Решение онлайн систем линейных уравнений методом крамера онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ
МЕТОДОМ КРАМЕРА
1
Определение 1.
Линейным уравнением называется
уравнение вида
a1 x1 a2 x2 … an xn b,
где а и b – числа, х- неизвестные.
2
Определение 2.
Системой линейных уравнений (линейной
системой) называется система вида
3
МАТРИЧНЫЙ ВИД СИСТЕМЫ
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
a11 a12

a
a22
21
. .. …
a
n1 an 2
… a1n x1 b1
… a2 n x2 b2
… … … …
… ann xn bn
4
Определение 3.
Решением линейной системы
называется набор чисел
x01 , x02 ,…, x0 n ,
которые при подстановке вместо
неизвестных обращают каждое
уравнение системы в верное
равенство.
5
В школьном курсе рассматриваются
способ подстановки и способ сложения. В
курсе высшей математике решают
методом Крамера, методом Гаусса и с
помощью обратной матрицы.
Рассмотрим решение систем линейных
уравнений методом Крамера
Сведения из истории.
Крамер является одним из создателей линейной алгебры.
Одной из самых известных его работ является «Введение в
анализ алгебраических кривых», опубликованный на
французском языке в 1750 году. В ней Крамер строит
систему линейных уравнений и решает её с помощью
алгоритма, названного позже его именем – метод Крамера.
Габриэль Крамер родился 31 июля 1704
года в Женеве (Швейцария) в семье врача.
Уже в детстве он опережал своих
сверстников в интеллектуальном развитии
и демонстрировал завидные способности
в области математики.
В 18 лет он успешно защитил
диссертацию. Через 2 года Крамер
выставил свою кандидатуру на должность
преподавателя в Женевском университете.
Юноша так понравился магистрату, что
специально для него и ещё одного одного
кандидата на место преподавателя была
учреждена отдельная кафедра
математики, где Крамер и работал в
последующие годы.
Учёный много путешествовал по Европе,
перенимая опыт у знаменитых математиков
своего времени – Иоганна Бернулли и Эйлера в
Базеле, Галлея и де Муавра в Лондоне, Мопертюи
и Клеро в Париже и других. Со многими из них
он продолжал переписываться всю жизнь.
В 1729 году Крамер возобновляет
преподавательскую работу в Женевском
университете. В это время он участвует в
конкурсе Парижской Академии и занимает
второе место.
Талантливый учёный написал множество
статей на самые разные темы: геометрия,
история, математика, философия. В 1730
году он опубликовал труд по небесной
механике.
В 1740-е гг. Иоганн Бернулли поручает Крамеру
подготовить к печати сборник своих работ. В 1742 году
Крамер публикует сборник в 4-х томах. В 1744 году он
выпускает посмертный сборник работ Якоба Бернулли
(брата Иоганна Бернулли), а также двухтомник
переписки Лейбница с Иоганном Бернулли. Эти работы
вызвали большой интерес со стороны учёных всего
мира.
Габриэль Крамер скончался 4 января 1752 года во
Франции
Теорема Крамера
Если определитель системы отличен от нуля, то
система линейных уравнений имеет одно
единственное решение, причём неизвестное
равно
отношению
определителей.
В
знаменателе – определитель системы, а в
числителе – определитель, полученный из
определителя
системы
путём
замены
коэффициентов
при
этом
неизвестном
свободными членами. Эта теорема имеет место
для системы линейных уравнений любого
порядка.
Дана система
Формулы Крамера
.
………….
Заменяя столбец с коэффициентами
соответствующей переменнойсвободным членом
Решение систем уравнений с тремя переменными
a1 x b1 y c1 z d1
a2 x b2 y c2 z d 2
a x b y c z d
3
3
3
3
z
z
x
y
x
y
a1
b1
c1
a2
b2
c2
a3
b3
c3
a1
b1
d1
c2
z a2
b2
d2
c3
a3
b3
d3
d1
b1
c1
a1
d1
c1
x d2
b2
c2
y a2
d2
d3
b3
c3
a3
d3
Пример:
Решить систему уравнений
с тремя переменными
3 x 2 y 4 z 8
2 x 4 y 5 z 11
4 x 3 y 2 z 1
РЕШЕНИЕ
3 x 2 y 4 z 8
2 x 4 y 5 z 11
4 x 3 y 2 z 1
8
2
4
x 11
4
5 38
1
3
2
x
x
19
y
y
x 38
x
2
19
z
z
Решение систем уравнений с тремя переменными
3 x 2 y 4 z 8
2 x 4 y 5 z 11
4 x 3 y 2 z 1
3
8
4
y 2 11 5 3
4
1
2
y
x 2
y
z
z
19
11 5
1
2
8
2 5
4
2
4
3 27 8 24 4 42 81 192 168 57
2 11
4
1
ПРИМЕР
3 x 2 y 4 z 8
2 x 4 y 5 z 11
4 x 3 y 2 z 1
3
8
x 2
y
19
4
y 2 11 5 57
4
1
2
y
57
y
3
19
y
z
z
ПРИМЕР
3 x 2 y 4 z 8
2 x 4 y 5 z 11
4 x 3 y 2 z 1
3
z 2
2
z 1
19
8
4
11 3
3
4 3 1
4
y 3
x 2
11
1
3
2 11
4
z 19
z
1
19
1
8
2
4
4 3
19
Задание1:
Решить систему уравнений
с тремя переменными
5 х 8 у z 7,
3 х 4 у 2 z 8,
2
x
3
y
2
z
9
,
2)
2
x
4
y
3
z
1
,
1)
x 2 y 3z 1
x 5y z 0
2 х у 5 z 1,
3) x 3 y 4 z 1,
2x y z 1

