Решение уравнения с двумя неизвестными: Ошибка 403 — доступ запрещён

3+y = 7$

Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара значений переменных (x,y), обращающая это уравнение в тождество.

О тождествах – см. §3 данного справочника

Например: для уравнения 2x+5y=6 решениями являются пары

x = -2, y = 2; x = -1,y = 1,6; x = -3,y = 2,4 и т.д.

Уравнение имеет бесконечное множество решений.

Свойства уравнения с двумя переменными

Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Уравнения с двумя переменными, не имеющие решений, также считают равносильными.

Например: $2x+5y = 6 ⟺5y = -2x+6 \iff y = -0,4x+1,2$

Примеры

Пример 1. Из данного линейного уравнения выразите y через x и x через y:

Алгоритм: рассмотрим 3x+4y=10

1) оставим слагаемое с выражаемой переменной с одной стороны, остальные слагаемые перенесем в другую сторону: 4y=-3x+10

2) разделим полученное уравнение слева и справа на коэффициент при выражаемой переменной: y=-0,75x+2,5 — искомое выражение y(x).

Аналогично для x(y): $3x+4y = 10 \iff 3x = -4y+10 \iff x = -1 \frac{1}{3} y+3 \frac{1}{3}$

Линейное уравнение

y(x)

x(y)

а) 4x+5y = 20

$y = — \frac{4}{5} x+4$

$x=-1 \frac{1}{4} y+5$

б) 3x-2y = 11

y = 1,5x-5,5

$x = \frac{2}{3} y+3 \frac{2}{3}$

в) x+7y = 8

$ y = — \frac{x}{7}+1 \frac{1}{7}$

x = -7y+8

г) 2x-11y = 22

$y = \frac{2}{11} x-2$

x = 5,5y+11

Пример 2. Составьте линейное уравнение с двумя переменными, решением которого является пара чисел:

Алгоритм: рассмотрим (1;5)

1) составим любой двучлен вида ax+by, например 2x+3y

2) подставим данные x = 1, y = 5 в двучлен и запишем результат 2x+3y = 17 — это искомое уравнение.

Решение

Уравнение

а) (2;3)

2x+y = 7

б) (0;5)

x-7y = -35

в) (-1;1)

5x+3y = -2

г) (4;5)

x+y = 9

Пример 3. Составьте уравнение с двумя переменными, решениями которого являются две пары чисел:

а) (1;5) и (2;4)

Искомое уравнение имеет вид ax+by=c. Подставим обе пары:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} a+5b = c \\ 2a+4b = c \end{array} \right.} \Rightarrow a+5b = 2a+4b \Rightarrow a = b $$

Пусть a = b = 1. Тогда x+y = 1+5 = 2+4 = 6

x+y = 6 — искомое уравнение.

б) (0;2) и (2;5)

Искомое уравнение имеет вид ax+by = c. Подставим обе пары:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} 0+2b = c \\ 2a+5b = c \end{array} \right.} \Rightarrow 2b = 2a+5b \Rightarrow a = -1,5b $$

Пусть b = -2. Тогда a = 3 и уравнение:

$3x-2y = 3\cdot0-2\cdot2 = 3\cdot2-2\cdot5 = -4$

3x-2y = -4 — искомое уравнение.

Пример 4. Найдите двузначное число, которое в два раза больше суммы своих цифр.

Пусть a-цифра десятков (a = 1,2,…,9), b- цифра единиц (b = 0,1,…,9).

По условию: 10a+b = 2(a+b)

$$10a+b = 2a+2b \Rightarrow 8a = b$$

Единственное возможное решение: a = 1, b = 8

Ответ:18

Пример 5. Найдите двузначное число, которое при умножении на сумму своих цифр даёт 370.

Пусть a-цифра десятков (a = 1,2,…,9), b- цифра единиц (b = 0,1,…,9).

По условию: (10a+b)(a+b) = 370

Разложим 370 на простые множители: $370 = 2\cdot5\cdot37$

Возможные значения для суммы a+b = {2;5;10}

Рассмотрим a+b = 2. Тогда 10a+b = $\frac{370}{a+b} = \frac{370}{2} = 185 — не \quad двузначное \quad число \Rightarrow$

$a+b \neq 2$

Рассмотрим a+b = 5. Тогда 10a+b = $\frac{370}{5} = 74 \Rightarrow a = 7, b = 4, a+b \neq 5$.

Рассмотрим a+b = 10. Тогда 10a+b = $\frac{370}{10} = 37 \Rightarrow a = 3, b = 7, a+b = 10$.

Значит, искомое число 37.

