Решение неравенств дробно линейных: Дробные неравенства и их решение

Содержание

Математика: Справ. материалы

Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся.— М.: Просвещение, 1988.— 416 с.

В книге дано краткое изложение основных разделов школьных курсов алгебры и начал анализа, геометрии. Книга окажет помощь в систематизации и обобщении знаний по математике.

СЛОВО К УЧАЩИМСЯ
ГЛАВА I. ЧИСЛА
§ 1. Натуральные числа
2. Арифметические действия над натуральными числами.
3. Деление с остатком.
4. Признаки делимости.
5. Разложение натурального числа на простые множители.
6. Наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел.
7. Наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел.

8. Употребление букв в алгебре. Переменные.
§ 2. Рациональные числа
10. Равенство дробей. Основное свойство дроби. Сокращение дробей.
11. Приведение дробей к общему знаменателю.
12. Арифметические действия над обыкновенными дробями.
13. Десятичные дроби.
14. Арифметические действия над десятичными дробями.
15. Проценты.
16. Обращение обыкновенной дроби в бесконечную десятичную периодическую дробь.
17. Обращение бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь.
18. Координатная прямая.
19. Множество рациональных чисел.
§ 3. Действительные числа
21. Действительные числа. Числовая прямая.
22 Обозначения некоторых числовых множеств.
23. Сравнение действительных чисел.
25. Числовые промежутки.
26. Модуль действительного числа.
27. Формула расстояния между двумя точками координатной прямой.
28. Правила действий над действительными числами.
29. Свойства арифметических действий над действительными числами.

30. Пропорции.
31. Целая часть числа. Дробная часть числа.
32. Степень с натуральным показателем.
33. Степень с нулевым показателем. Степень с отрицательным целым показателем.
34. Стандартный вид положительного действительного числа.
35. Определение арифметического корня.
36. Корень нечетной степени из отрицательного числа.
37. Степень с дробным показателем.
38. Свойства степеней с рациональными показателями.
39. Приближенные значения чисел. Абсолютная и относительная погрешности.
40. Десятичные приближения действительного числа по недостатку и по избытку.
41. Правило извлечения квадратного корня из натурального числа.
42. Понятие о степени с иррациональным показателем.
43. Свойства степеней с действительными показателями.
§ 4. Комплексные числа
45. Арифметические операции над комплексными числами.
46. Алгебраическая форма комплексного числа.
47. Отыскание комплексных корней уравнений.
ГЛАВА II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
49.

3.
112. Построение графика функции y = f(x-m)+n
113. График квадратичной функции.
114. Способы построения графика квадратичной функции
115. Построение графика функции y = f(kx).
116. Сжатие и растяжение графиков тригонометрических функций.
117. График гармонического колебания
ГЛАВА IV. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
§ 12. Преобразование выражений, содержащих переменную под знаком логарифма
119. Определение логарифма положительного числа по данному основанию.
120. Свойства логарифмов.
121. Переход к новому основанию логарифма.
122. Логарифмирование и потенцирование.
123. Десятичный логарифм. Характеристика и мантисса десятичного логарифма.
§ 13. Формулы тригонометрии и их использование для преобразования тригонометрических выражений

125. Формулы сложения и вычитания аргументов.
126. Формулы приведения.
127. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.
128. Формулы двойного угла.
129. Формулы понижения степени.

130. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение.
131. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму.
132. Преобразование выражения a cos t + b sin t к виду A sin (t + a).
133. Примеры преобразований выражений, содержащих обратные тригонометрические функции.
ГЛАВА V. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
§ 14. Уравнения с одной переменной
135. Равносильность уравнений.
136. Линейные уравнения.
137. Квадратные уравнения.
138. Неполные квадратные уравнения.
139. Теорема Виета.
140. Системы и совокупности уравнений.
141. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.
142. Понятие следствия уравнения. Посторонние корни.
143. Уравнения с переменной в знаменателе.
144. Область определения уравнения.
145. Рациональные уравнения.
146. Решение уравнения p(x) = 0 методом разложения его левой части на множители.
147. Решение уравнений методом введения новой переменной.
148. Биквадратные уравнения.

149. Решение задач с помощью составления уравнений.
150. Иррациональные уравнения.
151. Показательные уравнения.
152. Логарифмические уравнения.
153. Примеры решения показательно-логарифмических уравнений.
154. Простейшие тригонометрические уравнения.
155. Методы решения тригонометрических уравнений.
156. Универсальная подстановка (для тригонометрических уравнений).
157. Метод введения вспомогательного аргумента (для тригонометрических уравнений).

158. Графическое решение уравнений.
159. Уравнения с параметром.
§ 15. Уравнения с двумя переменными
161. График уравнения с двумя переменными.
162. Линейное уравнение с двумя переменными и его график.
§ 16. Системы уравнений
164. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом подстановки.
165. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом сложения.
167. Графическое решение систем двух уравнений с двумя переменными.
168. Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

169. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методами умножения и деления.
170. Системы показательных и логарифмических уравнений.
171. Системы тригонометрических уравнений с двумя переменными.
172. Системы трех уравнений с тремя переменными.
173. Решение задач с помощью составления систем уравнений.

Глава VI. НЕРАВЕНСТВА
§ 17. Решение неравенств с переменной
175. Графическое решение неравенств с одной переменной.
176. Линейные неравенства с одной переменной.
177. Системы неравенств с одной переменной.
178. Совокупность неравенств с одной переменной.
179. Дробно-линейные неравенства.
180. Неравенства второй степени.
181. Графическое решение неравенств второй степени.
182. Неравенства с модулями.
183. Решение рациональных неравенств методом промежутков.
184. Показательные неравенства.
185. Логарифмические неравенства.
186. Иррациональные неравенства.
187. Решение тригонометрических неравенств.
188.

Неравенства и системы неравенств с двумя переменными.
§ 18. Доказательство неравенств
190. Синтетический метод доказательства неравенств.
191. Доказательство неравенств методом от противного.

192. Использование неравенств при решении уравнений.
ГЛАВА VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
§ 19. Числовые последовательности
194. Способы задания последовательности.
195. Возрастание и убывание последовательности.
196. Определение арифметической прогрессии.
197. Свойства арифметической прогрессии
198. Определение геометрической прогрессии.
199. Свойства геометрической прогрессии.
200. Понятие о пределе последовательности.
201. Вычисление пределов последовательностей.
202. Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q| § 20. Предел функции
204. Вычисление пределов функции при х->оо.
205. Предел функции в точке. Непрерывные функции.
206. Вертикальная асимптота.
207. Вычисление пределов функций в точке.
§ 21.

Производная и ее применения
209. Определение производной.
210. Формулы дифференцирования. Таблица производных.
211. Дифференцирование суммы, произведения, частного.
212. Сложная функция и ее дифференцирование.
213. Физический смысл производной.
214. Вторая производная и ее физический смысл.
215. Касательная к графику функции.
216. Применение производной к исследованию функций на монотонность.
217. Применение производной к исследованию функций на экстремум.
218. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке.
219. Отыскание наибольшего или наименьшего значения непрерывной функции на незамкнутом промежутке.
220. Задачи на отыскание наибольших или наименьших значений величин.
221. Применение производной для доказательства тождеств.
222. Применение производной для доказательства неравенств.
223. Общая схема построения графика функции.
§ 22. Первообразная и интеграл
225. Таблица первообразных.
226.

Правила вычисления первообразных.
227. Интеграл.
228. Связь между интегралов и первообразной (формула Ньютона—Лейбница).
229. Правила вычисления интегралов.
230. Использование интеграла для вычисления площадей плоских фигур.
ГЕОМЕТРИЯ. ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ
2. Точка. Прямая.
3. Определения. Аксиомы. Теоремы.
§ 2. Основные свойства простейших геометрических фигур
5. Луч.
6. Окружность. Круг.
7. Полуплоскость.
8. Угол. Градусная мера угла.
9. Смежные и вертикальные углы.
10. Центральные и вписанные углы.
11. Параллельные прямые.
12. Признаки параллельности прямых.
13. Перпендикулярные прямые.
14. Касательная к окружности.
15. Треугольники.
16. Равенство треугольников.
17. Равнобедренный треугольник.
18. Сумма углов треугольника.
19. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.
20. Окружности, вписанные в треугольник и описанные около треугольника.
§ 3. Геометрические построения на плоскости
22.

Простейшие задачи на построение.
23. Геометрическое место точек на плоскости.
§ 4. Четырехугольники
25. Параллелограмм.
26. Прямоугольник. Ромб. Квадрат.
27. Трапеция.
§ 5. Многоугольники
29. Выпуклые многоугольники.
30. Правильные многоугольники.
31. Длина окружности.
§ 6. Решение треугольников
33. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.
34. Теорема косинусов. Теорема синусов.
35. Решение треугольников.
§ 7. Площади плоских фигур
37. Площади многоугольников.
38. Площади подобных фигур.
39. Площадь круга.
ГЛАВА II. Прямые и плоскости в пространстве
§ 9. Параллельность прямых и плоскостей
42. Параллельность прямой и плоскости.
43. Параллельные плоскости.
§ 10. Перпендикулярность прямых и плоскостей
45. Перпендикуляр и наклонная к плоскости.
46. Перпендикулярность плоскостей.
ГЛАВА III. ТЕЛА В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 11. Многогранники
48. Многогранные углы. Многогранники.

49. Призма. Параллелепипед. Куб.
50. Пираприда.
51. Правильные многогранники.
§ 12. Тела вращения
53. Конус.
54. Шар.
§ 13. Изображение пространственных фигур на плоскости
56. Ортогональное проектирование.
57. Геометрическое место точек в пространстве.
§ 14. Объемы тел
59. Объем параллелепипеда, призмы и пирамиды.
60. Объем цилиндра и конуса.
61. Общая формула объемов тел вращения.
§ 15. Площади поверхностей тел
63. Понятие площади поверхности.
64. Площади поверхностей тел вращения.
ГЛАВА IV. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ
§ 16. Координаты на плоскости и в пространстве
66. Координаты середины отрезка.
§ 17. Уравнения фигур на плоскости
68. Пересечение двух окружностей.
69. Уравнение прямой.
70. Пересечение прямой и окружности.
§ 18. Уравнения фигур в пространстве
72. Уравнение сферы.
73. Взаимное расположение сферы и плоскости.
74. Пересечение двух сфер.
ГЛАВА V. РЕОБРАЗОВАНИЯ ФИГУР
76.

Понятие движения.
§ 20. Подобие фигур
78. Подобные фигуры.
ГЛАВА VI. ВЕКТОРЫ
80. Понятие вектора.
81. Координаты вектора.
§ 22. Операции над векторами
83. Умножение вектора на число. Коллинеарные векторы.
84. Скалярное произведение векторов.
ПРИЛОЖЕНИЯ
ГЕОМЕТРИЯ

Дробно-рациональные неравенства: примеры

Соответствие между решениями целых рациональных неравенств и дробно-рациональных неравенств

Для решения целых рациональных неравенств следует раскладывать соответствующие многочлены на линейные множители, и затем использовать метод интервалов (см. §7 данного справочника).

Дробно-рациональное выражение можно представить в виде частного двух многочленов $(P_n (x))/(Q_m (x))$, каждый из которых также можно раскладывать на линейные множители, знак которых будет влиять на общий знак частного.

Поэтому для решения дробно-рациональных неравенств применяются те же алгоритмы, что и для решения целых рациональных неравенств. 2-x = x(x-1)$.

Это – парабола ветками вверх. Точки пересечения с осью OX:(0;0)и (1;0)

Ось симметрии:$ x_0 = \frac{x_1+x_2}{2} = \frac{0+1}{2} = \frac{1}{2}$

Вершина: $f(x_0 ) = f \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}- \frac{1}{2} =- \frac{1}{4}$

В этой же системе координат строим уровни:

y = -3, y = -1, y = 0, y = 2

и отмечаем области:

$y \le -3,-1 \lt y \le 0, y \gt 2$

Записываем решение – те x, для которых точки параболы попадают в заштрихованные области:

$x \lt -1 \cup 0 \le x \le 1 \cup x \gt 2 $

Ответ: $x \in (-\infty;-1) \cup [0;1] \cup (2;+\infty)$

ORCCA Линейные уравнения и неравенства с дробями

В этом разделе мы научимся решать линейные уравнения и неравенства с дробями.

Подраздел 3.3.1 Введение

До сих пор на последнем шаге решения для переменной мы разделили каждую часть уравнения на константу, например:

\begin{align*} 2x\ампер=10\\ \divideunder{2x}{2} \amp= \divideunder{10}{2}\\ х\ампер=5 \end{align*}

Если у нас есть коэффициент, который является дробью, мы мог бы действовать точно так же:

\begin{align*} \frac{1}{2}x\amp=10\\ \divideunder{\frac{1}{2}x}{\frac{1}{2}} \amp= \divideunder{10}{\frac{1}{2}}\\ х\amp=10\cdot \frac{2}{1}=20 \конец{выравнивание*}

Что, если бы наше уравнение или неравенство были более сложными, например, $\frac{1}{4}x+\frac{2}{3}=\frac{1}{6}\text{?}$ Мы пришлось бы сначала выполнить много арифметических операций с дробями, чтобы затем разделить каждую сторону на коэффициент $x\text{. }$. Альтернативный подход состоит в том, чтобы вместо этого умножить с каждой стороны уравнения на выбранную константу, исключающую знаменатель. В уравнении $\frac{1}{2}x=10\text{,}$ мы могли бы просто умножить каждую часть уравнения на $2\text{,}$, что исключило бы знаменатель \ (2\текст{:}\)

\начать{выровнять*} \frac{1}{2}x\amp=10\\ \multiplyleft{2}\left(\frac{1}{2}x\right)\amp=\multiplyleft{2}10\\ х\ампер=20 \конец{выравнивание*}

Для более сложных уравнений мы умножим каждую часть уравнения на наименьший общий знаменатель (НОД) всех дробей, содержащихся в уравнении.

Подраздел 3.3.2 Исключение знаменателей

Пример 3.3.1.

Дешон посадил у себя во дворе деревце высотой $4$ фута. Дерево будет расти на $\frac{2}{3}$ фута каждый год. Через сколько лет его дерево вырастет $10$ футов в высоту?

Поскольку дерево растет на $\frac{2}{3}$ фута каждый год, мы можем использовать таблицу, чтобы написать формулу, моделирующую рост дерева:

Прошло лет	Высота дерева (футы)
$0$	$4$
$1$	$4+\фракция{2}{3}$
$2$	$4+\frac{2}{3}\cdot2$
$\вдоц$	$\вдоц$
$у$	$4+\фракция{2}{3}у$

Исходя из этого, мы определили, что через $y$ лет с момента посадки дерева высота дерева будет $4+\frac{2}{3}y$ футов.

Чтобы найти, когда дерево Дешона будет $10$ футов в высоту, мы напишем и решим это уравнение:

\begin{выравнивание*} 4+\frac{2}{3}y\amp=10\\ \multiplyleft{3}\left(4+\frac{2}{3}y\right)\amp=\multiplyleft{3}10\\ 3\cdot4+3\cdot\frac{2}{3}y\amp=30\\ 12+2г\ампер=30\\ 2г\ампер=18\\ у\ампер=9 \end{align*}

Теперь проверим решение $9$ в уравнении $4+\frac{2}{3}y=10\text{:}$

\begin{align *} 4+\frac{2}{3}y\amp=10\\ 4+\frac{2}{3}(\substitute{9})\amp\stackrel{?}{=}10\\ 4+6\amp\stackrel{\checkmark}{=}10 \конец{выравнивание*}

Таким образом, дереву Дешона потребуется $9$ лет, чтобы достичь $10$ футов в высоту.

Давайте рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 3.3.2.

Найдите $x$ в $\frac{1}{4}x+\frac{2}{3}=\frac{1}{6}\text{.}$

Объяснение

Чтобы решить это уравнение, нам сначала нужно определить LCD всех дробей в уравнении. С левой стороны у нас есть $\frac{1}{4}$ и $\frac{2}{3}\text{. }$ С правой стороны у нас есть $\frac{1}{ 6}\text{.}$ ЖК-дисплей $3, 4\text{,}$ и $6$ равен $12\text{,}$, поэтому мы умножим каждую часть уравнения на $12$, чтобы исключить все знаменателей:

\begin{align*} \frac{1}{4}x+\frac{2}{3}\amp=\frac{1}{6}\\ \multiplyleft{12}\left(\frac{1}{4}x+\frac{2}{3}\right)\amp=\multiplyleft{12}\frac{1}{6}\\ 12\cdot\left(\frac{1}{4}x\right)+12\cdot\left(\frac{2}{3}\right)\amp=12\cdot\frac{1}{6} \\ 3x+8\усилитель=2\\ 3x\ампер=-6\\ \divideunder{3x}{3}\amp=\divideunder{-6}{3}\\ х\ампер=-2 \end{align*}

Проверка решения $-2\text{:}$

\begin{align*} \frac{1}{4}x+\frac{2}{3}\amp=\frac{1}{6}\\ \frac{1}{4}(\substitute{-2})+\frac{2}{3}\amp\stackrel{?}{=}\frac{1}{6}\\ -\frac{2}{4}+\frac{2}{3}\amp\stackrel{?}{=}\frac{1}{6}\\ -\frac{6}{12}+\frac{8}{12}\amp\stackrel{?}{=}\frac{1}{6}\\ \frac{2}{12}\amp\stackrel{\checkmark}{=}\frac{1}{6} \end{выравнивание*}

Следовательно, решение равно $-2$, а набор решений равен $\{-2\}\text{. }$

Пример 3.3.3.

Найдите $z$ в $-\frac{2}{5}z-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}z+\frac{4}{5}\ текст{.}$

Объяснение

Первое, что нам нужно сделать, это определить LCD всех знаменателей в этом уравнении. Поскольку знаменатели равны $2$ и $5\text{,}$, ЖК-дисплей равен $10\text{.}$. Итак, в качестве нашего первого шага мы умножим каждую часть уравнения на $ 10$, чтобы исключить все знаменатели:

\begin{выравнивание*} -\frac{2}{5}z-\frac{3}{2}\amp=-\frac{1}{2}z+\frac{4}{5}\\ \multiplyleft{10}\left(-\frac{2}{5}z-\frac{3}{2}\right)\amp=\multiplyleft{10}\left(-\frac{1}{2} z+\frac{4}{5}\right)\\ 10\left(-\frac{2}{5}z\right)-10\left(\frac{3}{2}\right)\amp=10\left(-\frac{1}{2}z \вправо)+10\влево(\фракция{4}{5}\вправо)\\ -4z-15\amp=-5z+8\\ z-15\ампер=8\\ г\ампер=23 \end{align*}

Проверка решения $23\text{:}$

\begin{align*} -\frac{2}{5}z-\frac{3}{2}\amp=-\frac{1}{2}z+\frac{4}{5}\\ -\frac{2}{5}(\substitute{23})-\frac{3}{2}\amp\stackrel{?}{=}-\frac{1}{2}(\substitute{23} )+\фракция{4}{5}\\ -\frac{46}{5}-\frac{3}{2}\amp\stackrel{?}{=}-\frac{23}{2}+\frac{4}{5}\\ -\frac{46}{5}\cdot\frac{2}{2}-\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{5}\amp\stackrel{?}{=}-\ frac{23}{2}\cdot\frac{5}{5}+\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{2}\\ -\ гидроразрыв{92}{10}-\frac{15}{10}\amp\stackrel{?}{=}-\frac{115}{10}+\frac{8}{10}\\ -\frac{107}{10}\amp\stackrel{\checkmark}{=}-\frac{107}{10} \end{align*}

Таким образом, решение равно $23$, поэтому множество решений равно $\{23\}\text{. }$

Пример 3.3.4.

Найдите $a$ в уравнении $\frac{2}{3}(a+1)+5=\frac{1}{3}\text{.}$

Объяснение

\begin{align*} \frac{2}{3}(a+1)+5\amp=\frac{1}{3}\\ \multiplyleft{3}\left(\frac{2}{3}(a+1)+5\right)\amp=\multiplyleft{3}\frac{1}{3}\\ 3\cdot\frac{2}{3}(a+1)+3\cdot5\amp=1\\ 2(а+1)+15\амп=1\\ 2а+2+15\амп=1\\ 2а+17\амп=1\\ 2а\ампер=-16\\ а\ампер=-8 \end{выравнивание*}

Проверяем решение $-8$ в уравнении $\frac{2}{3}(a+1)+5=\frac{1}{3}\text{,}$ мы находим, что :

\begin{выравнивание*} \frac{2}{3}(a+1)+5\amp=\frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}(\substitute{-8}+1)+5\amp\stackrel{?}{=}\frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}(-7)+5\amp\stackrel{?}{=}\frac{1}{3}\\ -\frac{14}{3}+\frac{15}{3}\amp\stackrel{\checkmark}{=}\frac{1}{3} \end{align*}

Следовательно, решение равно $-8$, а набор решений равен $\{-8\}\text{.}$

Пример 3.3.5.

Найдите $b$ в уравнении $\frac{2b+1}{3}=\frac{2}{5}\text{.}$

Объяснение

\begin{align*} \frac{2b+1}{3}\amp=\frac{2}{5}\\ \multiplyleft{15}\frac{2b+1}{3}\amp=\multiplyleft{15}\frac{2}{5}\\ 5(2b+1)\amp=6\\ 10b+5\amp=6\\ 10б\ампер=1\\ b\amp=\frac{1}{10} \end{align*}

Проверка решения $\frac{1}{10}\text{:}$

\begin{align*} \frac{2b+1}{3}\amp=\frac{2}{5}\\ \frac{2\left(\substitute{\frac{1}{10}}\right)+1}{3}\amp\stackrel{?}{=}\frac{2}{5}\\ \frac{\frac{1}{5}+1}{3}\amp\stackrel{?}{=}\frac{2}{5}\\ \ frac {\ frac {1} {5} + \ frac {5} {5} {3} \ amp \ stackrel {?} {=} \ frac {2} {5} \\ \ frac {\ frac {6} {5} {3} \ amp \ stackrel {?} {=} \ frac {2} {5} \\ \frac{6}{5}\cdot \frac{1}{3}\amp\stackrel{\checkmark}{=}\frac{2}{5} \end{выравнивание*}

Решение: $\frac{1}{10}$, а набор решений: $\left\{\frac{1}{10}\right\}\text{. }$

Пример 3.3.7.

