При a > –1, x > a – 1
При a < –1, x < a – 1
При a = –1 решений нет.
п.2. Дробно-рациональные неравенства с параметрами
Пример 5. При каких значениях a неравенство верно при всех |x| ≤ 1: $$ \mathrm{\frac{ax-a(1-a)}{x-1}\lt 0} $$ Решаем систему:
\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{|x|\leq 1} & \\ \mathrm{\frac{ax-a(1-a)}{x-1}\lt 0} & \end{array}\right.
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{-1\leq x\leq 1} & \\ \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{x-1\lt 0} & \\ \mathrm{ax-a(1-a)\gt 0} & \end{array}\right. \end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{-1\leq x\leq 1} & \\ \mathrm{ax-a(1-a)\gt 0} & \end{array}\right. \Rightarrow\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{-1\leq x\leq 1} & \\ \mathrm{a(x+a-1)\gt 0} & \end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{-1\leq x\leq 1} & \\ \left[ \begin{array}{ l l } \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\lt 0} & \\ \mathrm{x+a-1\lt 0} & \end{array}\right. & \\ \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\gt 0} & \\ \mathrm{x+a-1\gt 0} & \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{0\leq 1-x\leq 2} & \\ \left[ \begin{array}{ l l } \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\lt 0} & \\ \mathrm{a\lt 1-x} & \end{array}\right.
& \\ \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\gt 0} & \\ \mathrm{a\gt 1-x} & \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right. \Rightarrow\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{0\leq 1-x\leq 2} & \\ \left[ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\lt 0} & \\ \mathrm{a\gt 2} & \end{array}\right. \end{array}\right. \Rightarrow \mathrm{a\lt 0\cup a\gt 2} \end{gather*} Ответ: \(\mathrm{a\in(-\infty;0)\cup (2;+\infty)}\).
Пример 6. При каких значениях a неравенство верно при всех 1 ≤ x ≤ 2: $$ \mathrm{\frac{x-2a-1}{x-a}\lt 0} $$ Решаем систему:
\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{1\leq x\leq 2} & \\ \mathrm{\frac{x-2a-1}{x-a}\lt 0} & \end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{1\leq x\leq 2} & \\ \left[ \begin{array}{ l l } \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{x-a\lt 0} & \\ \mathrm{x-2a-1\gt 0} & \end{array}\right. & \\ \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{x-a\gt 0} & \\ \mathrm{x-2a-1\lt 0} & \end{array}\right.
\end{array}\right. \end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{1\leq x\leq 2,\ \ 0\leq\frac{x-1}{2}\leq\frac12} & \\ \left[ \begin{array}{ l l } \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\gt x} & \\ \mathrm{a\lt \frac{x-1}{2}} & \end{array}\right. & \\ \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\lt x} & \\ \mathrm{a\gt \frac{x-1}{2}} & \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right. \Rightarrow\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{ l l } \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\gt 2} & \\ \mathrm{a\lt 0} & \end{array}\right. & \\ \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\lt 1} & \\ \mathrm{a\gt \frac12} & \end{array}\right. \end{array}\right.\Rightarrow \mathrm{\frac12\lt a\lt 1} \end{gather*} Ответ: \(\mathrm{a\in\left(\frac12; 1\right)}\).
п.3. Иррациональные неравенства с параметрами
Пример 7. Решите неравенство:
а) \(\mathrm{\sqrt{x-a}\geq 2x+1}\)
Решаем совокупность: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{ l l } \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{2x+1\leq 0} & \\ \mathrm{x-a\geq 0} & \end{array}\right.
2-4\cdot 4\cdot(a+1)=-16a-7} $$ Если \(\mathrm{D=0:\ a=-\frac{7}{16},\ x_0=-\frac38\gt-\frac12}\) – решение подходит
Ось симметрии параболы \(\mathrm{x_0=-\frac38}\), в зависимости от значения a, вершина параболы будет перемещаться по оси.
Если \(\mathrm{D\gt 0:\ 16a+7\lt 0\Rightarrow a\lt -\frac{7}{16}}\). \begin{gather*} \mathrm{x_1=\frac{-3-\sqrt{D}}{8}\geq-\frac12\Rightarrow -3-\sqrt{-16a-7}\geq-4\Rightarrow}\\ \Rightarrow \mathrm{\sqrt{-16a-7}\leq 1}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{-16a-7\geq 0} & \\ \mathrm{-16a-7\leq 1} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\leq -\frac{7}{16}} & \\ \mathrm{a\geq-\frac12} & \end{array}\right.\Rightarrow \mathrm{-\frac12\leq a\leq -\frac{7}{16}} \end{gather*} При \(\mathrm{a\gt-\frac{7}{16}}\) все точки параболы окажутся над осью OX, неравенство с ≤ 0 не будет иметь решений.
Получаем, что для \(\mathrm{a\lt-\frac12,\ a\leq x\leq-\frac12\cup x_1\leq x\leq x_2 \Leftrightarrow a\leq x\leq x_2}\)
Для \(\mathrm{a\gt-\frac{7}{16}}\) решений нет.
3\gt 0} & \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} \mathrm{a\lt 0} & \\ \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} \mathrm{x\lt 0} &\\ \mathrm{x\gt-\sqrt[3]{a}} & \end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l} \mathrm{x\gt 0} &\\ \mathrm{x\lt-\sqrt[3]{a}} & \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l} \mathrm{a\gt 0} & \\ \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} \mathrm{x\lt 0} & \\ \mathrm{x\lt -\sqrt[3]{a}} & \end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l} \mathrm{x\gt 0} & \\ \mathrm{x\gt -\sqrt[3]{a}} & \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right.\Rightarrow \end{gather*} \begin{gather*} \Rightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} \mathrm{a\lt 0} & \\ \left[\begin{array}{l} \mathrm{\varnothing} &\\ \mathrm{0\lt x\lt -\sqrt[3]{a}} & \end{array}\right.
\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l} \mathrm{a\gt 0} & \\ \left[\begin{array}{l} \mathrm{x\lt -\sqrt[3]{a}} & \\ \mathrm{x\gt a} & \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{ l l } \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\lt 0} & \\ \mathrm{0\lt x\lt-\sqrt[3]{a}} \end{array}\right. & \\ \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\gt 0} & \\ \mathrm{x\lt-\sqrt[3]{a}\cup x\gt 0} \end{array}\right. \end{array}\right. \end{gather*} Ответ:
При \(\mathrm{a\lt 0,\ \ 0\lt x\lt -\sqrt[3]{a}}\)
При \(\mathrm{a=0,\ \ x\in\varnothing}\) – решений нет
При \(\mathrm{a\gt 0,\ \ x\lt-\sqrt[3]{a}\cup x\gt 0}\).
Решение уравнений и неравенств с параметрами
1. Основные определения
Неравенство
f(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x), (1)
где a, b, c, …, k – параметры, а x – действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.
Любая система значений параметров а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, при некоторой функции
f(a, b, c, …, k, x) и
j(a, b, c, …, k, x
имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых значений параметров.
называется допустимым значением х, если
f(a, b, c, …, k, x) и
j(a, b, c, …, k, x
принимают действительные значения при любой допустимой системе значений параметров.
Множество всех допустимых значений х называется областью определения неравенства (1).
Действительное число х0 называется частным решением неравенства (1), если неравенство
f(a, b, c, …, k, x 0)>j(a, b, c, …, k, x0)
верно при любой системе допустимых значений параметров.
Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим решением этого неравенства.
Решить неравенство (1) – значит указать, при каких значениях параметров существует общее решение и каково оно.
Два неравенства
f(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x) и (1)
z(a, b, c, …, k, x)>y(a, b, c, …, k, x) (2)
называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном и том же множестве систем допустимых значений параметров.
2. Алгоритм решения.
1. Находим область определения данного неравенства.
2. Сводим неравенство к уравнению.
3. Выражаем а как функцию от х.
4.
В системе координат хОа строим графики функций а =f (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного неравенства.
5. Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.
6. Исследуем влияние параметра на результат.
· найдём абсциссы точек пересечения графиков.
· зададим прямую а=соnst и будем сдвигать её от -∞ до +∞
7. Записываем ответ.
Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения, с использованием стандартной системы координат хОy.
3. Примеры
I. Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство
Решение.
В области определения параметра а, определённого системой неравенств
данное неравенство равносильно системе неравенств
Если , то решения исходного неравенства заполняют отрезок .
Ответ: ,
II. При каких значениях параметра а имеет решение система
Решение.
Найдем корни трехчлена левой части неравенства –
(*)
Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость аОх на четыре области, в каждой из которых квадратный трехчлен
сохраняет постоянный знак. Уравнение (2) задает окружность радиуса 2 с центром в начале координат. Тогда решением исходной системы будет пересечение заштрихован
ной области с окружностью, где , а значения и находятся из системы
а значения и находятся из системы
Решая эти системы, получаем, что
Ответ:
III.
Решить неравенство на в зависимости от значений параметра а.
Решение.
Находим область допустимых значений –
Построим график функции в системе координат хОу.
· при неравенство решений не имеет.
·
при для
Ответ: Решения неравенства существуют при
, где , причем при решения ; при решения .
IV. Решить неравенство
Решение.
Находим ОДЗ или линии разрыва (асимптоты)
Найдем уравнения функций, графики которых нужно построить в ПСК; для чего перейдем к равенству :
Разложим числитель на множители.
т. к. то
Разделим обе части равенства на при . Но является решением : левая часть уравнения равна правой части и равна нулю при .
3. Строим в ПСК хОа графики функций
и нумеруем образовавшиеся области (оси роли не играют). Получилось девять областей.
4. Ищем, какая из областей подходит для данного неравенства, для чего берем точку из области и подставляем в неравенство.
Для наглядности составим таблицу.
? | точка | неравенство: | вывод |
1 |
| — | |
2 | + | ||
3 | — | ||
4 | + | ||
5 | — | ||
6 | + | ||
7 | — | ||
8 | + | ||
9 | — |
5.
Найдем точки пересечения графиков
6. Зададим прямую а=сonst и будем сдвигать её от -∞ до + ∞.
Ответ.
при
при
при
при решений нет
при
Решение неравенства с параметром спросил
Изменено 7 лет, 1 месяц назад
Просмотрено 1к раз
$\begingroup$
Найдите параметр $a$, для которого решение неравенства $7(x+3) < -2(ax + 3)$ равно $x \in (3, \infty)$
Я обнаружил, что $a < - \frac{7x + 27}{2x}$, но не знаю, что делать дальше.
- неравенство
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Лучше решить для $x$: $$ (7+2а)х < -21-6 = -27. $$ Если $7+2a>0$, деление дает неравенство вида $x<\cdots$, которое нам не нужно. Если $7+2a<0$, деление на него меняет смысл неравенства на противоположный, поэтому $$ x > \frac{-27}{7+2a}. $$ Вы ищете, чтобы этому удовлетворяли все $x>3$, поэтому правая часть должна быть равна $3$ (если это не так, получаемое нами неравенство не будет $x>3$. ..). Следовательно, $$ 3=\frac{-27}{7+2a}, $$ которые вы можете решить, чтобы найти $a$.
$\endgroup$
$\begingroup$
Общая стратегия, когда у вас есть параметр, заключается в попытке формально решить неравенство (или что-то еще), включая параметр в ваши вычисления.
Тогда неравенство: $$\begin{выравнивание} 7\,(х+3) &<-2\,(а\,х+3) \\ (7+2\,а)\, х &< -27 \end{выравнивание}$$ Поскольку результат, который вы хотите получить, равен $x>3$, то он должен быть равен $7+2\,a<0$, так что, разделив обе части, вы получите: $$x>\frac{-27}{7+2\,a}$$ Тогда вы получите желаемый результат, если $$\frac{-27}{7+2\,a}=3$$ или же $$a=-8$$
$\endgroup$
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.