Решатель уравнений с корнями: Выразить переменную y через x · Калькулятор Онлайн

alexxlab / / Разное
2+6} \approx 13 + \frac{6}{2 \cdot 13} \approx 13,23 $

Пример решения иррационального уравнения с двумя корнями

Нам нужно решить иррациональное уравнение (см. что такое иррациональное уравнение). В его записи присутствуют два корня и еще одно слагаемое помимо них. Такие иррациональные уравнения очень характерны, для их решения обычно используется метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Причем, для избавления от обоих радикалов к возведению обеих частей уравнения в степень придется прибегать два раза.

Напомним последовательность действий для решения иррациональных уравнений по методу возведения обеих частей в одну и ту же степень:

  • Во-первых, переходим к более простому уравнению, для чего циклически выполняем следующие три действия:
    • Уединяем радикал.
    • Возводим обе части полученного уравнения в одну и ту же натуральную степень.
    • Упрощаем вид уравнения, полученного после возведения в степень.
  • Во-вторых, решаем полученное уравнение.
  • В-третьих, отсеиваем посторонние корни, если выше проводилось возведение в четную степень.

Начнем. Выполним тройку действий – уединение радикала, возведение в степень, упрощение вида – в первый раз.

Уединение радикала приводит нас к уравнению .

Так как степень уединенного корня равна двум, то возведем обе части уравнения во вторую степень: , что дальше позволит избавиться от уединенного радикала.

Теперь упростим вид полученного уравнения при помощи преобразования уравнений. В первую очередь, базируясь на определении корня, заменим выражение в левой части тождественно равным выражением x−6, и, учитывая формулу сокращенного умножения «квадрат разности», заменим выражение в правой части тождественно равными ему выражением .

Имеем . Продолжим упрощать вид уравнения. Вновь оттолкнемся от определения корня для замены выражения тождественно равным ему выражением x+2, а числовое выражение 22 заменим его значением четыре: . Дальнейшие преобразования не нуждаются в комментариях:

Очевидно, после первого прохода цикла мы освободились от одного корня, но остался еще один корень. Поэтому второй раз выполним указанную тройку действий – уединение радикала, возведение обеих частей уравнения в степень, упрощение выражения.

В уравнении уединять радикал не нужно, так как это уже сделано.

Для избавления от квадратного корня выполним возведение обеих частей уравнения в квадрат: .

Упрощаем вид полученного уравнения:

x+2=9,
x=7.

Так мы получили тривиальное уравнение. На этом первый этап решения по методу возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень завершен. Переходим ко второму этапу.

Второй этап – решение полученного уравнения – также можно считать завершенным, так как корень уравнения x=7 очевиден. Это число 7.

Остается третий этап решения – отсеивание посторонних корней. В нашем случае отсеивание обязательно, так как некоторые из проводимых выше преобразований могли привести к появлению посторонних корней. Действительно, мы дважды прибегали к возведению обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, а, как известно, такое преобразование может привести к появлению посторонних корней. Также в цепочке преобразований был переход от уравнения к уравнению x+2=9, при котором расширилась ОДЗ, что тоже могло привести к появлению посторонних корней. Так что проведем отсеивание посторонних корней. Сделаем это через

проверку подстановкой. Подставим найденный корень в иррациональное уравнение , имеем

Подстановка дала верное числовое равенство, значит, x=7 является искомым корнем.

На этом решение иррационального уравнения методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень завершено, оно потребовало двух возведений в степень для избавления от двух корней.

Приведем краткий вариант решения:

Поиск полиномиального корня и одновременное решение уравнений — Texas Instruments

Расширьте преимущества и функции TI-86 на своем калькуляторе.

Прочтите лицензию, прежде чем продолжить. Скачивая приложение, вы подтверждаете свое согласие с условиями Лицензии.

ЛИЦЕНЗИОННОЕ СОГЛАШЕНИЕ НА ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ TEXAS INSTRUMENTS

Загружая программное обеспечение и/или документацию, вы соглашаетесь соблюдать следующие положения.

