Решение задач по теме первый признак равенства треугольников: Урок на тему Решение задач на первый признак равенства треугольников»

Содержание

Первый признак равенства треугольников. Решение задач

Цели и задачи урока:

  • повторение понятий треугольника и его элементов
  • повторение понятия равных треугольников
  • формирование у учащихся умения доказывать равенство треугольников
  • умение выделять следствия, вытекающие из равенства треугольников.

Ход урока

Решение задач по готовым чертежам.

I. Проверка домашнего задания: № 90, № 94.

Перед уроком на доске выполнены чертежи и записано дано к каждой задаче:

№90.

Дано: треугол. АВС

АВ = 17 см, АС > AB в 2 раза, ВС < AC на 10 см.

Найти: P треугол. ABC = ?

№ 94.

Дано: АВ = АС, <1 = <2, АС= 15 см, DC= 5 см.  

а) Доказать: треугол. АВD = треугол. ACD

б) Найти: BD и АВ.

Далее с помощью фронтального опроса класса устно проверяем решение домашних задач.

№ 90. Решение:

  1. Пусть АВ = 17 см (по условию), тогда AC = 2АВ = 17 * 2 = 34 см, а ВС = АС – 10 = 34 – 10 = 24 см
  2. P АВС = АВ + ВС + АС = 17 + 34 + 24 = 75 см.

Ответ: Р треугольника. АВС = 75 см.

№ 94.

1) Рассмотрим треугольник АВС и треугольник АСD.

а) АВ = АС (по условию)

б) < 1 = < 2 (по условию)

в) AD – общая сторона

Из а, б, в следует => треугольник АВD = треугольнику АСD по двум сторонам и углу между ними (Первый признак равенства треугольников).

2) Треугольник АВD = треугольнику АСD, мы знаем, что в равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны, т.е. т.к <1 = <2, то BD = DC = 5 см

3) АВ = АС = 15 см (по условию)

Ответ: АВ = 15 см, ВО = 5 см.

Попутно повторяем следующие понятия:

а) какая фигура называется треугольником;
б) элементы треугольника;
в) стороны и углы, противолежащие друг другу;
г) углы, прилежащие к сторонам треугольника;
д) что такое периметр треугольника

II. Опрос класса – доказательство I-ого признака равенства треугольников. Опрос называется – Каскад.

5 учеников из класса уже ответили учителю эту теорему и знают ее отлично. Знают все дополнительные вопросы (и ответы на них), которые надо задать по ходу доказательства этой теоремы. Причем это, как правило, слабые ученики класса, которые выучивают теорему, хорошо понимая ее, с помощью учителя. Они стремятся дотошно разобраться в доказательстве данной теоремы и всего теоретического материала, используемого в ней, так как знают, что на уроке

они будут опрашивать и оценивать сильных учеников класса. Это стимулирует их на хорошую подготовку к уроку, детям всегда хочется побывать в роли учителя, тем более, что дети послабее опрашивают тех, кто лучше разбирается в данном предмете. Все ученики класса, кроме этих пятерых, достают листки и делают на них чертежи к теореме, и пишут дано. На первый взгляд дети работают сами, но на самом деле вся работа хорошо спланировано учителями. Весь класс у него на контроле. Как только работа с листочками закончена, учащиеся готовые отвечать поднимают руки и им учитель предлагает занять место рядом с одним из пятерых, уже ответивших теорему. Дети начинают тихим шепотом отвечать друг другу. Через 3-4 минуты в классе уже 10 человек, которые спрашивают, и так по нарастающей. Когда все ответили, учитель называет всех учеников по списку, и отметку говорит тот, кто его опрашивал. Отметки, как правило, бывают хорошими, двоек нет совсем, так как дети знают, что спросят всех. (Если оценки чуть завышены, это не страшно, важно, что они с желанием готовятся, следовательно учат теорию, владеют ей начинают лучше решать задачи, а это то, чего мы хотим добиться на уроках геометрии.

III. В это время I ученик за доской готовит материал для доказательства этой теоремы. Как только все ответили друг другу теорему и получили оценки, он отвечает устно эту же теорему. Ребята должны владеть собой при ответе для полной аудитории, тренировать хороший математический язык, логическую последовательность ответа. А аудитория уметь слушать, улавливать ошибки, если они есть, задавать вопросы отвечавшему и учиться правильно, оценивать ответы одноклассников.

IV. Решение задач. Устно по готовым чертежам.

Доказать равенство треугольников.

1.

 

 

2.

 

 

Доказать: треугол. АОВ = треугол. COD

 

 

Доказать: треугол. АВD = треугол. CDB

У доски ученик.

У доски ученик + фронтальная помощь класса. Решим письменно задачу с полным оформлением решения в тетради.

Дано:

< ABE = < DCE, BE = CE

BK = LC, < BKE = 110°

1) Доказать: треугол. BEK = треугол. CEL

2) Найти: < ELC

Решение:

1) < ABE + < 1 = 180° (смежные углы)

< DCE + < 2 = 180° (смежные углы)

< 1 = 180° — < ABE

< 2 = 180° — < DCE

и по условию < ABE = < DCE, следовательно < 1 = < 2/

2) Рассмотрим треугол. BEK и треугол. CEL:

а) BE = СE (по условию)

б) BK = LC (по условию)

в) <1 = < 2

из а, б, в следует => треугол. BEK = CEL по двум сторонам м углу между ними (I признак равенства треугольников) ч. т.д.

3) Треугол. BEK = треугол. CEL , а в равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы, т.е. т.к BE=CE, то < ELC = < BKE = 110°.

Ответ: < BKE = 110°

2.

Дано:

треугол. BEC = DFA

Доказать: 1) треугол. ABC = треугол. CDA

2) треугол. ABE = треугол CDE

Доказательство:

1) Т.к. по условию треугол. BEC = треугол. DFA, то BC = DA, <BCE = < DAF.

2) Рассмотрим. треугол. ABC и треугол. CDA:

а) BC = DA

б) < BCA = <DAC

в) AC – общая сторона

Из а, б, в, следует => треугол. ABC = треугол. CDA по I признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

3) Т.к треугол. BEC = треугол. DFA, то EC = FA.

Т.к треугол. АВС = треугол. CDA, то АС – общая сторона

Отсюда следует => AE = AC – EC

CF = AC – FA, т.е. AE = CF.

4) Т.к. треугол. BEC = треугол. DFA, то BE = Df и < BEC = < DFA, то они смежные соответственно с углами: < AEB и < CFD, т. е. < AEB = < СFD.

5) Рассмотрим треугол. ABE и треугол. СDF:

а) BE = DF

б) AE=СF

в) < AEB=< CFD

Из а,б,в следует => треугол. ABE = треугол. CDF по двум сторонам и углу между ними( I признак павенства треугольников) ч.т.д.

