Решение рациональных и дробно-рациональных уравнений методом введения новой переменной
Справочник по математике для школьников и абитуриентов / Элементарная математика
Метод введения новой переменной был использован ранее при решении трехчленных уравнений, однако этот метод с успехом применяется и при решении многих других уравнений, где возможна и полезна замена переменной. Для закрепления этого метода рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Решить уравнение (х² + х)² — 8(х² + х) + 12 = 0.
Решение.
Положив х² + х = t, получим уравнение t² — 8t +12 = 0, откуда находим t₁ =2; t₂ = 6. Теперь задача свелась к решению совокупности уравнений х² + х = 2; х² + х = 6, то есть
Уравнение (а) имеет корни x₁=-2, х₂=1; уравнение (б) имеет корни х₃ = -3, х₄ = 2.
Ответ: {-2;1;-3;2}.
Пример 2.
Решить уравнение
Решение.
Замена
приводит исходное уравнение к квадратному t²-5t + 6 = 0, корни которого t₁=2, t₂=3. Взяв t₁=2 =>
Взяв t₂ =3 =>
Ответ:
Пример 3. Решить уравнение
Решение.
Замена х² + х + 1 = t приводит исходное уравнение к такому:
Ответ: {0; -1; -3; 2}
Пример 4. Решить уравнение
Решение.
Положим
Тогда
=х² + х⁻² + 2 => х² + х⁻² = t²-2. Исходное уравнение записывается в виде
Ответ:
Пример 5. Решить уравнение (х + 3)⁴ + (х + 5)⁴ = 16.
Решение.
Уравнения вида
решаются с помощью замены
(с — среднее арифметическое чисел а и b). Для уравнения (х + З)⁴ + (х + 5)⁴ = 16
с = (3+5)/2 = 4 => делаем замену t = x + 4 =>
=> x = t — 4, x + 3 = t — 4 + 3 = t — 1, x + 5 = t- 4 + 5 = t + 1 => исходное уравнение записывается в виде (t-1)⁴ +(t + l)⁴ = 16. Применяя треугольник Паскаля, получаем
t⁴-4t³ + 6t²-4t +1 + t⁴ + 4t³ + 6t² + 4t +1 = 16 <=>
<=> 2t⁴ + 12t² + 2 = 16 <=> 2t⁴ + 12t² -14 = 0 <=> t⁴ + 6t² — 7 = 0.
Решая это биквадратное уравнение, получаем t₁ =1, t₂ = -1. Взяв t₁ = 1 => х + 4 = 1 <=> х = -4 + 1 = -3. Взяв t₂ = -1 => х + 4 = -1 <=> х = -4 -1 = -5 .
Ответ: {-3;-5}.
Пример 6. Решить уравнение Зх⁴ — 2х³ — 9х² — 4х + 12 = 0.
Решение.
В данном уравнении отношение первого коэффициента к свободному члену и квадрата второго коэффициента к квадрату предпоследнего равны между собой, то есть
Такие уравнения называются возвратными.
В общем случае уравнение вида ах⁴ + bх³ + сх² + dx + m = 0 называется возвратным, если
выполнено условие
Поскольку х=0 не является решением возвратного уравнения, то можно разделить обе части уравнения на х² и после замены переменных получить квадратное уравнение. Разделив исходное уравнение на х², получаем
Группируя слагаемые, имеем
Положив
имеем
Таким образом, приходим к уравнению
Зх² +7х + 6 = 0. Т. к. дискриминант этого уравнения D=7²-4·3·6=49-72 = -23
Страница не найдена – ФГОС online
Извините, страница не найдена.
Она была удалена или переименована. Но вы можете перейти на главную
страницу либо на страницу любой олимпиады.
Олимпиады для работников ДОУ
Олимпиады для учителей и
педагогов
Олимпиады для студентов
Олимпиады для дошкольников
Олимпиады по предметам
Олимпиады 1 класс
Олимпиады 2 класс
Олимпиады 3 класс
Олимпиады 4 класс
Олимпиады 5 класс
Олимпиады 6 класс
Олимпиады 7 класс
Олимпиады 8 класс
Олимпиады 9 класс
Олимпиады 10 класс
Олимпиады 11 класс
ТОП курсов повышения квалификации
ТОП курсов профессиональной переподготовки
| Функциональная грамотность школьников | Организация деятельности педагогических работников по классному руководству |
| Система сопровождения ребенка с ОВЗ в общеразвивающем детском саду | Основы религиозных культур и светской этики (ОРКСЭ): теория и методика преподавания в образовательной организации |
| Патриотическое воспитание в системе работы воспитателя общеобразовательной организации | Организация деятельности педагога-воспитателя группы продленного дня |
| Активизация познавательной деятельности младших школьников с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ) как стратегия повышения успешной учебной деятельности | Профилактика коронавируса, гриппа и других острых респираторных вирусных инфекций в образовательных организациях |
| Здоровьесберегающие технологии в физическом развитии дошкольников и их применение в условиях ФГОС ДО | Применение современных педагогических технологий в образовательном процессе в условиях реализации ФГОС |
| Дистанционное обучение как современный формат преподавания | Гражданская оборона и защита от чрезвычайных ситуаций природного и техногенного характера |
| Организация образовательной деятельности в соответствии с требованиями ФГОС НОО (федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования), утвержденного приказом Министерства просвещения РФ № 286 от 31 мая 2021 года | Охрана труда |
| Организация образовательной деятельности в соответствии с требованиями ФГОС ООО (федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования), утвержденного приказом Министерства просвещения РФ № 287 от 31 мая 2021 года | Оказание первой помощи детям и взрослым |
| Пожарно-технический минимум (ПТМ) | Пожарная безопасность |
Решение рациональных уравнений — изучите и поймите онлайн
Рациональные уравнения можно использовать в повседневной жизни, от расчета скорости до расчета средних затрат.
Рациональное уравнение — это тип уравнения, включающего одно или более рациональных выражений . При решении этих уравнений можно использовать умножение, деление, сложение или вычитание. В этой статье мы будем решать рациональные уравнения, используя перекрестное умножение и методы наименьших общих знаменателей (LCD). Кроме того, мы рассмотрим эти методы с примерами и проблемами из повседневной жизни.
Рациональное уравнение — это дробь, в которой либо числитель, либо знаменатель — многочлен.
Решение рациональных уравнений с помощью перекрестного умножения
Перекрестное умножение — это практический способ решения рационального уравнения, когда с каждой стороны уравнения имеется одно рациональное выражение.
Перекрестное умножение, StudySmarter Originals
При перекрестном умножении мы видим, что . Этот метод действительно полезен для решения рациональных уравнений. Давайте посмотрим на пример.
Решить
Решение:
Шаги для решения рационального уравнения:
Здесь у нас есть форма, поэтому мы можем решить это уравнение с перекрестным умножением.
- Поперечное умножение: мы можем умножить на 4 и 8 на
- Распределительное свойство:
- С каждой стороны:
- Ад.
- Разделите каждую сторону на 8:
Чтобы увидеть, работает ли решение, его нужно подставить в уравнение.
Если мы разделим правую часть на 2:
Это равенство показывает, что решение работает нормально!
Решить
Решение:
Чтобы решить уравнение, нужно выполнить перекрестное умножение, потому что оно снова имеет вид
Шагов решения рационального уравнения:
- Поперечное умножение: мы должны умножить 8 на и 2 на
- Распределительное свойство:
- Выставка 6x с каждой стороны:
- 7 Add Add Add Add Add Add Add Add Add Add Add Add Add Add Add Add Add Add Add Add Add Add Add Add Add Add Add Add Add Add Add Add Add Add Add Add Add Add Add Add Add Add Add Add Add Add Add Add Add Add Add.
- Разделите каждую сторону на 2:
Теперь давайте подставим x = 2 в рациональное уравнение, чтобы проверить, работает ли оно.
Как видите, если мы можем получить одинаковое значение с каждой стороны, когда раствор подключается к раствору, значит, он работает, как в этом случае.
Решение рациональных уравнений с использованием наименьших общих знаменателей (LCD)
Если рациональное уравнение не представлено в виде пропорции, как в случае перекрестного умножения, мы можем решить уравнение, используя метод наименьших общих знаменателей. Наименьший общий знаменатель, или LCD, является самым простым общим знаменателем для использования. Мы факторизуем выражения и перемножаем все уникальные множители, чтобы определить LCD двух рациональных выражений.
Чтобы найти ЖК-дисплей, вы начинаете с перечисления кратных дробей. Затем вы находите наименьшее общее кратное.
Каждая часть уравнения должна быть умножена на наименьший общий знаменатель, чтобы решить рациональное уравнение.
Чтобы понять этот метод, давайте решим несколько примеров.
Какое решение ?
Решение:
Шаги для решения рационального уравнения:
В этом примере у нас есть знаменатели как х , 4, и снова х . Итак, наименьший общий знаменатель можно определить как произведение х на 4, то есть 4 х . Мы должны использовать ЖК-дисплей, чтобы умножить уравнение с каждой стороны, чтобы найти решение.
- Умножьте каждую сторону на ЖК-дисплей, который равен:
- Мы должны распределить на каждую сторону и умножить на значения в скобках.
Итак, решение рационального уравнения , но мы должны быть уверены, что оно работает. Итак, опять же, мы должны подставить это решение в уравнение:
Поскольку мы снова получили равенство, это решение, кажется, работает.
Решите уравнение с помощью ЖКИ:
Решение:
Шаги решения рационального уравнения:
Сначала мы должны определить, что такое ЖКИ в данном случае. Мы видим, что знаменатели равны 2 x , что в основном является x умноженным на 2, и x . Поскольку в любом случае 2 x составляют x , мы можем взять x и определить LCD путем их перемножения.
Таким образом, ЖК-дисплей отображается как .
Чтобы решить рациональное уравнение, мы должны умножить каждую сторону на LCD.
- Умножьте каждую сторону на значение LCD, которое равно:
- Распределяющее свойство: Мы должны распределить значение LCD на каждую сторону и умножить его на значения в скобках.
- Мы можем упростить это:
- Знак минус нужно распределить в правую часть:
- Чтобы упростить решение уравнения, каждую часть умножим на 2:
- Распределим 2 в скобках с умножением :
- Мы можем добавить к каждой стороне, чтобы упростить значение x:
- Мы можем выбирать 7 с каждой стороны, чтобы снова упростить:
- Мы можем выбирать 7 с каждой стороны, чтобы снова упростить: 9000
- Мы можем выбирать 7 с каждой стороны. 0028
- Разделите каждую сторону на 9, чтобы оставить только значение x:
Тогда решение рационального уравнения будет . Давайте посмотрим, работает ли это в уравнении:
У нас есть равенство, значит, наше решение работает.
Решение рациональных уравнений с двумя решениями
Иногда у нас может быть два решения после решения рациональных уравнений. Эти два решения могут работать оба, или только одно из них может быть решением. Кроме того, в некоторых случаях решения может вообще не быть. В этом разделе мы будем работать над каждым случаем на разных примерах.
Решите
Решение:
Здесь у нас есть знаменатели и x . Их умножение даст нам ЖК-дисплей, который равен . Чтобы найти решения.
- Multiply each side by the LCD:
- Distribute the LCD to the parentheses:
- We can do simplification:
Разделите это число на 2:
На этом этапе мы должны факторизовать уравнение, чтобы найти решения.
Важно то, что нам нужно найти два значения, составляющих 15, с умножением на . Относительное дополнение должно давать среднее значение уравнения, которое равно .
Мы можем разделить x 2 как x , умноженное на x , и 15 как -15 и -1. Когда мы пересекаем умножить x с — 15 , а другие x с — 1 , и сложите их все вместе, мы должны получить то, что удовлетворяется таким образом.
В результате мы можем записать уравнение в виде:
Значения, при которых скобки равны нулю, являются нашими решениями!
Давайте проверим, работают ли эти два решения:
- для
Разделите левую сторону на 2 и правую сторону на 3:
.0005
Итак, это одно из решений.
- Для:
, который снова работает как решение.
