Линейные системы трех уравнений с тремя неизвестными
Введем определитель системы
,
а также дополнительные определители
,
Возможны два варианта:
, тогда решение исходной системы уравнений существует и оно единственное.
(формулы Крамера).
Если и хотя бы один из определителей , то хотя бы одно из равенств (*) невозможно, т.е. система не имеет решений (т.е. несовместна).
Если и , то система имеет либо бесчисленное множество решений (т.е. система неопределенная) либо не имеет решений (т.е. система несовместна).
Решение систем линейных уравнений матричным методом
Решение систем линейных алгебраических уравнений с помощью матриц.
Решаем систему n уравнений с
Обозначим
Нетрудно заметить, что в матричном виде система будет выглядеть следующим образом
Решение системы уравнений с помощью обратной матрицы
Умножаем уравнение слева на матрицу . Ясно, что она должна существовать, то есть определитель матрицы A должен быть не равным нулю. Это означает, что данный метод пригоден только для случая единственного решения системы уравнений. Итак,
Решение получено, остается его реализовать.
Пример:
Решить систему
Очевидно
Основной определитель этой системы уравнений совпадает с определителем матрицы A:
Подсчитаем алгебраические дополнения элементов определителя:
Тогда
и
отсюда
5.
Решение систем линейных уравнений
методом Гаусса
Решение системы уравнений методом Гаусса
Процесс решения системы по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому виду (в частности, к треугольному), т.е.
где .
Пояснение:
, если все уравнения в системе разные.
, если в исходной системе уравнений есть уравнения, являющиеся линейной комбинацией других уравнений системы. Эти уравнения отбрасываются.
На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы.
На практике удобнее работать не с системой, а с расширенной матрицей, выполняя все элементарные преобразования над ее строками.
Пример:
Рассмотрим систему
Итак,
решение системы линейных алгебраических
уравнений методом Гаусса реализуется
построением треугольной матрицы,
эквивалентной исходной.
Расширенная матрица этой системы
содержит все параметры системы.
Запишем эквивалентную ей матрицу, у которой ниже главной диагонали стоят одни нули. Для этого умножим первую строку на (-2) и прибавим ко второй, затем первую строку умножаем на (-3) и суммируем с третьей:
Полученная матрица соответствует системе
эквивалентной исходной, то есть имеющей то же решение. Таким образом,
Отметим, что это
не единственный вариант решения, который
можно получить методом Гаусса. В последней
строке могут быть три первых нуля и не
нуль последний элемент. Легко установить,
что система в этом случае несовместна.
Может случиться и так, что вся последняя
строка состоит из нулей. Тогда следует
рассмотреть вторую строку. Если она
также состоит только из нулей, то остается
одно уравнение относительно трех
неизвестных, и мы имеем бесчисленное
множество решений, когда одна из
неизвестных выражается через две другие,
которые могут задаваться произвольно.
Если во второй строке нулем является
только первый элемент, то имеем также
бесчисленное множество решений, когда
две неизвестные выражаются через одну,
задаваемую произвольно. Наконец, во
второй строке не равен нулю только
последний элемент, тогда система
несовместна.
Пример.
Рассмотрим систему
Расширенная матрица этой системы
Мы пришли к системе двух уравнений с тремя неизвестными
Ее решение имеет вид двух формул для вычисления неизвестных при любом заданном
Решите систему трех линейных уравнений с помощью подстановки
В курсе конечной математики вы можете столкнуться с множеством задач, связанных с системами линейных уравнений. Когда вы работаете с системой из трех или более линейных уравнений, вы обнаружите, что использование подстановки для решения системы включает одну переменную через другую через другую и так далее.
Главное, что нужно помнить, это ваша целевая переменная. Вы хотите заменить эквивалентность одной из переменных на все остальные — выберите переменную и придерживайтесь ее.
Чтобы решить следующую систему уравнений, какую переменную вы бы выбрали?
Поначалу ни один из них не выглядит особенно привлекательным, но переменная x имеет коэффициент 1 во втором уравнении, так что выбирайте его.
Во-первых, находя x во втором уравнении, вы вычитаете 3 y с каждой стороны и прибавляете 5 z к каждой стороне, что дает вам x = 14 – 3 y + 5 z . Затем подставьте это выражение в первое и третье уравнения.
Подставляя в первое уравнение: 3(14 – 3 y + 5 z ) – 2 y + 4 z = 1. Это упрощает первое до –11 y 07 90 – 19 –41, что равно 11 y – 19 z = 41.
. упрощается до 16 y – 23 z = 55.
Итак, новая система уравнений всего с двумя переменными равна
Выбор переменных для решения невелик, но наименьшее число равно 11, поэтому первое уравнение — самый простой выбор.
. Поместите это во второе уравнение и найдите z, выполнив следующие шаги:
- Замените y :
- Умножьте каждое слагаемое на 11, чтобы избавиться от дроби: 16(19 z + 41) – 253 z = 605
- Упростить: 304 z + 656 – 253 z = 605, что становится 51 z = –51
- Разделить каждую сторону на 51: z = –1
. Вы получите
. Теперь, вооружившись y = 2 и z = –1, вы можете подставить эти значения в одно из исходных уравнений для решения x . Хорошим выбором будет второе исходное уравнение: x + 3 y – 5 z = 14, потому что коэффициент x равен 1. Используя это уравнение, вы получаете x + 3(2) – 5(–1) = 14, что упрощается до x = 3.
