Решения уравнений линейных: Решение линейных уравнений онлайн

Практика. Линейные уравнения и их системы 7 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Решение линейных уравнений

 

Пример 1. Решить уравнение: .

 

Решение

Вспомним, что деление, по определению, операция, обратная умножению (деление на какое-либо число – это то же самое, что и умножение на обратное к этому числу):

Разделим обе части уравнения на  или умножим на :

Упростим выражение в левой части уравнения:

Упростим выражение в правой части уравнения:

Таким образом, решением уравнения будет:

Ответ: .

 

Пример 2. Решить уравнение: .

Решение

Перенесем все слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной – в правую: .

Упростим уравнение – выполним действия в обеих частях уравнения: .

Разделим обе части уравнения на :

Решением уравнения является .

Ответ: .

 

Пример 3. Решить уравнение: .

Решение

Раскроем скобки в правой и левой частях уравнения. Для выражения в левой части уравнения используем распределительный закон: .

Тогда . Вспомним, что если перед скобками стоит знак минус, то при раскрытии скобок все знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположный: .

Перепишем уравнение после применения преобразований: .

Как и в предыдущем примере, перенесем все слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной – в правую: .

Выполнив действия в обеих частях уравнения, получим тождество: .

Таким образом, данное равенство верно всегда, при любых значениях переменной.

Ответ:  – любое число.

 

Пример 4. Решить уравнение: .

Решение

Раскроем скобки в правой и левой частях уравнения, используя распределительный закон .

Перенесем все слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной – в правую: .

Получаем .

Данное равенство неверно всегда, т.е. оно не выполняется ни при каких значениях переменной.

Ответ: нет решений.

 

Пример 5. Решить уравнение: .

Решение

Избавимся от знаменателей дробей – умножим обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей, т.е. число :

Получим: .

Выполним сокращения и избавимся от знаменателей: .

Раскроем скобки:

Перенесем все слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной – в правую: .

Выполнив действия в обеих частях уравнения, получим следующее уравнение: .

Найдем :

Ответ: .

 

Системы линейных уравнений

 

 

В общем виде системы линейных уравнений выглядят следующим образом:  где  – переменные, – произвольные числа.

 

Есть несколько методов решения систем уравнений.

1. Метод подстановки.
2. Метод сложения.
3. Графический метод.

 

Решение систем линейных уравнений

 

 

Пример 6. Решить систему: .

 

Решение (несколько способов)

1. Метод подстановки – необходимо в уравнении выразить одну переменную через другую и подставить во второе уравнение.

Из первого уравнения выразим , для этого перенесем  из левой части уравнения в правую: .

Затем умножим обе части первого уравнения на : .

Теперь подставим во второе уравнение полученное выражение: .

Теперь во втором уравнении только одна переменная , решим его (мы уже умеем это делать – получилось обычное линейное уравнение с одной переменной).

Раскроем скобки во втором уравнении: .

Во втором уравнении перенесем все слагаемые с переменной в левую часть, а без переменной – в правую: .

Выполним действия в обеих частях второго уравнения: .

Найдем : .

Подставим в первое уравнение найденное значение переменной:

Решением системы будет: .

Ответ: .

 

2. Метод сложения – нужно преобразовать уравнения так, чтобы при одной переменной в разных уравнениях были противоположные коэффициенты, после этого нужно сложить правые и левые части уравнений.

Избавимся от переменной . Умножим первое уравнение на : .

Теперь система имеет вид: .

Сложим уравнения системы: .

Получим следующее уравнение: . Выполним действия: .

Найдем :

Подставим найденное значение в любое из уравнений исходной системы, например, в первое: .

Выразим : . Решением системы будет: .

Ответ: .

 

3. Графический метод

Сначала перепишем каждое из уравнений так, чтобы они задавали линейную функцию в привычном для нас виде , т.е. выразим  через :

Графиком линейной функции является прямая. Построим обе прямые по двум точкам. Вместо  возьмем произвольные значения и подставим их в соответствующие уравнения прямых:

Отметим точки на координатной плоскости и проведем через них прямые (Рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к примеру 6

Видно, что точкой пересечения прямых является точка с координатами . Поскольку точка лежит на каждой из прямых, а прямая – это множество решений уравнения, то точка пересечения прямых является решением каждого из уравнений, т.е. является решением системы. Координаты точки пересечения и будут решением системы.

