Решение уравнения x cos x: Арккосинус и уравнение cos x = a — урок. Алгебра, 10 класс.

alexxlab / / Разное

Mathway | Популярные задачи

1Найти точное значениеsin(30)
2Найти точное значениеsin(45)
3Найти точное значениеsin(30 град. )
4Найти точное значениеsin(60 град. )
5Найти точное значениеtan(30 град. )
6Найти точное значениеarcsin(-1)
7Найти точное значениеsin(pi/6)
8
Найти точное значение		cos(pi/4)
9Найти точное значениеsin(45 град. )
10Найти точное значениеsin(pi/3)
11Найти точное значениеarctan(-1)
12Найти точное значениеcos(45 град. )
13Найти точное значениеcos(30 град. )
14Найти точное значениеtan(60)
15
Найти точное значение		csc(45 град. )
16Найти точное значениеtan(60 град. )
17Найти точное значениеsec(30 град. )
18Найти точное значениеcos(60 град. )
19Найти точное значениеcos(150)
20Найти точное значениеsin(60)
21Найти точное значениеcos(pi/2)
22Найти точное значениеtan(45 град. )
23Найти точное значениеarctan(- квадратный корень из 3)
24Найти точное значениеcsc(60 град. )
25Найти точное значениеsec(45 град. )
26Найти точное значениеcsc(30 град. )
27Найти точное значение sin(0)
28Найти точное значениеsin(120)
29Найти точное значениеcos(90)
30Преобразовать из радианов в градусыpi/3
31Найти точное значениеtan(30)
32Преобразовать из градусов в радианы45
33Найти точное значениеcos(45)
34Упроститьsin(theta)^2+cos(theta)^2
35Преобразовать из радианов в градусыpi/6
36Найти точное значениеcot(30 град. )
37Найти точное значениеarccos(-1)
38Найти точное значениеarctan(0)
39Найти точное значениеcot(60 град. )
40Преобразовать из градусов в радианы30
41Преобразовать из радианов в градусы(2pi)/3
42Найти точное значениеsin((5pi)/3)
43Найти точное значениеsin((3pi)/4)
44Найти точное значениеtan(pi/2)
45Найти точное значениеsin(300)
46Найти точное значениеcos(30)
47Найти точное значениеcos(60)
48Найти точное значениеcos(0)
49Найти точное значениеcos(135)
50Найти точное значениеcos((5pi)/3)
51Найти точное значениеcos(210)
52Найти точное значениеsec(60 град. )
53Найти точное значениеsin(300 град. )
54Преобразовать из градусов в радианы135
55Преобразовать из градусов в радианы150
56Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/6
57Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/3
58Преобразовать из градусов в радианы89 град.
59Преобразовать из градусов в радианы60
60Найти точное значениеsin(135 град. )
61Найти точное значениеsin(150)
62Найти точное значениеsin(240 град. )
63Найти точное значениеcot(45 град. )
64Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/4
65Найти точное значениеsin(225)
66Найти точное значениеsin(240)
67Найти точное значение
cos(150 град. )
68Найти точное значениеtan(45)
69Вычислитьsin(30 град. )
70Найти точное значениеsec(0)
71Найти точное значениеcos((5pi)/6)
72Найти точное значениеcsc(30)
73Найти точное значениеarcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74Найти точное значениеtan((5pi)/3)
75Найти точное значениеtan(0)
76Вычислитьsin(60 град. )
77Найти точное значениеarctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78Преобразовать из радианов в градусы(3pi)/4
79Найти точное значениеsin((7pi)/4)
80Найти точное значениеarcsin(-1/2)
81Найти точное значениеsin((4pi)/3)
82Найти точное значениеcsc(45)
83Упроститьarctan( квадратный корень из 3)
84Найти точное значениеsin(135)
85Найти точное значениеsin(105)
86Найти точное значениеsin(150 град. )
87Найти точное значение
sin((2pi)/3)
88Найти точное значениеtan((2pi)/3)
89Преобразовать из радианов в градусыpi/4
90Найти точное значениеsin(pi/2)
91Найти точное значениеsec(45)
92Найти точное значениеcos((5pi)/4)
93Найти точное значениеcos((7pi)/6)
94Найти точное значениеarcsin(0)
95Найти точное значениеsin(120 град. )
96Найти точное значениеtan((7pi)/6)
97Найти точное значениеcos(270)
98Найти точное значениеsin((7pi)/6)
99Найти точное значениеarcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100Преобразовать из градусов в радианы88 град.