Решение уравнения система координат точки (3, 2, –1).
Эта статья из книги:
- Конечная математика для чайников,
Об авторе книги:
Мэри Джейн Стерлинг является автором Алгебра I для чайников, Алгебра для чайников, и многих других Для чайников книги. Она преподавала в Университете Брэдли в Пеории, штат Иллинойс, более 30 лет, преподавая алгебру, бизнес-расчеты, геометрию и конечную математику.
Эту статью можно найти в категории:
- Расчет и анализ,
Могут ли системы из 3 линейных уравнений с 3 неизвестными иметь более одного решения?
спросил
Изменено 5 лет назад
Просмотрено 15 тысяч раз
$\begingroup$
В каждой части определить, является ли данный вектор решением линейной системы
\begin{align} 2x-4y-z&=1\\ х-3у+г&=1\\ 3x-5y-3z&=1 \end{align}
(а) $(3,1,1)$ (б) $(3,-1,1)$ (в) $(13,5,2)$ (г) $(13) /2,5/2,2)$ (д) $(17,7,5)$
Этот вопрос решить легко.
Просто подставьте данный вектор в 3 уравнения соответственно и проверьте, что если левая и сторона = правая сторона. И получается, что а.д.е удовлетворяют ограничениям всех 3-х уравнений.
Но у меня вопрос: почему это возможно? Так как для линейной системы с n уравнениями и n неизвестными она имеет только 1 единственное решение. Геометрически эта линейная система подобна 3 плоскостям, а решением является точка, когда эти 3 плоскости совпадают. Итак, я думаю, что есть только 1 точка, которая подходит для этой линейной системы.
- линейная алгебра
- системы уравнений
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Если из третьего уравнения вычесть первое, получится то же самое, что и при вычитании второго из первого. Это означает, что одно из уравнений является избыточным, поэтому у вас может быть более 1 ответа.
Это то же самое, что и все три уравнения, параллельные и пересекающиеся на одной прямой.
$\begingroup$
А система уравнений: $$х + у =2$$ и $$2x+2y = 4$$ На самом деле эти два уравнения определяют одну и ту же прямую на плоскости, поэтому имеют бесконечное число решений. Любая точка вида $(x, 2-x)$ будет удовлетворять обоим уравнениям.
Что, если я изменю систему так: $$х + у =2$$ и $$2x+2y = 5$$ Теперь вы увидите, что на самом деле у этой системы уравнений нет решений. Эта система представляет собой две параллельные, но разные линии, поэтому общих точек пересечения нет.
Эта же идея распространяется, как вы говорите, на $n$ уравнений с $n$ неизвестными. Решений может быть либо $0$, либо ровно $1$ решение, либо бесконечно много решений. Чтобы представить сценарий, в котором три плоскости могут пересекаться по линии с бесконечным количеством точек пересечения, подумайте о том, чтобы взять плоскость x-y, плоскость y-z и ту, которая находится между этими двумя, скажем, под углом 45 градусов.
Все они будут пересекаться по оси Y. У вас также может быть ситуация, когда есть две параллельные плоскости, которые никогда не соприкасаются, что не даст вам решений.
Взяв определитель матрицы, соответствующей системе, можно сразу сказать, когда существует единственное решение системы именно тогда, когда определитель отличен от нуля.
$\endgroup$
$\begingroup$
Как сказал Доггишекспир, ваша система не имеет полного ранга, а это значит, что в ней есть избыточные уравнения. В общем, вы можете вычислить определитель матрицы вашей системы, чтобы узнать, существует ли бесконечное количество решений для вашей системы. Если он равен 0, это означает, что ваша система не имеет полного ранга и что у вас есть бесконечное количество решений.
В вашем случае ваша система может быть записана как: $$ Ах=б $$ с $$ A = \left[ \begin{массив}{ccc} 2&-4&-1\ 1 & -3 & 1 \\ 3 и -5 и -3 \end{массив} \right] , x=\left[ \begin{массив}{ccc} Икс \\ у \\ z \end{массив} \right] , b=\left[ \begin{массив}{ccc} 1\\ 1\\ 1 \конец{массив} \справа] $$
А здесь $\det(A) = 0$, так что причина в этом.
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Да, у них может быть более одного решения.
Каждое уравнение $\alpha \cdot x = \beta$ описывает аффинную плоскость.
Если 2 из 3 ваших самолетов идентичны (и отличаются от 3-го), тогда пересечение может быть линией, таким образом, бесконечно много решений, или пусто в случае параллельных плоскостей.
Если 3 из 3 ваших плоскостей одинаковы, то пересечение является плоскостью и у вас бесконечно много решений.
Пример: $$ 1 = x + y + z = (1,1,1) \cdot (x,y,z) \\ 2 = 2x + 2y + 2z = 2 \, (1,1,1) \cdot (x,y,z) \\ 4 = 3x + 3y + 3z = 3 \, (1,1,1) \cdot (x,y,z) $$ Второе — это просто первое уравнение, умноженное на 2 с каждой стороны от знака равенства.
$\endgroup$
$\begingroup$
стандартный (?) способ решить эту задачу — уменьшить строку расширенной матрицы $[A|b].