В научной лаборатории в 9:00 утра в контейнере было $21$ унций воды. Вода испарялась со скоростью $3$ унций каждые $5$ минут. Когда останется $8$ унций воды?

Объяснение

Поскольку контейнер теряет $3$ унций воды каждые $5$ минут, он теряет $\frac{3}{5}$ унций каждую минуту. Через $м$ минут с 9:00 утра контейнер потеряет $\frac{3}{5}m$ унций воды. Поскольку вначале в контейнере было $21$ унций воды, количество воды в контейнере можно смоделировать как $21-\frac{3}{5}м$ (в унциях).

Чтобы определить, когда останется $8$ унций воды, запишем и решим это уравнение:

\begin{align*} 21-\frac{3}{5}m\amp=8\\ \multiplyleft{5}\left(21-\frac{3}{5}x\right)\amp=\multiplyleft{5}8\\ 5\cdot21-5\cdot\frac{3}{5}x\amp=40\\ 105-3м\ампер=40\\ 105–3 м\вычитание вправо{105}\amp=40\вычитание вправо{105}\\ -3м\ампер=-65\\ \divideunder{-3m}{-3}\amp=\divideunder{-65}{-3}\\ m\amp=\frac{65}{3} \end{выравнивание*}

Проверка решения $\frac{65}{3}\text{:}$

\begin{align*} 21-\frac{3}{5}m\amp=8\\ 21-\frac{3}{5}\left(\substitute{\frac{65}{3}}\right)\amp\stackrel{?}{=}8\\ 21-13\amp\stackrel{\checkmark}{=}8 \end{align*}

Следовательно, решение равно $\frac{65}{3}\text{. }$ В качестве смешанного числа это $21\frac{2}{3}\text {.}$ В контексте это означает, что $21$ минут и $40$ секунд после 9:00 в 9:21:40 в контейнере будет $8$ унций воды. левый.

КПП 3.3.8.

Подраздел 3.3.3 Решение неравенств с дробями

Мы также можем решать линейные неравенства с дробями, умножая каждую часть неравенства на НЛД всех дробей в неравенстве.

Помните, что с линейными неравенствами все работает точно так же, как и с решением линейных уравнений, за исключением того, что знак неравенства меняет направление всякий раз, когда мы умножаем каждую часть неравенства на отрицательное число.

Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы увидеть, как решить линейное неравенство, сначала очистив дроби.

Пример 3.3.9.

Найдите $x$ в неравенстве $\frac{3}{4}x-2\gt\frac{4}{5}x\text{.}$ Запишите набор решений в обоих множествах- нотация построителя и нотация интервала.

Объяснение

\begin{align*} \frac{3}{4}x-2\amp\gt\frac{4}{5}x\\ \multiplyleft{20}\left(\frac{3}{4}x-2\right)\amp\gt\multiplyleft{20}\frac{4}{5}x\\ 20\cdot\frac{3}{4}x-20\cdot2\amp\gt16x\\ 15x-40\ампер\gt16x\\ 15x-40\subtractright{15x}\amp\gt16x\subtractright{15x}\\ -40\ампер\гт х\\ х\усилитель\лт-40 \end{выравнивание*}

Набор решений в нотации построителя наборов имеет вид $\{x\mid x\lt-40\}\text{. }$ Обратите внимание, что это эквивалентно записи $\{x\mid-40\gt x \}\text{,}$, но это легче понять, если мы сначала напишем $x$ в неравенстве.

Набор решений в интервальной нотации: $(-\infty,-40)\text{.}$

Пример 3.3.10.

Найдите $y$ в неравенстве $\frac{4}{7}-\frac{4}{3}y\le\frac{2}{3}\text{.}$ Запишите набор решений как в нотации построителя наборов, так и в нотации интервала.

Объяснение

\begin{align*} \frac{4}{7}-\frac{4}{3}y\amp\le\frac{2}{3}\\ \multiplyleft{21}\left(\frac{4}{7}-\frac{4}{3}y\right)\amp\le\multiplyleft{21}\left(\frac{2}{3}\ верно)\\ 21\влево(\frac{4}{7}\вправо)-21\влево(\frac{4}{3}y\вправо)\amp\le21\влево(\frac{2}{3}\вправо) \\ 12-28лет\ампер\ле14\\ -28г\ампер\ле2\\ \divideunder{-28y}{-28}\amp\ge\divideunder{2}{-28}\\ y\amp\ge-\frac{1}{14} \end{align*}

Обратите внимание, что когда мы разделили каждую часть неравенства на $-28\text{,}$, символ неравенства изменил направление.

Набор решений в нотации построителя наборов: $\left\{y\mid y\ge-\frac{1}{14}\right\}\text{.}$

Набор решений в интервале обозначение $\left[-\frac{1}{14},\infty\right)\text{.}$

Пример 3.3.11.

В определенном классе оценка учащегося рассчитывается по среднему баллу за 3 теста. Эйдан набрал $78\%$ и $54\%$ в первых двух тестах. Если он хочет получить хотя бы оценку C $(70\%)\text{,}$, какой самый низкий балл ему нужно получить на третьем экзамене?

Объяснение

Предположим, Эйдан наберет $x\%$ на третьем тесте. Чтобы его средний балл за тест был больше или равен $70\%\text{,}$, запишем и решим это неравенство:

\begin{align*} \frac{78+54+x}{3}\amp\ge70\\ \frac{132+x}{3}\amp\ge70\\ \multiplyleft{3}\frac{132+x}{3}\amp\ge\multiplyleft{3}70\\ 132+х\усилитель\ge210\\ х\amp\ge78 \end{align*}

Чтобы получить хотя бы оценку C, Эйдан должен набрать не менее $78\%$ в третьем тесте.

Упражнения 3.

3.4 Упражнения

Обзор и прогрев

1.

Умножить: $\displaystyle{8\cdot \frac{2}{3} }$

2.

Умножить: $\displaystyle{3\cdot \frac{3}{8} }$

3.

Умножить: $\displaystyle{4\cdot\left( -{\frac{5}{2}} \right)}$

4.

Умножить: $\displaystyle{28\cdot\left( -{\frac{6}{7}} \right)}$

5.

Выполните следующие умножения.

$14 \cdot \frac{5}{7}$
$21 \cdot \frac{5}{7}$
$28 \cdot \frac{5}{7}$

6.

Выполните следующие умножения.

$27 \cdot \frac{5}{9}$
$36 \cdot \frac{5}{9}$
$45 \cdot \frac{5}{9}$

Решение линейных уравнений с дробями

7.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{\frac{q}{7}+120}={3q}}$

8.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{\frac{y}{4}+57}={5y}}$

9.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{\frac{t}{10}+8}={13}}$

10.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{\frac{a}{7}+5}={7}}$

11.

Решите уравнение.

$\displaystyle{ {3-\frac{c}{7}} = {1} }$

12.

Решите уравнение.

$\displaystyle{ {9-\frac{A}{2}} = {3} }$

13.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{-42} = {6-\frac{8C}{5}} }$

14.

Решите уравнение.

$\displaystyle{ {-22} = {2-\frac{4m}{9}} }$

15.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{5p} = {\frac{3p}{10}+282}}$

16.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{5q} = {\frac{7q}{6}+115}}$

17.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{64} = {{\frac{10}{3}}y+2y}}$

18.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{195} = {{\frac{4}{7}}r+5r}}$

19.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{74-{\frac{7}{6}}a} = {5a}}$

20.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{65-{\frac{5}{2}}c} = {4c}}$

21.

Решите уравнение.

$\displaystyle{ {5A} = {{\frac{4}{9}}}A+8} }$

22.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{3C} = {{\frac{2}{3}}C+4}}$

23.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{{\frac{7}{2}}-9m}={8}}$

24.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{{\frac{3}{8}}-7p}={8}}$

25.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{{\frac{5}{4}}-{\frac{1}{4}}q}={3}}$

26.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{{\frac{9}{2}}-{\frac{1}{2}}y}={1}}$

27.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{\frac{4r}{7}-8}={-{\frac{40}{7}}}}$

28.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{\frac{6a}{5}-6}={-{\frac{6}{5}}}}$

29.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{{\frac{2}{9}}+{\frac{8}{9}}c}={7c}}$

30.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{{\frac{6}{7}}+{\frac{10}{7}}A}={7A}}$

31.

Решите уравнение.

$\ displaystyle { {\ frac {3C} {7} — {\ frac {32} {7}}} = {- {\ frac {5} {7}} C}} $

32.

Решите уравнение.

$\ displaystyle { {\ frac {5m} {11} — {\ frac {21} {11}}} = {- {\ frac {2} {11}} m}} $

33.

Решите уравнение.

$\ displaystyle { {\ frac {6p} {7} + {\ frac {7} {2}}} = {p}} $

34.

Решите уравнение.

$\ displaystyle { {\ frac {2q} {3} + {\ frac {5} {8}}} = {q}} $

35.

Решите уравнение.

$\ displaystyle { {\ frac {4y} {7} -111} = {- {\ frac {3} {4}} y}} $

36.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{\frac{2r}{5}-19}={-{\frac{3}{2}}r}}$

37.

Решите уравнение.

$\displaystyle{ {-{\frac{5}{8}}a+39}={\frac{3a}{16}}}$

38.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{-{\frac{7}{10}}b+51}={\frac{3b}{20}}}$

39.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{\frac{5A}{6}-8A}={{\frac{5}{12}}}}$

40.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{\frac{7C}{2}-8C}={{\frac{3}{4}}}}$

41.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{\frac{7m}{6}+{\frac{8}{9}}}={{\frac{3}{4}}m}}$

42.

Решите уравнение.

$\ displaystyle { {\ frac {7p} {4} + {\ frac {4} {7}}} = {{\ frac {3} {8}} p}} $

43.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{{\frac{3}{2}}q}={{\frac{4}{7}}+\frac{5q}{3}}}$

44.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{{\frac{5}{6}}y}={{\frac{5}{7}}+\frac{3y}{5}}}$

45.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{{\frac{7}{6}}}={\frac{r}{24}}}$

46.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{{\frac{3}{2}}}={\frac{a}{8}}}$

47.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{-\frac{b}{14}}={{\frac{8}{7}}}}$

48.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{-\frac{A}{30}}={{\frac{2}{5}}}}$

49.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{-\frac{C}{10}}={-{\frac{5}{2}}}}$

50.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{-\frac{m}{24}}={-{\frac{9}{8}}}}$

51.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{-{\frac{3}{4}}}={\frac{7p}{5}}}$

52.

Решите уравнение.

$\displaystyle{ {-{\frac{7}{10}}}={\frac{5q}{9}}}$

53.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{{\frac{3}{8}}}={\frac{y+6}{24}}}$

54.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{{\frac{7}{4}}}={\frac{r+3}{12}}}$

55.

Решите уравнение.

$\displaystyle{ \frac{9}{10} = \frac{a-4}{9} }$

56.

Решите уравнение.

$\displaystyle{ \frac{5}{6} = \frac{b-4}{7} }$

57.

Решите уравнение.

$\ displaystyle { {\ frac {A-8} {2}} = {\ frac {A + 5} {4}}} $

58.

Решите уравнение.

$\ displaystyle { {\ frac {B-2} {6}} = {\ frac {B + 2} {8}}} $

59.

Решите уравнение.

$\ displaystyle { {\ frac {m + 7} {4} — \ frac {m-9{8}}={{\frac{9}{4}}} }$

60.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{\frac{p+1}{2}-\frac{p-6}{4}}={{\frac{3}{4}}}}$

61.

Решите уравнение.

$\ displaystyle { {\ frac {q} {7} -2} = {\ frac {q} {9}}} $

62.

Решите уравнение.

$\ displaystyle { {\ frac {y} {5} -1} = {\ frac {y} {10}}} $

63.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{\frac{r}{2}-3}={\frac{r}{5}+6}}$

64.

Решите уравнение.

$\ displaystyle { {\ frac {a} {6} -2} = {\ frac {a} {9} +1}} $

65.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{{\frac{5}{2}}b+{\frac{7}{4}}}={{\frac{1}{2}}b+{\frac{5}{2} }}} }$

66.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{1A+3}={5A+{\frac{3}{2}}}}$

67.

Решите уравнение.

$\ displaystyle { {\ frac {7B+6} {4} — \ frac {4-B} {8}} = {{\ frac {1} {9}}}} }$

68.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{\frac{5m+6}{2}-\frac{1-m}{4}}={{\frac{1}{5}}}}$

69.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{11}={\frac{p}{3}+\frac{p}{8}}}$

70.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{27}={\frac{q}{7}+\frac{q}{2}}}$

71.

Решите уравнение.

$\ displaystyle { {{\ frac {5} {9}}y — {\ frac {6} {7}}} = {- {\ frac {7} {2}} y + {\ frac {1} {2}}} }$

72.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{-{\frac{1}{2}}r-1}={-r-{\frac{7}{5}}}}$

73.

Решите уравнение.

$\ displaystyle { {-{\ frac {7} {8}} a — {\ frac {10} {9}}} = {{\ frac {7} {2}} a — {\ frac {5 {2}}} }$

74.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{-{\frac{5}{9}}b+{\frac{5}{7}}}={{\frac{5}{3}}b-1}}$

75.

Решите уравнение.

$\displaystyle{ {-\frac{A}{2}+8}={4} }$
$\displaystyle{{\frac{-q}{2}+8}={4}}$
$\displaystyle{{\frac{t}{-2}+8}={4}}$
$\displaystyle \displaystyle{ {\frac{-c}{-2}+8}={4}}$

76.

Решите уравнение.

$\displaystyle{{-\frac{B}{2}+2}={-4}}$
$\displaystyle{{\frac{-C}{2}+2}={-4}}$
$\displaystyle{{\frac{r}{-2}+2}={-4}}$
$\displaystyle \displaystyle{ {\frac{-x}{-2}+2}={-4}}$

Приложения

77.

Линдси бежит по прямой. У нее была фора в $10$ метрах от стартовой линии, и она пробегала $2$ метра каждые $7$ секунд. Через сколько секунд Линдсей окажется в $18$ метрах от линии старта?

Линдси будет в $18$ метрах от линии старта секунд с момента начала бега.

78.

Эмбер бежит по прямой. Она стартовала в месте $30$ метров от линии старта и бежала к линии старта со скоростью $2$ метров каждые $3$ секунды. Через сколько секунд Эмбер окажется в $26$ метрах от линии старта?

Эмбер будет в $26$ метрах от стартовой линии секунд с тех пор, как начала бежать.

79.

В копилке Джозефа было всего ${\$10.00}$, и он решил начать откладывать больше. Он сохраняет ${\$5.00}$ каждые $8$ дней. Через сколько дней у него будет ${\$25.00}$ в копилке?

Джозеф будет откладывать ${\$25.00}$ в свою копилку спустя несколько дней.

80.

Росс накопил в своей копилке ${\$50.00}$ и решил начать их тратить. Он тратит ${\$3.00}$ каждые $4$ дней. Через сколько дней у него останется ${\$44.00}$ в копилке?

Через несколько дней в копилке Росса останется ${\$44.00}$.

Решение неравенств с дробями

Для каждой задачи, приведенной ниже, решите неравенство и, в дополнение к написанию построителя наборов и обозначений интервалов для каждого набора решений, нарисуйте график каждого набора решений на числовой прямой.

81.

${\frac{x}{3}+84}\geq{5x}$

;

82.

${\frac{x}{4}+28}\geq{2x}$

;

83.

${{\frac{3}{4}}-5y} \lt{3}$

;

84.

${{\frac{5}{4}}-2y} \lt{6}$

;

85.

${-{\frac{3}{4}}t} > {{\frac{4}{5}}t-93}$

;

86.

${-{\frac{5}{6}}t} > {{\frac{2}{7}}t-47}$

;

87.

;

88.

;

89.

${-\frac{z}{4}} \lt {-\frac{3}{2}}$

;

90.

${-\frac{z}{8}} \lt {-\frac{9}{2}}$

;

91.

${\ frac {x} {7}-12} \leq {\ frac {x} {3}} $

;

92.

${\ frac {x} {7}-4} \leq {\ frac {x} {5}} $

;

93.

${\frac{y-8}{6}} \geq {\frac{y+8}{4}}$

;

94.

${\frac{y-4}{6}} \geq {\frac{y+3}{4}}$

;

95.

${{\frac{17}{12}}} \lt {\frac{x+1}{6}-\frac{x-7}{12}}$

;

96.

${{\frac{17}{12}}} \lt {\frac{x+7}{6}-\frac{x-1}{12}}$

;

Приложения

97.

Ваша оценка в классе определяется средним баллом по трем тестам. Вы набрали $75$ и $86$ в первых двух тестах. Чтобы заработать не менее $80$ за этот курс, сколько вам нужно набрать на третьем тесте? Пусть $x$ будет баллом, который вы заработаете на третьем тесте.

Напишите неравенство, представляющее эту ситуацию.
Решите это неравенство. Каков минимум, который вы должны заработать на третьем тесте, чтобы получить $80$ за курс?
Вы не можете набрать больше $100$ в третьем тесте. Используйте обозначение интервала для представления диапазона баллов, которые вы можете заработать на третьем тесте, чтобы заработать не менее $80$ за этот курс.

98.

Ваша оценка в классе определяется средним баллом по трем тестам. Вы набрали $70$ и $90$ на первых двух тестах. Чтобы заработать не менее $83$ за этот курс, сколько вам нужно набрать на третьем тесте? Пусть $x$ будет баллом, который вы заработаете на третьем тесте.

Напишите неравенство, представляющее эту ситуацию.
Решите это неравенство. Каков минимум, который вы должны заработать на третьем тесте, чтобы получить $83$ за курс?
Вы не можете набрать больше $100$ в третьем тесте. Используйте обозначение интервала для представления диапазона баллов, которые вы можете заработать на третьем тесте, чтобы заработать не менее $83$ за этот курс.

2.4 Линейные уравнения дробного порядка – Алгебра среднего уровня

Перейти к содержимому

Глава 2: Линейные уравнения

При работе с дробями, встроенными в линейные уравнения, часто проще всего удалить дробь на самом первом шаге. Обычно это означает нахождение LCD дроби, а затем умножение каждого члена во всем уравнении на LCD.

Найдите [латекс]x[/латекс] в уравнении [латекс]\dfrac{3}{4}x — \dfrac{7}{2} = \dfrac{5}{6}.[/latex]

Для этого уравнения LCD равно 12, поэтому каждый член этого уравнения будет умножен на 12.

[латекс]\dfrac{3}{4}x(12) — \dfrac{7}{2}( 12) = \dfrac{5}{6}(12)[/latex]

Сокращение знаменателя дает:

[latex]3x(3) — 7(6) = 5(2)[/latex]

Результат умножения:

[латекс]\begin{array}{rrrrr} 9x&-&42&=&10 \\ &+&42&&+42 \\ \hline &&\dfrac{9x}{9}&=&\dfrac{52 {9} \\ \\ &&x&=&\dfrac{52}{9} \end{массив}[/латекс]

Найдите [латекс]x[/латекс] в уравнении [латекс]\dfrac{3\left(\dfrac{5}{9}x+\dfrac{4}{27}\right)}{2}=3 .[/latex]

Сначала удалите внешний знаменатель 2, умножив обе части на 2:

[латекс]\left(2\right)\dfrac{3\left(\dfrac{5}{9}x+\ dfrac{4}{27}\right)}{2}=3(2)[/latex]

[latex]3\left(\dfrac{5}{9}x+\dfrac{4}{27}\ right)=6[/latex]

Теперь разделите обе части на 3, что даст:

[latex]\dfrac{5}{9}x + \dfrac{4}{27} = 2[/latex]

Чтобы удалить 9 и 27, умножьте обе стороны на ЖК-дисплей, 27:

[латекс]\dfrac{5}{9}x\left(27\right) + \dfrac{4}{27}\left (27\right) = 2(27)[/latex]

Это оставляет:

[latex]\begin{array}{rrrrl} 5x(3)&+&4&=&54 \\ &-&4&&-4 \\ \hline &&15x&=&50 \\ \\ &&x&=&\dfrac{50}{15}\text{ или }\dfrac{10}{3} \end{массив}[/latex]

В вопросах с 1 по 18 решите каждое линейное уравнение.

Прошло лет	Высота дерева (футы)
\(0\)	\(4\)
\(1\)	\(4+\фракция{2}{3}\)
\(2\)	\(4+\frac{2}{3}\cdot2\)
\(\вдоц\)	\(\вдоц\)
\(у\)	\(4+\фракция{2}{3}у\)

Математика: Справ. материалы

Оглавление

Дробно-рациональные неравенства: примеры

Соответствие между решениями целых рациональных неравенств и дробно-рациональных неравенств

ORCCA Линейные уравнения и неравенства с дробями

Подраздел 3.3.1 Введение

Подраздел 3.3.2 Исключение знаменателей

Пример 3.3.1.

Пример 3.3.2.

Пример 3.3.3.

Пример 3.3.4.

Пример 3.3.5.

Пример 3.3.7.

КПП 3.3.8.

Подраздел 3.3.3 Решение неравенств с дробями

Пример 3.3.9.

Пример 3.3.10.

Пример 3.3.11.

Упражнения 3.

Обзор и прогрев

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Решение линейных уравнений с дробями

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.