Mathway | Популярные задачи

1Найти точное значениеsin(30)
2Найти точное значениеsin(45)
3Найти точное значениеsin(30 град. )
4Найти точное значениеsin(60 град. )
5Найти точное значениеtan(30 град. )
6Найти точное значениеarcsin(-1)
7Найти точное значениеsin(pi/6)
8Найти точное значениеcos(pi/4)
9Найти точное значениеsin(45 град. )
10Найти точное значениеsin(pi/3)
11Найти точное значениеarctan(-1)
12Найти точное значениеcos(45 град. )
13Найти точное значениеcos(30 град. )
14Найти точное значениеtan(60)
15Найти точное значениеcsc(45 град. )
16Найти точное значениеtan(60 град. )
17Найти точное значениеsec(30 град. )
18Найти точное значениеcos(60 град. )
19Найти точное значениеcos(150)
20Найти точное значениеsin(60)
21Найти точное значениеcos(pi/2)
22Найти точное значениеtan(45 град. )
23Найти точное значениеarctan(- квадратный корень из 3)
24Найти точное значениеcsc(60 град. )
25Найти точное значениеsec(45 град. )
26Найти точное значениеcsc(30 град. )
27Найти точное значениеsin(0)
28Найти точное значениеsin(120)
29Найти точное значениеcos(90)
30Преобразовать из радианов в градусыpi/3
31Найти точное значениеtan(30)
32Преобразовать из градусов в радианы45
33Найти точное значениеcos(45)
34Упроститьsin(theta)^2+cos(theta)^2
35Преобразовать из радианов в градусыpi/6
36Найти точное значениеcot(30 град. )
37Найти точное значениеarccos(-1)
38Найти точное значениеarctan(0)
39Найти точное значениеcot(60 град. )
40Преобразовать из градусов в радианы30
41Преобразовать из радианов в градусы(2pi)/3
42Найти точное значениеsin((5pi)/3)
43Найти точное значениеsin((3pi)/4)
44Найти точное значениеtan(pi/2)
45Найти точное значениеsin(300)
46Найти точное значениеcos(30)
47Найти точное значениеcos(60)
48Найти точное значениеcos(0)
49Найти точное значениеcos(135)
50Найти точное значениеcos((5pi)/3)
51Найти точное значениеcos(210)
52Найти точное значениеsec(60 град. )
53Найти точное значениеsin(300 град. )
54Преобразовать из градусов в радианы135
55Преобразовать из градусов в радианы150
56Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/6
57Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/3
58Преобразовать из градусов в радианы89 град.
59Преобразовать из градусов в радианы60
60Найти точное значениеsin(135 град. )
61Найти точное значениеsin(150)
62Найти точное значениеsin(240 град. )
63Найти точное значениеcot(45 град. )
64Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/4
65Найти точное значениеsin(225)
66Найти точное значениеsin(240)
67Найти точное значениеcos(150 град. )
68Найти точное значениеtan(45)
69Вычислитьsin(30 град. )
70Найти точное значениеsec(0)
71Найти точное значениеcos((5pi)/6)
72Найти точное значениеcsc(30)
73Найти точное значениеarcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74Найти точное значениеtan((5pi)/3)
75Найти точное значениеtan(0)
76Вычислитьsin(60 град. )
77Найти точное значениеarctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78Преобразовать из радианов в градусы(3pi)/4
79Найти точное значениеsin((7pi)/4)
80Найти точное значениеarcsin(-1/2)
81Найти точное значениеsin((4pi)/3)
82Найти точное значениеcsc(45)
83Упроститьarctan( квадратный корень из 3)
84Найти точное значениеsin(135)
85Найти точное значениеsin(105)
86Найти точное значениеsin(150 град. )
87Найти точное значениеsin((2pi)/3)
88Найти точное значениеtan((2pi)/3)
89Преобразовать из радианов в градусыpi/4
90Найти точное значениеsin(pi/2)
91Найти точное значениеsec(45)
92Найти точное значениеcos((5pi)/4)
93Найти точное значениеcos((7pi)/6)
94Найти точное значениеarcsin(0)
95Найти точное значениеsin(120 град. )
96Найти точное значениеtan((7pi)/6)
97Найти точное значениеcos(270)
98Найти точное значениеsin((7pi)/6)
99Найти точное значениеarcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100Преобразовать из градусов в радианы88 град.