Дополнительно нужно подставить координаты точки в исходную систему, чтобы убедиться в правильности: .

Ответ: .

 

Пример 7. Решить систему: .

Решение

Сначала упростим уравнения системы – избавимся от знаменателей дробей. Для этого умножим каждое уравнение на общий знаменатель дробей, которые в него входят (чтобы найти это число, нужно рассмотреть наименьшее общее кратное чисел, которые стоят в знаменателе):

Получим:

Выполним сокращения и избавимся от знаменателей:

Раскроем скобки:

Приведем подобные слагаемые:

Умножим второе уравнение на :

Сложим уравнения системы:

Получим уравнение:

Выполним действия:

Найдем :

Подставим в первое уравнение найденное значение переменной:

Решением системы будет: .

Ответ: .

 

Задачи, решение которых сводятся к линейным уравнениям и их системам

 

 

Задача 1

 

Провод длиной 456 метров разрезали на 3 части (Рис. 2), причем первая часть в 4 раза длиннее третьей, а вторая – на 114 метров длиннее третьей. Найти длину каждой части провода.

Рис. 2. Иллюстрация к задаче 1

Решение

1. Провод длиной 456 метров разрезали на 3 части:

Первая часть в 4 раза длиннее третьей:

Вторая часть на 114 метров длиннее третьей:

Теперь все выражено через часть 3, поэтому все замены можно переписать так:

2. Обозначим длину части 3 за :

Перенесем все слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной – в правую:

Выполним действия:

Найдем  – длину части :

3. Найдем длину части :

 м

Часть :

 м

Ответ: 228 метров; 171 метров; 57 метров.

 

Задача 2

Из села в город легковой автомобиль доехал за 2 ч, а грузовой – за 5 ч (Рис. 3). Найти скорость движения каждого автомобиля, если скорость грузового автомобиля на 48 км/ч меньше скорости легкового.

Рис. 3. Иллюстрация к задаче 2

Решение

Введем обозначения:

1. Легковой автомобиль:  – его скорость,  – время,  – путь, который он проходит.
2. Грузовой автомобиль:  –скорость,  – время,  – путь, который он проходит.

Перепишем условие задачи в новых обозначениях:

 – автомобили проехали одно и то же расстояние

Воспользуемся следующей формулой: . Тогда:

Так как , то . Используем оставшееся условие  и получим следующую систему: .

Такую систему будем решать методом подстановки – подставим первое уравнение во второе: .

Раскроем скобки: .

Перенесем все слагаемые с переменной в одну часть уравнения, а без переменной – в другую: .

Найдем :

Таким образом, скорость легкового автомобиля:  км/ч.

Найдем скорость грузового автомобиля: подставим найденное значение  в уравнение :

 км/ч

Ответ: 80 км/ч; 32 км/ч.

 

Задача 3

Токарь планировал изготавливать ежедневно по 24 детали, чтобы выполнить задание вовремя. Но он изготавливал ежедневно на 15 деталей больше (Рис. 4) и уже за 6 дней до окончания срока работы сделал 21 деталь сверх плана. За сколько дней токарь планировал выполнить задание?

Рис. 4. Иллюстрация к задаче 3

Решение

Введем обозначения:

1. Токарь планировал: сделать работу  со скоростью  за время .
2. Получилось: сделал работу  со скоростью  за время .

Перепишем условие задачи в новых обозначениях:

деталь/день

деталь/день

Воспользуемся формулой:

Тогда:

Если , то .

Подставим  в предыдущее уравнение: .

Раскроем скобки: .

Перенесем все слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной – в правую: .

Выполним действия: .

Найдем :

Ответ: 17 дней.

 

Задачи. Системы линейных уравнений

 

 

Задача 4

 

Лодка за 3 ч движения по течению реки и 4 ч против течения проходит 114 км (Рис. 5). Найти скорость лодки по течению и ее скорость против течения, если за 6 ч движения против течения она проходит такой же путь, как и за 5 ч по течению.

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 4

Решение

Введем обозначения:

1. Скорость лодки по течению: .
2. Скорость лодки против течения: .