VI. Домашнее задание: параграф 14,15. № 95, 96, 92.

VII. Итог урока.

Первый признак равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников

Геометрия

7 класс

Часть 2

Яковлева Любовь Викторовна

МБОУ «Самосдельская СОШ им. Шитова В. А.»

В треугольнике выделяют шесть основных элементов – три внутренних угла и три соответственно противолежащие им стороны.

Равенство треугольников устанавливается

по равенству трех элементов:

1) двум сторонам и углу между ними;

2) по стороне и прилежащим к ней углам;

3) по трём сторонам.

Первый признак равенства треугольников

(по двум сторонам и углу между ними).

Если две стороны и угол между ними одного треугольника

равны соответственно двум сторонам и углу между ними

другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ∆ АВС; ∆ А 1 В 1 С 1 ;

АВ = А 1 В 1 ; АС = А 1 С 1 ; ے А = ے А 1 .

Доказать: ∆ АВС = ∆ А 1 В 1 С 1

План доказательства теоремы

  • А 1 В 2 С 2 = ∆ АВС по аксиоме существования треугольника, равного данному.
  • Точки В 2 и В 1 ; С 1 и С 2 совпадают по аксиомам откладывания отрезков и углов.
  • Вывод: ∆ АВС = ∆ А 1 В 1 С 1 .

Решение задач

Решение задач

По данным чертежа найдите DK.

Решение.

Δ CDK = Δ EQF по двум сторонам и углу между ними, т. к.

CD = EQ, CK = EF, ے D = ے C по условию.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон. Значит , DK = QF , отсюда DK = 10.

Решение задач

AD

– биссектриса угла А;

АВ = АС.

Докажите: BD = CD.

Решение.

Δ ABD = Δ ACD по двум сторонам и углу между ними, т. к. у них

AB = AC по условию , AD — общая ,

ے BAD = ے CAD, потому что AD -биссектриса угла A .

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон.

Значит , BD = CD.

Решение задач

Дано: B С = DA; ے BC А = ے DAC .

Докажите: ے А BC = ے CDA .

Решение.

Δ ABC = Δ CDA по двум сторонам

и углу между ними, т. к. у них

ے BCA = ے DAC, BC = DA по

условию , а AC – общая.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов.

Значит, ے ABC = ے CDA.

Решение задач

Найдите пару равных треугольников и докажите их равенство.

Решение.

Δ АВК = Δ СВР по двум сторонам и углу между ними,

т. к. у них АК = СР , ВК = ВР по условию , ے АКВ = ے СРВ как углы смежные с углами ВКР и ВРК , равными по условию.

Решение задач

Найдите пару равных треугольников

и докажите их равенство.

Решение.

Δ AOC = Δ BOD по двум сторонам

и углу между ними, т. к. у них

AO = OB, OC = OD , как радиусы

окружности; ے AOB = ے BOD как

вертикальные.

  • Сколько равных элементов треугольников необходимо найти и какие, чтобы сказать:

«Треугольники равны по первому признаку равенства треугольников»

Домашнее задание

  • Изучить п. 20, 21.
  • Контрольные вопросы 1 -2 на стр. 37.
  • Выполнить упр. 2 на стр. 38.

Информационные источники

Литература.

  • 1.Погорелов А.В. Геометрия: учебник для 7 – 9 кл. общеобразовательных учреждений/ А. В. Погорелов. М.:

Просвещение, 2010.

  • 2. Геометрия. 7 класс: поурочные планы по учебнику А. В. Погорелова/ авт. – сост. Е. П. Моисеева.- Волгоград: Учитель, 2006.
  • 4. Геометрия. Рабочая тетрадь для 7 класса/Мищенко Т. М. – М.: Издательский Дом «Генжер»,2000.
  • 5. Тематический контроль по геометрии. 7 -9 класс/Мищенко Т. М. – М.: Издательский Дом «Генжер», 1997.
  • 7. Энциклопедический словарь юного математика/Сост. А. П. Савин. – М.: Педагогика, 1989.

Интернет – ресурсы.

1. http://images. yandex.ru

2. http://www.montgomeryschoolsmd.org/sschools/rockvillehs/images/ MCButtons/ teacher.jpg

3 . http://www. profistart.ru/ps/blog/24031.html

4. http:// festival.1september.ru/articles/104251/

Обобщающий урок геометрии по теме «Решение задач на применение признаков равенства треугольников» в 7-м классе / Открытый урок

Дидактическая задача урока: систематизировать знания и умения учащихся решать задачи на применение признаков равенства треугольников, уметь делать обобщение изучаемых фактов.

Цели:

Образовательные:

  • Повторить и закрепить знание учащимися формулировок признаков равенства треугольников.
  • Формирование умений:

                       — распознавать равные треугольники;

                       — доказывать их равенство;

                       — делать выводы о равенстве некоторых их элементов.

  • Тренировать способность решать задачи, используя признаки равенства треугольников

Воспитательные:

  • Воспитывать аккуратность и прилежание.
  • Прививать положительное отношение к знаниям, к процессу учения.
  • Формировать самостоятельность и умение делать самооценку.

Развивающие:

  • Развивать творческие способности, познавательную активность.
  • Развивать умение решать задачи по готовым чертежам, развивать логическое мышление.
  • Учить разрешению проблемы, частично-поисковой деятельности учащихся.
  • Развивать внимание, слуховую и зрительную память.
  • Формировать математическую речь учащихся.

 

Тип урока: урок систематизации и обобщения  знаний, умений, навыков.

 

Методическое обеспечение урока:

 

  • Компьютер
  • Мультимедиа-проектор
  • Листы с печатной основой – карточки с тестами на знание признаков равенства треугольников, карточки с заданиями для работы на уроке. 

Ход урока

 

1. Организационный момент.

Проверка готовности учащихся к  уроку. Эмоциональный настрой учащихся.


2. Актуализация знаний.
Фронтальная работа с классом.

— Какую геометрическую фигуру изучаем? (Треугольник).

— Проверим, что вы уже знаете об этой фигуре.

— Какие вы знаете виды треугольников? (Остроугольный, прямоугольный, тупоугольный, равнобедренный и равносторонний)

— Какие треугольники называются равными? (Которые можно совместить при наложении)

— Что помогает определить равенство треугольников? (Признаки равенства треугольников).

— Какие признаки равенства треугольников вы знаете? Посмотрите на экран.

Слайды 2-4.

— Какой признак равенства треугольников вы здесь видите?

I признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними)
— Какой признак равенства треугольников вы видите здесь?

II признак равенства треугольников (по стороне и 2 прилежащим к ней углам)
— Какой признак равенства треугольников вы здесь видите?

III признак равенства треугольников (по трем сторонам)

Выполнение теста «Верно-неверно».
На столах у каждого из вас лежат опросные листы. Мы будем работать с ними на протяжении всего урока. Выполним следующее задание №1. Если вы согласны с утверждением ставите +, если нет, ставите –.
Учащимся дается время (3 мин.) на выполнение задания.
Слайды 5-6.

Утверждение

+/–

1

Если в треугольнике две стороны равны, то треугольник называется равнобедренным.

 

2

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с противоположной стороной, называется медианой треугольника.

 

3

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

 

4

Если сторона и два угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

 

5

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

 

6

В треугольнике углы при основании равны.

 

7

Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

 

8

Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

 


После учитель вместе с учащимися осуществляет проверку, используя проектор.

1. Если в треугольнике две стороны равны, то треугольник называется равнобедренным. (+)

2. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с противоположной стороной, называется медианой треугольника. (–)  (пропущено слово: середина).

3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. (+)

4. Если сторона и два угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны. (–) (Правильно: два угла, прилежащих к ней).

5. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. (+)

6. В треугольнике углы при основании равны. (–) (Пропущено слово: равностороннем или равнобедренном).
7. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой. (+)
8. Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники равны. (–)


— Переведите полученные баллы в отметку (на листах контроля сказано, как это сделать).

Слайд 7.
8 баллов – отметка «5»
7–6 баллов – отметка «4»
5–4  баллов – отметка «3»
Менее 4  баллов – «будем работать дальше»
Поставьте полученную отметку в лист контроля.

— Поднимите руки те, кто получил – 5, кто получил – 4, кто получил – 3. С остальными будем работать дальше.

3. Формулировка темы и целей урока.
— Ребята, первый год вы изучаете предмет геометрия и поняли, что предметом изучения этого раздела математики  является решение задач на основе изученных определений, свойств и теорем. Но чтобы хорошо научиться решать задачи,  что для этого выполнять? ( Дети отвечают).

Слайд 8.
— А ещё известный педагог  и математик Дъёрдь Пойа (1887-1985)  сравнивал умение решать задачи с умением научиться плавать.
                               Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду,
                               а если хотите научиться решать задачи, то решайте их.
                                                                                                                   (Д.Пойа)

Дъёрдь Пойа, венгерский, швейцарский и американский математик, много работал со школьными учителями математики и внёс большой вклад в популяризацию науки. Он написал несколько книг о том, как решают задачи и как надо учить решать задачи

— Сформулируйте цели урока. Чем мы будем заниматься и чего должны достичь к концу урока? (Учащиеся формулируют цели – Решение задач на применение признаков равенства треугольников) Слайд 9.4. Решение задач.
— В геометрии очень важно уметь смотреть и видеть, замечать и отмечать различные особенности геометрических фигур.

«Если знаешь — докажи». Выполнение задания по готовым чертежам (устная работа с классом). 
Следующее задание. Ваша задача по готовому чертежу доказать равенство треугольников.

 

Слайд 10. № 1
Слайд 11. № 2
Слайд 12. № 3

Слайд 13. № 4.


5. Историческая справка о признаках равенства треугольников.
Слайд 14.

Ребята! Сейчас в своей работе вы использовали такой приём, как доказательство. Эта форма работы вам уже известна. А до VI века с доказательством люди вообще были не знакомы. Первым учёным, который стал рассуждать, доказывать, был Фалес Милетский. Фалес считается одним из семи мудрецов, оказавших большое влияние на жизнь древних греков. Одним из самых известных его высказываний было «Познай самого себя». Именно Фалесу Милетскому приписывают доказательство о равенстве двух треугольников, имеющих равными сторону и два прилежащих к ней угла (второй признак равенства треугольников).

— Признаки равенства треугольников имели издавна важнейшее значение в геометрии, так как доказательства многочисленных теорем сводилось к доказательству равенства тех или иных треугольников.


6. Решение задач по готовому чертежу (с записью доказательства в опросных листах).
Слайд 15.

 
№ 2.1 

Дано: МО=ОN, АМ=DN, АВ=СD, <ВМО=<СNО
Доказать: ∆АВМ=∆DСN
Вопросы к учащимся:

  • Равенство каких треугольников мы можем доказать? (∆МВО=∆NСО по стороне и двум прилежащим к ней углам.)
  • Из равенства треугольников ∆МВО=∆NСО какие элементы мы возьмем? (  В равных треугольниках соответственные стороны равны, значит МВ=NС)
  • Теперь мы сможем доказать равенство ∆АВМ=∆DСN? (Треугольники равны по трем сторонам)

— Запишите доказательство к этой задаче с обоснованием каждого шага (доказательство записать в опросный лист)Слайд 16.

№ 2.2 

Дано: МО=ОN, угол М равен углу N
Доказать: ∆ВОС – равнобедренный
Вопросы к учащимся:

  • Какой треугольник называется равнобедренным? (Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны.)
  • Как доказать равенство сторон ВО и ОС? (Из равенства треугольников ∆МВО и ∆NСО)
  • Правильно, сначала нужно доказать равенство ∆МВО=∆NСО. Как это сделать? (∆МВО=∆NСО по стороне и двум прилежащим к ней углам. В равных треугольниках соответственные стороны равны, значит ВО=ОС, значит ∆ВОС — равнобедренный, т.к. у него две стороны равны.)

— Запишите доказательство к этой задаче с обоснованием каждого шага (доказательство записать в опросный лист)
№ 4 (устно)

Слайд 17.
Найти : FK


Вопросы к учащимся:
— Что можно найти, зная, что AB= 5 см и AB=BC? (ВС=5 см)

  • Равенство каких треугольников мы можем доказать? (∆DВC=∆DFO по двум сторонам и углу между ними. )
  • Из равенства треугольников ∆DВC=∆DFO какие элементы мы возьмем? (  В равных треугольниках соответственные стороны равны, значит BC=FO=5 см)
  • Что вы можете сказать о  ∆FHK? (∆FHK – равнобедренный, HO – биссектриса ∆FHK, а значит и медиана ∆FHK, т.е. FO=KO=5 см. Тогда FK=10см)


6. Практическая работа учащихся.

Учащимся раздаются готовые чертежи геометрических фигур. Нужно исследовать: отметить равные отрезки и углы, выписать пары равных треугольников. Работают в опросных листах, затем следует проверка. Учитель оказывает индивидуальную помощь слабым учащихся. Можно друг у друга спросить совета. Закрепляется навык учащихся доказывать равенство треугольников, используя признаки.

Проверка осуществляется с помощью проектора. Слайды 18–20.
6. Подведение итогов урока.
— Какие цели ставили?
— Достигли их или нет
Слайд 21.
Продолжите предложение:

  • Мы изучили признаки равенства треугольников для того, чтобы…
  • Мне стало понятно…
  • Я понял, что смогу …
  • У меня получилось …
  • На следующих уроках по геометрии…

Выставление оценок учителем.

7. Домашнее задание (учебник Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов и др. «Геометрия 7-9»,М., Просвещение 2010)
№ 134, № 138 (а)

 Список использованной литературы

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7- 9 классы. – М.: Просвещение, 2010.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А. и др. Геометрия. Рабочая тетрадь для 7 класса. – М.: Просвещение, 2009.
3. Жохов В.И., Карташнва Г.Д., Крайнева Л.Б. Уроки геометрии в 7-9 классах: Методические рекомендации для учителя к учебнику Атанасяна Л. С. и др. – М.: Вербум-М, 2004.
4. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А. и др. Изучение геометрии в 7, 8, 9 классах: Метод. Рекомендации к учебнику: Книга для учителя. – М.: Просвещение, 2009.
5. Зив Б.Г., Мейлер В.М. Дидактические материалы по геометрии 7 класс. – М.: Просвещение, 2006.

Скачать публикацию

Первый признак равенства треугольников


ТЕМА УРОКА: Первый признак равенства треугольников.

Цель урока:

доказать первый признак равенства треугольников; научить решать задачи на применение первого
признака равенства треугольников.

Задачи урока:

обучающие:

организовать деятельность учащихся по применению знаний и способов деятельности при решении задач на первый признак равенства треугольников

-развивающие: развивать ключевую компетенцию: умение решать практические задачи; вызвать интерес к занятию, придать ему проблемно-творческий характер, что отвечает личностным интересам и потребностям учащихся; развивать у учащихся потребность в творческой деятельности, в самовыражении через различные виды работы, развивать умение анализировать и делать выводы;

-воспитательные:

Воспитывать познавательный интерес к предмету, посредством применения новейших информационных технологий обучения.

План урока:


  1. Организационный момент;

  2. Историческая справка ;

  3. Объяснение нового материала;

  4. Физкультминутка

  5. Примеры решения задач;

  6. Проверка собственных знаний;

  7. Дополнительное творческое задание;

  8. Итоги урока

  9. Домашнее задание

Ход урока:

I.Организационный момент (организация внимания и порядка в классе, взаимное приветствие, проверка присутствующих, проверка готовности класса к уроку )

II. Постановка темы и цели урока. Учащиеся разгадывают ребус, который является темой урока, учитель сообщает цель урока.

Разгадайте ребусы.
(РАВЕНСТВО)

(Слайд 5)

(ТРЕУГОЛЬНИК)


III. Историческая справка о признаках равенства треугольников:

Если мы обратимся к истории, то в самом первом учебнике по геометрии (как он называется?) – «Началах» Евклида можно найти следующее определение: «Фигуры, совмещающиеся друг с другом равны между собой…». Прошло более двух тысяч лет, а определение не изменилось. Это определение о равенстве фигур можно отнести и к треугольникам.
— Итак, какие треугольники называются равными?
— Но всегда ли нам удаётся реально совместить треугольники?
— Действительно, иногда совместить треугольники нет возможности. Что же делать? Достаточно сравнить лишь три элемента одного треугольника с тремя элементами другого треугольника.  Вот тут нам на помощь придут признаки равенства треугольников, они нам расскажут, какие именно элементы нужно сравнивать. Что  такое признак равенства треугольников и сколько существует признаков? Некоторые условия, при которых два данных треугольника оказываются равными, называются признаками равенства треугольников.  Можно сказать, что признак – это примета, по которой можно узнать те или иные свойства фигур.

Признаки равенства треугольников имели издавна важнейшее значение в геометрии, так как доказательства многочисленных теорем сводилось к доказательству равенства тех или иных треугольников. Доказательством признаков равенства треугольников занимались еще пифагорейцы. По словам Прокла, Евдем Родосский приписывает Фалесу Милетскому доказательство о равенстве двух треугольников, имеющих равными сторону и два прилежащих к ней угла (второй признак равенства треугольников).

Эту теорему Фалес использовал для определения расстояния от берега до морских кораблей. Каким способом пользовался при этом Фалес, точно не известно. Предполагают, что его способ состоял в следующем: пусть A – точка берега, B – корабль на море. Для определения расстояния AB восстанавливают на берегу перпендикуляр произвольной длины AC AB; в противоположном направлении восстанавливают CE AC так, чтобы точки D (середина AC), B и E находились на одной прямой. Тогда CE будет равна искомому расстоянию AB. Доказательство основывается на втором признаке равенства треугольников (DC = DA; С = A; EDС = BDA как вертикальные).

IV. Первый признак равенства треугольников.

https://files. school-collection.edu.ru/dlrstore/70da6388-da75-4ba7-9be6-20b942428b30/1_priznak.swf

V.Физкультминутка КОМПЛЕКС УПРАЖНЕНИЙ ГИМНАСТИКИ ДЛЯ ГЛАЗ

1. Быстро поморгать, закрыть глаза и посидеть спокойно, медленно считая до 5. Повторить 4–5 раз.
2. Крепко зажмурить глаза (считать до 3), открыть глаза и посмотреть вдаль (считать до 5). Повторить 4–5 раз.
3. Вытянуть правую руку вперед. Следить глазами, не поворачивая головы, за медленными движениями указательного пальца вытянутой руки влево и вправо, вверх и вниз. Повторить 4–5 раз.
4. Посмотреть на указательный палец вытянутой руки на счет 1–4, потом перевести взор вдаль на счет 1–6. Повторить 4–5 раз.
5. В среднем темпе проделать 3–4 круговых движения глазами в правую сторону, столько же в левую сторону. Расслабив глазные мышцы, посмотреть вдаль на счет 1–6. Повторить 1–2 раза.

VI Применение к решению задач

Медиана AD треугольника ABC продолжена за сторону BC на отрезок DE, равный отрезку AD , и точка E соединена с точкой C. Найдите величину угла ACE, если

На рисунке AB=BC, BD=BE, Найдите на этом рисунке равные треугольники.

Докажите равенство треугольников KOM и LOM

Докажите равенство треугольников KML и KNO


VII.Усвоение новых знаний: учащиеся выполняют интерактивный тест
https://fcior.edu.ru/card/289/pervyy-priznak-ravenstva-treugolnikov-k3.html

VIII.Творческое задание

Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками А и В, между которыми нельзя пройти по прямой (рис. 8.12), выбирают какую-нибудь точку С, для которой можно измерить расстояния АС и ВС, и откладывают отрезки CD=AC и CE=BC. Тогда расстояние между точками E и D будет равно искомому расстоянию. Объясните почему.

Ответ к задаче №1:

KBC= DEC по первому признаку (BC= CE, KC= CD, BCK = DCE как углы, дополняющие угол KCD до 90° ). Из равенства треугольников следует, что, BK= DE= 4. Тогда AB= BK+ AK= 5.
Ответ: размеры листа 3дм и 5дм

Интересный факт:
Математика наука точная, поэтому  все определения и теоремы  воспроизводить своими словами нельзя?  Послушайте одну старинную историю.
Это произошло в те времена, когда на улицах городов еще не было освещения. Как-то ночью мэр столкнулся с горожанином. Это было неприятно и больно.

Тогда мэр отдал приказ, чтобы никто не выходил ночью на улицу без фонаря. Следующей ночью мэр опять столкнулся с тем же горожанином.
     — Вы не читали моего приказа? — спросил мэр сердито.
     — Читал, — ответил   горожанин. — Вот   мой   фонарь.
     — Но в фонаре у вас нет ничего.
     — В приказе об этом не упоминалось.
Наутро появился новый приказ, обязывающий вставлять свечу в фонарь при выходе ночью на улицу. Вечером  мэр опять налетел на того же горожанина,
     — Где фонарь?! — закричал мэр.
     — Вот он.
     — Но в нем нет свечи!
     — Нет, есть. Вот она.
     — Но она не зажжена!
     — В приказе ничего не сказано о том, что надо зажигать свечу.
И мэру пришлось издать еще один приказ, обязывающий граждан зажигать свечи в фонарях при выходе ночью на улицу.
Вот почему следует  формулировки определений, аксиом и теорем  учить наизусть. Если вы можете своими словами передать их точный смысл — пожалуйста! Если же нет, то, чтобы не уподобляться тому мэру, о котором только что услышали, следует учить наизусть.
Вопросы:


  1. Что такое первый признак равенства треугольников?

  2. Что она гласит?

Список использованных источников:

  1. Урок на тему «Наглядная геометрия» Автор: Самылина Марина Валентиновна., г. Киев

  2. Геометрия: Рабочая тетрадь для 7 класса общеобразовательных учреждений Автор: Дудницын Юрий Павлович

  3. Уроки геометрии Кирилла и Мефодия. 7 класс (2005)

  4. Геометрия. 7 класс. Комплексная зачетная тетрадь. Стадник Л. Г.

Первый признак равенства треугольников

Конспект урока

«Первый признак равенства треугольников»

(урок №1, 7 класс, по учебнику Атанасяна Л.С.)

Цели урока:

Обучающая:

• ввести понятие теоремы и доказательства теоремы;

• доказать первый признак равенства треугольников;

• научить решать задачи на применение первого признака равенства треугольников.

Развивающая:

• выработать умения сопоставлять, обобщать полученные выводы, оценивать влияние условий на результат;

• развивать логическое мышление учащихся.

Воспитательная:

• выработать умение анализировать данные, выводить логические следствия из данных предпосылок, умение делать выводы;

• выработать умение концентрировать внимание, сосредотачиваться.

Методическая цель: опробовать новый подход к формулировке теоремы, выяснить уловят ли учащиеся момент, когда условия становятся достаточными.

Тип урока: комбинированный.

Оборудование: компьютор, экран, проектор, презентация, линейка, треугольник,

цветные мелки.

Ход урока

Организационный момент: (2 мин)

    На предыдущем уроке мы приступили к изучению главы «Треугольники». Выяснили, какие две фигуры, в частности два треугольника называются равными. Сегодня мы выясним, можно ли установить равенство двух фигур не проводя фактического наложения одной на другую, а сравнивая только некоторые элементы этих фигур, в частности как сравнить треугольники.

    Повторение пройденного материала: (6 мин)

      Повторим материал прошлого урока.

      Теоретический опрос по вопросам:

        объясните, какая фигура называется треугольником;

        начертите треугольник и покажите его стороны вершины и углы;

        что такое периметр треугольника?

        какие треугольники называются равными?

          Каждому учащемуся выдается конвертик, в котором находится 6-7 бумажных треугольников; учащимся предлагается найти среди них равные.

            Когда поиск закончен, спросить одного из учеников, как он нашел эту пару. Ученик расскажет, как он накладывал один треугольник на другой.

            Выполнение практического задания с последующей устной проверкой:

              №1: На доске(или слайде) начерчены ∆DEK, ∆MNP.

              Рисунок 1

              Назовите углы:

              а) ∆DEK, прилежащие к стороне ЕК;

              б) ∆MNP, прилежащие к стороне MN.

              Назовите угол:

              а) ∆DEK, заключенный между сторонами DE и DК;

              б) ∆MNP, заключенный между сторонами NP и РМ.

              Между какими сторонами:

              а) ∆DEK заключен угол К;

              б) ∆MNP заключен угол N?

              №2:

              Рисунок 2

              Вызываю ученика к доске, он сопровождает свой ответ демонстрацией на чертежах и записью на доске.

              3. Изучение нового материала: (16 мин)

              Чтобы установить равенство двух треугольников, надо их совмещать или проверить равенство соответствующих сторон и соответствующих углов. Шесть равенств! Но иногда ни совместить, ни проверить все шесть равенств нет возможности. Да это и не нужно, оказывается достаточно установить лишь часть из них. Наша цель – определить, какие из шести этих равенств действительно необходимы.

              Итак, перед нами проблема.

              Ее решением и займемся .

              Рисунок 3

              Оказывается справедливо утверждение « Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны». Это утверждение называется «Первый признак равенства треугольников».

              А в математике каждое утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений, называется теоремой, а сами рассуждения называются доказательством теоремы.

              Какие теоремы нам уже известны?

              Свойство смежных углов и свойство вертикальных углов.

              Почему же теорема о равенстве треугольников называется признаком?

              Признак (по В.Далю) – это знак, отличие, все, почему узнают что–либо. Увидев морозный узор на окне, можно, не выходя из дома, сказать, что на улице холодно. Чтобы узнать, делится ли число 7859467 на 9, не обязательно выполнять деление: можно воспользоваться признаком делимости.

              Признак дает возможность устанавливать равенство двух треугольников, не проводя фактического наложения одного из них на другой, а сравнивая только некоторые элементы треугольников.

              Любая теорема состоит из условия и заключения. Как вы понимаете, что может означать словосочетание «условие теоремы», а что – «заключение теоремы»?

              Условие — это уже известные факты, о которых говориться в теореме, а заключение – это то, что нужно доказать.

              Выделите условие теоремы «Первого признака равенства треугольников».

              Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника.

              Выделите заключение теоремы.

              То такие треугольники равны.

              Итак, докажем первый признак равенства треугольников:

              Далее оформляем запись доказательства- учитель на доске, ученики в тетради.

              А теперь рассмотрим еще один вопрос. Но сначала послушайте внимательно формулировку: Если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны. Как вы думаете, верно ли это утверждение?

              Рассмотрим ∆ АВС и ∆АDС.

              Рисунок 4

              Сторона АВ треугольника АВС равна стороне АD треугольника АDС, сторона АС – общая, и С – общий. Но треугольники не равны. Итак, условие утверждения выполнено, а заключение – нет. Значит утверждение не верно. Обратите особое внимание, на то, что условие «между ними» необходимо!

              4. Закрепление нового материала: (10 мин)

              Рассмотрим, как же можно применить теорему для решения задач.

              Устное решение задач по готовым чертежам, заранее заготовленным на обратной стороне доски или на слайде.

              1:

              №2:

              Для решения каждой задачи вызываю ученика к доске, где он комментирует решение, показывая упомянутые элементы на чертеже. Остальные учащиеся слушают, поправляют, дополняют ответ, если в этом есть необходимость.

              Акцентирую внимание учащихся на обязательности содержательной ссылки «треугольники равны по двум сторонам и углу между ними», а не формальной «треугольники равны по первому признаку», выясняю всем ли был понятен ход решения, если возникли вопросы, сама отвечаю на них.

              Если в задаче понадобится доказать, что два треугольника равны, чем следует воспользоваться: определением или теоремой?

              Конечно, теоремой. Согласно определению нужно треугольники совмещать, а согласно теореме – проверить три равенства.

              Далее решаем задачу № 94 из учебника. Оформление решения на доске выполняю сама.

              Задача:

              На рис. АВ = АС, 1 = 2.

              а) Докажите, что треугольники АВD и АСD равны;

              б) найдите ВD и АВ, если АС=15 см, DC=5 см.

              Дано: АВ = АС, 1 = 2,

              АС=15 см, DC=5 см.

              Доказать:

              ∆АВD = ∆АСD.

              Найти: ВD, АВ.

              Доказательство: Прежде чем оформить решение на доске, предлагаю ученикам устно решить задачу. Один ученик комментирует доказательство. Другой – нахождение длин отрезков. А затем записываем решение задачи: я на доске, ученики в тетради.

               

              Возможная запись решения:

              Доказательство:

              Рассмотрим ∆АВD и ∆АСD.

              АВ = АС ( по усл.)

              АD – общая сторона ∆АВD = ∆АСD (по двум

              1 = 2 ( по усл.) сторонам и углу между ними)

              Словестный комментарий: треугольники АВD и АСD равны по двум сторонам и углу между ними, первый признак равенства треугольников, в котором говориться: «Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.»

              Решение:

              ВD =DC =5 см, АВ = АС = 15 см.( как соответственные элементы равных треугольников).

              Ответ: ВD =5 см, АВ = 15см.

              Выясняю, не возникли ли вопросы по ходу решения.

              5. Итог урока: (4 мин)

              Итак, давайте повторим:

              — Какие треугольники называются равными?

              — Что называется теоремой?

              -Что называется доказательством теоремы?

              — Какую теорему мы сегодня доказали? Сформулируйте ее.

              — Почему теорема называется признаком?

              Ученики отвечают на вопросы.

              Выставляю оценки за работу на уроке с комментарием.

              6. Домашнее задание: (2 мин)

              П 15. Вопросы 3 -4 стр. 49-50. №93, 95.

              №93. Отрезки АЕ и DC пересекаются в точке В, являющейся серединой каждого из них. А) Докажите, что треугольники АВС и ЕВD равны; б) найдите углы А и С треугольника АВС, если в треугольнике ВDЕ D=470, Е= 420.

              №95. На рис. ВС=АD, 1 = 2, а) Докажите, что треугольники АВС и СDА равны; б)Найдите АВ и ВС, если АD =17см, DС=14см.

              Список литературы:

              Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., и др. Геометрия 7-9 кл. Учебник для 7-9 классов средней школы. – М.: Просвещение, 2006.

              Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Изучение геометрии в 7-9 классах. Методические рекомендации к учебнику. – М.: Просвещение, 2000.

              Ковалева Г.И., Мазурова Н.И. Тесты для текущего и обобщающего контроля. Издательство «Учитель» 2008. .

              Амелькин В.В., Рабцевич Т.И. Школьная геометрия в чертежах и формулах. 2008.

                 

                 

                Первый признак равенства треугольников

                Урок геометрии в 7 классе.

                Тема урока: Первый признак равенства треугольников.

                Цели и задачи:

                1. Образовательные:

                научить анализировать условие задачи.

                Формировать умение применять первый признак равенства треугольников к решению задач.

                2. Развивающие:

                развивать приёмы логического мышления (сравнивать, обобщать), правильно формулировать и излагать мысли , умение анализировать факты и делать выводы;

                Создать условия для развития познавательного интереса к математике

                3. Воспитательные:

                Воспитание математической культуры и речи.

                Воспитание навыков самоконтроля.

                Методы работы на уроке:

                объяснительно-иллюстративный (при решении задач на готовых чертежах, проверке решения задач самостоятельной работы),

                репродуктивный, конструктивный (при выполнении упражнений).

                Тип урока: урок закрепления и отработки навыков применения признака при решении задач, с использованием ИКТ.

                План урока:

                1. Организационный момент. 1 мин.

                2. Актуализация опорных знаний. Фронтальный опрос. (Вертикальные, смежные углы, треугольник ) – 15 мин.

                3. Сообщение учеников «Треугольники в жизни» – 5мин.

                4. Устное решение задач по готовым чертежам. – 8 мин.

                5. Решение задач с оформлением в тетради. – 12 мин

                6. Итоги урока. – 1 мин.

                7. Домашнее задание. – 1 мин.

                8. Итог урока. Оценки. – 1 мин.

                1.Организация начала урока.

                Организация учебного процесса на этапе 1:

                • Какую тему изучали на прошлых уроках? (смежные и вертикальные углы, Первый признак равенства треугольников.)

                • Для чего нам необходим признак равенства треугольников? ( Для определения равенства треугольников, используя только некоторые элементы).

                Сообщение темы и цели урока детям.

                Слайды 1 – 2.

                Цели урока:

                1. Повторить понятие смежных и вертикальных углов.

                2. Закрепить навык решения задач на вычисление вертикальных и смежных углов.

                3. Отработать навык решения задач на применение 1 признака равенства треугольников

                А для этого мы должны на уроке решить следующие задачи:

                • Распознавать на чертежах равные треугольники по указанным равным элементам, применяя признаки равенства треугольников;

                • Непосредственно применять признаки равенства треугольников;

                • Делать выводы из равенства треугольников;

                • Читать чертежи, сопровождающие текст задачи, сопоставлять текст задачи с данным чертежом, выделять на чертеже необходимую для решения задачи конфигурацию;

                • Формировать и развивать логическое мышление и культуру речи.

                2. Актуализация опорных знаний.

                ? какие углы называются смежными? Вертикальными?

                Слайды 3 – 4 — 5.

                Слайд 6.

                Дан Δ CDM.

                а) Назовите углы, прилежащие стороне CD.

                б) Назовите угол, лежащий против стороны СМ.

                в) Назовите углы, заключённые между сторонами СМ и MD, CD и DM.

                Слайд 7.

                QRP = ∆ ABC

                Это означает, что:

                Слайд 8.

                На рисунке изображены равные треугольники.

                Установите, какая из следующих записей верна:

                а) ∆ABC = ∆PQR; б) ∆ABC = ∆RQP; в) ∆ABC = ∆PRQ.

                Известно, что АС = 5см, ےВ = 30°.

                а) Длину какой стороны ∆RQP вы можете указать?

                б) Какой угол ∆RQP известен?

                Слайд 9.

                Используя чертеж, найдите равные треугольники, если AB=PQ=MK, Ð A =ÐP =ÐK, AC=PR=MN

                Слайд 10.

                Учитель: В древнем искусстве были широко распространены изображения равностороннего треугольника .

                3. Сообщение учеников «Треугольники в жизни»

                Слайд 11 — 19.

                Сообщение Марсель и Шлей М.

                Учитель: Ребята, а кто еще знает где применяются треугольники?

                Слайд 20 – 23.

                Учитель: Треугольник играет в геометрии особую роль.

                Без преувеличения можно сказать, что вся (или почти вся) геометрия со времён «Начал» Евклида покоится на «трёх китах» – признаках равенства треугольников.

                Мы с вами изучили 1 признак равенства треугольников.

                Сформулируйте первый признак равенства треугольников:

                Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

                4. Устное решение задач по готовым чертежам Закрепление изученного материала.

                Слайд 25 – 26.

                1. Решение задач по готовым чертежам (слайд 26, 27).

                Слайд 26 Слайд 27

                5. Решение задач с оформлением в тетради.

                Слайд 28.

                Задача №97.

                6. Итоги урока. – 1 мин.

                Слайд № 30

                1.С какой важной теоремой мы работали на уроке?

                Сформулируйте

                Задачи на следующий урок:

                1.Закрепить знания по данной теме путём решения более сложных задач

                7. Домашнее задание. – 1 мин. (карточки)

                8. Итог урока. Оценки.

                Слайд № 31

                Дополнительная задача – слайд №29

                Неравенство треугольника

                — объяснение и примеры

                В этой статье мы узнаем, что такое теорема о неравенстве треугольника , как использовать эту теорему и, наконец, что влечет за собой обратное неравенство треугольника. На данный момент большинство из нас знакомы с тем фактом, что треугольник имеет три стороны.

                Три стороны треугольника образуются, когда три разных отрезка соединяются в вершинах треугольника. В треугольнике мы используем строчные буквы a, b и c для обозначения сторон треугольника .

                В большинстве случаев буквы a и b используются для обозначения первых двух коротких сторон треугольника, тогда как буква c используется для обозначения самой длинной стороны .

                Что такое теорема о неравенстве треугольников?

                Как следует из названия, теорема о неравенстве треугольника — это утверждение, описывающее отношения между тремя сторонами треугольника. Согласно теореме о неравенстве треугольника, сумма любых двух сторон треугольника больше или равна третьей стороне треугольника.

                Это утверждение можно символически представить как;

                • a + b > c
                • a + c > b
                • b + c > a

                Таким образом, теорема о неравенстве треугольника является полезным инструментом для проверки того, образует ли данный набор трех измерений треугольник или не . Проще говоря, он не будет формировать треугольник, если указанные выше 3 условия неравенства треугольника неверны.

                Давайте рассмотрим следующие примеры:

                Пример 1

                Проверьте, можно ли составить треугольник со следующими размерами:

                4 мм, 7 мм и 5 мм.

                Решение

                Пусть a = 4 мм. b = 7 мм и c = 5 мм. Теперь применим теорему о неравенстве треугольника.

                a + b > c

                ⇒ 4 + 7 > 5

                ⇒ 11> 5 ……. (верно)

                а + с > b

                ⇒ 4 + 5 > 7

                ⇒ 9 > 7…………. (истинно)

                б + с > а

                ⇒ 7 + 5 > 4

                ⇒ 12 > 4 ……. (true)

                Поскольку все три условия верны, можно построить треугольник с заданными размерами.

                Пример 2

                Учитывая измерения; 6 см, 10 см, 17 см. Проверьте, могут ли три измерения образовать треугольник.

                Решение

                Пусть a = 6 см, b = 10 см и c = 17 см

                По теореме о неравенстве треугольника имеем;

                а + б > в

                ⇒ 6 + 10 > 17

                ⇒ 16 > 17 ………. (неверно, 17 не меньше 16)

                a + c > b

                ⇒ 6 + 17 > 10

                ⇒ 23 > 10…………. (истинно)

                б + в > а

                10 + 17 > 6

                17 > 6 ………. (true)

                Поскольку одно из условий ложно, три измерения не могут образовать треугольник.

                Пример 3

                Найдите возможные значения x для треугольника, показанного ниже.

                Решение

                Используя теорему о неравенстве треугольника, получаем;

                ⇒ x + 8 > 12

                ⇒ x > 4

                ⇒ x + 12 > 8

                ⇒ x > –4 ……… (недействительно, длины не могут быть отрицательными числами)

                x 9 12 + 0 > 5

                ⇒ x < 20 Объедините допустимые утверждения x > 4 и x < 20.

                4 < x < 20

                Следовательно, возможные значения x: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 и 19.

                Пример 4

                Размеры треугольника равны (x + 2) см, (2x+7) см и (4x+1). Найдите возможные значения x, которые являются целыми числами.

                Решение

                По теореме о неравенстве треугольника; пусть a = (x + 2) см, b = (2x+7) см и c = (4x+1).

                (x + 2) + (2x + 7) > (4x + 1)

                3x + 9 > 4x + 1

                3x – 4x > 1 – 9

                – x > – 8

                Обе части разделить на – 1 и измените направление символа неравенства.

                x < 8 (x + 2) + (4x +1) > (2x + 7)

                5x + 3 > 2x + 7

                5x – 2x > 7 – 3

                3x > 4

                Разделить обе стороны на 3 получить;

                х > 4/3

                х > 1,3333.

                (2x + 7) + (4x + 1) > (x + 2)

                6x + 8 > x + 2

                6x – x > 2 – 8

                5x ​> – 6

                x ​> – 6/5 ……………  (невозможно)

                Объедините допустимые неравенства.

                1,333 < х <8

                Следовательно, возможные целые значения x равны 2, 3, 4, 5, 6 и 7.

                Обратное неравенство треугольника

                Согласно обратному неравенству треугольника, разница между длинами двух сторон треугольника меньше, чем длина третьей стороны . Другими словами, любая сторона треугольника больше, чем вычитание, полученное при вычитании оставшихся двух сторон треугольника.

                Рассмотрим треугольник PQR ниже;

                Теорема об обратном неравенстве треугольника дается формулой;

                |PQ|>||PR|-|RQ||, |PR|>||PQ|-|RQ|| и |QR|>||PQ|-|PR||

                Доказательство:

                • |PQ| + |PR| > |КВ| // Теорема о неравенстве треугольника
                • |PQ| + |PR| -|PR| > |RQ|-|PR| // (i) Вычитание одинакового количества с обеих сторон сохраняет неравенство
                • |PQ| > |КВ| – |PR| = ||PR|-|RQ|| // (ii), свойства абсолютного значения
                • |PQ| + |PR| – |ПК| > |RQ|-|PQ| // (ii) Вычитание одного и того же количества с обеих сторон сохраняет неравенство
                • |PR| > |RQ|-|PQ| = ||PQ|-|RQ|| // (iv), свойства абсолютного значения
                • |PR|+|QR| > |ПК| //Теорема о неравенстве треугольника
                • |PR| + |QR| -|PR| > |PQ|-|PR| // (vi) Вычитание одинакового количества с обеих сторон сохраняет неравенство
                • |QR| > |ПК| – |PR| = ||PQ|-|PR|| // (vii), свойства абсолютного значения

                Вот краткое описание тем, которые мы рассмотрим в этой статье:

                 [скрыть]

                Что такое треугольник?

                Как следует из названия, треугольник представляет собой многоугольник с тремя углами. Итак, когда замкнутая фигура имеет три угла?

                Когда он состоит из трех сегментов линии, соединенных встык.

                Таким образом, можно сказать, что треугольник — это многоугольник, у которого три стороны, три угла, три вершины, а сумма всех трех углов любого треугольника равна 180°.

                Свойства треугольника

                Свойства треугольника:

                1. Треугольник имеет три стороны, три угла и три вершины.
                2. Сумма всех внутренних углов треугольника всегда равна 180 °. Это называется свойством суммы углов треугольника.
                3. Сумма длин любых двух сторон треугольника больше длины третьей стороны.
                4. Сторона, лежащая напротив наибольшего угла треугольника, является наибольшей стороной.
                5. Любой внешний угол треугольника равен сумме его внутренних противоположных углов. Это называется свойством внешнего угла треугольника.

                Типы треугольников

                Треугольники можно классифицировать двумя основными способами:

                • Классификация по внутренним углам (Прямой, Острый, Косой)
                • Классификация по длине сторон (Равносторонний, Равнобедренный, Разносторонний)

                Рассмотрим подробно шесть типов треугольников:

                1. Остроугольный треугольник
                2. Прямоугольный треугольник
                3. Косоугольный треугольник
                4. Разноугольный треугольник
                5. Равнобедренный угловой треугольник
                6. Равнобедренный угловой треугольник

                Остроугольный треугольник

                Треугольник, у которого все три угла меньше 90 °, является остроугольным треугольником.

                • Итак, все углы остроугольного треугольника называются острыми углами

                Ниже приведен пример остроугольного треугольника.

                Прямоугольный треугольник

                Треугольник, у которого один угол равен 92

                Это известно как Теорема Пифагора

                И наоборот, мы можем сказать, что если треугольник удовлетворяет условию Пифагора, то это прямоугольный треугольник.

                Тупоугольный/косоугольный треугольник

                Треугольник, у которого один угол больше 90 °, является тупоугольным треугольником.

                Ниже приведен пример треугольника с тупым/косым углом.

                Вопросы о треугольниках очень часто задают на GMAT. Ace GMAT Quant, подписавшись на нашу бесплатную пробную версию и получив доступ к более чем 400 вопросам. Мы являемся самой популярной онлайн-компанией по подготовке к GMAT с более чем 2060 отзывами на GMATClub.

                Сэкономьте более 60 часов подготовки к GMAT, составив четкий план обучения всего за 3 шага:

                Свойства треугольника: практический вопрос

                Вопрос: 1

                В равнобедренном треугольнике DEF, если внутренний угол ∠D = 100°, то какова величина ∠F?

                1. 20 °
                2. 40 °
                3. 60 °
                4. 80 °
                5. 100 °

                Раствор

                Шаг 1: дано

                • 333333.def is isosdes is is is is is is is is is is is is is is is is is isoscd is isoscd is isoscd is isoscdef is isoscdef is isoscdef is anoscdef is isoscdef is isoscdef is isoscdef is isoscdef.

                Шаг 2: Найти

                • Значение ∠F

                Шаг 3: Подход и расчет

                • Мы знаем, что сумма всех внутренних углов треугольника = 180°
                • Следовательно, ∠D + ∠E + ∠F = 180°
                • ∠E + ∠F = 180 0 – 930 100 = 80°
                • Поскольку треугольник ∆DEF равнобедренный; два его угла должны быть равны.
                • И единственная возможность ∠E = ∠F
                • Следовательно, 2∠F = 80°
                • Подразумевается, ∠F = 40°

                Отсюда правильный ответ Вариант B.

                02 В прямоугольном треугольнике ∆ABC, BC = 26 единиц и AB = 10 единиц. Если ВС — самая длинная сторона треугольника, то какова площадь ∆ABC?

                1. 120
                2. 130
                3. 240
                4. 260
                5. 312

                Решение

                Шаг 1: дано

                • ∆Abc-это правый
                  • ВС = 26 шт.
                  • АВ = 10 шт.
                  • до н.э. — самая длинная сторона треугольника
                  • .

                Шаг 2: Нахождение

                • Площадь треугольника ∆ABC

                Шаг 3: Подход и вычисление hypotenuse

                Thus, according to Pythagoras rule:

                • BC 2 = AB 2 + AC 2
                • 26 2 = 10 2 + AC 2
                • AC 2 = 676 – 100 = 576
                • Следовательно, AC = 24 единицы
                • Мы знаем, что площадь прямоугольного треугольника = ½ * произведение двух перпендикулярных сторон = ½ * AB * AC = ½ * 10 * 24 = 120 квадратных единиц

                Следовательно, правильный ответ: Вариант А .

                Вот еще несколько статей, которые вы можете прочитать:

                • Свойства четырехугольника
                • Свойства чисел: четные/нечетные, простые, HCF и LCM
                • Свойства круга
                • Свойства линий и углов

                Вопросы о треугольниках очень часто задают на GMAT. Ace GMAT Quant, подписавшись на нашу бесплатную пробную версию и получив доступ к более чем 400 вопросам. Мы являемся самой популярной онлайн-компанией по подготовке к GMAT с более чем 2060 отзывами на GMATClub.

                Знаете ли вы, что участники e-GMAT набрали больше 700 баллов, чем когда-либо прежде в истории GMAT Club? Посмотрите это видео, чтобы понять, как e-GMAT добился этого рекордного результата, инвестируя и внедряя инновации с единственной целью — создать платформу, которая позволяет учащимся достигать и показывать свои лучшие результаты.

                Часто задаваемые вопросы – Свойства треугольника

                Что такое треугольник и его свойства?

                Треугольник – это замкнутая фигура с тремя сторонами, тремя вершинами, тремя углами и суммой внутренних углов 180°

                Какие бывают треугольники?

                Треугольники можно классифицировать двумя способами: по внутренним углам и по длине сторон.

                Добавить комментарий

                Ваш адрес email не будет опубликован.