  1. Лицензия: При условии оплаты вами любого применимого лицензионного сбора, Texas Instruments Incorporated («TI») предоставляет вам лицензию на копирование и использование программного обеспечения на калькуляторе TI, а также на копирование и использование документации. со связанной веб-страницы или компакт-диска (как программное обеспечение, так и документация являются «Лицензионными материалами»). В дополнение к копии, хранящейся на вашем калькуляторе, вы можете хранить копию на своем компьютере только в целях резервного копирования/архивирования.
  2. Ограничения: Вы не можете осуществлять обратную сборку или обратную компиляцию программной части Лицензионных материалов, которые предоставляются в формате объектного кода. Вы не можете продавать, сдавать в аренду или сдавать в аренду копии Лицензионных материалов. Вы не можете использовать Лицензионные материалы на каком-либо эмуляторе калькулятора TI, если эмулятор не получен от TI.
  3. Поддержка: Поддержка Лицензионных материалов описана в документации, прилагаемой к программному обеспечению. При отсутствии такой документации поддержка предоставляется TI.
  4. Авторское право: Лицензионные материалы и любая сопутствующая документация защищены авторским правом. Если вы делаете копии, не удаляйте с копий уведомление об авторских правах, товарный знак или защиту.
  5. Гарантия: TI гарантирует, что имеет право предоставлять Лицензионные материалы.
    TI не гарантирует, что Лицензионные материалы не будут содержать ошибок или будут соответствовать вашим конкретным требованиям.

    Лицензируемые материалы предоставляются «КАК ЕСТЬ» вам или любому последующему пользователю.

    Несмотря на то, что гарантия на Лицензионные материалы не предоставляется, носитель (если таковой имеется) будет заменен, если будет обнаружен дефект в течение первых трех (3) месяцев использования, когда упаковка будет возвращена TI с предоплатой почтовых расходов. ЭТОТ ПУНКТ ВЫРАЖАЕТ МАКСИМАЛЬНУЮ ОТВЕТСТВЕННОСТЬ TI И ВАШЕ ЕДИНСТВЕННОЕ И ИСКЛЮЧИТЕЛЬНОЕ СРЕДСТВО.

  6. Ограничения: За исключением случаев, прямо указанных выше, TI не дает никаких явных или подразумеваемых гарантий или условий, включая, помимо прочего, любые подразумеваемые гарантии товарного состояния и пригодности для определенной цели в отношении Лицензионных материалов.

    Ни при каких обстоятельствах TI или ее поставщики не несут ответственности за любые косвенные, случайные или косвенные убытки, упущенную выгоду, потерю использования или данных или прерывание деятельности, независимо от того, обозначены ли предполагаемые убытки как гражданское правонарушение, договор или возмещение убытков.

    В некоторых штатах или юрисдикциях не допускается исключение или ограничение случайных или косвенных убытков, поэтому указанное выше ограничение может не применяться.

    Настоящее Соглашение немедленно прекращает свое действие, если вы не выполняете его условия. После расторжения настоящего Соглашения вы соглашаетесь вернуть или уничтожить исходный пакет и все полные или частичные копии Программы, находящиеся в вашем распоряжении, и подтверждаете это в письменной форме TI.

    Экспорт и реэкспорт оригинального программного обеспечения и документации из США регулируется Законом об управлении экспортом 1969 г. с поправками. Ответственность за соблюдение таких правил лежит на вас. Вы соглашаетесь с тем, что вы не намереваетесь и не будете прямо или косвенно экспортировать, реэкспортировать или передавать Программу или технические данные в любую страну, в которую такой экспорт, реэкспорт или передача ограничены любым применимым законодательством США или закона, без надлежащего письменного согласия или лицензии, если требуется, Бюро экспортного управления Министерства торговли США или такого другого государственного органа, который может иметь юрисдикцию в отношении такого экспорта, реэкспорта или передачи.

    Если Программа предоставляется Правительству США в соответствии с ходатайством, направленным 1 декабря 1995 г. или после этой даты, Программа предоставляется с коммерческими лицензионными правами и ограничениями, описанными в других разделах настоящего документа. Если Программа предоставляется Правительству США в соответствии с запросом, направленным до 1 декабря 1995 г., Программа предоставляется с «Ограниченными правами», как это предусмотрено в FAR, 48 CFR 52.227-14 (июнь 1987 г.) или DFAR, 48 CFR. 252.227-7013 (октябрь 1988 г.), если применимо.

