Схема Горнера. Примеры
Пример 1
Пример 2
Пример 3
Пример 4
РЕШЕНИЕ КУБИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПО СХЕМЕ ГОРНЕРА
4x3 — 19x2 + 19x + 6 = 0
Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа 6 являются ±1, ±2, ±3, ±6.
1: 4 — 19 + 19 + 6 = 10 ⇒ число 1 не является корнем многочлена
-1: -4 — 19 — 19 + 6 = -36 ⇒ число -1 не является корнем многочлена
2: 4 ∙ 8 — 19 ∙ 4 + 19 ∙ 2 + 6 = 0 ⇒ число 2 является корнем многочлена
Мы нашли 1 из корней многочлена. Корнем многочлена является 2, а значит исходный многочлен должен делиться на x — 2. Для того, чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера:
| 4 | -19 | 19 | 6 | |
| 2 |
В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена.
В первой ячейке второй строки ставится найденный нами корень 2. Во второй строке пишутся коэффициенты многочлена, который получится в результате деления. Они считаются так:
| Во вторую ячейку второй строки запишем число 1, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки. | ||||||||||
| 2 ∙ 4 — 19 = -11 | ||||||||||
| 2 ∙ (-11) + 19 = -3 | ||||||||||
| 2 ∙ (-3) + 6 = 0 |
Последнее число — это остаток от деления.
Если он равен 0, значит мы все верно посчитали.
Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:
4x3 — 19x2 + 19x + 6 = (x — 2)(4x2 — 11x — 3)
И теперь, всего лишь, осталось найти корни квадратного уравнения
4x2 — 11x — 3 = 0
D = b2 — 4ac = (-11)2 — 4 ∙ 4 ∙ (-3) = 169
D > 0 ⇒ уравнение имеет 2 корня
| x1,2 = | -b ± √ D | = | 11 ± 13 | = -0.25; 3 |
| 2a | 2∙4 |
Мы нашли все корни уравнения:
x = 2; 3; -0.25
Решение кубических уравнений онлайн
Пример 1
Пример 2
Пример 3
Пример 4
Как решить кубическое уравнение с помощью схемы Горнера — Гайды на DTF
Гайды
KILLE
date» data-date=»1673350378″ data-type=»default» title=»10.01.2023 14:32:58 (Europe/Moscow)»>10 янв в 14:32
Итак, пред вами кубическое уравнение и вы не знаете с чего начать? Тогда этот гайд для вас.
8567 просмотров
Да, это то самое уравнение которое тебе надо решить. Gonna cry?
Выглядит страшно, понимаю, но пугаться не надо. Можно заметить отсутствие икса во второй степени. Хорошо это или плохо? Хуй его знает, блчть.
А с чего начать? А начать надо с начала, то есть с подбора корня. Да, один корень из трех придется подобрать в уме. В данном случае это, очевидно, х=1. А что будет, если корень не удается найти подбором? Пиздец тогда, кидайте предъявы тем, кто дал вам такое ебанутое задание.
Наша цель привести уравнение к такому виду:
Первая скобка формируется следующим образом: икс минус тот корень, что мы нашли подбором.
Во второй скобке стоит некое выражение, которое мы и получим с помощью схемы Горнера.
Делаем табличку 2 на 5. Она всегда будет такой размерности при кубическом уравнении.
Заполняем первую строку. В первую клеточку не пишем ничего. В четыре остальных выписываем коэффициенты при иксах.
Картинка для тупых. Выписываем в таблицу эти коэффициенты. По порядку, а не как захочется. Перед икс в кубе стоит 1. Нет не ноль. Ноль стоит перед икс в квадрате. Икс в квадрате — это та несуществующая хуитень между икс в кубе и 7икс.
Во второй строке в первой клетке пишем наш корень, который мы подобрали. Все, отложи руки в стороны, чтобы ничего не напортачить и смотри на картинку. Должно получиться вот так:
Я только что понял, что на картинке для тупых обвел красным 7, а должен был обвести -7. Ну не переделывать же теперь?
А сейчас начнется магия. Во второй клеточке второй строки пишем то же число, что написано клеткой выше.
Далее пользуемся формулой, которую не мог запомнить даже Эйнштейн:
(КОРЕНЬ, КОТОРЫЙ МЫ ПОЛУЧИЛИ ПОДБОРОМ)*(ЗНАЧЕНИЕ ИЗ ПРЕДЫДУЩЕЙ КЛЕТКИ В ТОЙ ЖЕ СТРОКЕ) + (ЗНАЧЕНИЕ ИЗ КЛЕТКИ ВЫШЕ)
Это хуйню нужно применить для каждой клетки второй строки, кроме первых двух. Для третьей клетки будет 1*1+0. Если ты ничего не понял, то перечитай еще раз.
Вот та самая схема. Получилось? Эйнштейн тобой гордится!
В самом конце всегда должен получаться 0. Если 0 не получается, то иди пересчитывай, тупица.
Видишь циферки 1, 1, -6? Это коэффициенты квадратного уравнения. Именно это уравнение стоит в скобках вместо многоточия.
Вот так сложная поебень превратилась в произведение хуйни на хуйню.
Как ты знаешь из курса математики детского садика, если произведение равно нулю, то каждая скобочка равна нулю. Первая скобочка зануляется при х=1, а во второй находится квадратное уравнение, которое решается за 5 часов в уме.
7$. 9{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,$$ вы можете думать о $p(x)$ во вложенной форме как $p_0$, где $p_n=a_n$ и $p_{k-1}=p_kx+a_ {к-1}$. То есть начните со старшего коэффициента ($a_n$). Умножьте на $x$ и добавьте следующий коэффициент (добавляя ноль для заполнения «недостающих» степеней $x$), повторяя до тех пор, пока не добавите постоянный член ($a_0$). Вернемся к тому же примеру:
$$\begin{выравнивание}
p_7&=6\\
р_6&=(6)х+0\\
p_5&=((6)x+0)x-7\\
p_4&=(((6)х+0)х-7)+2\\
p_3&=((((6)х+0)х-7)+2)х+0\\
p_2&=(((((6)x+0)x-7)+2)x+0)-10\\
p_1&=((((((6)x+0)x-7)+2)x+0)-10)+20\\
p_0&=(((((((6)x+0)x-7)+2)x+0)-10)+20)-6
\end{выравнивание}$$ 92 + x — 5$ для $x = 3$. Настройте такую таблицу
1 0 -3 1 5
3
-------------------------
1
Теперь умножьте число внизу и суммируйте следующим образом.
1 0 -3 1 5
3 3
-------------------------
1 3
Пройдите таким же образом.
1 0 -3 1 -5
3 3 918 57
-------------------------
1 3 6 19 52
Имеем $f(3) = 52$. Запустим проверку
$$ f(3) = 81 -3*9 + 3 — 5 = 54 — 2 = 52.$$ $$ f(3) = 54 — 2 = 52.$$
Это четкий табличный способ увидеть работу метода Хорнера.
$\endgroup$
1
Предварительное исчисление алгебры — Вопрос о различиях терминологии и теорем, связанных с полиномиальным делением
Это будет длинный пост и в конце будет TL;DR.
Недавно я перечитывал темы о полиномиальном делении, чтобы освежить свои знания о них, но иногда я немного путаюсь и смешиваю некоторые термины, потому что они, кажется, означают похожие вещи, и я видел, как некоторые люди используют их в Интернете. они взаимозаменяемы, поэтому Я хотел спросить о различиях между следующими терминами и о том, правильно ли мое понимание и краткое изложение их .
•
Евклидово деление многочленов :По сути, полиномиальный аналог Евклидово деление целых чисел , но вместо $$ a = bq + r \tag{$a, b, q, r \in \mathbb{Z}\,$, $b\neq 0\,$, $0 \leq r < |b|$,} $ $ где $a$ — делимое , $b$ — делитель , $q$ — частное , а $r$ — остаток ,
имеем $$ f(x) = g(x)Q(x) + R(x) \tag{$g(x) \neq 0\,$, либо $R = 0$, либо $\deg(R) < \ град(г)$,} $$ где $f(x)$ — делимого многочлена , $g(x)$ — это полином делителей , $Q(x)$ — это многочлен частных , а $R(x)$ — это полином остатка .
•
Длинное деление многочленов : Длинное деление полиномов — это алгоритм, реализующий евклидово деление многочленов для деления многочлена на другой многочлен той же или более низкой степени, аналогичный арифметическому методу Длинное деление , в котором переменная $x$ заменяется (в базе $10$) конкретным числом $10$.
92 — 2x — 1$, делитель .» будет следующим:
Следовательно, частное и остаток равны: $$ \начать{выравнивать*} Q(x) &= 2x + 3, \\ R(x) &= 8x — 4. \конец{выравнивание*} $$
•
Полиномиальное синтетическое деление :Полиномиальное синтетическое деление — это метод ручного евклидова деления многочленов, требующий меньшего количества операций записи и вычислений, чем длинное деление.
Примеры : 92 + x — 3$, делитель .» будет следующим. членов слева от черты. Поскольку их два, остаток имеет степень один ($\deg(R) < \deg(g)$), и это два крайних правых члена под чертой.
Следовательно, частное и остаток:
$$
\начать{выравнивать*}
Q(x) &= x — 13, \\
R(x) &= 16x — 81.
\конец{выравнивание*}
$$ 92 — 2x — 1$, делитель
Отмените коэффициенты делителя и запишите каждый коэффициент, кроме первого слева, по восходящей правой диагонали.
Обратите внимание на дополнительная строка внизу. Она используется для записи значений, найденных путем деления «отброшенных» значений на старший коэффициент $g(x)$ (в данном случае обозначается $\div\,3$; обратите внимание, что в отличие от остальных коэффициентов $g(x)$ знак этого числа не меняется).
Подсчитайте члены слева от полосы. Поскольку их два, остаток имеет степень один ($\deg(R) < \deg(g)$) и это два крайних правых члена под чертой (значения остатка не делятся на старший коэффициент делителя).
Следовательно, частное и остаток равны: $$ \начать{выравнивать*} Q(x) &= 2x + 3, \\ R(x) &= 8x — 4. \конец{выравнивание*} $$
•
Лемма Гаусса для многочленов :Примитивное содержание 9{m+n}$, имеем
$$ \gcd(c_0, c_1, \ldots, c_{m+n}) = 1 \iff (\gcd(a_0, a_1, \ldots, a_n) = 1) \land (\gcd(b_0, b_1, \ldots, b_m) = 1). $$
Я до сих пор не понимаю связь со следующей теоремой о рациональном корне даже после прочтения доказательства.
{n-1} + \cdots + a_0 = 0$$
(с целыми коэффициентами $a_i \in \mathbb{Z}$ и $a_0, a_n \neq 0$), записанный в наименьших терминах, так что $p$ и $q$ взаимно просты, удовлетворяет: 92 + 5х — 2$$
должен быть среди чисел, символически обозначенных:
$$ \pm\frac{1,2}{1,3} = \pm\left\{1, 2, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right\} $$
Эти $8$ корневые кандидаты $x = r$ могут быть проверены путем оценки $P(r)$
Теорема о полиномиальном остатке или теорема маленького Безу утверждает, что для евклидова деления многочленов форма $$ f(x) = g(x)Q(x) + R(x) = (x — r)Q(x) + R,$$ остаток $R$ от деления многочлен $f(x)$ через линейный многочлен $g(x) = x — r$ равен $f(r)$. Факторная теорема является частным случаем теоремы о полиномиальном остатке (когда $R = 0$), которая утверждает
$$ f(x) \text{ имеет множитель } (x — r) \iff f(r) = 0. •
Теорема о полиномиальном остатке (или теорема маленького Безу) •
Факторная теорема 
•
Метод Хорнера (или метод Хорнера Схема) 9n = a_0 + x\left( a_1 + x\left( a_2 + \cdots + x\left(a_{n-1} + a_n\right) \right) \right) $$ и по существу использует полиномиальное синтетическое деление (разделите $f(x)$ на $g(x) = x — x_0$) и применяет теорему о полиномиальном остатке ($f(x_0) = R$).В качестве альтернативы, Метод Хорнера также относится к методу аппроксимации корней многочленов, описанному Хорнером в 1819 году. Это вариант метода Ньютона-Рафсона, который стал более эффективным для ручных вычислений за счет применения правила Горнера.
•
Правило РуффиниПравило Руффини — это метод вычисления евклидова деления полинома и частный случай полиномиального синтетического деления, в котором делителем является линейный множитель $(x — r)$.
$1.$ Евклидово деление многочленов : $f(x) = g(x) Q(x) + R(x)$.
$2.