Разложение косинуса в ряд: Теория рядов

Теория рядов

Теория рядов

Теория рядов. Воробьев Н. Н. 4 изд., перераб. и доп., Наука, Главная редакция физико-математической литературы, М., 1979, — 408 с. В книге излагаются основы теории числовых рядов и функциональных рядов, в том числе степенных рядов и рядов Фурье. Первая часть курса составлена в точном соответствии с разделом «Ряды» программы по высшей математике для инженерно-технических специальностей высших учебных заведений. Ее можно использовать не только как учебное пособие для слушателей курса лекций, но и при самостоятельной работе над предметом. Вторая часть представляет собой цикл очерков, посвященных более глубоким вопросам теории рядов, Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Часть I ГЛАВА 1. ПРОГРЕССИИ § 2. Геометрические прогрессии § 3. Бесконечные прогрессии; их сходимость и расходимость § 4. Элементарные преобразования прогрессий § 5. Функциональные прогрессии: область сходимости; равномерная сходимость § 6. Почленное интегрирование прогрессий § 7. Почленное дифференцирование прогрессий § 8. Прогрессии с комплексными членами ГЛАВА 2. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О СХОДИМОСТИ § 2. Определение числового ряда и его сходимости § 3. Остаток ряда § 4. Принцип сходимости Коши § 5. Критерий Коши сходимости рядов § 6. Необходимый признак сходимости ряда § 7. Желательность систематической теории § 8. Свойства сходящихся рядов, подобные свойствам сумм § 9. Дальнейшие свойства рядов ГЛАВА 3. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ § 1. Признаки сходимости рядов § 2. Признаки сравнения § 3. Интегральный признак сходимости Маклорена — Коши § 4. Применения интегрального признака сходимости § 5. Сравнительная оценка различных признаков сходимости § 6. Признак сходимости Даламбера § 7. Признак сходимости Коши § 8. Чувствительность признаков сходимости Даламбера и Коши ГЛАВА 4. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ § 2. Абсолютная сходимость и расходимость § 3. Возможность переставлять члены в абсолютно сходящихся рядах § 4. Условно сходящиеся знакопеременные ряды § 5. Умножение абсолютно сходящихся рядов § 6. Признак сходимости Лейбница § 7. Существенность условий признака сходимости Лейбница ГЛАВА 5. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ § 2. Область сходимости функционального ряда § 3. Сходимость последовательности функций. Основные определения § 4. Предел последовательности непрерывных функций § 5. Переход к пределу под знаком интеграла § 6. Переход к пределу под знаком производной § 7. Определение равномерной сходимости функционального ряда и признак Вейерштрасса § 8. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда с непрерывными членами § 9. Почленное интегрирование функциональных рядов § 10. Почленное дифференцирование функциональных рядов ГЛАВА 6. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ § 2. Теорема Абеля § 3. Круг сходимости ряда § 4. Вещественный степенной ряд и его интервал сходимости § 5. Равномерная сходимость ряда в круге его сходимости § 6. Вещественные ряды § 7. Комплексные ряды § 8. Разложение функций в степенные ряды § 9. Формула Тейлора § 10. Ряды Тейлора и Маклорена ГЛАВА 7. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ПРИМЕРЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ § 2. Разложения в ряды Маклорена гиперболических функций ch x и sh x § 3. Разложения в ряды Маклорена тригонометрических функций cos x и sin x § 4. Показательная функция с комплексным значением показателя § 5. Формулы Эйлера § 6. Тригонометрические функции от комплексного значения аргумента § 7. Гиперболические функции от комплексного значения аргумента § 8. Вычисление значений функций при помощи ряда Маклорена § 9. Биномиальный ряд § 10. Приложения биномиального ряда § 11. Разложение в ряд Маклорена логарифмической функции § 12. Приближенное вычисление определенных интегралов при помощи степенных рядов § 13. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов ГЛАВА 8. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И ОРТОНОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ § 2. Векторы и функции § 3. Нормированные и ортогональные функции § 4. Нормированные и ортогональные системы функций § 5. Нормировка систем функций § 6. Разложение по системам функций ГЛАВА 9. РЯДЫ ФУРЬЕ § 1. Ряды и коэффициенты Фурье § 2. Условия Дирихле и теорема о разложении функции в ряд Фурье § 3. Разложение периодических функций в ряд Фурье § 4. Физическое истолкование разложения функции в тригонометрический ряд Фурье § 5. Разложение функции f(x) = x § 6. Сдвиг сегмента разложения § 7. Изменение длины сегмента разложения § 8. Четные и нечетные функции § 9. Разложение четной функции в ряд Фурье § 10. Разложение нечетной функции в ряд Фурье § 11. Разложение ряд Фурье функций на сегменте от 0 до пи § 12. Комплексная форма записи ряда Фурье § 13. Разложение в комплексный ряд Фурье § 14. Характер сходимости рядов Фурье ГЛАВА 10. УРАВНЕНИЕ СВОБОДНЫХ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ С ЗАКРЕПЛЕННЫМИ КОНЦАМИ § 2. Начальные и граничные условия § 3. Метод разделения переменных § 4. Использование граничных условий. Собственные функции и собственные значения § 5. Использование начальных условий ГЛАВА 11. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ § 1. Представление функций интегралом Фурье § 2. Простейшие достаточные условия представимости функции интегралом Фурье § 3. Интеграл Фурье для четных функций § 4. Интеграл Фурье для нечетных функций § 5. Комплексная форма интеграла Фурье § 6. Понятие о преобразовании Фурье § 7. Косинус-преобразование Фурье § 8. Синус-преобразование Фурье § 9. Спектральная функция Часть II § 1. Признак сходимости Куммера § 2. Признак сходимости Раабе § 3. Признак сходимости Бертрана § 4. Признак сходимости Гаусса § 5. Сходимость знакопеременных рядов § 6. Признак сходимости Дирихле ГЛАВА 13. ДВОЙНЫЕ РЯДЫ § 1. Определение двойного ряда § 2. Сходимость двойных рядов § 3. Критерии сходимости двойных рядов. Теорема Маркова § 4. Свойства двойных рядов и признаки сходимости § 5. Абсолютная сходимость двойных рядов § 6. Двойные функциональные ряды § 7. Двойные степенные ряды § 8. Разложение функций двух переменных в двойные ряды Тейлора и Маклорена § 9. Ортогональные и ортонормальные системы функций от двух переменных § 10. Двойные ряды Фурье ГЛАВА 14. СУММИРОВАНИЕ СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ § 2. Линейные преобразования рядов § 3. Теорема Абеля и почленное дифференцирование и интегрирование рядов § 4. Последовательности разностей § 5. Преобразование рядов по Эйлеру § 6. Преобразование рядов по Куммеру ГЛАВА 15. СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ § 1. Расходящиеся геометрические прогрессии § 2. Суммирующие функции § 3. Суммирование по Пуассону — Абелю § 4. Линейность и регулярность суммирования по Пуассону — Абелю § 5. Суммируемость рядов по Пуассону — Абелю и их абсолютная сходимость § 6. Теорема Таубера § 7. Суммирование по Чезаро § 8. Соотношение между сходимостью по Чезаро и по Пуассону — Абелю § 9. Суммирование по Эйлеру ГЛАВА 16. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ § 2. Исследование двух интегралов § 3. Исследование одного класса интегралов § 4. Доказательство теоремы Дирихле § 5. Теорема Фурье § 6. Коэффициенты Фурье разрывных функций § 7. Скорость сходимости рядов Фурье § 8. Улучшение сходимости рядов Фурье по методу выделения особенностей § 9. О равномерной сходимости рядов Фурье § 10. Неравномерная сходимость последовательностей непрерывных функций § 11. Поведение рядов Фурье функций в точках их разрыва. Явление Гиббса § 12. Экстремальное свойство сумм Фурье § 13. Суммирование рядов Фурье по Чезаро. Теорема Фейера § 14. Равенство Парсеваля § 15. Теорема Вейерштрасса ГЛАВА 17. ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ В ТЕОРИИ ИЗГИБА БАЛОК § 2. Изгиб балки § 3. Свободно опертая балка § 4. Первая возможность ограничиться двукратным дифференцированием § 5. Случай сосредоточенной нагрузки § 6. Прогиб балки от распределенной нагрузки § 7. Прогиб от сосредоточенного момента § 8. Статически неопределимая балка § 9. Сложный изгиб балки § 10. Балка на упругом основании § 11. Вторая возможность ограничиться двукратным дифференцированием. Потенциальная энергия изгиба балки § 12. Потенциальная энергия изгиба балки в случае нескольких нагрузок § 13. Функции прогиба с ортогональными вторыми производными § 14. Свободно опертая нагруженная балка § 15. Работа продольных сил при сложном изгибе балки § 16. Общий случай изгиба балки § 17. Общий случай изгиба свободно опертой балки § 18. Изгиб симметрично нагруженной балки, жестко заделанной по концам § 19. Функция прогиба симметрично загруженной балки с жестко заделанными концами