тригонометрия — Каково решение $\cos(x)=x$?

спросил

Изменено 3 месяца назад

Просмотрено 150 тысяч раз

$\begingroup$

Существует единственное решение, где $x$ составляет примерно $0,739085$. Но есть ли решение в закрытой форме?

  • тригонометрия
  • закрытая форма
  • трансцендентные уравнения

$\endgroup$

7

$\begingroup$

Рассматриваемое уравнение является трансцендентным уравнением. Помимо угадывания, численных или аналитических методов, нет способа решить уравнение без использования другой трансцендентной функции, и поэтому спорят по кругу.

В этом случае обозначим $g(x)=\cos x -x$, видим, что его производная отрицательна со счетным числом нулей и, следовательно, $g$ строго убывает, а значит, существует не более одного решения $g (х)=0$. Так как $g(0)g(\pi/2)<0$ такое решение существует. Произвольно точные приближения могут быть найдены с использованием метода Ньютона, деления пополам или метода ложного положения.

Как заметил пользователь Myself, доказать, что последовательность $x_{n+1}=\cos x_n, x_0 \in \Bbb{R}$ сходится к единственному решению $\ потому что х=х$. 2}\,$$ 9\infty \left( \frac{J_{4n+1}(4n+1)}{4n+1} — \frac{J_{4n+3}(4n+3)}{4n+3}\right)$ $

где $J_{n}$ — функции Бесселя. Такой ряд сходится и может быть оценен численно.

Доказательство и численные оценки приведены в:

Решение $2x — \sin 2x = \pi/2$ для $0 < x < \pi/2$

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Насколько я знаю, нет точного способа получить решение для $\cos(x)=x$. Но вы можете использовать метод Ньютона, чтобы получить приблизительный ответ:

Рассмотрим функцию $f(x)=\cos x−x$

Это дает нам $f'(x)=-\sin x-1$

Метод Ньютона утверждает, что $x_{\text{n+1}} = x_{\text{n}} — \dfrac{f(x_{\text{n}})}{f'(x_{\text {n}})}$

Затем просто начните с $x_{\text{0}}=1$ и повторяйте этот метод снова и снова, пока не будете удовлетворены. Не забывайте, что округление чисел может привести к неправильным ответам!

$\endgroup$

1 9{-179}$ в этой числовой оценке . Это побочный пост, так как уже есть принятый ответ. Пожалуйста, исправьте меня и дайте мне обратную связь!

См. объяснение здесь

$\endgroup$

5

$\begingroup$

Очень легко показать, что уравнение $\cos x = x$ имеет единственное решение. Например, возьмем $f(x) = x — \cos x$ и заметим, что $f'(x) = 1+\sin x \ge 0$ (равенство выполняется в изолированных точках), поэтому $f(x)$ строго возрастает, поэтому уравнение может иметь не более одного решения. Поскольку $f(x)>0$ при $x\ge 1$ и $f(x)<0$ при $x\le 0$, а функция непрерывна, по теореме о промежуточных значениях существует одна и только одна решение $\bar x \in [0,1]$.

Для этого конкретного уравнения также имеется очень хорошая числовая аппроксимация. На самом деле $\bar x = \lim x_n$, где $x_{n+1} = \cos (x_n)$ — любая итерация функции $\cos x$. n\right)$ и используя обращение ряда, мы должны получить вещи как $$x=\frac \pi 4+\frac{32 \left(11482+8119n\right)$, мы могли бы получить следующие результаты $$\слева( \begin{массив}{cc} п & х_ {(п)} \\ 1 & \цвет{красный}{0,739}536133515238\\ 2 & \цвет{красный}{0,739}100520482138\\ 3 & \цвет{красный}{0,739085}585917040 \\ 4 & \цвет{красный}{0,7390851}49503943 \\ 5 & ​​\цвет{красный}{0,739085133}811963 \\ 6 & \цвет{красный}{0,7390851332}38222\\ 7 & \цвет{красный}{0,73908513321}6073 \\ 8 & \цвет{красный}{0,7390851332151}98 \\ 9 & \color{red}{0,73908513321516}2 \\ 10 & \цвет{красный}{0,739{3/2}}\right)\right)\right)=0,738305$$, то есть относительная ошибка $0,1$%.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Ваше уравнение не может быть решено в терминах элементарных функций, элементарных функций и Ламберта W или элементарных функций и обобщенного Ламберта W из Mezö et al. . Его можно решить в терминах «Leal-функций» и, возможно, с помощью обобщенного Ламберта W из [Замок 2018]. 9z)$ и $A(\ln (z),z)$ не имеют элементарной обратной?

2.) Lambert W, Generalized Lambert W

Последнее уравнение также показывает, что уравнение не может быть решено в терминах элементарных функций и Lambert W или Generalized Lambert W of Mezö et. др. или. Но, возможно, это разрешимо в терминах обобщенного Ламберта W из [Castle 2018].

[Mezö 2017] Mezö, I.: О структуре множества решений обобщенного уравнения Эйлера-Ламберта. Дж. Матем. Анальный. заявл. 455 (2017) (1) 538-553

[Mezö/Baricz 2017] Мезё, И.; Бариц, А.: Об обобщении W-функции Ламберта. Транзакция. амер. Мат. соц. 369 (2017) (11) 7917–7934 (Об обобщении W-функции Ламберта с приложениями в теоретической физике. 2015)

[Castle 2018] Castle, P.: Ряды Тейлора для обобщенных W-функций Ламберта. 2018

3.) «Leal-функции»

$$\cos(x)=x$$ $$\cos(x)-x=0$$ $х\к-т$: $$t+\cos(t)=0$$ $$t=\text{Lcos}_2(0)$$ $$x=-\text{Lcos}_2(0)$$ 9{2i}}{(2i)!}-x=0$ Например; для n=1,2 вы получаете приближения $x=1,x=\sqrt{3}-1$.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Я бы сказал, что он уже в закрытой форме… если следовать определению, данному здесь: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Closed-form_expression

, так как тригонометрические функции считаются «хорошо- известно»… не согласны?

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Моя программа «распознавания констант» AskConstants на http://AskConstants.org предложила явную точную закрытую форму

 RealInverseSphericalBesselY [0, -1, 1],

, где $0$ — заказ, а $1$ — номер отделения.

Впоследствии это было доказано в моей статье на https://arxiv.org/abs/2207.00707

$\endgroup$

3

$\begingroup$

это может быть очень просто с помощью графиков. Нарисуйте графики y=cosx и x=y. Точки пересечения на графике покажут решения.

$\endgroup$

тригонометрия — Решение $\cos x=x$

спросил

Изменено 3 года, 4 месяца назад

Просмотрено 14 тысяч раз

$\begingroup$

Я хотел бы знать, как решить уравнение $\cos x = x$ без построения графика. Я знаю, что будет только одно решение, это очевидно, тоже между $0$ и $\frac{\pi}{2}$. Существует ли какое-либо реальное выражение в конечных терминах [возможно, мы называем это замкнутой формой, я не уверен], которое могло бы дать $x$ или $\cos x$. Хотя я не изучал ряд Тейлора, я знаю, что он дает только бесконечный ряд, а это не то, что мне нужно. Я подозреваю, что это невозможно сделать, но кто-нибудь может мне объяснить, почему? 92+2x-2=0$$

Который имеет два корня, и один интересующий нас в заданной области $[0,2\pi)$. А именно, $x=-1+\sqrt{3}=0,73205080756887729352744634\dots$.

Чем больше значение $k$, тем точнее будет решение. Но в целом может не помочь, так как вы будете находить корни многочленов все более и более высокой степени.

Если вы не знаете, полином справа выше является полиномом Тейлора для косинуса степени $2k$. Вы можете прочитать о таких полиномах практически в любой книге по вводному исчислению, в книге Спивака 9.0121 Исчисление хорошо лечит.

$\endgroup$

4

$\begingroup$

Точное решение

Вы запрашиваете «точное» решение проблемы. Проблема заключается в точном определении слова «точный». Вы пытаетесь объяснить это на

Существует ли реальное выражение в конечных терминах [возможно, мы называем это закрытой формой, я не уверен]

Алгебраическая закрытая форма

Теорема Абеля-Руффини утверждает, что не существует общего решения в замкнутой форме даже для полиномиальных уравнений пятой степени (или выше). Здесь под закрытой формой понимается использование рациональных констант, четырех элементарных операций: +, −, ×, ÷, а также радикалов $\sqrt[p]{q}$ ($p$-й корень из $q$).

Закрытая форма

Термин «Закрытая форма» определяется Википедией как

. В математике выражение называется выражением в замкнутой форме, если оно может быть выражено аналитически через конечное число определенных «хорошо известных» функций. Как правило, эти хорошо известные функции определяются как элементарные функции — константы, одна переменная $x$, элементарные арифметические операции (+ − × ÷), корни n, показатель степени и логарифм (которые, таким образом, также включают тригонометрические функции и обратные тригонометрические функции). )

Даже этого расширенного определения недостаточно для решения полиномов высокой степени. И мы ищем решение полинома бесконечной степени (бесконечного ряда). Так что вам может повезти, но более вероятно, что нет.

Почему закрытая форма?

Но что именно достигается этой закрытой формой «точности». Мы можем написать $\sqrt2$ или $\pi$ как выражение в закрытой форме, но эти выражения в закрытой форме страдают от всех проблем, на которые вы жалуетесь. Если вы запросите у Wolfram Alpha любое количество цифр для $\sqrt2$, это будет только приближение, а не точное значение. Существует любое количество очень быстрых способов получить столько цифр, сколько вы хотите для $\sqrt2$ или $\pi$, но то же самое можно сказать и о $x=\cos x$.

Дело в том, что есть единственное уникальное число, представляющее решение вашего вопроса (легко доказуемый факт). Это число не станет более точным, если ему присвоить специальную греческую букву (как мы сделали для $\pi$). Существует точное решение, и это решение можно найти с любым числом цифр без особых усилий.

Аналитическое выражение

Более общая концепция закрытой формы — это форма аналитического выражения, которая допускает потенциально бесконечное количество основных арифметических операций и общих функций. Это открывает двери для бесконечных серий, а общие функции расширяются за счет множества специальных функций. В этом смысле ваш вопрос заключается в нахождении нуля аналитического выражения $$0 = x — \cos x$$

$\endgroup$

$\begingroup$

Это уравнение не имеет аналитического решения. Примерное решение — это то, что вам дал Wolfram Alpha. Ряды Тейлора не являются решением, поскольку даже для очень небольшого числа членов они приведут к решению полиномов высокой степени; но, как приближение, в вашем случае они не приводят к плохим результатам: например, разработка в первом порядке и решение приводит к решению $x=1.00$. При втором и третьем порядках $x=0,732$. В четвертом и пятом порядке $ x = 0,739.$.

Лучшим способом аппроксимации решения является метод Ньютона, который означает повторение в соответствии с

}})}{f'(x_{\text{old}})}$

В вашем случае $f(x) = x — \cos(x)$ и $f'(x) = 1 + \sin (х)$. Итак, начиная с $x=0$, будут найдены следующие итерации: $1.000000$, $0.750364$, $0.

No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *