения. Начнем с нулевых двоек, затем 2 ¹ , 2 ² и, наконец, получим 2 ³ в четвертом члене.

Шаг 5. Теперь упростим каждое слагаемое, перемножив числа, чтобы найти коэффициенты, а затем посмотрим на степень 𝑥 в каждом из слагаемых.

Например, второй член 3(𝑥) ² (2) становится 6𝑥 ² , поскольку 3 × 2 = 6, а 𝑥 возводится в квадрат.

(𝑥 + 2) ³ = 𝑥 ³ + 6𝑥 ² + 12𝑥 + 8

. второй член бинома равен -1, а не 1. Следовательно,

b = -1. Распространенной ошибкой является забывание этого отрицательного значения в биномах, где в скобках происходит вычитание.

Шаг 1. У нас есть бином, возведенный в степень 4, поэтому мы смотрим на 4-ю строку треугольника Паскаля, чтобы найти 5 коэффициентов 1, 4, 6, 4 и 1.

Шаг 2. Мы начинаем с (2𝑥) ⁴ . Здесь важно оставить член 2𝑥 внутри скобок, так как у нас есть (2𝑥) ⁴ , а не 2𝑥 ⁴ .

Шаг 3. Мы уменьшаем степень (2𝑥) по мере перехода к следующему члену биномиального разложения. (2𝑥) ⁴ становится (2𝑥) ³ , (2𝑥) ² , (2𝑥), а затем полностью исчезает к 5-му члену.

Шаг 4. Увеличиваем член (-1) от нуля до (-1) ⁴ .

Шаг 5. Упрощаем термины. Здесь нужно сосредоточиться на двух областях.

Во-первых, (2𝑥) ⁴ означает 2 ⁴ , умноженное на 𝑥 ⁴ . (2𝑥) ⁴ = 16𝑥 ⁴ .

Во-вторых, отрицательные числа в четной степени дают положительный ответ, а отрицательные числа в нечетной степени дают нечетный ответ. Так что (-1) ⁴ = 1, потому что 4 четно. Однако (-1) ³ = -1, потому что 3 нечетно.

(2𝑥 — 1) ⁴ = 16𝑥 ⁴ — 32𝑥 ³ + 24𝑥 ² — 8𝑥 + 1

Мы можем видеть, когда второй термин ‘b . отрицательные, результирующие коэффициенты биномиального разложения чередуются с положительными на отрицательные. Чередуем знаки + и – между условиями нашего ответа.

Что такое биномиальная формула расширения?

Формула биномиального расширения: . Где .

Это проще вычислить на калькуляторе, используя функцию ⁿ C _r .

! Знак называется факториалом. Знак факториала говорит нам начать с целого числа и умножать его на все предшествующие целые числа, пока не получится 1. Например, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Используя формулу биномиального разложения

Другими словами, формула биномиального разложения говорит нам начать с первого члена в степени n и нуля b членов. По мере перехода от термина к термину мощность a уменьшается, а мощность b увеличивается.

Мы умножаем каждый член на биномиальный коэффициент, который рассчитывается по формуле . Это можно рассчитать напрямую, используя функцию ⁿ C _r на вашем калькуляторе. Найдите ⁿ C _r функция на вашем калькуляторе, n будет степенью в скобках, а r будет номером термина в расширении, начиная с 0.

Вот анимация, объясняющая, как можно использовать функцию ⁿ C _r для расчета коэффициентов. Например, 4C ₂ = 6.

(nk)=n!k!(n−k)!» роль = «презентация» стиль = «размер шрифта: 113%; position: relative;»>

Знак сигма-суммирования говорит нам сложить все члены из первого члена a ⁿ до последнего срока b ⁿ .

Вот пример использования формулы биномиального разложения для вычисления (a+b) ⁴ .

Здесь, N = 4, потому что биномиаль повышается до мощности 4.

9909000000rS

Термин	Коэффициент	Коэффициент Эксп.	4С 0 = 1	a 4
2nd term	4C 1 = 4	4a 3 b
3rd term	4C 2 = 6	6a 2 b 2
4th term	4C 3 = 4	4ab 3
5th term	4C 4 = 1	b 4

Therefore summing these 5 члены вместе, (a+b) 9.

Начнем с первого члена в энной степени. Мы уменьшаем эту мощность по мере перехода от одного члена к другому и увеличиваем мощность второго члена. Коэффициенты рассчитываются, как показано в таблице выше.

Вот список формул для всех биномиальных разложений до 10-й степени.

Биномиальный	Формула биномиального расширения
(A + B) 1	= A + B
(A + B) 2
(A + B) 2
(A + B) 2
(A + B) 2
(A + B) 2
(A + B) 2
. 2
(a + b) 3	= a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a + b) 4	= а 4 + 4а 3 б + 6а 2 б 2 + 4AB 3 + B 4
(A + B) 5	= A 5 + 5A 4	= 5 + 5A 4	. 2 B 3 + 5 A B 4 + B 5
(A + B) 6	= A 6 6	= A 6 . б 2 + 20а 3 б 3 + 15а 2 б 4 + 6аб 5 + B 6
(A + B) 7	= A 7 + 7A 6 B + 21A 5 + 7A 6 B + 21A 5 + 7A 6 B + 21A 5 + 7A 6 B + 21A 5 . + 35 a 3 b 4 + 21a 2 b 5 + 7ab 6 + b 7
(a + b) 8	= a 8 + 8а 7 б + 28а 6 б 2 + 56а 5 б 3 + 70а 4 b 4 + 56a 3 b 5 + 28a 2 b 6 + 8ab 7 + b 8
(a + b) 9	= A + 9A 8 B + 36A 7 B 2 + 84A 6 B 3 + 126A 5 B 4 + 126A 5 B 4 + 126A 5 B 4 + 126A 5 B 4 + 126A 5 B 4 + 126A 5 B 4 + 126A 5 B + + 5 . б 6 + 36а 2 б 7 + 9аб 8 + б 9
(a + b) 10	= a 10 + 10a 9 b + 45a 8 b 2 + 120a 7 b 3 + 210a 6 b 4 + 252a 5 b 5 + 210a 4 b 6 + 120a 3 b 7 + 45a 2 b 8 +10ab 9 + b 10

Биномиальное разложение с отрицательной степенью

Если степень, в которую возводится бином, отрицательна, , то разложение в ряд Тейлора используется для аппроксимации первых нескольких членов для малых значений 𝑥. Для бинома с отрицательной степенью , его можно расширить с помощью .

Важно отметить, что при разложении бинома с отрицательной степенью разложение в ряд работает только тогда, когда первый член в скобках равен 1.

Чтобы разложить бином с отрицательной степенью:

1. При необходимости разложите бином на множители, чтобы первый член в скобках стал равным 1.
2. Подставьте значения ‘n’ (отрицательная степень) и ‘𝑥’ (другой член) в скобках рядом с 1.
3. Упростите каждый член расширения.
4. Запишите значения 𝑥, для которых справедливо расширение. «𝑥» должно быть между -1 и 1.

Например, найдите биномиальное разложение для (2 + 10𝑥)

^-2

Здесь у нас есть отрицательная степень. п = -2.

Шаг 1. Первое слагаемое в скобках должно быть 1. Наше число равно 2. Мы должны вынести 2.

Множитель 2 получается так, что внутри скобок у нас 1+5𝑥 вместо 2+10𝑥.

Мы видим, что число 2 по-прежнему возведено в степень -2. Следовательно .

Важно помнить, что этот множитель также всегда возводится в отрицательную степень.

Этот коэффициент одной четверти должен быть перемещен в начало расширения. Остальную часть расширения можно заполнить внутри скобок, следующих за четвертью.

(1+5𝑥) ^-2 теперь можно использовать с разложением в ряд для формулы (1 + 𝑥) ⁿ , поскольку первый член теперь равен 1.

Шаг 2. Подставляем в значения «n» = -2 и «𝑥» = 5𝑥 в разложение ряда.

Шаг 3. Теперь упростим каждое слагаемое.

После упрощения каждого термина в скобках нам также нужно умножить каждый термин на одну четверть.

Шаг 4. Разложение справедливо для -1 < '𝑥' < 1. Наше '𝑥' равно 5𝑥, поэтому имеем -1 < 5𝑥 < 1. Разделив каждое слагаемое на 5, мы видим, что разложение действует в течение

Биномиальное разложение с дробной степенью

Биномиальная теорема может применяться к биномам с дробной степенью. Расширение ряда можно использовать для нахождения первых нескольких членов расширения. n — значение дробной степени, а 𝑥 — термин, сопровождающий 1 внутри двучлена.

