Разложение дробей на множители: Метод разложения на простейшие онлайн

Разложение дроби на простейшие: примеры, решение

Для закрепления материала будут рассмотрены несколько примеров и рассмотрена теория по разложению дробей на простейшие. Подробно  рассмотрим метод неопределенных коэффициентов и метод частных значений, изучим всевозможные комбинации.

Простые дроби имеют название  элементарных дробей.

Типы дробей

Дроби различают:

1.  Ax-a;
2. A(x-a)n;
3. Mx+Nx2+px+q;
4. Mx+N(x2+px+q)n.

A, M, N, a, p, q из которых являются числами, а дискриминант дробей 3 и 4 меньше нуля, то есть корней не имеет выражение.

При упрощении выражения быстрее выполняются вычислительные функции. Представление дробно-рациональной дроби как суммы простейших дробей аналогично. Для этого применяют ряды Лорана для того, чтобы разложить в степенные ряды или для поиска интегралов.

Например, если необходимо брать интеграл от дробно-рациональной функции вида ∫2×3+3×3+xdx.  После чего необходимо произвести разложение подынтегральной функции на простейшие дроби. Все это к формированию простых интегралов. Получаем, что

∫2×3+3×3+xdx=∫2+2x-3x+2×2+1dx==∫2dx+∫3xdx-∫3x+2×2+1dx==2x+3lnx-32∫d(x2+1)x2+1-2∫dxx2+1==2x+3lnx-32lnx2+1-2arctan(x)+C

Пример 1

Произвести разложение дроби вида -2x+3×3+x.

Решение

Когда степень числителя многочлена меньше степени многочлена в знаменателе, имеет место разложение на простейшие дроби. Иначе применяется деление для выделения целой части, после чего производят разложение дробно-рациональной функции.

Применим деление углом. Получаем, что

Отсюда следует, что дробь примет вид

2×3+3×3+x=2+-2x+3×3+x

Значит, такое разложение приведет к тому, что результат будет равен -2x+3×3+x.

Алгоритм метода неопределенных коэффициентов

Для того, чтобы правильно произвести разложение, необходимо придерживаться нескольких пунктов:

• Произвести разложение на множители. можно применять вынесение за скобки, формулы сокращенного умножения, подбор корня. Имеющийся пример x3+x=xx2+1 для упрощения выносят х за скобки.
• Разложение дроби на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами.

Рассмотрим на нескольких примерах:

Пример 2

Когда в знаменателе имеется  выражение вида (x-a)(x-b)(x-c)(x-d), количество множителей не имеет значения, дробь можно представить в виде дроби первого типа Ax-a+Bx-b+Cx-c+Dx-d, где a, b, c и d являются числами, A, B, C и D – неопределенными коэффициентами.

Пример 3

Когда знаменатель имеет выражение (x-a)2(x-b)4(x-c)3, количество множителей также не имеет значения, причем саму дробь необходимо привести ко второму или первому типу вида:

A2x-a2+A1x-a+B4x-b4+B3x-b3+B2x-b2+B1x-b++C3x-c3+C2x-c2+C1x-c

где имеющиеся a, b, c являются числами, а A1, A2, B1, B2, B3, B4, C1, C2, C3 — неопределенными коэффициентами. Какова степень многочлена, такое количество слагаемых имеем.

Пример 4

Когда знаменатель имеет вид типа x2+px+qx2+rx+s, тогда количество квадратичных функций значения не имеет,  а дробь принимает вид третьего типа Px+Qx2+px+q+Rx+Sx2+rx+s,где имеющиеся p, q, r и s являются числами, а P, Q, R и S – определенными коэффициентами.

Пример 5

Когда знаменатель имеет вид x2+px+q4x2+rx+s2, количество множителей значения не имеет также , как и их степени, дробь представляется в виде третьего и четверного типов вида

P4x+Q4(x2+px+q)4+P3x+Q3(x2+px+q)3+P2x+Q2(x2+px+q)2+P1x+Q1x2+px+q++R2x+S2(x2+rx+s)2+R1x+S1x2+rx+s

где имеющиеся p, q, r и s являются числами, а P1,P2,P3,P4,R1,R2,S1,S2 — неопределенными коэффициентами.

Пример 6

Когда имеется знаменатель вида (x-a)(x-b)3(x2+px+q)(x2+rx+s)2, тогда дробь необходимо представить в виде четвертого типа

Ax-a+B3x-b3+В2x-b2+В1x-b++Px+Qx2+px+q+R2x+S2x2+rx+s2+R1x+S1x2+rx+s

Рассмотрим на примере дроби. Когда дробь раскладывается  в сумму третьим типом вида 2x-3×3+x=2x-3x(x2+1)=Ax+Bx+Cx2+1, где A, B и C являются неопределенными коэффициентами.

Приведение полученной суммы простейших дробей при наличии неопределенного коэффициента к общему знаменателю, применяем метода группировки при одинаковых степенях х и получаем, что

2x-3×3+x=2x-3x(x2+1)=Ax+Bx+Cx2+1==A(x2+1)+(Bx+C)xx(x2+1)=Ax2+A+Bx2+Cxx(x2+1)==x2(A+B)+xC+Ax(x2+1)

Когда х отличен от 0, тогда решение сводится к приравниванию двух многочленов. Получаем 2x-3=x2(A+B)+xC+A. Многочлены считаются равными тогда, когда совпадают коэффициенты при одинаковых степенях.

• Приравнивание коэффициентов с одинаковыми степенями х. Получим, что система линейных уравнений при наличии определенных коэффициентов:
  A+B=0C=2A=-3
• Решение полученной системы при помощи любого способа для нахождения неопределенных коэффициентов: A+B=0C=2A=-3⇔A=-3B=3C=2
• Производим запись ответа:
  2×3+3×3+x=2-2x-3×3+x=2-2x-3x(x2+1)==2-Ax+Bx+Cx2+1=2—3x+3x+2×2+1=2+3x-3x+2×2+1

Необходимо постоянно выполнять проверки. Это способствует тому, что приведение к общему знаменателю получит вид

2+3x-3x+2×2+1=2x(x2+1)-(3x+2)xx(x2+1)=2×3+3×3+x

Методом неопределенных коэффициентов считают метод разложения дроби на другие простейшие.

Использование метода частных значений способствует представлению линейных множителей таким образом:

x-ax-bx-cx-d.

Пример 7

Произвести разложение дроби 2×2-x-7×3-5×2+6x.

Решение

По условию имеем, что степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя, тогда деление выполнять не нужно. Необходимо перейти  к разложению на множители. для начала необходимо выполнить вынесение х за скобки. Получим, что

x3-5×2+6x=x(x2-5x+6)

Квадратный трехчлен x2-5x+6 имеет корни, которые находим не по дискриминанту, а по теореме Виета. Получим:

x1+x2=5×1·x2=6⇔x1=3×2=2

Запись трехчлена может быть в виде x2-5x+6=(x-3)(x-2).

Тогда изменится знаменатель:x2-5×2+6x=x(x2-5x+6)=x(x-3)(x-2)

Имея такой знаменатель, дробь раскладываем на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами. Выражение примет вид:

2×2-x-7×3-5×2+6x=2×2-x-7x(x-3)(x-2)=Ax+Bx-3+Cx-2

Полученный результат необходимо приводить к общему знаменателю. Тогда получаем:

2×2-x-7×3-5×2+6x=2×2-x-7x(x-3)(x-2)=Ax+Bx-3+Cx-2==A(x-3)(x-2)+Bx(x-2)+Cx(x-3)x(x-3)(x-2)

После упрощения придем к неравенству вида

2×2-x-7x(x-3)(x-2)=A(x-3)(x-2)+Bx(x-2)+Cx(x-3)x(x-3)(x-2)⇒⇒2×2-x-7=A(x-3)(x-2)+Bx(x-2)+Cx(x-3)

Теперь переходим к нахождению неопределенных коэффициентов. Нужно подставлять полученные значения в равенство для того, чтобы знаменатель обратился в ноль, то есть значения х=0, х=2 и х=3.

Если х=0, получим:

2·02-0-7=A(0-3)(0-2)+B·0·(0-2)+C·0·(0-3)-7=6A⇒A=-76

Если x=2, тогда

2·22-2-7=A(2-3)(2-2)+B·2·(2-2)+C·2·(2-3)-1=-2C⇒C=12

Если x=3, тогда

2·32-3-7=A(3-3)(3-2)+B·3·(3-2)+C·3·(3-3)8=3B⇒B=83

Ответ: 2×2-x-7×3-5×2+6x=Ax+Bx-3+Cx-2=-76·1x+83·1x-3+12·1x-2

Метод коэффициентов и метод частных значений  отличаются только способом нахождения неизвестных. Данные методы могут быть совмещены для быстрого упрощения выражения.

Пример 8

Произвести разложение выражения x4+3×3+2x-11(x-1)(x+1)(x-3)3 на простейшие дроби.

Решение

По условию имеем, что степень числителя многочлена меньше знаменателя, значит зазложение примет вид

x4+3×3+2x-11(x-1)(x+1)(x-3)3=Ax-1+Bx+1+C(x-3)3+C(x-3)2+Cx-3

Производим приведение к общему знаменателю. Имеем, что

x4+3×3+2x-11(x-1)(x+1)(x-3)3=Ax-1+Bx+1+C(x-3)3+C(x-3)2+Cx-3==A(x+1)(x-3)3+B(x-1)(x-3)3(x-1)(x+1)(x-3)3++C3(x-1)(x+1)+C2(x-1)(x+1)(x-3)+C1(x-1)(x+1)(x-3)2(x-1)(x+1)(x-3)3

Приравняем числители и получим, что

x4+3×3+2x+11==A(x+1)(x-3)3+B(x-1)(x-3)3++C3(x-1)(x+1)+C2(x-1)(x+1)(x-3)+C1(x-1)(x+1)(x-3)2

Из выше написанного понятно, что нули знаменателя – это х=1, х=-1 и х=3. Тогда применим метод частных решений. Для этого подставим значения х. получим, что если х=1:

-5=-16A⇒A=516

Если х=-1

-15=128B⇒B=-15128

Если х=3

157=8C3⇒C3=1578

Отсюда следует, что нужно найти значения C1 и C3.

Поэтому подставим полученный значения  в числитель, тогда

x4+3×3+2x-11==516(x+1)(x-3)3-15128(x-1)(x-3)3+1578(x-1)(x+1)++C2(x-1)(x+1)(x-3)+C1(x-1)(x+1)(x-3)2

Раскроем скобки для того, чтобы привести подобные слагаемые с одинаковыми степенями. Придем к выражению вида

x4+3×3+2x-11=x425128+C1+x3-8564+C2-6C1++x267332-3C2+8C1+x40564-C2+6C1+3C2-9C1-3997128

Необходимо приравнять соответствующие коэффициенты с одинаковыми степенями, тогда сможем найти искомое значение C1 и C3.  Теперь необходимо решить систему:

25128+C1=1-8564+C2-6C1=367332-3C2+8C1=040564-C2+6C1=23C2-9C1-3997128=11

Первое уравнение дает возможность найти C1=103128, а второе C2=3+8564+6C1=3+8564+6·103128=29332.

Итог решения – это искомое разложение дроби на простейшие вида:

x4+3×3+2x-11(x-1)(x+1)(x-3)3=Ax-1+Bx+1+C3x-33+C2x-32+C1x-3==5161x-1-151281x+1+1578·1x-33+293321x-32+1031281x-3

Примечание

При непосредственном применении метода неопределенных коэффициентов необходимо было бы решать все пять линейных уравнений, объединенных в систему. Такой метод упрощает поиск значения переменных и дальнейшее решение в совокупности. Иногда применяется несколько методов. Это необходимо для быстрого упрощения всего выражения и поиска результата.

Моделирование в электроэнергетике — Разложение правильной рациональной дроби в виде суммы простейших дробей с помощью метода неопределенных коэффициентов.

Задача разложения правильной дроби  на простейшие состоит в следующем: некоторую правильную рациональную дробь необходимо представить в виде суммы простейших рациональных дробей.  

Простыми дробями называются рациональные дроби вида  или , где , а квадратный трехчлен  не имеет действительных корней, т.е. дискриминант квадратного уравнения меньше нуля .

Правильной рациональной дробью называется дробь вида , где числитель и знаменатель представлен в виде многочлена, а степень числителя ниже степени знаменателя .

В случае если степень числителя выше степени знаменателя , то дробь называют неправильной. Если дробь является неправильной, то необходимо разделить числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), и представить дробь в виде суммы многочлена  и правильной рациональной дроби :

Любая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простых рациональных дробей следующим образом:

Коэффициенты такого преобразованного выражения определяются методом неопределенных коэффициентов. Метод неопределённых коэффициентов ― это метод, используемый в математике для разложения искомой функции в виде линейной комбинации конечного или бесконечного набора базовых функций.

Рассмотрим прием разложения правильной рациональной дроби в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами.

Алгоритм метода неопределенных коэффициентов

Чтобы разложить правильную рациональную дробь  на простые дроби, необходимо выполнить следующие действия.

1. Разложить знаменатель  на линейные и квадратные множители, которые не имеют действительных корней.

2. Записать разложение дроби  в аналитической форме в виде простейших дробей с неопределенными коэффициентами.

В случае если в знаменателе присутствует сомножитель  вида , то дробь раскладывается в следующем виде:

В случае если в знаменателе присутствует сомножитель  вида , то дробь раскладывается в следующем виде:

3. Преобразуем полученную сумму простейших дробей с неопределенными коэффициентами к общему знаменателю и группируем в числителе слагаемые при одинаковых степенях х.

4. Составляем систему уравнений из условия равенства коэффициентов при соответствующих степенях знаменателя в связи с тем, что аналитическая дробь с неизвестными коэффициентами равна исходной дроби. В результате получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложения данной рациональной функции на сумму простейших. Решаем полученную систему уравнений для определения значений неопределённых коэффициентов. Следует отметить, что система уравнений для определения неизвестных коэффициентов разложения всегда имеет единственное решение.

Таким образом, выполняется разложение правильной рациональной дроби на сумму простых дробей. Рассмотрим задачи, которые решаются методом неопределённых коэффициентов.

Задача. Разложение дроби на простейшие

Необходимо представить правильную дробь в виде суммы простейших дробей. Для простоты задачи знаменатель рассматриваемой дроби представлен в виде произведения множителей.

1. Запишем разложение дроби в аналитической форме в виде простейших дробей с неопределенными коэффициентами.

где переменные A,B,C —  неопределённые коэффициенты

2. Преобразуем полученную сумму простейших дробей с неопределенными коэффициентами к общему знаменателю.

         3. Составляем систему уравнений из условия равенства коэффициентов при соответствующих степенях знаменателя.

Решая данную систему, получим, что неопределённые коэффициенты определяются следующим образом:

; ; ; 

Таким образом, исходная рациональная дробь  раскладывается на сумму простых дробей следующим образом:

Данный метод может использоваться как при аналитических выкладках, так и при компьютерном программировании для автоматизации процесса.

Дроби и множители: значение, примеры и правила

Мы знаем, что натуральные и целые числа также можно называть целыми числами. Предположим, вы делите плитку шоколада на две равные части или половинки, как тогда вы представляете значение в числовом виде? Этот тип числа, дробь, также является основным типом числа, который мы используем в математике.

Мы можем использовать множители, чтобы упростить дроби до их простейшей формы. В этой статье рассматриваются ключевые концепции дробей и множителей, а также некоторые приложения.

Значение дробей и множителей: введение

Начнем с определения и введения понятий дробей и множителей.

Компоненты дроби: числитель и знаменатель

Начнем с определения дроби.

Числовое значение, которое представляет собой часть любого целого значения или вещи, известно как дробь . Дроби известны как рациональные числа (по теории множеств). В математике мы говорим, что рациональные числа находятся в множестве ℚ.

Дроби могут быть представлены как ab, где a известны как числитель, а b известны как знаменатель. По сути, числитель делится на знаменатель.

Давайте попробуем увидеть это с более наглядной точки зрения. Представьте, что 1 пицца состоит из 8 кусочков.

Пицца с 8 кусочками, pixabay.com

Если я возьму 1 кусок пиццы, я возьму 18 кусков пиццы. Это потому, что у нас есть 1 пицца, и мы разделили ее на 8 кусков. Итак, мы видим, что единственный кусок пиццы (1) — это числитель, а общее количество кусочков (8) — знаменатель.

Дробь также можно рассматривать как деление числителя на знаменатель. Давайте посмотрим на пример, чтобы увидеть это в действии.

У меня есть пирог с 8 кусочками. Я хочу разделить его поровну между 4 людьми. Какую часть пирога получит каждый?

Решение:

В пироге 8 кусков, и мы хотим разделить его поровну между 4 людьми. Следовательно, мы вычисляем, что 8÷4=2. Это означает, что каждый человек получает 2 куска пирога.

Если каждый получает по 2 куска, значит, он получает 28 кусков пирога. Это количество кусочков, которые получает каждый человек (2), деленное на общее количество кусочков пирога (8), при этом числитель делится на знаменатель.

Использование коэффициентов для целых чисел

Целые числа также известны как целые числа. В математике они представлены как ℤ. Все целые числа содержат f актеров .

Факторы целого числа — это числа, которые делятся точно на это целое число.

Это означает, что если вы выполните деление в длину, разделив целое число на его множитель, вы не найдете остатка.

Например, 10 можно разделить на 2, чтобы получить 5, 10÷2=5, что означает, что 2 является коэффициентом 10. Точно так же 10 можно разделить на 5, чтобы получить 2, 10÷5=2, что означает, что 5 также является множителем 10. Таким образом, 2 и 5 являются парой множителей 10.

Все целые числа делятся на 1, поэтому 1 является делителем всех целых чисел. Само целое число всегда также является фактором само по себе, например, когда вы делите число само на себя, вы получаете 1. Поскольку этот процесс не оставляет остатка, мы знаем, что число является фактором само по себе.

Все целые числа делятся на 1 и на себя, поэтому имеют как минимум два делителя. Целые числа, которые делятся только на 1 и сами по себе, называются простыми числами.

Единственным исключением из того факта, что все целые числа имеют по крайней мере два делителя, является число 1. Число 1 не считается простым числом, поскольку оно делится на 1 и само на себя, но поскольку 1 является самим собой, оно является только число, содержащее один фактор.

Давайте рассмотрим небольшой пример.

Перечислите все делители числа 24.

Решение:

Итак, на сколько чисел делится 24? Имеем:

24÷1=24,24÷2=12,24÷3=8,24÷4=6,24÷6=4,24÷8=3,24÷12=2,24÷24 =1

За исключением чисел 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 и 24, все остальные числа при делении на 24 не возвращают целых чисел. Это означает, что наши множители равны 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 и 24.

Факторы

Теперь, когда мы поняли основные идеи и понятия, лежащие в основе дробей и множителей, давайте более подробно рассмотрим факторы в частности. . Понимание факторов поможет нам позже, когда мы будем изучать методы упрощения дробей до их простейших и наименьших форм.

Что такое разложение на простые множители?

A Разложение на простые множители просто анализирует целое число как произведение простых множителей. Другими словами, мы определяем все простые множители, которые при умножении дают заданное целое число.

Простой множитель — это просто множитель целого числа, которое также является простым числом. Мы можем найти разложение на простые множители, нарисовав дерево факторов . Факторное дерево показывает нам, как именно мы можем разбить целое число на его множители, а затем разбить эти множители, пока в конечном итоге не получим простые множители.

Давайте посмотрим на наглядный пример.

Нарисуйте дерево множителей для числа 100 и запишите разложение числа 100 на простой множитель. , StudySmarter Originals

Теперь мы можем перестать разбивать 2 на множители, поскольку это простой множитель, а это значит, что его можно разделить только на 1 и на себя. Однако 50 не простое число; поэтому мы должны разбить его дальше. Мы можем разбить 50 на 25×2. Мы можем добавить это к нашему факторному дереву следующим образом:

Простые множители 50, StudySmarter Originals

Опять же, 2 — это простое число, поэтому мы не будем далее разбирать это. Однако мы можем разбить 25 на 5×5. И мы можем добавить его к нашему факторному дереву следующим образом:

Факторное дерево для 100, StudySmarter Originals

Теперь, поскольку 5 — простое число, мы можем остановиться на этом, так как мы не можем дальше разбивать ни одно из этих чисел. Это означает, что мы закончили рисовать наше дерево факторов!

При написании разложения на простые множители мы можем обвести все факторы, которые мы определили как простые, для удобства.

Простые числа, обведенные кружком после разложения, StudySmarter Originals

Когда эти числа умножаются друг на друга, они дают нам 100, поэтому наше разложение на простые множители равно

2×2×5×5

Мы можем сделать это красивее, используя индексы : 22×52.

Какой самый высокий общий делитель?

Наибольший общий делитель (наибольший общий делитель) — это то, что мы можем найти, используя метод разложения на простые множители двух или более различных чисел. Наибольший общий делитель — это число, являющееся делителем всех рассматриваемых чисел. В частности, это самый большой из возможных.

Для этого есть способ, который мы рассмотрим на примере.

Найдите наибольший общий делитель 100 и 120.

Решение:

ШАГ	ПРИМЕР
ШАГ 1: Найдите разложение обоих чисел на простые множители.	Разложение числа 100 на простой множитель, которое мы знаем из приведенного выше, равно 22×52. Если мы воспользуемся деревом факторов, чтобы найти разложение числа 120 на простые множители, мы получим следующее:0002 Факторное дерево числа 120, StudySmarter Originals Следовательно, наше разложение числа 120 на простые множители равно 23×3×5.
ШАГ 2: Запишите эти два числа в степени (поэтому, если есть только одно число, запишите его в степени 1).	100=22×52120=23×31×51
ШАГ 3: Если в одном из чисел отсутствует множитель из разложения другого числа на простые числа, запишите этот отсутствующий множитель в разложении на простые множители в степени 0.	100 не хватает 3, поэтому подставляем 3 в степени 0:100=22×52×30
ШАГ 4: Сравните одинаковые базовые числа и выберите число с наименьшей степенью.	Между 51 и 52 выберите 51Между 22 и 23, выберите 22Между 30 и 31, выберите 30
ШАГ 5: Перемножьте эти выбранные числа.	22×30×51=20, поэтому наш наибольший общий делитель равен 20.

Дроби

Мы узнали, что дроби состоят из числителей сверху и знаменателей снизу. Дроби имеют целые значения как в числителе, так и в знаменателе, но знаменатель не должен быть равен нулю. Когда дробь имеет одинаковые множители в числителе и знаменателе, мы можем упростить форму дроби.

Сравнение дробей и множителей: как мы можем использовать множители для упрощения дробей?

Когда мы определяем, что дробь можно упростить, это означает, что мы можем разделить числитель и знаменатель на одно и то же число, чтобы получить более простую или меньшую дробь. Это можно сделать только в том случае, если и числитель, и знаменатель имеют общий множитель.

Если мы возьмем наш предыдущий ответ 28, то и 2, и 8 делят множитель 2. Следовательно, если мы разделим и 2, и 8 на 2, мы получим 2÷2=1,8÷2=4. Следовательно, мы можем упростить нашу дробь до 14,9.0003

Иногда в экзаменационных вопросах вас могут попросить дать ответ в самой простой форме. Это означает, что вы должны упростить дробь, прежде чем давать ответ. Давайте посмотрим на примеры.

Упростить 5696.

Решение:

Сначала нам нужно подумать о множителе, который делит числа 56 и 96. Они оба делят 8 как множитель. Следовательно, нам нужно просто разделить каждое из них (и числитель, и знаменатель) на 8.

⇒ 56÷896÷8=712

Это означает, что наша новая упрощенная дробь равна 712.

Упростить 565.

Решение: Здесь 5 и 65 делят 5 как множитель. Итак, мы делим и числитель, и знаменатель на 5.

⇒ 5÷565÷5=113

Следовательно, упрощенная дробь равна 113.

Дроби и множители важны в различных прикладных ситуациях. Изучая другие темы, мы часто обнаруживаем, что нам, возможно, придется определять общий множитель или упрощать дробь как часть решения нашей проблемы.

Правила дробей

Существуют определенные правила, которые применяются при использовании основных математических операций над дробями. Мы увидим правила дробей для следующих операций:

• Сложение и вычитание
• Умножение
• Деление

Сложение и вычитание

Сложение или вычитание дробей выполняется в зависимости от вида знаменателя они имеют. Нам нужно проверить, совпадают или различны знаменатели данных дробей. Давайте посмотрим, как выполнить сложение или вычитание, если 9Знаменатель 0015 равен у всех дробей.

1. Сложите/вычтите числители и оставьте знаменатель без изменений.
2. Если возможно, сократите дробь.

⇒ab±cb=a±cb

Где a, b и c — целые числа.

Если знаменатели не совпадают с , необходимо выполнить следующие шаги.

1. Сделайте знаменатель всех дробей одинаковым. Для этого можно умножить числитель и знаменатель одной дроби на знаменатель другой дроби и наоборот.
2. Сделав знаменатель одинаковым, сложите/вычтите числители, не изменяя знаменатель.
3. Просто дробь, если возможно.

⇒ab±cd=a×db×d±c×bd×b

Умножение

При умножении дробей знаменатели не обязательно должны совпадать, в отличие от сложения/вычитания. Вместо этого просто умножьте числители друг на друга и умножьте друг на друга знаменатели. Затем приведите дробь к упрощенной форме. Помните, что дроби, как правило, не должны быть смешанными дробями. Если это смешанная дробь, то сначала преобразуйте ее в правильную или неправильную дробь.

⇒ab×cd=a×cb×d

Деление

При делении дробей мы преобразуем их в форму умножения, чтобы найти ответ. Итак, чтобы преобразовать его в форму умножения, инвертируйте вторую дробь (то есть поменяйте местами числитель и знаменатель) и измените знак деления на знак умножения. Теперь вы можете выполнять шаги умножения как обычно.

⇒ab÷cd=ab×dc

Пример дробей и множителей

Давайте посмотрим несколько решенных примеров для дробей и множителей.

Найдите наибольший общий делитель (HCF) чисел 48, 108 и 140.

Решение:

ШАГ	ПРИМЕР
ШАГ 1. Найдите разложение на простые множители всех трех данных числа.	Разложение числа 48 на простые множители с использованием дерева множителей: 2×2×2×2××3=24×3. Факторное дерево 48, StudySmarter Originals Аналогично, разложение числа 108 на простые множители = 22 × 33. Разложение числа 140 на простые множители равно 22 × 5 × 7.
ШАГ 2: Запишите все три числа в степенной записи.	48=24×31,108=22×33,140=22×51×71
ШАГ 3: Запишите пропущенное число множителя из разложения простых чисел других чисел в степени 0.	48=24 ×31×50×70108=22×33×50×70140=22×30×51×71
ШАГ 4: Сравните одинаковые базовые числа и выберите число с наименьшей степенью.	Из 22 и 24 выберите 22 Из 30, 31, 33 выберите 30 Из 50, 51 выберите 50 Из 70,71 выберите 70
ШАГ 5: Умножьте выбранные числа.	22×30×50×70 Итак, HCF (или НОД) равно 4 для данных трех чисел.

Подруга Хейли живет в 25 милях от ее дома. Она уже прошла 11 миль. Представьте пройденное расстояние дробью.

Решение: Общее расстояние от дома Хейли до дома ее подруги составляет 25 миль. Итак, знаменатель будет равен 25.

Хейли проехала 11 миль. Значит, в числителе будет 11,9.0003

Следовательно, расстояние, пройденное дробями, будет 1125.

Решите следующие дроби.

1)67+272)67-133)23×124)23÷12

Решение:

1) 67+27

Для 67 и 27 обе дроби имеют одинаковые знаменатели. Итак, мы можем провести сложение, не меняя знаменатель. Здесь мы добавим числитель и сохраним знаменатель как есть.

⇒ 67+27=6+27=87

2) 67-13

Здесь обе дроби 67,13 имеют разные знаменатели. Сначала сделаем их знаменатели одинаковыми, а затем вычтем полученные дроби.

⇒ 67-13=6×37×3-1×73×7=1821-721=18-721=1121

3) 23×12

Для умножения дробей умножаем числители друг на друга и знаменатели друг с другом.

⇒ 23×12=2×13×2=13

4) 23÷12

Для деления дробей мы переворачиваем вторую дробь, чтобы преобразовать выражение в выражение умножения. Затем мы можем перемножить дроби, чтобы получить ответ.

⇒23÷12=23×21=2×23×1=43

Дроби и множители — Основные выводы

• Числитель — это верхняя часть дроби, а знаменатель — нижняя.
• Факторы — это числа, на которые точно делятся другие числа.
• Числа, состоящие только из двух делителей, называются простыми числами.
• Разложение на простые множители помогает нам вычислить наибольшие общие делители.
• Дроби можно упростить, если числитель и знаменатель имеют общий множитель.

Сокращение дробей с помощью факторизации

Сокращение дробей с помощью факторизации

Сокращение дробей — это еще один способ сказать «нахождение

наименьшей эквивалентной дроби ». Это потому, что вы обычно пытаетесь сократить правильную дробь до ее простейшего члена.

Примечание : Термин « уменьшить на » обычно относится к правильным дробям (числитель на меньше , чем знаменатель). Принимая во внимание, что термин « упростить » обычно относится к неправильным дробям (числитель равен 9).0015 больше , чем знаменатель).

При сокращении правильной дроби выполните следующие действия:

1. Умножьте числитель на множители.
2. Разложите знаменатель на множители.
3. Отмена дробных смесей , имеющих значение 1.
4. Перепишите ответ в виде уменьшенной дроби.

Давайте воспользуемся простым примером сокращения дробей, чтобы вы поняли идею…

Обратите внимание, что первоначальный ответ на сложение дробей в нашей тестовой задаче — «2/4». Чтобы определить, является ли наш ответ простейшей формой, мы должны разложить числитель и знаменатель на его простые числа.

Щелкните здесь, чтобы просмотреть обзор простых чисел.

Делители числа — это числа, которые при умножении дают это число. Самый простой способ убедиться, что вы учли ВСЕ множители числа, содержащиеся в дроби, — это разбить их на простые множители.

Щелкните здесь, чтобы просмотреть таблицу факторизации простых чисел, в которой показаны простые множители каждого числа от 2 до 1000.

То, что мы ищем , это простые числа, являющиеся общими делителями как в числителе, так и в знаменателе дроби. Если мы найдем эти общие факторы, мы сможем их отменить. Результатом будет наименьшая дробная эквивалентная дробь.

Поскольку «2» является общим множителем как в числителе, так и в знаменателе нашего примера, это означает, что наш ответ не является дробью в ее простейшей форме. Поэтому мы сократим (/) одну из двоек как в числителе, так и в знаменателе, разделив на «2». Результатом является уменьшенная дробь в ее простейшей форме.

Вот правило…

Вот еще один пример:

0015 24 = 2 x 2 x 2 x 3), а затем разложите знаменатель ( 56 = 2 x 2 x 2 x 7).

В этом примере все двойки исключаются, потому что в числителе и знаменателе равное количество двоек. Они аннулируют один к одному . Вот что мы подразумеваем под смесью дробей , которая имеет значение , равное «1» .

Правильный ответ для приведенного выше примера — это сокращенная дробь, равная 3/7 .

Вот еще один способ сократить 24/56 .

Вы уже знаете, что 2/2 = 1, поэтому…

то же самое, что и

, что равно 1 x 1 x 1 x 3/7 90 003

Поэтому вам следует -запишите свой ответ как 24/56 равно (или эквивалентно) 3/7 .

Это основы сокращения правильных дробей, независимо от размера.

Всегда помните…

Все, что вы делаете с числителем дроби, вы должны делать и со знаменателем дроби.