Скачать элемент PDF Версия Размер (КБ) Пространства приложений
Поиск полиномиальных корней и одновременное решение уравнений 2. 00 56 2
Путеводители
Руководство по поиску полиномиального корня и одновременному уравнению для TI-83 Plus / TI-84 Plus (на английском языке) Вид: 344
Руководство по поиску полиномиального корня и одновременному уравнению для TI-83 Plus / TI-84 Plus (Suomalainen) Вид: 265
Руководство по поиску полиномиального корня и одновременному уравнению для TI-83 Plus / TI-84 Plus (Deutsch) Вид: 208
Руководство по поиску полиномиального корня и одновременному уравнению для TI-83 Plus / TI-84 Plus (Espanol) Вид: 373
Руководство по поиску полиномиального корня и одновременному уравнению для TI-83 Plus / TI-84 Plus (Франция) Вид: 377

Поиск полиномиального корня

  • Ввод полиномов до порядка (степени) 10 включительно
  • Простой в использовании экран POLY MODE для настройки всех параметров
  • Отображение корней в виде дробей или десятичных знаков для многих корней
  • Выберите отображение только вещественных корней для полиномов 2-й и 3-й степени
  • Для многочленов степени 4 и выше корни отображаются в комплексном формате
  • Сохранение полиномов в Y= для построения графиков и оценки
  • Убедитесь, что корень является нулем полиномиальной функции, сохранив корни в вещественном формате.

Решатель одновременных уравнений

  • Ввод систем уравнений, содержащих до 10 уравнений и 10 неизвестных
  • Простой в использовании экран SIMULT MODE для настройки всех параметров
  • Отображает единственное решение, бесконечное решение и отсутствие решения
  • Сохранить матрицу коэффициентов, расширенную матрицу и решение
  • Дисплеи с уменьшенной строкой формы Echelon

  • Приложение для поиска корней полиномов и одновременного решения уравнений доступно для графических калькуляторов TI-83 Plus, TI-83 Plus Silver Edition, TI-84 Plus и TI-84 Plus Silver Edition. Приложение Polynomial Root Finder и приложение Simultaneous Equation Solver доступны отдельно для графических калькуляторов TI-89, TI-89 Titanium, TI-92 Plus и Voyage 200.

[Polynomial Solvers] Набор решателей полиномиальных уравнений, написанных на Swift. #Math · GitHub

[Полиномиальные решатели] Набор решателей полиномиальных уравнений, написанных на Swift. #Математика

Большинство уравнений необходимо решать численно, так как нельзя получить близкое выражение, представляющее их решения. Для полиномиальных уравнений 1, 2, 3, 4 порядка можно получить точные решения. Я создал серию решателей вплоть до кубического решателя, которые можно использовать для получения наиболее точных решений. Конечно, с ошибками с плавающей запятой не все будет выглядеть чистым. Чтобы иметь возможность обрабатывать комплексные числа, я сделал упрощенную версию комплексного числа без всех математических операций.

Если вы вызовете функцию CubaseSolve с a = 0 , то решатель вернется к квадратичному решателю, квадратичный решатель вернется к линейному решателю, а линейный решатель вернет пустой массив (спасибо, что поймали это u\korbonix ).

Пример использования 

 пусть решения = кубическое решение (a: 1, b: 1, c: 1, d: 1)
let realSolutions = Solutions. filter({ $0.isReal }) // фильтрует только реальные значения
let complexSolutions = Solutions.filter({ !$0.isReal }) // фильтрует только комплексные значения

Комплексный номер

Здесь я создал структуру для размещения действительной и мнимой частей комплексного числа, Я добавил свойство isReal, которое возвращает Bool в зависимости от того, равна ли мнимая часть 0 или нет.

 /// Комплексный номер
структура сложного числа {
 var real: Двойной
 вар воображаемый: Двойной 
 публичная инициализация (_ реальная: двойная, _ воображаемая: двойная) {
 самостоятельный = реальный
 self.imaginary = воображаемый
 } 
 public init(_ real: Double) {
 самостоятельный = реальный
 самовоображаемый = 0
 } 
 var isReal: Bool {
 если мнимый == 0 {вернуть истину}
 вернуть ложь
 }
}
расширение КомплексныйНомер {
 статическая функция ноль () -> Self {
 вернуть комплексное число (0, 0)
 }
}
расширение ComplexNumber: CustomStringConvertible {
 Описание переменной: Строка {
 return "(Реальный: \(реальный), Воображаемый: \(воображаемый)"
 }
} 92 -4*а*в`
/// я. если d > 0, уравнение имеет два различных действительных корня.
/// II. если d = 0, уравнение имеет два повторяющихся действительных корня.
/// III. при d < 0 уравнение имеет два комплексных корня.
///
///
func quadraticSolve(a: Double, b: Double, c: Double, threshold: Double = 0,0001) -> [ComplexNumber] {
 если a == 0 { вернуть linearSolve (a: b, b: c) } 
 var roots = [ComplexNumber]() 
 var d = pow(b, 2) - 4*a*c // дискриминант 
 // Проверяем, находится ли различение в пределах порога 0
 если -порог < d && d < порог { d = 0 } 
 если д > 0 { 
 пусть x_1 = комплексное число ((-b + sqrt (d))/(2 * a))
 пусть x_2 = ComplexNumber((-b - sqrt(d))/(2*a))
 корни = [x_1, x_2] 
 } иначе, если d == 0 { 
 пусть x = КомплексноеЧисло(-b/(2*a))
 корни = [х, х] 
 } иначе, если d < 0 { 
 пусть x_1 = комплексное число (-b/(2*a), sqrt(-d)/(2*a))
 пусть x_2 = комплексное число (-b/(2*a), -sqrt(-d)/(2*a))
 корни = [x_1, x_2] 
 } 
 вернуть корни
} 92`
///
/// а. Если `D > 0`, один действительный корень с 2 комплексно-сопряженными корнями.
/// б. если `D = 0`, все корни действительны и по крайней мере 2 повторяются.
/// с. Если `D < 0`, все корни вещественные и неравные.
///
///
/// 2А. D > 0`, где `cbrt` и `sqrt` — кубический и квадратный корень соответственно.
///
/// 1. Единственное реальное решение: `x_1 = КомплексноеЧисло(s + t - (1/3)*a_1)`
/// 2. Первое комплексное решение: `x_2 = КомплексноеЧисло(-(1/2)*(s+t) - (1/3)*a_1, (1/2)*sqrt(3)*(s - t ))`
/// 3. Второе комплексное решение: `x_3 = КомплексноеЧисло(-(1/2)*(s+t) - (1/3)*a_1, -(1/2)*sqrt(3)*(s - т))`
///
/// 2Б. Для `D = 0` и `D < 0` можно использовать тригонометрию. Пусть `theta = acos(r/sqrt(-pow(q, 3)))`
///
/// 1.`x_1 = ComplexNumber(2*sqrt(-q)*cos((1/3)*theta) - (1/3)*a_1)`
/// 2.`x_2 = ComplexNumber(2*sqrt(-q)*cos((1/3)*theta + 2*Double.pi/3) - (1/3)*a_1)`
/// 3.`x_3 = ComplexNumber(2*sqrt(-q)*cos((1/3)*theta + 4*Double.pi/3) - (1/3)*a_1)`
///
///
///
///
///
func cubeSolve(a: Double, b: Double, c: Double, d: Double, threshold: Double = 0. 0001) -> [ComplexNumber] {
 // если не кубическое, вернуться к квадратичному
 если a == 0 { вернуть quadraticSolve (a: b, b: c, c: d) } 
 var roots = [ComplexNumber]() 
 пусть а_1 = б/а
 пусть а_2 = с/а
 пусть a_3 = d/a 
 пусть q = (3*a_2 - pow(a_1, 2))/9пусть r = (9*a_1*a_2 - 27*a_3 - 2*pow(a_1, 3))/54 
 пусть s = cbrt(r + sqrt(pow(q, 3)+pow(r, 2)))
 пусть t = cbrt(r - sqrt(pow(q, 3)+pow(r, 2))) 
 var d = pow(q, 3) + pow(r, 2) // дискриминант 
 // Проверяем, находится ли d в пределах нулевого порога
 если -порог < d && d < порог { d = 0 } 
 если д > 0 { 
 пусть x_1 = комплексное число (s + t - (1/3) * a_1)
 пусть x_2 = комплексное число (- (1/2) * (s + t) - (1/3) * a_1, (1/2) * sqrt (3) * (s - t))
 пусть x_3 = комплексное число (- (1/2) * (s + t) - (1/3) * a_1, - (1/2) * sqrt (3) * (s - t))
 корни = [x_1, x_2, x_3] 
 } иначе, если d <= 0 { 
 пусть theta = acos(r/sqrt(-pow(q, 3)))
 пусть x_1 = ComplexNumber (2 * sqrt (-q) * cos ((1/3) * theta) - (1/3) * a_1)
 пусть x_2 = ComplexNumber(2*sqrt(-q)*cos((1/3)*theta + 2*Double.
No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *