Найти разложение вектора по базису онлайн калькулятор. Базис. Разложение вектора по векторам
В векторном исчислении и его приложениях большое значение имеет задача разложения, состоящая в представлении данного вектора в виде суммы нескольких векторов, называемых составляющими данного
вектора. Эта задача, имеющая в общем случае бесчисленное множество решений, становится вполне определенной, если задать некоторые элементы составляющих векторов.
2. Примеры разложения.
Рассмотрим несколько весьма часто встречающихся случаев разложения.
1. Разложить данный вектор с на два составляющих вектора из которых один, например а, задан по величине и направлению.
Задача сводится к определению разности двух векторов. Действительно, если векторы являются составляющими вектора с, то должно выполняться равенство
Отсюда определяется второй составляющий вектор
2. Разложить данный вектор с на два составляющих, из которых один должен лежать в заданной плоскости а второй должен лежать на заданной прямой а.
Для определения составляющих векторов перенесем вектор с так, чтобы его начало совпало с точкой пересечения заданной прямой с плоскостью (точка О — см. рис. 18). Из конца вектора с (точка С) проведем прямую до
пересечения с плоскостью {В — точка пересечения), а затем из точки С проведем прямую параллельно
Векторы и будут искомыми, т. е. Естественно, что указанное разложение возможно, если прямая а и плоскость не параллельны.
3. Даны три компланарных вектора а, b и с, причем векторы не коллинеарны. Требуется разложить вектор с по векторам
Приведем все три заданных вектора к одной точке О. Тогда в силу их компланарности они расположатся в одной плоскости. На данном векторе с как на диагонали построим параллелограмм, стороны которого параллельны линиям действия векторов (рис. 19). Это построение всегда возможно (если только векторы не коллинеарны) и единственно. Из рис. 19 видно, что
В аудитории находится тележка с шоколадками, и каждому посетителю сегодня достанется сладкая парочка – аналитическая геометрия с линейной алгеброй.
В данной статье будут затронуты сразу два раздела высшей математики, и мы посмотрим, как они уживаются в одной обёртке. Сделай паузу, скушай «Твикс»! …блин, ну и чушь спорол. Хотя ладно, забивать не буду, в конце концов, на учёбу должен быть позитивный настрой.
Линейная зависимость векторов , линейная независимость векторов , базис векторов и др. термины имеют не только геометрическую интерпретацию, но, прежде всего, алгебраический смысл . Само понятие «вектор» с точки зрения линейной алгебры – это далеко не всегда тот «обычный» вектор, который мы можем изобразить на плоскости или в пространстве. За доказательством далеко ходить не нужно, попробуйте нарисовать вектор пятимерного пространства . Или вектор погоды, за которым я только что сходил на Гисметео: – температура и атмосферное давление соответственно. Пример, конечно, некорректен с точки зрения свойств векторного пространства, но, тем не менее, никто не запрещает формализовать данные параметры вектором.
Дыхание осени….
Нет, я не собираюсь грузить вас теорией, линейными векторными пространствами, задача состоит в том, чтобы
Базис плоскости и аффинная система координат
Рассмотрим плоскость вашего компьютерного стола (просто стола, тумбочки, пола, потолка, кому что нравится). Задача будет состоять в следующих действиях:
1) Выбрать базис плоскости . Грубо говоря, у столешницы есть длина и ширина, поэтому интуитивно понятно, что для построения базиса потребуется два вектора.
2) На основе выбранного базиса задать систему координат (координатную сетку), чтобы присвоить координаты всем находящимся на столе предметам.
Не удивляйтесь, сначала объяснения будут на пальцах. Причём, на ваших. Пожалуйста, поместите указательный палец левой руки на край столешницы так, чтобы он смотрел в монитор. Это будет вектор . Теперь поместите мизинец правой руки на край стола точно так же – чтобы он был направлен на экран монитора. Это будет вектор . Улыбнитесь, вы замечательно выглядите! Что можно сказать о векторах ? Данные векторы коллинеарны , а значит, линейно выражаются друг через друга:
, ну, или наоборот: , где – некоторое число, отличное от нуля.
Картинку сего действа можно посмотреть на уроке Векторы для чайников , где я объяснял правило умножения вектора на число.
Будут ли ваши пальчики задавать базис на плоскости компьютерного стола? Очевидно, что нет.
Коллинеарные векторы путешествуют туда-сюда по одному направлению, а у плоскости есть длина и ширина.
Такие векторы называют линейно зависимыми .
Справка: Слова «линейный», «линейно» обозначают тот факт, что в математических уравнениях, выражениях нет квадратов, кубов, других степеней, логарифмов, синусов и т.д. Есть только линейные (1-й степени) выражения и зависимости.
Два вектора плоскости линейно зависимы тогда и только тогда , когда они коллинеарны .
Скрестите пальцы на столе, чтобы между ними был любой угол, кроме 0 или 180 градусов. Два вектора плоскости линейно не зависимы в том и только том случае, если они не коллинеарны . Итак, базис получен. Не нужно смущаться, что базис получился «косым» с неперпендикулярными векторами различной длины. Очень скоро мы увидим, что для его построения пригоден не только угол в 90 градусов, и не только единичные, равные по длине векторы
Любой вектор плоскости единственным образом раскладывается по базису :
, где – действительные числа .
Числа называют координатами вектора в данном базисе.
Также говорят, что вектор представлен в виде линейной комбинации базисных векторов . То есть, выражение называют разложением вектора по базису или линейной комбинацией базисных векторов.
Например, можно сказать, что вектор разложен по ортонормированному базису плоскости , а можно сказать, что он представлен в виде линейной комбинации векторов .