Воспользуется формулой: .

Лодка за 3 ч движения по течению реки и 4 ч против течения проходит 114 км, тогда .

За 6 ч движения против течения она проходит такой же путь, как и за 5 ч по течению: .

Запишем полученную систему линейных уравнений: .

Воспользуется методом подстановки. Во втором уравнении выразим  через  – разделим обе части уравнения на : .

Подставим полученное значение  в первое уравнение: .

Выполним действие: .

Найдем : .

Найдем : .

Ответ:  км/ч;  км/ч.

 

Задача 5

В двух ящиках лежат яблоки. Если из первого ящика переложить во второй 45 яблок, то в обоих ящиках их станет поровну (Рис. 6). Если же из второго ящика переложить в первый 20 яблок, то в первом станет в 3 раза больше яблок, чем во втором (Рис. 7). Сколько яблок лежит в каждом ящике?

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 5

Рис. 7. Иллюстрация к задаче 5

Решение

Пусть изначально в первом ящике было  яблок, а во втором –  яблок. Если из первого ящика переложить во второй 45 яблок, то в обоих ящиках их станет поровну:

Если же из второго ящика переложить в первый  яблок, то в первом станет в  раза больше яблок, чем во втором: .

Запишем полученную систему линейных уравнений: .

Раскроем скобки во втором уравнении: .

В обоих уравнениях выразим  через : .

Воспользуемся методом подстановки – подставим выражение во второе уравнение: .

Во втором уравнении перенесем все слагаемые с переменной в левую часть, а без переменной – в правую: .

Найдем  – количество яблок во втором ящике: . Подставим найденное значение в первое уравнение и найдем  – количество яблок в первом ящике:

Ответ: .

 

Задача 6

Один металлический сплав содержит  меди, другой –  меди (Рис. 8). Сколько килограммов каждого сплава надо взять, чтобы получить 120 кг сплава, содержащего  меди (Рис. 9)?

Рис. 8. Иллюстрация к задаче 6

Рис. 9. Иллюстрация к задаче 6

Решение
Пусть необходимо взять  кг первого сплава и  кг второго сплава. Тогда .

Теперь посчитаем массу меди, она составляет: .

Мы знаем, что  – это  от чего-то (Рис. 10), значит,  — это , т.е.  от  – это .Аналогично  от  – это , а  от  – это .

Рис. 10. Иллюстрация к задаче 6

Запишем уравнение: . Запишем полученную систему линейных уравнений: .

В первом уравнении выразим  через : .

Воспользуемся методом подстановки – подставим первое уравнение во второе: .

Раскроем скобки во втором уравнении: .

Во втором уравнении оставим слагаемые с переменной в левой части уравнения, а без переменной перенесем в правую: .

Выполним действия: . Найдем  – количество кг второго сплава, которое необходимо взять: .

Найдем  – количество кг первого сплава: .

Ответ:  кг;  кг.

 

Задача 7

Сумма цифр двузначного числа равна . Если поменять местами его цифры, то получим число, которое больше данного на . Найти данное число.

Решение

Обозначим двузначное число так: . Сумма цифр двузначного числа  равна : .

Если поменять местами его цифры, то получим следующее число: . Так как в числе   десятков и  единиц, то , а в числе   десятков и  единиц, значит, .

Число  на  больше, чем , поэтому .

Перенесем все слагаемые с переменной в левую часть, а без переменной – в правую:

Запишем полученную систему линейных уравнений: .

В первом уравнении выразим  через : .

Воспользуемся методом подстановки – подставим это выражение во второе уравнение: .

Во втором уравнении раскроем скобки: .

Перенесем все слагаемые с переменной в левую часть, а без переменной – в правую и выполним действия: .

Найдем  – число единиц в числе :

Найдем  – число десятков в числе :

Таким образом, исходным числом является .

Ответ: .

 

Заключение

На этом уроке мы потренировались решать различные уравнения и системы линейных уравнений, а также задачи, которые к ним сводятся.

 

Список рекомендованной литературы

1. Никольский С. М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра. 7 класс. Учебник. ФГОС, изд-во «Просвещение», 2017.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра. 7 класс. Учебник, изд-во «Просвещение», 2014.
3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра. 7 класс. Учебник, изд-во «Просвещение», 2013.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «school-assistant.ru» (Источник)
2. Интернет-портал «yaklass.ru» (Источник)
3. Интернет-портал «yaklass.ru» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Решите уравнение: .
2. Решите графически систему уравнений: .
3. Три утенка и четыре гусенка весят  г, а четыре утенка и три гусенка весят  г. Сколько весит один гусенок?

 

23. Линейные уравнения второго порядка. ОбЩИе свойства

Определение. Линейным дифФЕренциальным уравнением втоРОго порядка называется уравнение первой степени (линейное) относительно неизвестной функции и ее производНЫх. Мы будем записывать его в виде

(*)

Где А1 и A2 — функции независимой переменной Х или постоянные величины.

Функция называется Правой частью уравнения. Если функция тождественно равна нулю, то уравнение (*) называется Линейным уравнением без правой части (или Однородным). В противном случае уравнение (*) называют Линейным уравнением с правой частью (или Неоднородным).

I. Линейные уравнения без правой части.

Рассмотрим уравнения без правой части, т. е.

(**)

Теорема. Если и — решения линейного уравнения (**), то функция при любых постоянных С1 и С2 также является решением уравнения.

Для краткости в дальнейшем мы будем записывать решения в виде и У2, а выражение называть их линейной комбинацией.

Доказательство. Продифференцируем дважды функцию .

Подставим У, у’ и У» в левую часть уравнения (**). Получим:

.

Выражения в скобках представляют собой результат подстановки в левую часть уравнения (**) соответственно функций У1 и У2, а так как они по условию суть решения уравнения, то оба эти выражения тождественно равны нулю и, таким образом, функция У(Х) действительно удовлетворяет уравнению (**).

На основе доказанной теоремы мы можем сделать следующий вывод о структуре общего решения линейного уравнения без правой части

(**)

Если у1 и у2 — решения уравнения (**) такие, что их отношение не равно постоянной величине , то линейная комбинация этих функций

Является общим решением уравнения.

В предыдущей теореме мы доказали, что функция Является решением линейного уравнения без правой части, а так как она содержит две произвольные постоянные, то она и является общим решением.

Если же то и выражение фактически содержит не две произвольные постоянные, а только одну, равную ; следовательно, оно не является общим решением.

Зная общее решение уравнения, мы можем по заданным начальным условиям отыскивать соответствующее частное. Пусть, например, заданы начальные условия и , причем в точке Х0 коэффициенты уравнения А1 и A2 непрерывны. В Частности, если А1 и A2 — постоянные, то Х0 может быть любым. Подставляя ЭТи значения в выражение для общего решения и его Производной, получим систему линейных уравнений относительно С1 и C2:

Где

.

Для того чтобы из общего решения можно было получить любое частное, надо проверить, что полученная система имеет решение при любых начальных данных У0 и . Для этого определитель системы должен быть отличен от нуля:

(***)

Доказательство этого факта для общего случая мы опустим, а позже произведем соответствующую проверку для частных случаев.

В частности, отсюда следует, что если заданы нулевые начальные условия и , то частным решением однородного уравнения

Является функция, тождественно равная нулю:

У=0.

Действительно, система уравнений относительно С1 и С2 имеет в этом случае единственное решение .

II. Линейные уравнения с правой частью.

Пусть теперь дано линейное уравнение второго порядка с правой частью

. (*)

Уравнение без правой части

, (**)

Получающееся из данного уравнения (*), если вместо свободного члена взять нуль, назовем СоответствуюЩИм уравнению (*). Докажем теорему о структуре общего решения уравнения с правой частью (*).

Теорема. Общее решенИЕ уравнения с правой частью (*) Можно составить как сумму общего решения соответствующего уравнения без правой части (**) и какого-Нибудь частного решения данного уравнения (*).

Доказательство. Обозначим через Ф(Х) общее решение уравнения (**), а через — какое-нибудь частное решение уравнения (*). Возьмем функцию

.

Имеем:

Подставляя выражения для У, у’, у» в левую часть заданного уравнения (*), найдем:

Выражение в первой квадратной скобке равно нулю, ибо Ф(Х) — Решение уравнения без правой части (**), а выражение во второй квадратной скобке равно , ибо — решение уравнения с правой частью (*). Следовательно, функция действительно есть решение уравнения (*). Так как это решение зависит от двух произвольных постоянных (от них зависит функция Ф(Х)), То оно и есть общее решение, что мы и хотели доказать.

Итак, для того чтобы найти общее решение уравнения с правой частью, нужно найти общее решение соответствующего уравнения без правой части и лишь одно какое-нибудь частное решение заданного уравнения. Это можно записать так:

Где У1 и У2 — частные решения соответствующего уравнения без правой части , а — Частное решение уравнения с правой частью.

< Предыдущая		Следующая >

Решение двух линейных уравнений | GMAT Бесплатно

Решение подстановкой

Чтобы решить систему линейных уравнений без построения графика, можно использовать метод подстановки. Этот метод работает путем решения одного из линейных уравнений для одной из переменных, затем замены этого значения на ту же переменную в другом линейном уравнении и решения для другой переменной. Неважно, какое уравнение вы выберете первым или какую переменную вы решите первой.

Решим эту систему двух линейных уравнений подстановкой:

Сначала выберите одно из уравнений и решите его либо для x , либо для y . Мы можем начать со второго уравнения и решить для y , поскольку оно не имеет коэффициента:

Теперь у нас есть значение 24 – 4 x для y. Подставляем это значение y в первое уравнение, чтобы получить:

Теперь у нас есть одно уравнение и одна переменная. Мы можем решить на х.

Если x оказалось всем, что нам нужно, мы закончили. Но если нам также нужно y, , мы подставим значение x обратно в любое исходное уравнение. Скажем, мы выбираем второе уравнение:

Решение этой системы линейных уравнений: x = 5, y = 4. Это также можно записать как ( х , у ) = (5, 4).

Решение с помощью комбинации

Основной принцип решения с помощью комбинации состоит в том, чтобы манипулировать двумя уравнениями таким образом, чтобы при сложении уравнений одна из переменных сокращалась. Поскольку одна из переменных отменяется, этот метод иногда называют методом исключения.

Давайте используем комбинацию для решения этой системы двух уравнений:

Эта система уравнений подходит для комбинации, потому что уже есть 2 x в обоих уравнениях. Следовательно, если мы вычтем уравнение (1) из уравнения (2) или, что то же самое, умножим уравнение (1) на -1 и сложим два уравнения, мы получим одно уравнение с y :

Разделив обе части , мы находим, что y = -4/3. Затем мы можем подставить y обратно в любое из исходных уравнений, чтобы получить значение x , как мы это делали при решении подстановкой.

Мы по-прежнему можем решать с помощью комбинации, даже если переменные не так хорошо выстроены. Например, мы можем начать сначала и решить систему уравнений, сделав y отменяет, а не x s. Для этого мы можем умножить первое уравнение (1) на число 2 с обеих сторон:

Теперь, вычитая (2) из ​​этого результата, мы получаем:

Решая, мы находим x = 7. Чтобы закончить работу, подставим x = 7 в любое из исходных уравнений. Если мы подставим x = 7 в (1), мы получим:

Вычитая 14 с обеих сторон, мы получаем

И разделив на 3, мы получим, что

Итак, решение двух уравнений (1) и (2):

Большинство людей предпочитают метод подстановки методу комбинации. Тем не менее, комбинированный метод окажется намного быстрее в некоторых вопросах, поэтому, если вы не рассматриваете возможность его использования, вы, вероятно, потеряете время или правильный ответ в разделе Quant. Кроме того, вы хотите, чтобы вас устраивала концепция, что уравнения могут быть добавлены, поскольку данное уравнение в конце концов равно с обеих сторон, поскольку этот факт может быть полезен, даже когда вы не решаете систему линейных уравнений методом комбинации.

Практические вопросы

Возраст Эрнесто и его жены:
http://www.gmatfree.com/ernesto-and-his-wifes-ages

Мужчины и женщины, задействованные в проектах:
http://www.gmatfree. com/men-and-women-assigned-to-projects

Разница и сумма:
http://www.gmatfree.com/a-difference-and-a-total

Решение линейных уравнений: значение, график & Substitution

Предположим, что мы должны заказать кусок пиццы стоимостью 25 фунтов стерлингов и пончики, которые также стоят 20 фунтов стерлингов за штуку. Если все деньги, которые мы заложили в бюджет, составляют 1000 фунтов стерлингов, сколько каждого из них мы можем заказать?

Математически эту систему можно представить в виде линейного уравнения:

25x+20y=1000,

, где x и y можно найти, учитывая, что x=количество кусочков пиццы, а y=количество пончиков.

В этой статье мы узнаем о решении линейных уравнений, использовании различных методов для их решения и о том, как проверить их решения.

Что такое линейное уравнение?

Линейное уравнение , также известное как уравнение одной степени, представляет собой уравнение, в котором наивысшая степень переменной всегда равна 1,

Линейные уравнения в с одной переменной представлены в стандартной форме как

ax+b=0,

где x — переменная, a — коэффициент, а b — константа.

They are in two variable standard form as

ax+by=c,

where x and y are variables, c is a constant, and a and b являются коэффициентами.

Они линейны, потому что обе их переменные имеют степень 1, а график этих уравнений всегда представляет собой прямую линию.

Решение линейных уравнений включает в себя поиск таких значений переменных, при которых уравнение удовлетворяется, когда они подставляются обратно в них. Фундаментальное правило, которое требуется для их решения, — «золотое правило». Это означает, что вы делаете с одной частью уравнения то же самое, что и с другой частью уравнения.

Линейные уравнения с одной переменной

Линейные уравнения с одной переменной, рассмотренные ранее в этой статье, имеют вид

ax+b=0,

, где x — переменная, a — коэффициент, а b — константа.

Эти уравнения легко решаются, если сначала сгруппировать одинаковые члены. Это означает, что члены с переменной будут отправлены в одну сторону уравнения, а константы — в другую. Затем с ними теперь можно работать, чтобы найти значение переменной.

Шаги, связанные с решением линейных уравнений с одной переменной:

1. При необходимости упростите каждую часть уравнения;

2. Изолировать переменную;

3. Алгебраически найти значение переменной;

4. Проверьте свое решение, подставив значение обратно в уравнение.

Рассмотрим пример ниже.

Решите уравнение3x+2=0.

Решение

3x+2=0

Каждая часть уравнения упрощена, шаг 1 выполнен.

Шаг 2 : Сгруппировать одинаковые члены путем вычитания 2 из каждой части уравнения 3×3=-23

x=-23

Шаг 4 : Теперь мы можем оценить это, чтобы убедиться, что это правда. Уравнение означает, что все в левой части должно быть равно тому, что в правой. Следовательно, все в левой части уравнения должно быть равно 0. Теперь подставим решение в уравнение.

3x+2=03-23+2=0

Теперь мы разделим 3 вне скобок на 3 в знаменателе, и у нас будет по 1.

-2+2=0

0=0

Здесь мы видим, что решение, которое у нас есть, верно.

Решите уравнение x+7=18.

Решение

Каждая часть уравнения упрощается, шаг 1 выполнен.

Шаги 2 и 3 : Сгруппируйте одинаковые члены, вычитая 7 из каждой части уравнения

x+7-7=18-7

x=11

Шаг 4 : Теперь мы можем оценить это, чтобы убедиться, что это правда. Уравнение означает, что все в левой части должно быть равно тому, что в правой. Следовательно, если мы добавим x к 7, мы должны получить 18

x+7=18

x=11

11+7=18

Это означает, что наше уравнение верно.

Линейные уравнения с двумя переменными

Решение линейных уравнений с двумя переменными больше не может дать вам абсолютных значений, если только не будет предоставлено другое уравнение с теми же переменными, что и первое уравнение. Например, если бы нам дали уравнение вида

x+y=5,

тогда, если x = 3, y = 2, если x = 4, y = 1 и так далее.

Единственный способ получить абсолютные значения — это составить другое уравнение с теми же переменными.

Одним из способов решения уравнения такого типа является метод подстановки. Вы делаете одну переменную предметом одного из уравнений и подставляете это значение в другое уравнение, чтобы найти только одну переменную. Мы можем взять пример ниже.

Найдите x и y, учитывая уравнения 2x+5y=20 и 3x+5y=12.

Решение

2x+5y=203x+5y=12

Давайте сделаем y предметом первого уравнения, вычитая 2x из каждой части уравнения.

2x-2x+5y=20-2x

5y=20-2x5y5=205-2x5y=4-2×5

Теперь подставим это значение y во второе уравнение

3x+5y=12

3x +5(4-2×5)=123x+20-2x=12x=12-20x=-8

Теперь подставим это значение x в любое из уравнений, чтобы найти y. Мы будем использовать первый.

2x+5y=20

2(-8)+5y=20-16+5y=20

Добавьте 16 к каждой части уравнения, чтобы 5y стояло отдельно в этой части уравнения

16-16 +5y=20+16

5y=36

Разделите на 5, чтобы найти y

5y5=365

y=365

Решение линейных уравнений с двумя переменными путем построения графика

90 two004 Линейные уравнения с двумя переменными оба уравнения останутся верными, когда мы найдем решение для каждой переменной. Когда мы хотим решить системы линейных уравнений с помощью графика, мы наносим оба уравнения на одну и ту же координатную плоскость. Теперь точка пересечения обеих прямых является решением системы. Давайте посмотрим на пример ниже.

Решите уравнение

y-2x=2-x=-y-1

Решение

Как упоминалось ранее, мы хотим построить оба уравнения на координатной плоскости. Мы начнем с нахождения точки пересечения по оси Y и наклона для каждой линии. Это означает, что для каждого уравнения мы перепишем его в форме пересечения наклона. Форма пересечения наклона задается;

y=mx+b

где m — наклон

b — точка пересечения с осью y

x — значение x на координатной плоскости

y — значение y на координатной плоскости

y-2x=2 [Уравнение 1]

y=2x+2

Это означает, что;

m=2

y-intercept=2

-x=-y-1 [Уравнение 2]

y=x-1

Это означает, что;

m=1

y-intercept=-1

Оба уравнения в форме наклон-отрезок имеют вид;

y=2x+2y=x-1

Давайте найдем значение y- , приняв два значения по оси x. Напомним, что двух точек достаточно, чтобы получить линию. Учитывая два значения на оси x, мы будем использовать 1 и 2, чему равно y, когда x = 1? А что такое у, когда х = 2?

Решение этих двух вопросов должно дать нам линии обоих уравнений.

Начнем с уравнения 1,

y=2x+2.

Подставьте 1 в уравнение, предполагая, что x = 1,

y=2(1)+2

y=4

Когда x=1, y=4.

Подставьте 2 в уравнение, предполагая, что x = 2,

y=2(2)+2

y=6

Когда x=2, y=6.

Теперь у нас есть две точки для построения уравнения 1.

График линии y = 2x + 2 — StudySmarter Originals

То же самое будет сделано для уравнения 2,

y=x-1.

Подставьте 1 в уравнение, предполагая, что x = 1,

y=1-1

y=0

Когда x=1, y=0.

Подставьте 2 в уравнение, предполагая, что x = 2,

y=2-1

y=1

Когда x=2, y=1.

Нанесем эти точки и проведем прямую на той же координатной плоскости.

График для уравнений y = 2x + 2 и y = x – 1, StudySmarter Originals

Точка, которую они пересекают, является решением задачи (–3, –4).

Это означает

x=-3

y=-4

Теперь мы можем оценить это, чтобы убедиться, что это правда. Работа с уравнениями означает, что все в левой части должно быть равно тому, что в правой. Поскольку у нас здесь два уравнения, мы проверим оба. Начнем с первого.

y-2x=2

Мы подставим только что найденные значения в уравнение

-4-2(-3)=2

Поскольку оба отрицательных значения умножаются друг на друга, результат становится положительным.

-4+6=2

2=2.

Здесь мы видим, что первое уравнение выполняется. Мы можем пойти дальше, чтобы сделать то же самое со вторым уравнением.

-x=-y-1

Подставьте значения, которые мы только что нашли, в уравнение

-(-3)=-(-4)-1

Отрицательные значения, умноженные друг на друга, приведут к положительным.

3=4-1

3=3

Здесь мы понимаем, что решение удовлетворяет обоим уравнениям, следовательно, решение правильное.