English     Русский Правила

в чем суть, как применяется для решения систем линейных уравнений

С помощью метода Крамера решают системы линейных алгебраических уравнений или СЛАУ. Освоить данный способ – значит, существенно упростить определение ответов многих задач по математическому анализу и другим дисциплинам. Однако правило справедливо не во всех случаях, а применимо лишь в тех примерах, где число неизвестных и уравнений в системе одинаковое. Рассмотрим подробнее описание данного метода.

Метод Крамера — в чем заключается, суть для чайников

Габриель Крамер был великим математиком. Еще в детстве он отличался уникальными интеллектуальными способностями.

С двадцати лет Крамер преподавал в университете Женевы. Путешествуя по Европе, Габриель повстречался с другим ученым, Иоганном Бернулли, который в дальнейшем стал его наставником. Благодаря плодотворному сотрудничеству с Бернулли, Крамер опубликовал множество трудов по геометрии, математике и философии.

Свободное время ученый посвящал углубленному изучению математических теорий. В результате трудоемких исследований Габриелю удалось изобрести собственный способ решения систем линейных уравнений любой сложности.

Источник: eponym.ru

Метод Крамера представляет собой способ решения систем линейных уравнений.

Методика великого ученого применима в тех случаях, когда пример состоит из систем линейных уравнений, в которых их количество соответствует числу неизвестных, а определитель не равен нулю.

В том случае, когда для любой крамеровской системы уравнений n*m можно подобрать единственное решение (Х₁, Х₂, … Х_n), справедлива формула:

\(x_{i}=\frac{\Delta _{i}}{\Delta }\)

где \(\Delta _{i}\) является определителем матрицы, которая получена на основе основной матрицы А с помощью замены i-го столбца на столбец со свободными членами системы;

\(\Delta\) представляет собой определитель матрицы.

Таким образом, записывают формулу Крамера.

Теоремы замещения и аннулирования

Перед решением системы линейных уравнений необходимо изучить две важные закономерности. К ним относят:

• теорему аннулирования;
• теорему замещения.

Теорема замещения

При сложении произведений алгебраических дополнений какого-либо столбца и произвольных чисел b₁, b₂, b₃ получают новый определитель, в котором данными значениями осуществляют замену соответствующих элементов первоначального определителя, отвечающим данным алгебраическим дополнениям.