Сформулируем определение базиса формально: Базисом плоскости называется пара линейно независимых (неколлинеарных) векторов ,
Существенным моментом определения является тот факт, что векторы взяты в определённом порядке . Базисы – это два совершенно разных базиса! Как говорится, мизинец левой руки не переставишь на место мизинца правой руки.
С базисом разобрались, но его недостаточно, чтобы задать координатную сетку и присвоить координаты каждому предмету вашего компьютерного стола.
Почему недостаточно? Векторы являются свободными и блуждают по всей плоскости. Так как же присвоить координаты тем маленьким грязным точкам стола, которые остались после бурных выходных? Необходим отправной ориентир. И таким ориентиром является знакомая всем точка – начало координат. Разбираемся с системой координат:
Начну со «школьной» системы. Уже на вступительном уроке Векторы для чайников я выделял некоторые различия между прямоугольной системой координат и ортонормированным базисом . Вот стандартная картина:
Когда говорят о прямоугольной системе координат , то чаще всего имеют в виду начало координат, координатные оси и масштаб по осям. Попробуйте набрать в поисковике «прямоугольная система координат», и вы увидите, что многие источники вам будут рассказывать про знакомые с 5-6-го класса координатные оси и о том, как откладывать точки на плоскости.
С другой стороны, создается впечатление, что прямоугольную систему координат вполне можно определить через ортонормированный базис .
И это почти так. Формулировка звучит следующим образом:
началом координат , и ортонормированный базис задают декартову прямоугольную систему координат плоскости
Думаю, всем понятно, что с помощью точки (начала координат) и ортонормированного базиса ЛЮБОЙ ТОЧКЕ плоскости и ЛЮБОМУ ВЕКТОРУ плоскости можно присвоить координаты. Образно говоря, «на плоскости всё можно пронумеровать».
Обязаны ли координатные векторы быть единичными? Нет, они могут иметь произвольную ненулевую длину. Рассмотрим точку и два ортогональных вектора произвольной ненулевой длины:
Такой базис называется ортогональным . Начало координат с векторами задают координатную сетку, и любая точка плоскости, любой вектор имеют свои координаты в данном базисе.
! Примечание : в ортогональном базисе, а также ниже в аффинных базисах плоскости и пространства единицы по осям считаются УСЛОВНЫМИ . Например, в одной единице по оси абсцисс содержится 4 см, в одной единице по оси ординат 2 см. Данной информации достаточно, чтобы при необходимости перевести «нестандартные» координаты в «наши обычные сантиметры».
И второй вопрос, на который уже на самом деле дан ответ – обязательно ли угол между базисными векторами должен равняться 90 градусам? Нет! Как гласит определение, базисные векторы должны быть лишь неколлинеарными . Соответственно угол может быть любым, кроме 0 и 180 градусов.
Точка плоскости, которая называется началом координат , и неколлинеарные векторы ,
Иногда такую систему координат называют косоугольной системой.
В качестве примеров на чертеже изображены точки и векторы:
Как понимаете, аффинная система координат ещё менее удобна, в ней не работают формулы длин векторов и отрезков, которые мы рассматривали во второй части урока Векторы для чайников , многие вкусные формулы, связанные со скалярным произведением векторов . Зато справедливы правила сложения векторов и умножения вектора на число, формулы деления отрезка в данном отношении , а также ещё некоторые типы задач, которые мы скоро рассмотрим.
А вывод таков, что наиболее удобным частным случаем аффинной системы координат является декартова прямоугольная система. Поэтому её, родную, чаще всего и приходится лицезреть. …Впрочем, всё в этой жизни относительно – существует немало ситуаций, в которых уместна именно косоугольная (или какая-набудь другая, например, полярная ) система координат. Да и гуманоидам такие системы могут прийтись по вкусу =)
Переходим к практической части. Все задачи данного урока справедливы как для прямоугольной системы координат, так и для общего аффинного случая.
Сложного здесь ничего нет, весь материал доступен даже школьнику.
Типовая вещь. Для того чтобы два вектора плоскости были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны .По существу, это покоординатная детализация очевидного соотношения .
Пример 1
а) Проверить, коллинеарны ли векторы .
б) Образуют ли базис векторы ?
Решение:
а) Выясним, существует ли для векторов коэффициент пропорциональности , такой, чтобы выполнялись равенства :
Обязательно расскажу о «пижонской» разновидности применения данного правила, которая вполне прокатывает на практике. Идея состоит в том, чтобы сразу составить пропорцию и посмотреть, будет ли она верной:
Составим пропорцию из отношений соответствующих координат векторов:
Сокращаем:
, таким образом, соответствующие координаты пропорциональны, следовательно,
Отношение можно было составить и наоборот, это равноценный вариант:
Для самопроверки можно использовать то обстоятельство, что коллинеарные векторы линейно выражаются друг через друга.
В данном случае имеют место равенства . Их справедливость легко проверяется через элементарные действия с векторами:
б) Два вектора плоскости образуют базис, если они не коллинеарны (линейно независимы). Исследуем на коллинеарность векторы . Составим систему:
Из первого уравнения следует, что , из второго уравнения следует, что , значит, система несовместна (решений нет). Таким образом, соответствующие координаты векторов не пропорциональны.
Вывод : векторы линейно независимы и образуют базис.
Упрощённая версия решения выглядит так:
Составим пропорцию из соответствующих координат векторов :
, значит, данные векторы линейно независимы и образуют базис.
Обычно такой вариант не бракуют рецензенты, но возникает проблема в тех случаях, когда некоторые координаты равны нулю. Вот так: . Или так: . Или так: . Как тут действовать через пропорцию? (действительно, на ноль же делить нельзя). Именно по этой причине я и назвал упрощенное решение «пижонским».
Ответ: а) , б) образуют.