Решите уравнение
Решение:
Шаги для решения рационального уравнения:
Мы можем решить этот пример с помощью метода LCD, так как уравнение не имеет вида
Но как мы можем найти ЖК? Мы должны посмотреть на знаменатели для этого: , и снова . Таким образом, наименьшим общим знаменателем будет произведение и . Чтобы найти решения, мы должны умножить каждую сторону на LCD.
- Умножьте каждую сторону на ЖК -дисплей, который:
- Распределите ЖК -дисплей в скобки:
- Упрощение:
- DO. Multy Multy. :
- Перекрестите значения справа налево:
- Упрощение:
- Так как x является общим в уравнении, мы можем разложить уравнение как:
- Чтобы найти решения, мы должны найти значения, делающие множители равными нулю в уравнении, которые равны и
Когда и оба Подключенные к уравнению, можно увидеть, что они оба работают и оба являются решениями уравнения:
В приведенных выше примерах мы видели, что из рациональных уравнений можно получить два решения.
Мы проверяли, работают ли они, подключая их к уравнению. Если решения не работают в уравнениях, эти решения называются посторонними решениями .Решить
Решение :
Мы можем решить этот тип уравнения с помощью метода LCD. Когда мы смотрим на знаменатели, они равны , что является произведением и . Таким образом, наименьший общий знаменатель должен быть произведением обоих и , то есть . Каждая часть уравнения должна быть умножена на ЖК-дисплей, чтобы найти решения.
Шаги по решению рационального уравнения:
- Умножение каждой стороны на LCD:
- Упрощение:
- СВОДОВАНИЕ СВЕДЕНИЯ:
- СВЕДЕНИЕ.
Мы должны факторизовать уравнение, чтобы найти решения. Мы можем разделить 7 x 2 как произведение 7 x и x, и — 4 как произведение + 4 и — 1. Цель здесь состоит в том, чтобы найти среднее значение, равное — 3x.
Путем перекрестного умножения и сложения, подобным этому, мы можем получить среднее значение.
- Коэффициент:
Решения будут или
Однако подстановка в уравнение приводит к делению на ноль, что дает неопределенный результат. Таким образом, остается единственное решение, которое работает. это постороннее решение!
Решите уравнение и проверьте наличие посторонних решений:
Решение:
Мы можем решить этот пример с помощью метода LCD. Когда мы смотрим на знаменатели, они таковы: это умножение и х. Итак, наименьший общий знаменатель равен . Решения можно найти, перемножив уравнение с ЖКИ.
Шаги для решения рационального уравнения:
- Умножьте каждую сторону на LCD, что равно:
- Distribute the LCD to the parentheses:
- Simplify:
- Subtract from each side:
- Add 33 to each side:
- Разделите каждую сторону на 11:
Для проверки на посторонние решения найденное решение нужно подставить в уравнение.
Однако, когда он подключен, уравнение приводит к неопределенности, потому что в знаменателях есть. Значит, у уравнения нет решения!Решение рациональных уравнений, заданных в виде функций
В таких вопросах мы увидим рациональные уравнения, заданные в виде функций с областями. Снова решим рациональное уравнение теми же способами, получим решения. Однако мы проверим, работают ли решения, посмотрев, остаются ли решения в домене. Если решение не находится в домене, оно игнорируется.
Например, у нас может быть такая функция, как . Значение может быть указано в вопросах и должно быть вставлено в функцию. У нас может быть область для решений от a до b. После повторного решения уравнения с помощью таких методов, как перекрестное умножение и LCD, мы должны проверить область на наличие решений и посмотреть, не являются ли они посторонними.
Рассмотрим пример:
Общий объем продаж S (в миллионах долларов) ноутбука можно смоделировать с помощью
; и домен
, где количество потребителей (в тысячах).
Для скольких потребителей общий объем продаж компьютеров составил около 6 миллионов долларов?Решение:
Чтобы решить это уравнение, нужно подставить 6, так как оно представляет продажи, потому что представляет общий объем продаж, и в примере оно равно 6 миллионам долларов. Мы должны решить уравнение, чтобы найти значения, а затем проверить, находятся ли они в заданной области.
Шаги по решению рационального уравнения:
- Напишите уравнение:
- Для решения уравнения мы можем перекрестно умножить:
- Свойство. САКНА:
- 666677777.
- Прибавьте по 80 к каждой стороне:
- Разделите каждую сторону на 16:
9
2 6 Возьмите 9 квадратных корней из каждой стороны0028
Поскольку -2,24 не находится в домене (), единственным решением остается +2,24.
Таким образом, общий объем продаж компьютеров около $6 млн на 2240 потребителей.
Solving Rational Equations — Key takeaways
Solving rational expressions calculator
- Expression
- Equation
- Inequality
- Contact us
- Simplify
- Factor
- Expand
- GCF
- LCM
- Решение
- График
- Система
- Решение
- График
- Система
- MATH Solver на вашем участке
- Мы можем выбирать 7 с каждой стороны.
- Math Solver на вашем участке
- Мы можем выбирать 7 с каждой стороны, чтобы снова упростить: 9000
0028
Важно то, что нам нужно найти два значения, составляющих 15, с умножением на . Относительное дополнение должно давать среднее значение уравнения, которое равно .
Мы проверяли, работают ли они, подключая их к уравнению. Если решения не работают в уравнениях, эти решения называются посторонними решениями .
Однако, когда он подключен, уравнение приводит к неопределенности, потому что в знаменателях есть. Значит, у уравнения нет решения!
Для скольких потребителей общий объем продаж компьютеров составил около 6 миллионов долларов?
- Math Solver на вашем участке
- Math Solver на вашем участке
- на вашем участке
- на вашем участке
- 7
Калькулятор решения рациональных выражений
Связанные темы:
показать решение процентной ставки на конец года | 9 класс алгебра 1 практика | Листы для изучения алгебры для 6-го класса | что такое линейные неравенства | калькулятор наименьшего общего знаменателя | линейные и квадратичные функции | калькулятор матриц | госэкзамен по математике 7 класс онлайн | бесплатные воспроизводимые математические листы по дробям | как найти стороны прямоугольного треугольника | Холт ответы учителя тригонометрии | «происхождение показателей | умножение и деление нескольких целых чиселАвтор Сообщение мИч Зарегистрирован: 16.
09.2002 Размещено: Понедельник, 20 августа, 13:19 Привет, друзья, мне действительно нужна резервная копия здесь. У меня ужасный тест, и я действительно застрял на решении калькулятора рациональных выражений. Я не знаю, с чего начать. Можете ли вы подкрепить меня радикальными выражениями, отношениями и обозначениями интервалов, я не ленюсь! я просто не понимаю. Я думал о том, чтобы нанять хорошего репетитора, но они совсем не дешевые. Любая помощь будет чрезвычайно нравится. Привет!Наверх nxu Зарегистрирован: 25.10.2006
Откуда: Сибирь, Российская ФедерацияРазмещено: вторник, 21 августа, 07:16. Вам действительно не стоило тратить деньги на частного репетитора. Если бы вы разместили это сообщение до того, как наняли одного из них, вы могли бы сэкономить много денег! В любом случае, что сделано, то сделано. Теперь, чтобы убедиться, что вы хорошо сдаете экзамены, я бы посоветовал использовать Алгебратор. Это удобное программное обеспечение. Он может решить действительно сложные проблемы за вас, и что еще круче, так это то, что он даже может объяснить, как он это сделал! В какой-то момент даже у меня возникли трудности с пониманием соотношений, разложения многочленов и корней. Но благодаря Algebrator теперь все хорошо.Наверх MichMoxon Зарегистрирован: 21.08.2001
От кого:Размещено: вторник, 21 августа, 15:11. Я согласен, веб-сайты в Интернете ничем не лучше учебников. Алгебратор — хороший способ начать свою математическую карьеру.Наверх фвенгал Зарегистрирован: 11.07.2001
Размещено: Среда, 22 августа, 15:57 графические параболы, расстояние между точками и радикальные уравнения были для меня кошмаром, пока я не нашел Algebrator, который действительно является лучшей программой алгебры, с которой я когда-либо сталкивался.
09.2002 
Привет!
Алгебратор — хороший способ начать свою математическую карьеру.