К примеру, можно записать справедливое равенство:

\(b_{1}A_{11}+b_{2}A_{21}+b_{3}A_{32}=\begin{vmatrix} b_{1}&a_{12}&a_{13}\\b_{2}&a_{22}&a_{23}\\b_{3}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}\)

где A₁₁, А₂₁, А₃₁ являются алгебраическими дополнениями для компонентов а₁₁, а₂₁, а₃₁ первого столбца первоначального определителя:

\(\Delta =\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}\)

Источник: is20-2019. susu.ru

Теорема аннулирования

В сумме произведения компонентов одной строки или столбца и алгебраических дополнений соответствующих компонентов другой строки или столбца равны нулю.

В качестве примера можно записать справедливое равенство:

\(a_{12}A_{11}+a_{22}A_{21}+a_{32}A_{31}=0\)

Применение метода Крамера для решения систем линейных уравнений (СЛАУ)

Данная методика актуальна для поиска ответа на задачи, которые содержат системы линейных уравнений. Метод Крамера позволяет найти решение систем с числом строк, равных количеству неизвестных. Таким образом, решают квадратные системы уравнений. В процессе необходимо вычислить определители матрицы, включая основные и дополнительные, которые получены с помощью замещения одного из столбца главного определителя на столбец, состоящий из свободных членов системы алгебраических уравнений. Наглядно ознакомиться с алгоритмом можно на примере задачи.

Требуется решить с помощью метода Крамера СЛАУ:

\(\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3 = b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3 = b_2\\a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=b_3 \end{cases}\)

Определим неизвестные \(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}\)Порядок действий простой.

Необходимо составить из системы матрицу:

\( A = \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix}\)

А также следует записать столбец, состоящий из свободных членов:

\(B = \begin{pmatrix} b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix}\)

Затем нужно рассчитать главный определитель матрицы:

\(\Delta = |A|\)

Кроме того, требуется записать дополнительные определители \(\Delta_i\)

Дополнительные определители получают на основе главного определителя с помощью замены столбцов по очереди на столбец, в котором записаны свободные члены:

\(\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix}\)

Бывает, что при расчетах получается \(\Delta = 0\). В таком случае метод Крамера не применим для решения системы.

По итогам расчетов с помощью формулы Крамера можно сделать вывод неизвестных для системы линейных уравнений, что является ответом к задаче:

\(x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta}, x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta}, x_3 = \frac{\Delta_3}{\Delta}\)

Источник: oneminute1min. files.wordpress.com

Порядок решения однородной системы уравнений

Метод Крамера – удобный способ решения систем линейных уравнений. Однако однородные системы являются отдельным случаем. Рассмотрим пример:

\(\begin{cases} a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z = 0\\a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z = 0\\a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=0 \end{cases}\)

Решениями системы однородного типа могут являться:

• нулевые решения x = y = z =0;
• решения, которые не равны нулю.

В том случае, когда определитель \(\Delta\) записанной однородной системы не равен нулю, то есть \(\Delta \neq 0\) такая система обладает единственным решением. Таким образом, вспомогательные определители \(\Delta_{x}= \Delta_{y}=\Delta_{z}= 0\) как такие, у которых имеется нулевой столбец и поэтому, за формулами Крамера (x = y = z =0).

В том случае, когда однородная система имеет решение, не равное нулю, ее определитель \(\Delta\) будет иметь нулевое значение, то есть \(\Delta=0\). Действительно, если один неизвестный элемент, например х, не равен нулю, тогда, исходя из однородности \(\Delta_{x}= 0\) справедливо равенство \(\Delta*x=0.\) В результате \(\Delta= 0 (x\neq 0)\).

Источник: cdn.retell.in

Метод Крамера позволяет достаточно просто решать системы линейных уравнений. Главное, соблюдать условия применения данного правила. В результате многие задачи из математического анализа станут намного проще. Если при освоении этой и других тем возникают трудности, выход есть. На сервисе Феникс.Хелп каждый учащийся получит квалифицированную помощь.