Например, найдите первые 4 члена числа

Сначала запишите этот двучлен так, чтобы он имел дробную степень. Квадратный корень из 1+ 5𝑥 заменяется степенью половины.

Следовательно, ‘𝑥’ = 5𝑥 и ‘n’ = .

.

Подставляем значения n и 𝑥 в формулу разложения в ряд, как показано.

Затем мы упрощаем каждый термин.

При использовании этого ряда для расширения двучлена с дробной степенью ряд действителен для -1 < 𝑥 < 1. В этом примере значение 𝑥 равно 5𝑥.

Следовательно, ряд действителен для -1 < 5𝑥 < 1. Разделив каждый член на 5, мы получим .

Биномиальное расширение с двумя скобками

Чтобы расширить две скобки, где одна скобка возведена в большую степень, раскройте скобку в большую степень отдельно, используя биномиальное разложение, а затем умножьте каждый член на члены в другой скобке.

Например, раскроем две скобки (1+𝑥)(2𝑥+3)

⁴ биномиальным расширением

В этом примере у нас есть две скобки: (1 + 𝑥) и (2𝑥 + 3) ⁴ .

Сначала мы расширяем скобку в большей степени, используя биномиальное расширение.

(2𝑥 + 3) ⁴ = 16𝑥 ⁴ + 96𝑥 ³ + 216𝑥 ² + 216𝑥 + 81

Это расширение эквивалентно (2𝑥 + 3) ⁴

1. Мы хотим найти (1 + 𝑥)(2𝑥 + 3) ⁴ .

Мы должны умножить все члены на (1 + 𝑥). Мы умножаем члены на 1, а затем на 𝑥, прежде чем складывать их вместе.

Результат: 16𝑥 ⁵ + 112𝑥 ⁴ + 312𝑥 ³ + 432𝑥 ² + 297𝑥 + 81

Distributive Property — Pre-Algebra

Все ресурсы Pre-Algebra

11 Диагностические тесты 177 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 3 Следующая →

Pre-Algebra Help » Операции и свойства » Тождества и свойства » Распределительное свойство

Упростите выражение.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Используйте свойство распределения, чтобы умножить каждый член многочлена на . Будьте осторожны с распространением негатива.

Сообщить об ошибке

Найдите значение .

Возможные ответы:

-2

2

-6

4

6

Правильный ответ:

2

Объяснение:

Мы можем разделить проблему на два этапа:

Затем мы объединим две части:

 

Сообщить об ошибке

Распространить 

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

При распределении с отрицательными числами мы должны помнить о распределении отрицательного числа по всем переменным в скобках.

Распределите значение  в скобках, умножив его на каждый объект в скобках, чтобы получить .

Выполните умножение, помня правила положительного/отрицательного, чтобы получить наш ответ.

Сообщить об ошибке

Упростите выражение.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Умножьте одночлен на каждый член двучлена, используя свойство дистрибутивности.

 

Сообщить об ошибке

Упростите выражение.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Используйте свойство распределения, чтобы умножить каждый член на .

Упрощение.

Сообщить об ошибке

Распространить:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

При распределении с отрицательными числами мы должны помнить о распределении отрицательного числа по всем терминам в скобках.

Помните, что отрицательное число, умноженное на отрицательное, является положительным, а отрицательное, умноженное на положительное число, является отрицательным.

Распределите  через круглые скобки:

Выполните умножение, помня положительное/отрицательное правило:

 

Сообщить об ошибке

Что из следующего эквивалентно ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Нам нужно распределить -3, умножив оба члена в скобках на -3.:

 .

Теперь мы можем умножать и упрощать. Помните, что умножение двух отрицательных чисел дает положительное число:

Сообщить об ошибке

Развернуть:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Использовать свойство дистрибутива. Не забывайте, что отрицательный знак тоже нужно распределить!

Сложить термины вместе:

Сообщить об ошибке

Распространить:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Помните, что отрицательное, умноженное на отрицательное, является положительным, а отрицательное, умноженное на положительное, является отрицательным.

Распределите  через круглые скобки, умножив его на каждое из двух условий: 

 

Сообщить об ошибке

Развернуть:

Возможные ответы18:

03

Правильный ответ:

Объяснение:

Распределите  , умножив его на каждый член в скобках.