Ответ: 37

Линейное уравнение с двумя переменными и его график (более сложные случаи) 7 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Напоминание теоретических основ

 

Напомним, что линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида

 

Мы научились строить графики подобных уравнений и узнали, что они имеют бесчисленное множество решений – пар чисел х и у, которые на графике отображаются в виде точек.

В предыдущих задачах нам было задано уравнение, но как и все другие – линейное уравнение с двумя переменными это математическая модель некоторой реальной ситуации. Теперь рассмотрим такие задачи, в которых нужно для простейшей задачи составить уравнение – математическую модель, а затем его решить.

 

Решение текстовой задачи

 

 

Пример 1:

 

Сумма двух чисел равна четырем. Построить математическую модель, то есть соответствующее линейное уравнение, и его график.

Пусть искомые числа это х и у, сумма их равна четырем:

 – линейное уравнение с двумя переменными. Построим график, для этого составим таблицу, для контроля возьмем три точки, а не две:

х	0	4	2
у	4	0	2

Решение задачи сведено в таблицу:

Словесная модель	Сумма двух чисел равна четырем
Алгебраическая модель	,
Геометрическая модель

Следующая группа задач связана с тем, что в одной задаче могут участвовать два линейных уравнения.

 

Решение задачи на два уравнения

 

 

Пример 2:

 

Графически найти точку пересечения прямых  и

Обе прямые являются графиками соответствующих уравнений, построим их. Для этого составим таблицы. Для удобства представим уравнение в следующем виде:

х	0	-1
у	1	0

х	0	2
у	4	0

Графически найдена точка пересечения А(1; 2)

Чтобы проверить, что точка А(1; 2) удовлетворяет обоим уравнениям, нужно подставить ее координаты в уравнения:

;

точка А удовлетворяет обоим уравнениям, значит, точка пересечения прямых найдена верно.

 

Решение уравнения с параметрами

 

 

Следующий тип задач – это задачи с параметрами.

 

Пример 3:

Найдите значение коэффициента  в уравнении , если известно, что решением уравнения является пара чисел (3; 2)

Ранее у нас было задано или мы сами составляли линейное уравнение с известными коэффициентами, в данном случае один из коэффициентов неизвестен, но дано одно из решений уравнения, то есть пара значений х и у, удовлетворяющих уравнению. Чтобы найти параметр  подставим данные значения в уравнение:

итак, исходное уравнение имеет вид:

 

Выводы по уроку

 

 

Итак, мы рассмотрели линейное уравнение с двумя неизвестными:

 

Отметим, что в случае, если , мы получаем частный случай данного уравнения – уравнение с одной переменной:

Аналогично если  мы получим линейное уравнение с одной переменной:

Вывод: в данном уроке мы рассмотрели более сложные задачи на линейные уравнения с двумя переменными, в частности текстовые задачи, уравнения с параметрами, задачи на два уравнения. Кроме того мы закрепили знание понятий и терминов.

 

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ 
3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Интернет-портал Nado5.ru (Источник).
2. Портал для семейного просмотра (Источник).
3. Интернет-портал Nado5.ru (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Задание 1: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 980, ст.212;
2. Задание 2: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 981, ст.212;
3. Задание 3: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 986, ст.212;

 

линейная алгебра — Решение одного уравнения с двумя неизвестными

спросил 10 лет, 8 месяцев назад

Изменено 10 лет, 8 месяцев назад

Просмотрено 2к раз

$\begingroup$

Я думал о том, как решить проблему с банкоматом, который выдает $50 и $20 , найдите все комбинации выданных банкнот, которые будут действительны для данной суммы.

Скажем, для $160 это может быть 8 $20 или 2 $50 и 3 $20 .

Теперь я могу сделать это в уме достаточно легко (для небольших чисел и только 2 переменных), но я хочу узнать, как это правильно решить.

Насколько я могу судить, это формула Ax + By = C, где A = 20, B = 50, C = 160.

Поскольку речь идет о выдаче реальных бумажных банкнот, A и B должны быть целыми числами >= 0.

Я могу подключить это к Wolfram Alpha: http://www.wolframalpha.com/input/ ?i=%2850*x+%2B+20*y%29+%3D+160%3B+x+%3E%3D+0%3B+y+%3E%3D+0

Таким образом, очевидно, что компьютер может определить результат.

Но из моих смутных воспоминаний о школьной математике, чтобы решить что-то подобное, нужно подставить 2 уравнения.

Или мое условие «целые числа >= 0» является другим уравнением?

Также может быть более 1 ответа (или 0 ответов) для разных значений.

Это делается путем перебора чисел в цикле или есть уравнение, которое можно использовать для решения этой проблемы?

Я заглянул в матрицы, но большая часть этого вышла из головы, и я не мог понять, что мне нужно было вставить в матрицу, чтобы получить результат, и применимо ли это вообще к моей ситуации.

• линейная алгебра

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Вы ищете целые числа $x,y$, удовлетворяющие условию $50x+20y = d$ и $x, y \geq 0$.

Прежде всего обратите внимание, что поскольку $\gcd(50,20) = 10$, у вас должно быть $10 \mid d$. Поэтому вместо этого мы ищем решения $5 x + 2 y = \frac{d}{10}$ (удобно, чтобы 2 и 5 были взаимно простыми).

Мы заметили, что $5 — 2\cdot 2 = 1$, поэтому мы можем легко найти решение (игнорируя на данный момент ограничение неотрицательности) по $x_0= \frac{d}{10}, y_0 = — \ frac{2d}{10}$, поскольку $5 x_0 + 2 y_0 = \frac{d}{10}$.

Теперь предположим, что $(x_1, y_1)$ и $(x_2,y_2)$ — два решения (возможно, отрицательные; мы займемся этим чуть позже), тогда у нас есть $5 (x_1-x_2) + 2(y_1- у_2) = 0$. Отсюда следует, что $5 \mid (y_1-y_2)$, следовательно, $(y_1-y_2) = 5k$ для некоторого целого числа $k$. Отсюда следует, что $x_1-x_2 = -2 k$.

Это говорит нам о том, что все решений задаются как $(\frac{d}{10}-2k, — \frac{2d}{10} + 5k)$, где $k \in \mathbb{Z} $.

Теперь мы можем разобраться с ограничением неотрицательности. Чтобы удовлетворить ограничения положительности, нам нужно $\frac{d}{10}-2k \geq 0$ и $-\frac{2d}{10} + 5k \geq 0$, или, другими словами, $k \ geq \frac{2d}{50} = \frac{d}{25}$ и $k \leq \frac{d}{20}$. Это дает все неотрицательные решения.

Чтобы проиллюстрировать ваш пример, пусть $d = 160$. Тогда решения:

$k = 7, (x, y) = (2, 3), 50x+20y = 160$

$k = 8, (x, y) = (0, 8), 50x +20г = 160$

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Это полный ответ только для $50x+20y=m$. Ясно, что $m$ должно быть кратно $10$, скажем, $m=10n$. Итак, мы хотим найти количество неотрицательных решений $5x+2y=n$. Ясно, что их нет, если только $n \ge 0$. Итак, теперь предположим, что $n \ge 0$.

Легко видеть, что $x_0=n$, $y_0=-2n$ является решением уравнения $5x+2y=n$. К сожалению, за исключением случаев, когда $n=0$, одно из значений $x_0$ или $y_0$ отрицательно.

Однако нетрудно показать, что целые решения уравнения $5x+2y=n$ задаются формулой $$x=n-2t,\qquad y=-2n+5t,\tag{$1$}$$ где $t$ находится в диапазоне целых чисел, положительных, отрицательных или $0$.

Имеем $x\ge 0$ и $y\ge 0$ тогда и только тогда, когда $t\le \frac{n}{2}$ и $t \ge \frac{2n}{5}$. Таким образом, условие на $t$ можно обобщить неравенствами $$\frac{2n}{5}\le t \le \frac{n}{2}.$$ Это дает явный способ генерации всех неотрицательных решений. Мы также можем получить явную формулу для номер неотрицательных решений. Неформально это количество целых чисел в интервале $2n/5 \le t \le n/2$.

Мы можем использовать более сложные символы. Целочисленный параметр $t$ перемещается из $\left\lceil \frac{2n}{5}\right\rceil$ в $\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor$, где $\lceil x\rceil$ — наименьшее целое число $\ge x$, а $\lfloor x\rfloor$ — наибольшее целое число, равное $\le x$. Таким образом, количество неотрицательных решений равно $$\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor-\left\lceil \frac{2n}{5}\right\rceil +1.$$

Примечание: Все сказанное можно обобщить. Предположим, что числа $a$ и $b$ положительны, а их наибольший общий делитель равен $1$.

(Случай, когда наибольший общий делитель равен $\gt 1$, можно решить с помощью того же трюка, который привел нас от $50$ и $20$ к $5$ и $2$.)

Предположим, что мы нашли решение $( x_0,y_0)$ $ax+by=1$. Тогда одно целочисленное решение уравнения $ax+by=n$ равно $(nx_0,ny_0)$. Оказывается, все целочисленные решения задаются как $x=nx_0-bt$, $y=ny_0+at$, где $t$ колеблется в пределах целых чисел.

Чтобы заставить решения быть неотрицательными, получаем неравенства того же характера, что и в случае $a=5$, $b=2$.

Теперь кратко упомянем часто трудную часть, нахождение одного решения $ax+by=1$. Для небольших чисел мы можем найти решение экспериментальным путем. Для больших $a$ и $b$ мы используем расширенный алгоритм Евклида .

Обратите внимание, что мы обсудили только проблему двух видов «счетов». задачу для $k$ видов купюр можно решить, используя генерирующие функции . Но общий случай намного сложнее, чем рассмотренный выше случай $k=2$, и ответы на него несколько менее удовлетворительны.

$\endgroup$

Предварительное исчисление по алгебре — Решение линейной системы из двух уравнений и двух неизвестных

спросил 9 лет, 11 месяцев назад

Изменено 9лет, 11 месяцев назад

Просмотрено 937 раз

$\begingroup$

Я немного пересматриваю и пытаюсь решить одновременные уравнения сегодня. Мне нужно решить эти две пары уравнений и найти $x$ и $y$. Что бы я сделал?

Снять условия, например, $x$ из обоих уравнений, а затем $y$ и техн $5$ — $1$? Я не уверен.

$$\begin{case}x + y = 5 \\x — y = 1\end{cases}$$

Спасибо всем за помощь.

• алгебра-предварительное исчисление

$\endgroup$

5

$\begingroup$

Вот почему мы можем «сложить уравнения»:

Предположим, мы знаем, что $$\begin{cases} a = b \\ c = d \end{cases}$$ Тогда мы имеем, что $$\ подразумевает a + c = b + d$$ Если вы добавите одно и то же количество к обеим частям уравнения, в результате получится уравнение 9. 0095 все еще правда. Поскольку мы знаем, что $c = d$, мы можем добавить по единице к каждой части уравнения $a = b$, получив, скажем, $a + c = b + d$.

В ваших уравнениях, поскольку второе уравнение говорит, что $x−y$ и $1$ являются одной и той же величиной, мы можем добавить по единице к каждой части уравнения $x+y=5,$ и получить решение(я) для $x$ и $y$ не изменят .

Вот почему мы можем захотеть, чтобы добавил уравнения, которые вам даны: мы можем исключить переменную, а затем решить для одного неизвестного, сначала: $\begin{выравнивание} х + у & = 5 \\ +\; х — у & = 1 \\ \хлайн\\ 2x + 0 & = 6 \end{выравнивание}$

Решите для $x$, используя тот факт, что $2x = 6$, а затем вернитесь к или уравнению, чтобы решить для $y$, используя свое решение для $x$.

используя первое уравнение: $x + y = 5 \iff y = 5 — x.\;$ Зная $x$, вы можете легко найти $y$.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

$\begin{case}x + y = 5 \\x — y = 1\end{cases}$
Это очень простая система уравнений. В ответ на вопрос amWhy используемый метод называется методом исключения (из-за исключения переменной). Я хочу показать вам другой метод, который также полезен, известный как метод замещения.

ШАГ $1$. выберите любое уравнение и внесите некоторые изменения, чтобы любая из двух переменных находилась по обе стороны от знака =. Предположим, я выбираю уравнение 1. $$x + y = 5$$Теперь я пытаюсь выделить $x$ с одной стороны: $$x=5-y$$

ШАГ 2: теперь поместите это значение $x$ в другое уравнение (уравнение 2)

$$x-y=1$$ положить значение $x$ $$(5-y)-y=1$$ $$5-у-у=1$$ Теперь в этом уравнении у нас есть только одна переменная, поэтому мы можем легко узнать ее значение, как в одном из ваших предыдущих вопросов, на которые я ответил. $$5-2г=1$$ $$-2г=1-5$$ $$-2г=-4$$ $$y=\dfrac{-4}{-2}$$ $$y=2$$

ШАГ 3. Теперь у нас есть значение одной переменной $y$. Подставляем это значение в любое уравнение. Я беру уравнение(1)

$$x+y=5$$ $$х+2=5$$ $$х=5-2$$ $$x=3$$

поэтому ответ $x=3\;,y=2$

Также будет полезно: предположим, что система уравнений такова: $\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1\\a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$

затем:

$$\dfrac{x}{b_1c_2-b_2c_1}=\dfrac{y}{a_2c_1-a_1c_2}=\dfrac{-1}{a_1b_2-a_2b_1}$$

Теперь просто введите значения из $a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2$ и решить следующим образом:

$$\dfrac{x}{b_1c_2-b_2c_1}=\dfrac{-1}{a_1b_2-a_2b_1}\;\;, \dfrac{y}{a_2c_1-a_1c_2}=\dfrac{-1}{a_1b_2-a_2b_1}$$

В кес.