Небольшой творческий пример для самостоятельного решения:
Пример 2
При каком значении параметра векторы будут коллинеарны?
В образце решения параметр найден через пропорцию .
Существует изящный алгебраический способ проверки векторов на коллинеарность., систематизируем наши знания и пятым пунктом как раз добавим его:
Для двух векторов плоскости эквивалентны следующие утверждения :
2) векторы образуют базис;
3) векторы не коллинеарны;
+ 5) определитель, составленный из координат данных векторов, отличен от нуля .
Соответственно, эквивалентны следующие противоположные утверждения :
1) векторы линейно зависимы;
2) векторы не образуют базиса;
3) векторы коллинеарны;
4) векторы можно линейно выразить друг через друга;
+ 5) определитель, составленный из координат данных векторов, равен нулю .
Я очень и очень надеюсь, что на данный момент вам уже понятны все встретившиеся термины и утверждения.
Рассмотрим более подробно новый, пятый пункт: два вектора плоскости коллинеарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат данных векторов, равен нулю :. Для применения данного признака, естественно, нужно уметь находить определители .
Решим Пример 1 вторым способом:
а) Вычислим определитель, составленный из координат векторов :
, значит, данные векторы коллинеарны.
б) Два вектора плоскости образуют базис, если они не коллинеарны (линейно независимы). Вычислим определитель, составленный из координат векторов :
, значит, векторы линейно независимы и образуют базис.
Ответ: а) , б) образуют.
Выглядит значительно компактнее и симпатичнее, чем решение с пропорциями.
С помощью рассмотренного материала можно устанавливать не только коллинеарность векторов, но и доказывать параллельность отрезков, прямых. Рассмотрим пару задач с конкретными геометрическими фигурами.
Пример 3
Даны вершины четырёхугольника .
Доказать, что четырёхугольник является параллелограммом.
Доказательство : Чертежа в задаче строить не нужно, поскольку решение будет чисто аналитическим. Вспоминаем определение параллелограмма:
Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Таким образом, необходимо доказать:
1) параллельность противоположных сторон и ;
2) параллельность противоположных сторон и .
Доказываем:
1) Найдём векторы:
2) Найдём векторы:
Получился один и тот же вектор («по школьному» – равные векторы). Коллинеарность совсем очевидна, но решение таки лучше оформить с толком, с расстановкой. Вычислим определитель, составленный из координат векторов :
, значит, данные векторы коллинеарны, и .
Вывод : Противоположные стороны четырёхугольника попарно параллельны, значит, он является параллелограммом по определению. Что и требовалось доказать .
Больше фигур хороших и разных:
Пример 4
Даны вершины четырёхугольника . Доказать, что четырёхугольник является трапецией.
Для более строгой формулировки доказательства лучше, конечно, раздобыть определение трапеции, но достаточно и просто вспомнить, как она выглядит.
Это задание для самостоятельного решения. Полное решение в конце урока.
А теперь пора потихонечку перебираться из плоскости в пространство:
Как определить коллинеарность векторов пространства?Правило очень похоже. Для того чтобы два вектора пространства были коллинеарны, необходимо и достаточно , чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны .
Пример 5
Выяснить, будут ли коллинеарны следующие векторы пространства:
а) ;
б)
в)
Решение:
а) Проверим, существует ли коэффициент пропорциональности для соответствующих координат векторов:
Система не имеет решения, значит, векторы не коллинеарны.
«Упрощёнка» оформляется проверкой пропорции . В данном случае:
– соответствующие координаты не пропорциональны, значит, векторы не коллинеарны.
Ответ: векторы не коллинеарны.
б-в) Это пункты для самостоятельного решения. Попробуйте его оформить двумя способами.
Существует метод проверки пространственных векторов на коллинеарность и через определитель третьего порядка, данный способ освещен в статье Векторное произведение векторов .
Аналогично плоскому случаю, рассмотренный инструментарий может применяться в целях исследования параллельности пространственных отрезков и прямых.
Добро пожаловать во второй раздел:
Линейная зависимость и независимость векторов трехмерного пространства.Пространственный базис и аффинная система координат
Многие закономерности, которые мы рассмотрели на плоскости, будут справедливыми и для пространства. Я постарался минимизировать конспект по теории, поскольку львиная доля информации уже разжёвана.
Тем не менее, рекомендую внимательно прочитать вводную часть, так как появятся новые термины и понятия.
Теперь вместо плоскости компьютерного стола исследуем трёхмерное пространство. Сначала создадим его базис. Кто-то сейчас находится в помещении, кто-то на улице, но в любом случае нам никуда не деться от трёх измерений: ширины, длины и высоты. Поэтому для построения базиса потребуется три пространственных вектора. Одного-двух векторов мало, четвёртый – лишний.
И снова разминаемся на пальцах. Пожалуйста, поднимите руку вверх и растопырьте в разные стороны большой, указательный и средний палец . Это будут векторы , они смотрят в разные стороны, имеют разную длину и имеют разные углы между собой. Поздравляю, базис трёхмерного пространства готов! Кстати, не нужно демонстрировать такое преподавателям, как ни крути пальцами, а от определений никуда не деться =)
Далее зададимся важным вопросом, любые ли три вектора образуют базис трехмерного пространства ? Пожалуйста, плотно прижмите три пальца к столешнице компьютерного стола.
Что произошло? Три вектора расположились в одной плоскости, и, грубо говоря, у нас пропало одно из измерений – высота. Такие векторы являются компланарными и, совершенно очевидно, что базиса трёхмерного пространства не создают.
Следует отметить, что компланарные векторы не обязаны лежать в одной плоскости, они могут находиться в параллельных плоскостях (только не делайте этого с пальцами, так отрывался только Сальвадор Дали =)).
Определение : векторы называются компланарными , если существует плоскость, которой они параллельны. Здесь логично добавить, что если такой плоскости не существует, то и векторы будут не компланарны.
Три компланарных вектора всегда линейно зависимы , то есть линейно выражаются друг через друга. Для простоты снова представим, что они лежат в одной плоскости. Во-первых, векторы мало того, что компланарны, могут быть вдобавок ещё и коллинеарны, тогда любой вектор можно выразить через любой вектор. Во втором случае, если, например, векторы не коллинеарны, то третий вектор выражается через них единственным образом: (а почему – легко догадаться по материалам предыдущего раздела).
Справедливо и обратное утверждение: три некомпланарных вектора всегда линейно независимы , то есть никоим образом не выражаются друг через друга. И, очевидно, только такие векторы могут образовать базис трёхмерного пространства.
Определение : Базисом трёхмерного пространства называется тройка линейно независимых (некомпланарных) векторов , взятых в определённом порядке , при этом любой вектор пространства единственным образом раскладывается по данному базису , где – координаты вектора в данном базисе
Напоминаю, также можно сказать, что вектор представлен в виде линейной комбинации базисных векторов.
Понятие системы координат вводится точно так же, как и для плоского случая, достаточно одной точки и любых трёх линейно независимых векторов:
началом координат , и некомпланарные векторы , взятые в определённом порядке , задают аффинную систему координат трёхмерного пространства :
Конечно, координатная сетка «косая» и малоудобная, но, тем не менее, построенная система координат позволяет нам однозначно определить координаты любого вектора и координаты любой точки пространства.
Аналогично плоскости, в аффинной системе координат пространства не будут работать некоторые формулы, о которых я уже упоминал.
Наиболее привычным и удобным частным случаем аффинной системы координат, как все догадываются, является прямоугольная система координат пространства :
Точка пространства, которая называется началом координат , и ортонормированный базис задают декартову прямоугольную систему координат пространства . Знакомая картинка:
Перед тем, как перейти к практическим заданиям, вновь систематизируем информацию:
Для трёх векторов пространства эквивалентны следующие утверждения :
1) векторы линейно независимы;
2) векторы образуют базис;
3) векторы не компланарны;
4) векторы нельзя линейно выразить друг через друга;
5) определитель, составленный из координат данных векторов, отличен от нуля.
Противоположные высказывания, думаю, понятны.
Линейная зависимость / независимость векторов пространства традиционно проверяется с помощью определителя (пункт 5).
Оставшиеся практические задания будут носить ярко выраженный алгебраический характер. Пора повесить на гвоздь геометрическую клюшку и орудовать бейсбольной битой линейной алгебры:
Три вектора пространства компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат данных векторов, равен нулю :.
Обращаю внимание на небольшой технический нюанс: координаты векторов можно записывать не только в столбцы, но и в строки (значение определителя от этого не изменится – см. свойства определителей). Но гораздо лучше в столбцы, поскольку это выгоднее для решения некоторых практических задач.
Тем читателям, которые немножко позабыли методы расчета определителей, а может и вообще слабо в них ориентируются, рекомендую один из моих самых старых уроков: Как вычислить определитель?
Пример 6
Проверить, образуют ли базис трёхмерного пространства следующие векторы:
Решение : Фактически всё решение сводится к вычислению определителя.
а) Вычислим определитель, составленный из координат векторов (определитель раскрыт по первой строке):
, значит, векторы линейно независимы (не компланарны) и образуют базис трёхмерного пространства.
Ответ : данные векторы образуют базис
б) Это пункт для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Встречаются и творческие задачи:
Пример 7
При каком значении параметра векторы будут компланарны?
Решение : Векторы компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат данных векторов равен нулю:
По существу, требуется решить уравнение с определителем. Налетаем на нули как коршуны на тушканчиков – определитель выгоднее всего раскрыть по второй строке и сразу же избавиться от минусов:
Проводим дальнейшие упрощения и сводим дело к простейшему линейному уравнению:
Ответ : при
Здесь легко выполнить проверку, для этого нужно подставить полученное значение в исходный определитель и убедиться, что , раскрыв его заново.
В заключение рассмотрим ещё одну типовую задачу, которая носит больше алгебраический характер и традиционно включается в курс линейной алгебры. Она настолько распространена, что заслуживает отдельного топика:
Доказать, что 3 вектора образуют базис трёхмерного пространстваи найти координаты 4-го вектора в данном базисе
Пример 8
Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе.
Решение : Сначала разбираемся с условием. По условию даны четыре вектора, и, как видите, у них уже есть координаты в некотором базисе. Какой это базис – нас не интересует. А интересует следующая вещь: три вектора вполне могут образовывать новый базис . И первый этап полностью совпадает с решением Примера 6, необходимо проверить, действительно ли векторы линейно независимы:
Вычислим определитель, составленный из координат векторов :
, значит, векторы линейно независимы и образуют базис трехмерного пространства.
! Важно : координаты векторов обязательно записываем в столбцы определителя, а не в строки. Иначе будет путаница в дальнейшем алгоритме решения.
Rn,
(МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИКЕ)
Разложение вектора
Разложение вектора а на составляющие — операция замены вектора а несколькими другими векторами аь а2, а3 и т. д., которые при их сложении образуют начальный вектор а; в этом случае векторы db а2, а3 и т. д. называются составляющими вектора а. Иными словами, разложение любого…(ФИЗИКА)
Базис и ранг системы векторов
Рассмотрим систему векторов (1.18) Максимально независимой подсистемой системы векторов (1.I8) называется частичный набор векторов этой системы, удовлетворяющий двум условиям: 1) векторы этого набора линейно независимы; 2) любой вектор системы (1.18) линейно выражается через векторы этого набора….(МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИКЕ)
Представление вектора в разных системах координат.
Рассмотрим две ортогональные прямолинейные координатные системы с наборами ортов (i, j, к) и (i j», k») и представим в них вектор a . Условно примем, что орты со штрихами отвечают новой системе координат, а без штрихов — старой. Представим вектор в виде разложения по осям как старой, так и новой систем…Разложение вектора в ортогональном базисе
Рассмотрим базис пространства Rn, в котором каждый вектор ортогонален остальным векторам базиса: Ортогональные базисы известны и хорошо представимы на плоскости и в пространстве (рис. 1.6). Базисы такого вида удобны прежде всего тем, что координаты разложения произвольного вектора определяются…(МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИКЕ)
Векторы и их представления в координатных системах
Понятие вектора связывается с определенными физическими величинами, которые характеризуются своей интенсивностью (величиной) и направлением в пространстве. Такими величинами являются, например, сила, действующая на материальное тело, скорость определенной точки этого тела, ускорение материальной частицы.
..(МЕХАНИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ: ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ И ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ)
Простейшие аналитические представления произвольной эллиптической функции
Представление эллиптической функции в виде суммы простейших элементов. Пусть / (z) есть эллиптическая функция порядка s с простыми полюсами jjt, $s, лежащими в параллелограме периодов. Обозначая через Bk вычет функции относительно полюса мы имеем, что 2 ?л = 0 (§ 1»п. 3, теорема…(ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО)
Онлайн калькуляторы для решения математики
Рубрики
Математика
Онлайн калькуляторы по высшей математике
Здесь представлены онлайн калькуляторы для решения различных задач по математике. Охватываются такие области математики, как интегралы, производные, пределы, операции с матрицами, задачи по аналитической геометрии, построение графиков онлайн и т. д..
В разделе «Онлайн сервисы» вам предоставлена возможность решать онлайн интегралы, брать производные, пределы, считать ряды практически для любых функций.
Решение задач производится автоматически программой и является быстрым и абсолютно бесплатным.
Все калькуляторы выдают ответ с подробным решением. Считайте легко, быстро и надежно вместе с нами.
С помощью онлайн сервиса получите правильный ответ и проверьте своё решение!
- Правила ввода функций и констант Инженерный калькулятор Математический анализ
- Вычислить неопределенный интеграл Вычислить определенный интеграл Вычислить двойной интеграл Вычислить производную Вычислить предел функции Вычислить сумму ряда
- Найти определитель матрицы Найти обратную матрицу
- Решение дифференциальных уравнений Решение квадратных уравнений Решение системы линейных уравнений (метод подстановки) Решение системы линейных уравнений (метод Гаусса) Решение системы линейных уравнений (метод Крамера) Решение системы линейных уравнений (матричный метод)
- Уравнение прямой по двум точкам Уравнение плоскости по трем точкам Расстояние между точкой и прямой Расстояние между точкой и плоскостью
- Скалярное произведение векторов Векторное произведение векторов Смешанное произведение векторов Проверить, образуют ли вектора базис Разложить вектор по базису
- Построить график онлайн
Закажите работу
Компания Matematikam.
ru предлагает вам свои услуги по решению контрольных работ по математике, физике, теории вероятности!
Контрольные работы на заказ!
Только у нас вы найдете одновременно низкие цены, короткие сроки и высокое качество исполнения контрольных работ на заказ. Мы решаем контрольные работы любой сложности. Наши специалисты имеют большой опыт и сердняя оценка, выставляемая клиентами за выполненные работы, составляет 9.75 баллов.
Заказать работу по физике
Закажите контрольную по физике или математике на Matematikam. ru и вы получите отличный сервис, полное сопровождение заказа, бесплатные доработки и ответы по работе на любые ваши вопросы и уточнения. Закажите контрольную работу у нас и вы убедитесь — как просто и безопасно может быть получение решения сложной и трудоемкой работы!
Здесь представлены онлайн калькуляторы для решения различных задач по математике. Охватываются такие области математики, как интегралы, производные, пределы, операции с матрицами, задачи по аналитической геометрии, построение графиков онлайн и т.
д..
В разделе «Онлайн сервисы» вам предоставлена возможность решать онлайн интегралы, брать производные, пределы, считать ряды практически для любых функций. Решение задач производится автоматически программой и является быстрым и абсолютно бесплатным.
Все калькуляторы выдают ответ с подробным решением. Считайте легко, быстро и надежно вместе с нами.
С помощью онлайн сервиса получите правильный ответ и проверьте своё решение!
- Правила ввода функций и констант Инженерный калькулятор Математический анализ
- Вычислить неопределенный интеграл Вычислить определенный интеграл Вычислить двойной интеграл Вычислить производную Вычислить предел функции Вычислить сумму ряда
- Найти определитель матрицы Найти обратную матрицу
- Решение дифференциальных уравнений Решение квадратных уравнений Решение системы линейных уравнений (метод подстановки) Решение системы линейных уравнений (метод Гаусса) Решение системы линейных уравнений (метод Крамера) Решение системы линейных уравнений (матричный метод)
- Уравнение прямой по двум точкам Уравнение плоскости по трем точкам Расстояние между точкой и прямой Расстояние между точкой и плоскостью
- Скалярное произведение векторов Векторное произведение векторов Смешанное произведение векторов Проверить, образуют ли вектора базис Разложить вектор по базису
- Построить график онлайн
Решение системы линейных уравнений метод подстановки.
Matematikam. ru
02.01.2019 11:07:37
2019-01-02 11:07:37
Источники:
Https://matematikam. ru/calculate-online/
Онлайн-калькулятор. Примеры решений задач по математике » /> » /> .keyword { color: red; }
Онлайн калькуляторы по высшей математикеДля преобразования сложных математических вычислений и оформления их результатов можно использовать этот калькулятор.
Примеры решений
Теория вероятностей и математическая статистика
Информатика
Высшая математика
Линейная алгебра
Методы решения СЛАУ
Аналитическая геометрия
Математический сервис
Методы оптимизации
Линейное программирование
Методы решения задачи линейного программирования
Задачи линейного программирования
Транспортная задача
Целочисленное программирование
Динамическое программирование
Нелинейное программирование
Сетевое планирование
Исследование операций
Модели теории игр
Системы и модели массового обслуживания
Статистика
Эконометрика
Все права защищены и охраняются законом.
Copyright © ООО Новый семестр 2006-2021
Информация, размещенная на сервисе Калькуляторы, относится к информационной продукции, допускаемой к обороту для детей, достигших возраста двенадцати лет в соответствии со ст. 8 ФЗ №436 от 29.12.2010 г.
Методы оптимизации.
Math. semestr. ru
29.08.2018 17:07:45
2018-08-29 17:07:45
Источники:
Https://math. semestr. ru/example. php
Онлайн калькуляторы по математике » /> » /> .keyword { color: red; }
Онлайн калькуляторы по высшей математике«Онлайн калькулятор» — это инновационная разработка нашей команды, которая безустанно работает для облегчения вашего процесса обучения. Используя такой калькулятор, решение задач онлайн будет осуществляться быстро и легко, ведь он способен помочь значительно больше, чем вы ожидаете. Математика – это предмет, который легко дается к освоению далеко не каждому ребенку. Но теперь онлайн решение уравнений, неравенств и интегралов не будет вызывать у ученика панику и страх сложного задания, ведь ребенку будет необходимо запомнить суть решения, а сложные вычисления за него сделает наш онлайн калькулятор.
Пользуются – ли нашим нововведением учителя? Безусловно, ведь такой решатель задач значительно экономит время педагога на подготовку к урокам. И абсолютно верно, если учитель позволит себе уделить время личным делам, а калькулятор, поработает вместо него. Если вы все еще сомневаетесь – попробуйте на собственном опыте, и возможности превысят ваши ожидания: действия с матрицами, статистика, теория вероятностей, действия с дробями, комбинаторика и другое. Онлайн калькулятор по школьной и высшей математике — это незаменимая вещь для каждого учащегося, не зависимо от уровня учебного заведения!
Действия с дробями
Калькулятор дробей онлайн. Сложение, вычитание, умножение и деление дробей
Вычисления с обыкновенной и десятичной дробями
Сравнение дробей онлайн
Сокращение дробей онлайн
Преобразование смешанных чисел в неправильные дроби
Преобразование неправильных дробей в смешанные числа
Онлайн калькулятор. Преобразование десятичной дроби в обыкновенную дробь
Действия с матрицами
Онлайн калькулятор.
Сложение и вычитание матрицОнлайн калькулятор. Умножение матриц
Онлайн калькулятор. Транспонированная матрица
Онлайн калькулятор. Определитель матрицы. Детерминант матрицы
Онлайн калькулятор. Ранг матрицы
Онлайн калькулятор. Обратная матрица
Онлайн калькулятор. Обратная матрица методом алгебраических дополнений
Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса
Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера
Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Матричный метод
Теория вероятностей, комбинаторика, статистика
Онлайн калькулятор. Нахождение числа перестановок из n элементов
Онлайн калькулятор. Нахождение числа размещений из n по k
Онлайн калькулятор. Нахождение числа сочетаний из n по k
Онлайн калькулятор. Нахождение математического ожидания дискретного распределения
Онлайн калькулятор. Нахождение дисперсии дискретного распределения
Отзывы учениковОставить отзыв
К ЕГЭ по математике я готовилась сама, без репетитора.
Ничего сверхъестественного я не делала: зубрила формулы и решала задачи на сайте ШпаргалкаЕГЭ.
Вообще к части В я готовилась в основном в конце 10-го класса, в 11-ом я занималась только частью С. Мой результат — 75 баллов.
Большое спасибо! Сервис нереально помог. К ЕГЭ готовился с репетитором. На занятиях использовали сайт для закрепления навыков решения различных типов задач, особенно части С. Всем рекомендую Генератор Вариантов.
Hello People. Я продвигаю свою идеологию «Втопку книжки». Зайди в ВК или на сайт ShpargalkaEGE смотри ролики по задачам. Все, что не знаешь, включая самые мелочи конспектируй и учи. Не ленись закреплять результат. Мои баллы ЕГЭ — 82.
Использовала сайт на контрольных. У нас училка брала задания из СтатГрада. В утро перед контрольной на сайте все задачи с подробными видео решениями. Лепота!
Если вы все еще сомневаетесь попробуйте на собственном опыте, и возможности превысят ваши ожидания действия с матрицами, статистика, теория вероятностей, действия с дробями, комбинаторика и другое.
Shpargalkaege. ru
05.11.2020 13:36:26
2020-11-05 13:36:26
Источники:
Http://shpargalkaege. ru/SRV. shtml
грамм-Шмидта — eMathHelp
Этот калькулятор ортонормирует набор векторов, т. е. найдет ортонормированный базис, используя процесс Грама-Шмидта, с показанными шагами.
Количество векторов:
Размер векторов:
Векторов:
Если калькулятор что-то не рассчитал, или вы обнаружили ошибку, или у вас есть предложение/отзыв, пожалуйста, напишите его в комментариях ниже.
Ваш ввод
Ортонормировать набор векторов $$$\mathbf{\vec{v_{1}}} = \left[\begin{array}{c}0\\3\\4\end {массив}\right]$$$, $$$\mathbf{\vec{v_{2}}} = \left[\begin{array}{c}1\\0\\1\end{массив}\ right]$$$, $$$\mathbf{\vec{v_{3}}} = \left[\begin{array}{c}1\\1\\3\end{массив}\right]$$ $ с использованием процесса Грама-Шмидта.
{2}} \ mathbf{\vec{u_{j}}}$$$ — векторная проекция.
Нормализованный вектор равен $$$\mathbf{\vec{e_{k}}} = \frac{\mathbf{\vec{u_{k}}}}{\mathbf{\left\lvert\vec{u_ {k}}\right\rvert}}$$$.
Шаг 1$$$\mathbf{\vec{u_{1}}} = \mathbf{\vec{v_{1}}} = \left[\begin{array}{c}0\ \3\\4\end{массив}\right]$$$
$$$\mathbf{\vec{e_{1}}} = \frac{\mathbf{\vec{u_{1}}}} {\ mathbf {\ left \ lvert \ vec {u_ {1}} \ right \ rvert}} = \ left [\ begin {array} {c} 0 \\\ frac {3} {5} \\\ frac { 4}{5}\end{array}\right]$$$ (шаги см. в калькуляторе единичных векторов).
Шаг 2$$$\mathbf{\vec{u_{2}}} = \mathbf{\vec{v_{2}}} — \text{proj}_{\mathbf{\vec{ u_{1}}}}\left(\mathbf{\vec{v_{2}}}\right) = \left[\begin{array}{c}1\\- \frac{12}{25}\ \\frac{9}{25}\end{array}\right]$$$ (шаги см. в калькуляторе векторной проекции и калькуляторе векторного вычитания).
$$$\mathbf{\vec{e_{2}}} = \frac{\mathbf{\vec{u_{2}}}}{\mathbf{\left\lvert\vec{u_{2}} \right\rvert}} = \left[\begin{array}{c}\frac{5 \sqrt{34}}{34}\\- \frac{6 \sqrt{34}}{85}\\\ гидроразрыв{9\sqrt{34}}{170}\end{array}\right]$$$ (шаги см.
в калькуляторе единичных векторов).
$$$\mathbf{\vec{u_{3}}} = \mathbf{\vec{v_{3}}} — \text{proj}_{\mathbf{\vec{ u_{1}}}}\left(\mathbf{\vec{v_{3}}}\right) — \text{proj}_{\mathbf{\vec{u_{2}}}}\left(\ mathbf{\vec{v_{3}}}\right) = \left[\begin{array}{c}- \frac{3}{17}\\- \frac{4}{17}\\\frac {3}{17}\end{array}\right]$$$ (шаги см. в разделах Калькулятор векторной проекции и Калькулятор вычитания векторов).
$$$\mathbf{\vec{e_{3}}} = \frac{\mathbf{\vec{u_{3}}}}{\mathbf{\left\lvert\vec{u_{3}} \right\rvert}} = \left[\begin{array}{c}- \frac{3 \sqrt{34}}{34}\\- \frac{2 \sqrt{34}}{17}\\ \frac{3 \sqrt{34}}{34}\end{array}\right]$$$ (шаги см. в калькуляторе единичных векторов).
Ответ
Набор ортонормированных векторов равен $$$\left\{\left[\begin{array}{c}0\\\frac{3}{5}\\\frac{4 {5}\end{массив}\right], \left[\begin{array}{c}\frac{5 \sqrt{34}}{34}\\- \frac{6 \sqrt{34}} {85}\\\frac{9 \sqrt{34}}{170}\end{массив}\right], \left[\begin{array}{c}- \frac{3 \sqrt{34}}{ 34}\\- \frac{2 \sqrt{34}}{17}\\\frac{3 \sqrt{34}}{34}\end{массив}\right]\right\}\приблизительно \left\ {\left[\begin{array}{c}0\\0,6\\0,8\end{массив}\right], \left[\begin{array}{c}0,85749п$?
Предположим, мне даны основания двух векторных пространств U и W: $$ \mathrm{Base}(U)= \left\{ \left(1,1,0,-1\right), \left(0,1,3,1\right) \right\} $$ $$ \mathrm{Base}(W) =\left\{ \left(0,-1,-2,1\right), \left(1,2,2,-2\right) \right\} $ $
Я уже вычислил $U+W$, и размерность $3$ означает, что размерность $U\cap W $ равна $1$.
Ответ якобы очевиден, в основе $U\capW$ лежит один вектор, но как его вычислить?
- линейная алгебра
- векторные пробелы
$\endgroup$
3
$\begingroup$
Предположим, что $\textbf{v} \in U \cap W$. Тогда $\textbf{v} = a(1,1,0,-1)+b(0,1,3,1)$ и $\textbf{v} = x(0,-1,-2,1 )+y(1,2,2,-2)$.
Так как $\textbf{v}-\textbf{v}=0$, то $a(1,1,0,-1)+b(0,1,3,1)-x(0,-1 ,-2,1)-y(1,2,2,-2)=0$. Если мы решим для $a, b, x$ и $y$, мы получим решение как $x=1$, $y=1$, $a=1$, $b=0$.
поэтому $\textbf{v}=(1,1,0,-1)$
Вы можете проверить результат, просто добавив $(0,-1,-2,1)$ и $(1,2 ,2,-2)$
$\endgroup$
3
$\begingroup$
Комментарий Аннана с небольшой поправкой — одна из возможностей нахождения базиса для пространства пересечений $ U \cap W $, шаги следующие:
1) Построить матрицу $ A=\begin{pmatrix}\mathrm{ База}(U) и | & -\mathrm{Base}(W)\end{pmatrix} $ и найти базисные векторы $ \textbf{s}_i=\begin{pmatrix}\textbf{u}_i \\ \textbf{v}_i\end {pmatrix} $ своего пустого пространства.
2) Для каждого базисного вектора $ \textbf{s}_i $ построить вектор $ \textbf{w}_i=\mathrm{Base}(U)\textbf{u}_i=\mathrm{Base}(W) \textbf{v}_i $.
3) Множество $ \{ \textbf{w}_1,\ \textbf{w}_2,…,\ \textbf{w}_r \}$ составляют основу пространства пересечений $span(\textbf {w}_1,\ \textbf{w}_2,…,\ \textbf{w}_r) $.
$\endgroup$
4
$\begingroup$
Я буду использовать те же идеи, что и в этом другом ответе, но добавлю более подробную информацию о некоторых шагах.
Пусть $\mathcal U$ и $\mathcal V$ — два конечномерных векторных пространства. Я хочу найти основу для пересечения $\mathcal U\cap\mathcal V$.
Пусть $U$ и $V$ — матрицы, столбцы которых являются базисными векторами $\mathcal U$ и $\mathcal V$ соответственно. В этом случае задача эквивалентна описанию $\operatorname{Range}(U)\cap \operatorname{Range}(V)$.
Другими словами, проблема состоит в том, чтобы найти ненулевые решения относительно $x,y$ матричного уравнения
$$Ux=Vy.\тег A$$
Действительно, $z\in\operatorname{Диапазон}(U)\cap \operatorname{Диапазон}(V)$ тогда и только тогда, когда существуют такие $x,y$, что $z=Ux=Vy$.
Теперь, чтобы решить (A) , мы можем определить $A\equiv(U|-V)$ (это матрица со столбцами полного набора векторов в обоих основаниях $\mathcal U$ и $ \mathcal V$) и найти его нулевое пространство. Действительно, $AX=0$, где $X\equiv\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ влечет $Ux=Vy$.
Когда у нас есть полный базисный набор для нулевого пространства $A$ в виде ортонормированного набора векторов $\{X_i\}$ (где каждый $X_i$ соответствует паре $x_i,y_i$), мы можем вычислить соответствующий набор векторов в искомом пересечении, просто вычислив $w_i\equiv Ux_i=Vy_i$ для каждого $i$.
Теперь нужно доказать, что $\{w_i\}_i$ линейно независима. Предположим, что $\sum_i c_i w_i=0$.
Тогда $U(\sum_i c_i x_i)=0$ и $V(\sum_i c_i y_i)=0$. Но поскольку $\operatorname{Ker}(U)=\operatorname{Ker}(V)=\{0\}$, это означает, что $\sum_i c_i x_i=\sum_i c_i y_i=0$.
Но это, в свою очередь, эквивалентно тому, что $\sum_i c_i X_i=0$, а поскольку $\{X_i\}$ — линейно независимое множество, отсюда следует $c_i=0$.
Делаем вывод, что $\{w_i\}$, где $w_i\equiv U x_i=V y_i$ и $\{(x_i, y_i)\}_i$ является базисом для $\operatorname{Ker}[(U |-V)]$, является основой для $\mathcal U \cap\mathcal V$.
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Параметризовать оба векторных пространства (используя разные переменные!) и установить их равными друг другу. Тогда у вас получится система из 4-х уравнений и 4-х неизвестных, которую вы сможете решить. Ваши решения будут в обоих векторных пространствах.
$\endgroup$
$\begingroup$
Это одномерное векторное пространство, поэтому найдите любой ненулевой вектор, который находится в обоих пространствах, и он будет основой.
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Позвольте мне попытаться описать другую интерпретацию общих методов вычисления пересечений двух векторных подпространств.
Исправьте базовое поле $k$.
Во-первых, существует хорошо известный метод вычисления ядра и коядра линейной карты. Точнее, пусть $E,F$ — два векторных пространства, а $T\colon E\to F$ — линейное отображение. Рецепт состоит в том, чтобы рассмотреть матрицу $\begin{pmatrix}T\\I\end{pmatrix}$ и выполнить элементарные операции со столбцами над матрицей вида $\begin{pmatrix}J&0&0\\J’&K&0\end{pmatrix}$ где $J$ имеет то же количество строк, что и $T$, а $J,K$ имеют полный ранг столбца. Тогда векторы-столбцы $K$ свободно порождают $\ker T$, а векторы-столбцы $J$ свободно порождают $\operatorname{Im}T$. 9n$ — векторное пространство, а $E,F\subseteq V$ — два векторных подпространства.
Рассмотрим отображение $T\colon E\oplus F\to V, x\oplus y\mapsto x+y$. Обратите внимание, что $\ker T\cong E\cap F$ (реализуемый линейным отображением $E\cap F\to\ker T,x\mapsto x\oplus(-x)$) и $\operatorname{Im}T =E+F$. Затем мы можем применить предыдущий рецепт для вычисления $E\cap F$ и $E+F$ за одно и то же время.
В явном виде мы начинаем с баз $B_E$ и $B_F$ из $E$ и $F$ соответственно. Пусть $B=\begin{pmatrix}B_E&B_F\end{pmatrix}$, и мы формируем матрицу $\begin{pmatrix}B\\I\end{pmatrix}$. Как и прежде, мы выполняем элементарные операции со столбцами, чтобы получить матрицу типа $\begin{pmatrix}J&0&0\\J’&K&0\end{pmatrix}$, где $J,K$ имеют полный ранг столбца. Тогда столбцы $J$ свободно порождают $E+F$ в $V$, а столбцы $K$ свободно порождают образ инъективного линейного отображения $E\cap F\to E\oplus F,x\mapsto x \оплюс(-х)$. Для восстановления базы $E\cap F$ достаточно взять прообразы, то есть взять первые координаты $\dim E$ и произвести линейную комбинацию с выбранной базой $B_E$ $E$.