Математические заметки Pauls Online

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Мобильное уведомление

Похоже, вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Добро пожаловать в мои онлайн-уроки и заметки по математике. Целью этого сайта является предоставление полного набора бесплатных онлайновых (и загружаемых) заметок и/или учебных пособий для занятий, которые я преподаю в Университете Ламара. Я пытался написать заметки/учебники таким образом, чтобы они были доступны для всех, кто хочет изучить предмет, независимо от того, посещаете ли вы мои занятия или нет. Другими словами, они не предполагают, что у вас есть какие-либо предварительные знания, кроме стандартного набора предварительных материалов, необходимых для этого класса. Другими словами, предполагается, что вы знаете алгебру и тригонометрию до прочтения примечаний к Исчислению I, знаете Исчисление I до прочтения примечаний к Исчислению II, и т. д. . Предположения о вашем прошлом, которые я сделал, даны с каждым описанием ниже.

Я хотел бы поблагодарить Шейна Ф., Фреда Дж., Майка К. и Дэвида А. за все опечатки, которые они нашли и прислали мне! Я пытался проверить эти страницы и найти как можно больше опечаток, однако просто невозможно обнаружить их все, когда вы также являетесь человеком, написавшим материал. Фред, Майк и Дэвид обнаружили довольно много опечаток, которые я пропустил, и были достаточно любезны, чтобы отправить их мне. Еще раз спасибо, Фред, Майк и Дэвид!

Если вы являетесь одним из моих нынешних студентов и ищете домашние задания, у меня есть набор ссылок, которые приведут вас на нужные страницы, перечисленные здесь.

В настоящее время я получил заметки/учебники для своего класса алгебры (математика 1314), исчисления I (математика 2413), исчисления II (математика 2414), исчисления III (математика 3435) и дифференциальных уравнений (математика 3301) онлайн. У меня также есть пара обзоров/дополнений. Среди обзоров/дополнений, которые у меня есть, есть обзор алгебры/триггеров для моих студентов, изучающих математику, учебник для начинающих по комплексным числам, набор распространенных математических ошибок и несколько советов о том, как изучать математику.

Я также сделал большинство страниц этого сайта доступными для скачивания. Эти загружаемые версии представлены в формате pdf. Каждая тема на этом сайте доступна для полной загрузки, а в случае очень больших документов я также разделил их на более мелкие части, которые в основном соответствуют каждой из отдельных тем. Чтобы получить загружаемую версию любой темы, перейдите к этой теме, а затем в меню «Загрузить » вам будет предложена возможность загрузить тему.

Вот полный список всех тем, которые в настоящее время доступны на этом сайте, а также краткое описание каждой из них.

Шпаргалки и таблицы

Шпаргалки по алгебре — это столько общих фактов, свойств, формул и функций по алгебре, сколько я только мог придумать. Также включена страница с распространенными ошибками по алгебре. Доступны две версии шпаргалки. Один полноразмерный и в настоящее время состоит из четырех страниц. Другая версия представляет собой сокращенную версию, которая содержит точно такую ​​же информацию, как и полная версия, за исключением того, что она только что была уменьшена, поэтому две страницы печатаются на лицевой стороне, а две страницы — на обратной стороне одного листа бумаги.

Шпаргалки по триггерам. Вот набор общих фактов, свойств и формул триггеров. Единичный круг (полностью заполненный) также включен. Доступны две версии шпаргалки. Один полноразмерный и в настоящее время состоит из четырех страниц. Другая версия представляет собой сокращенную версию, которая содержит точно такую ​​же информацию, как и полная версия, за исключением того, что она только что была уменьшена, поэтому две страницы печатаются на лицевой стороне, а две страницы — на обратной стороне одного листа бумаги.

Шпаргалки по математическому анализу. Это серия памятных листов по математическому анализу, которые охватывают большую часть стандартного курса по математическому анализу I и несколько тем из курса по математическому анализу II. Здесь есть четыре разных шпаргалки. В одном содержится вся информация, в другом — только информация о лимитах, в третьем — только информация о производных, а в последнем — только информация об интегралах. Каждая шпаргалка поставляется в двух версиях. Один полноразмерный, а другой уменьшенный, с точно такой же информацией, что и полноразмерная версия, которая печатает две страницы на передней и / или обратной стороне каждой страницы бумаги.

Общие производные и интегралы. Здесь представлен набор общих производных и интегралов, которые регулярно используются в исчислении I или исчислении II класса. Также включены напоминаний о нескольких методах интеграции. здесь доступны две версии шпаргалки. Один полноразмерный и в настоящее время состоит из четырех страниц. Другая версия представляет собой сокращенную версию, которая содержит точно такую ​​же информацию, как и полная версия, за исключением того, что она только что была уменьшена, поэтому две страницы печатаются на лицевой стороне, а две страницы — на обратной стороне одного листа бумаги.

Таблица преобразований Лапласа. Вот список преобразований Лапласа для класса дифференциальных уравнений. В этой таблице приведены многие из часто используемых преобразований и формул Лапласа. В настоящее время он состоит из двух страниц, причем первая страница представляет собой преобразования Лапласа, а вторая — некоторую информацию/факты о некоторых записях.

Заметки для занятий

Во всех классах, за исключением дифференциальных уравнений, есть практические задачи (с решениями), которые вы можете использовать на практике, а также набор задач с заданиями (без решений/ответов), которые могут использовать преподаватели, если они желание.

Алгебра (математика 1314) [Примечания] [Практические задачи] [Задачи с заданиями] — Темы, включенные в этот набор заметок/учебника:

• Предварительные занятия — свойства экспонент, рациональные экспоненты, отрицательные экспоненты, радикалы, многочлены, факторинг, рациональные выражения, комплексные числа
• Решение уравнений и неравенств — Линейные уравнения, Квадратные уравнения, Заполнение квадрата, Квадратные формулы, Применение линейных и квадратных уравнений, Приведение к квадратной форме, Уравнения с радикалами, Линейные неравенства, Полиномиальные и рациональные неравенства, Абсолютные уравнения и неравенства.
• Графики и функции — графические линии, окружности и кусочные функции, определение функции, обозначение функций, композиция функций, обратные функции.
• Общие графики — параболы, эллипсы, гиперболы, абсолютное значение, квадратный корень, постоянная функция, рациональные функции, сдвиги, отражения, симметрия.
• Полиномиальные функции — деление многочленов, нули/корни многочленов, нахождение нулей многочленов, построение графиков многочленов, дроби.
• Экспоненциальные и логарифмические функции — экспоненциальные функции, логарифмические функции, решение экспоненциальных функций, решение логарифмических функций, приложения.
• Системы уравнений — метод подстановки, метод исключения, расширенная матрица, нелинейные системы.

Заметки/учебник по алгебре предполагают, что вы уже знакомы с основами алгебры. В частности, предполагается, что разделы показателей и факторинга будут для вас скорее обзором. Кроме того, предполагается, что вы знакомы с основами графических уравнений. Графики конкретных типов уравнений подробно описаны в примечаниях, однако предполагается, что вы понимаете базовую систему координат и то, как наносить точки на график.

Исчисление I (Математика 2413) [Примечания] [Практические задачи] [Задачи с заданиями] — Темы, включенные в этот набор заметок/учебника:

• Обзор алгебры и триггеров — Триггерные функции и уравнения, Экспоненциальные функции и уравнения, Логарифмические функции и уравнения.
• Пределы — концепции, определение, вычисления, односторонние пределы, непрерывность, пределы, включающие бесконечность, правило L’Hospitals
• Производные — определение, интерпретации, производные формулы, степенное правило, правило произведения, частное правило, цепное правило, производные высшего порядка, неявное дифференцирование, логарифмическое дифференцирование, производные триггерных функций, экспоненциальные функции, логарифмические функции, обратные триггерные функции и гиперболический триггер Функции.
• Применение производных — связанные скорости, критические точки, минимальные и максимальные значения, возрастающие/убывающие функции, точки перегиба, вогнутость, оптимизация
• Интегрирование — Определение, Неопределенные интегралы, Определенные интегралы, Правило замены, Вычисление определенных интегралов, Основная теорема исчисления
• Применение интегралов — среднее значение функции, площадь между кривыми, тела вращения, работа.

Заметки/руководство по Исчислению I предполагают, что у вас есть практические знания по Алгебре и Тригонометрии. Есть некоторый обзор нескольких тем по алгебре и триггерам, но по большей части предполагается, что у вас есть приличный опыт в алгебре и триггерах. Эти примечания предполагают отсутствие предварительных знаний исчисления.

Исчисление II (Math 2414) [Примечания] [Практические задачи] [Задачи с заданиями] — Темы, включенные в этот набор заметок/учебника:

• Методы интегрирования — интегрирование по частям, интегралы с триггером Функции, Подстановки триггеров, Интегрирование с использованием дробей, Интегралы С участием корней, Интегралов с участием квадратов, Стратегия интегрирования, Неправильный Интегралы, сравнительный тест для несобственных интегралов и аппроксимация определенного Интегралы.
• Применение интегралов — длина дуги, площадь поверхности, центр масс/центроид, гидростатическое давление и сила, вероятность.
• Параметрические уравнения и полярные координаты — параметрические уравнения и кривые, расчет с помощью параметрических уравнений (касательные, площади, длина дуги и площадь поверхности), полярные координаты, расчет с полярными координатами (касательные, площади, длина дуги и площадь поверхности).
• Последовательности и ряды — Последовательности, ряды, сходимость/расхождение рядов, абсолютные ряды, интегральный тест, сравнительный тест, предельный сравнительный тест, тест переменного ряда, тест отношения, тест корня, оценка значения ряда, степенной ряд, ряд Тейлора , Биномиальная серия
• Векторы — Основы, Величина, Единичный вектор, Арифметика, Скалярный продукт, Крест Продукт, Проекция
• Трехмерная система координат — уравнения прямых, уравнения плоскостей, квадратичные поверхности, функции многих переменных, векторные функции, пределы, производные и интегралы векторных функций, касательные векторы, нормальные векторы, бинормальные векторы, кривизна, цилиндрические координаты, сферические Координаты

Примечания/руководство по исчислению II предполагают, что у вас есть практические знания исчисления I, включая пределы, производные и интегрирование (вплоть до базовой замены). Также предполагается, что вы достаточно хорошо знаете Trig. Некоторые темы в значительной степени зависят от триггера и знания триггерных функций.

Исчисление III (Math 3435) [Примечания] [Практические задачи] [Задачи с заданиями] — Темы, включенные в этот набор заметок/учебника:

• Трехмерная система координат — уравнения прямых, уравнения плоскостей, квадратичные поверхности, функции многих переменных, векторные функции, пределы, производные и интегралы векторных функций, касательные векторы, векторы нормалей, бинормальные векторы, кривизна, цилиндрические координаты , Сферические координаты
• Частичные производные — пределы, частные производные, частные производные высшего порядка Производные, дифференциалы, цепное правило, производные по направлению, градиент.
• Применение частных производных — касательная плоскость, нормальная линия, относительный экстремум, абсолютный экстремум, оптимизация, множители Лагранжа.
• Множественные интегралы — повторные интегралы, двойные интегралы, двойные интегралы в полярных координатах, тройные интегралы, тройные интегралы в цилиндрических координатах, тройные интегралы в сферических координатах, замена переменных, площадь поверхности.
• Линейные интегралы — векторные поля, линейные интегралы по длине дуги, линейные интегралы по отношению к x и y , линейные интегралы векторных полей, основная теорема линейных интегралов, консервативные векторные поля, потенциальные функции, теорема Грина, Завиток, Дивергенция.
• Поверхностные интегралы — параметрические поверхности, поверхностные интегралы, поверхностные интегралы векторных полей, теорема Стокса, теорема о дивергенции.

Заметки/руководство по исчислению III предполагают, что у вас есть практические знания исчисления I, включая пределы, производные и интегрирование. Также предполагается, что читатель хорошо знаком с несколькими темами Calculus II, включая некоторые методы интегрирования, параметрические уравнения, векторы и знание трехмерного пространства.

Дифференциальные уравнения (Math 3301) [Примечания]

— Темы, включенные в этот набор заметок/учебника:

• Дифференциальные уравнения первого порядка — линейные уравнения, уравнения с разделителями, точные уравнения, равновесные решения, задачи моделирования.
• Дифференциальные уравнения второго порядка. Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка, фундаментальный набор решений, неопределенные коэффициенты, вариации параметров, механические колебания
• Преобразования Лапласа — Определение, Обратные преобразования, Ступенчатые функции, Функции Хевисайда, Дельта-функция Дирака, Решение IVP, Неоднородный IVP, Непостоянный коэффициент IVP, Интеграл свертки.
• Системы дифференциальных уравнений — матричная форма, собственные значения/собственные векторы, фазовая плоскость, неоднородные системы, преобразования Лапласа.
• Решения серии — Решения серии, Дифференциальные уравнения Эйлера.
• Дифференциальные уравнения высшего порядка — n ^-й -й порядок дифференциальных уравнений, неопределенные коэффициенты, вариация параметров, 3 x 3 системы дифференциальных уравнений.
• Краевые задачи и ряды Фурье — Краевые задачи, собственные значения и собственные функции, ортогональные функции, синусоидальные ряды Фурье, косинусные ряды Фурье, ряды Фурье.
• Уравнения в частных производных — уравнение теплопроводности, волновое уравнение, уравнение Лапласа, разделение переменных.

Эти заметки предполагают отсутствие предварительных знаний дифференциальных уравнений. Однако требуется хорошее понимание исчисления. Это включает в себя практические знания дифференциации и интеграции.

Обзоры и дополнения

Обзор алгебры/триггеров — это обзор алгебры и триггеров это было первоначально написано для моих студентов исчисления I. Это все еще ориентировано в основном по отношению к студентам, изучающим исчисление, со случайными комментариями о том, как тема будет использоваться в классе исчисления. Тем не менее, кому нужен обзор некоторых базовой алгебры, тригонометрических, экспоненциальных функций и логарифмов следует найти информация об использовании.

Не все темы, изучаемые на занятиях по алгебре или триггерам, рассматриваются в этом обзор. В основном я освещал темы, которые имеют особое значение для студентов. на уроке исчисления. Я включил пару тем, которые не так важны на занятиях по математическому анализу, но иногда у студентов возникают проблемы с этим. По мере того, как будет время, я буду добавлять и другие разделы.

Обзор представляет собой набор задач с первым решением, содержащим подробную информацию о том, как работать с этим типом задач. Более поздние решения обычно не такие подробные, но могут содержать дополнительную/новую информацию по мере необходимости.

Учебник по комплексным числам. Это краткое введение в некоторые основные идеи, связанные с комплексными числами. Рассматриваемые темы представляют собой краткий обзор арифметики с комплексными числами, комплексного сопряжения, модуля, полярной и экспоненциальной формы, а также вычислительных мощностей и корней комплексных чисел.

Обратите внимание, что в этом учебнике предполагается, что вы, по крайней мере, видели некоторые комплексные числа до чтения. Цель этого документа — немного выйти за рамки того, что видит большинство людей, впервые знакомящихся с комплексными числами, скажем, на уроках алгебры в колледже. Кроме того, этот документ никоим образом не претендует на то, чтобы дать полное представление о комплексных числах, и я не охватываю все используемые концепции (это сам по себе целый класс).

Распространенные математические ошибки. Как и в случае с алгеброй/триггером, просмотрите это изначально был написан для моего класса исчисления I. Однако только один из пяти разделы, которые я дал здесь, непосредственно касаются темы исчисления. другие четыре раздела представляют собой более общие ошибки или охватывают ошибки алгебры и триггеров. В первых четырех разделах есть пара примеров исчисления, но в во всех этих случаях я также пытался привести примеры, не связанные с исчислением.