Ряды (Математический анализ)

Ряды (Математический анализ)

Виленкин Н.Я., Куницкая Е.С., Мордкович А.Г. Ряды. Математический анализ. Учебное пособие для студентов-заочников III курса физико-математических факультетов педагогических институтов. — М.: Просвещение, 1982. — 160 с. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ ВВЕДЕНИЕ ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ФОРМУЛА И РЯД ТЕЙЛОРА § 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ ЧИСЛОВОГО РЯДА 2. Сумма ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. § 2. СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ 1. Необходимый признак сходимости ряда. а, где |x| 7. Разложение других элементарных функций. ЗАКЛЮЧЕНИЕ ГЛАВА II. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ § 6. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ 2. Признаки сходимости Даламбера и Коши. 3. Интегральный признак сходимости Коши. 4. Примеры исследования рядов на сходимость. § 7. СВОЙСТВА РЯДОВ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ 1. Перестановка членов ряда с неотрицательными членами. 2. Группировка членов и умножение рядов с неотрицательными членами. § 8. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ 2. Абсолютно сходящиеся ряды. 3. Свойства абсолютно сходящихся рядов. 4. Свойства условно сходящихся рядов. § 9. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ ГЛАВА III. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ § 10. ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ § 11. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ 2. Чебышевское расстояние между функциями. 3. Равномерно сходящиеся функциональные последовательности. 4. Равномерно сходящиеся ряды. Признак Вейерштрасса. 5. Сохранение свойства непрерывности в случае равномерной сходимости. § 12. ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ 1. Почленное интегрирование функциональных рядов. 2. Почленное дифференцирование функциональных рядов. § 13. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ 1. Функции комплексного переменного. 2. Дифференцирование функций комплексного переменного. 3. Функциональные последовательности и ряды в комплексной области. ГЛАВА IV. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ § 14. КРУГ СХОДИМОСТИ СТЕПЕННОГО РЯДА 2. Область сходимости степенного ряда. Круг и радиус сходимости. 3. Равномерная сходимость и непрерывность суммы степенного ряда. § 15. ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ПОЧЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 1. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов в действительной области. 2. Почленное дифференцирование рядов в комплексной области. 3. Единственность разложения функции в степенной ряд. § 16. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ 1. Показательная функция в комплексной области. 2. Тригонометрические функции в комплексной области. Формулы Эйлера. § 17. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ РЯДОВ 1. Вычисление значений функций и интегралов. 2. Вычисление пределов. 3. Метод последовательных приближений. ГЛАВА V. РЯДЫ ФУРЬЕ § 18. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ 2. Скалярное произведение функций. 3. Ортонормированные системы функций. § 19. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ. РЯД ФУРЬЕ 2. Коэффициенты Фурье для тригонометрических систем функций. § 20. ЛЕММА РИМАНА 1. Кусочно гладкие функции. 2. Лемма Римана. § 21. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ 1. Формула для частичных сумм ряда Фурье. 2. Сходимость разложения кусочно гладких функций в ряды Фурье. 3. Разложение функций, заданных на конечных промежутках, в ряд Фурье. 4. Разложение четных и нечетных функций в ряды Фурье. 5. Примеры разложения функций в ряды Фурье. Ответы к упражнениям

Расширение Маклорена для cos(x)

Предыдущее: Расширение Маклорена для sin(x)

Далее: Список расширений Маклорена

Пример

Найдите разложение в ряд Маклорена для cos( x ) в точке 90 009 х = 0, и определить его радиус сходимости.

Комплексное решение

Шаг 1. Найдите серию Maclaurin

потому что ⁡ ( Икс ) «=» г г Икс грех ⁡ ( Икс ) «=» г г Икс ∑ к «=» 0 ∞ ( − 1 ) к ( 2 к + 1 ) ! Икс 2 к + 1 «=» г г Икс ( Икс − Икс 3 3 ! + Икс 5 5 ! − … ) «=» 1 − Икс 2 2 ! + Икс 4 4 ! − … «=» ∑ к «=» 0 ∞ ( − 1 ) к Икс 2 к ( 2 к ) ! {\ displaystyle {\ begin {align} \ cos (x) & = {\ frac {d} {dx}} \ sin (x) \\ & = {\ frac {d} {dx}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty } {\ frac {(-1) ^ {k}} {(2k + 1)!}} x ^ {2k + 1} \\ & = {\ frac {d} {dx} {\ Big (} x — {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} — \ ldots {\ Big )} \\& = 1 — {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} — \ ldots \\& = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} x ^ {2k}} {(2k)!}} \ end {выровнено}}}

Шаг 2: Найдите радиус сходимости

Тест соотношения дает нам:

лим к → ∞ | ( − 1 ) к + 1 ( 2 ( к + 1 ) ) ! Икс 2 ( к + 1 ) / ( − 1 ) к ( 2 к ) ! Икс 2 к | «=» лим к → ∞ ( 2 к ) ! ( 2 к + 2 ) ! | Икс | 2 «=» лим к → ∞ 1 ( 2 к + 1 ) ( 2 к + 2 ) | Икс | 2 «=» 0 {\ displaystyle {\ begin {align} \ lim _ {k \ rightarrow \ infty} {\ Big |} {\ frac {(-1) ^ {k + 1}} {(2 (k + 1))!} } x ^ {2 (k + 1)} {\ Bigg /} {\ frac {(-1) ^ {k}} {(2k)!}} x ^ {2k} {\ Big |} & = \ lim _{k\стрелка вправо \infty }{\frac {(2k)!}{(2k+2)!}}|x|^{2}\\&=\lim _{k\стрелка вправо \infty }{\frac {1}{(2k+1)(2k+2)}}|x|^{2}\\&=0\end{выровнено}}}

Поскольку этот предел равен нулю для всех действительных значений x , радиус сходимости разложения равен множеству всех действительных чисел.

Объяснение каждого шага

Шаг 1

Чтобы найти расширение ряда, мы могли бы использовать тот же процесс, что и для sin( x ) и e ^{x 900 10} . Но есть способ проще. Мы можем дифференцировать наше известное разложение для функции синуса.

Если вы хотел бы увидеть вывод расширения ряда Маклорена для косинуса, в следующем видео показан этот вывод.

Косинус Ряд Тейлора в 0
Вывод разложения косинуса в ряд Маклорена.
Это видео можно найти на веб-сайте Академии Кана, и оно защищено авторскими правами Creative Commons (CC BY-NC-SA 3.0).

Шаг 2

Этот шаг был ничем иным, как подстановкой нашей формулы в формулу для теста соотношения.

Возможные проблемы

Когда мы можем различать степенные ряды?

Для целей этого модуля мы всегда будем предполагать, что можем. Однако существует теорема о дифференцировании и интегрировании степенных рядов, знать которую вам не следует, которая говорит нам, что степенной ряд можно дифференцировать только в том случае, если его радиус сходимости больше нуля.

Скоро появится страница в этом модуле по этой теореме. А пока эта страница в Википедии может помочь.

Приходилось ли нам проверять конвергенцию?

Краткий ответ: нет. Упомянутая выше теорема говорит нам, что, поскольку

• мы получили ряд для cos(x) из ряда для sin(x) дифференцированием, а
• мы уже знаем радиус сходимости sin(x),

радиус сходимости cos(x) будет таким же, как sin(x). Однако мы не ввели эту теорему в этом модуле. Вы можете спросить своего инструктора, должны ли вы знать эту теорему.

Резюме

Разложение Маклорена для cos(x)

Расширение ряда Маклорена для cos( x ) определяется выражением потому что ⁡ ( Икс ) «=» ∑ к «=» 0 ∞ ( − 1 ) к Икс 2 к ( 2 к ) ! «=» 1 − Икс 2 2 ! + Икс 4 4 ! − Икс 6 6 ! … {\ displaystyle \ cos (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} x ^ {2k}} {(2k)!}} = 1- {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} — {\ frac {x ^ {6}} {6!}} \ ldots} Эта формула действительна для всех действительных значений x .

Предыдущий: Маклорен разложение sin(x)

Следующий: Список Маклорена разложения

тригонометрия — разложение в ряд Тейлора и значение угла косинуса

ine значения двумя разными способами

Получение значений тригонометрических углов будет проще, если разложить в ряд Тейлора первые несколько членов для некоторых сложных углов, таких как 10°, 20° или 1°, 2°, которые не кратны 3. 96}{6!}…$

Первый вопрос: какой фактор будет определять точность терминов? Это больше десятичных знаков $\pi$ или больше членов в многочленах Тейлора?

Я пробовал следующим образом с кодированием в python

 #Taylor ряд Значение косинуса для 80 градусов
время импорта
импортировать математику
из десятичного импорта*
получитьконтекст().prec = 30
б = 3,141592653589793238462643383279
print("Значение числа Пи равно", б)
a = 80 # float(input("Введите требуемый угол для вычисления значения cos: \n"))
# Вычислить угол в радианах
Р = б*а/180
print("Угол в радианах: ",Decimal(R))
#r = математические радианы (а)
# печать (р)
# Тейлор расширение
c = int(input("Введите количество членов для расширения cos угла:\n"))
начало = время. время()
В = 0
для я в диапазоне (с):
    коэффициент = (-1)**i
    число = десятичное число (R) ** (2 * i)
    denom = math.factorial(2*i)
    V = V + (коэффициент) * ((число) / (номинал))
печать(В)
конец = время.время()
print("Время выполнения \n", конец - начало)
# Печатает с точностью до 16 цифр
# print(math.sqrt(1)/2)
n = int(input("Введите положительное целое число, чтобы получить количество циклов для вычисления cos80\n"))
х = Десятичный (2).sqrt ()
начало = время.время()
для я в диапазоне (n):
    х = десятичный (2 + х).sqrt()
    х = десятичный (2 + х).sqrt()
    х = десятичное число (2 - х).sqrt()
печать (x/2)
конец = время.время()
print("Время выполнения \n", конец - начало)
 

В приведенном выше коде я принудительно вставил 30 цифр $\pi$ после запятой. Но при запуске программы я получаю только 16 цифр. Это приводит к менее точным последующим цифрам, хотя мы пробуем больше полиномов. (Здесь мне трудно оценить, больше ли терминов или более точное значение $\pi$)

Но с циклическими бесконечными вложенными квадратными корнями ($\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\) sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+.