Решить матрицу онлайн методом крамера онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Метод Крамера — презентация онлайн

Похожие презентации:

Решение СЛАУ методом Крамера

Решение СЛАУ методом Крамера

Матрицы. Метод Гаусса. Формулы Крамера

СЛУ. Теорема Крамера. Метод обратной матрицы

Решение системы линейных уравнений методом Крамера

Габриэль Крамер

Матрицы. Метод Гаусса. Формулы Крамера

Системы линейных алгебраических уравнений. Метод обратной матрицы. Формулы Крамера

Решение систем линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера, матричным методом, методом Гаусса

Матричный способ решения СЛАУ и метод Крамера

ПОДГОТОВИЛ
СТУДЕНТ ГРУППЫ ПС-13 ТИТОВ Д.А.
• Метод Крамера (Крамера правило) —
способ решения квадратных систем
линейных алгебраических уравнений с
ненулевым определителем основной
матрицы (причем для таких уравнений
решение существует и единственно).
Создан Габриэлем Крамером в 1750
году.
Габриэль Крамер 1704-1752
один из создателей линейной алгебры

3.

ПРОИСХОЖДЕНИЕ• Крамер рассмотрел систему произвольного количества линейных уравнений
с квадратной матрицей. Решение системы он представил в виде столбца
дробей с общим знаменателем — определителем матрицы. Термина
«определитель» (детерминант) тогда ещё не существовало (его ввёл Гаусс в
1801 году), но Крамер дал точный алгоритм его вычисления: алгебраическая
сумма всевозможных произведений элементов матрицы, по одному из
каждой строки и каждого столбца. Знак слагаемого в этой сумме, по Крамеру,
зависит от числа инверсий соответствующей подстановки индексов: плюс,
если чётное. Что касается числителей в столбце решений, то они
подсчитываются аналогично: n-й числитель есть определитель матрицы,
полученной заменой n-го столбца исходной матрицы на столбец свободных
членов.
• Методы Крамера сразу же получили дальнейшее развитие в трудах Безу,
Вандермонда и Кэли, которые и завершили создание основ линейной
алгебры. Теория определителей быстро нашла множество приложений в
астрономии и механике (вековое уравнение), при решении алгебраических
систем, исследовании форм и т. д.
• Крамер провёл классификацию алгебраических кривых до пятого порядка
включительно. Любопытно, что во всём своём содержательном исследовании
кривых Крамер нигде не использует математический анализ, хотя он
бесспорно владел этими методами.
Определи́ тель (или детермина́нт) —
одно из основных понятий
линейной алгебры.
Это многочлен, комбинирующий
элементы квадратной матрицы
таким образом, что его значение
сохраняется при транспонировании
и линейных комбинациях строк или
столбцов.
Определитель матрицы А
обозначается как: det(A), |А| или
Δ(A).

4. ПРИМЕНЕНИЕ НА ДЕЛЕ

• В данном примере мы будем разбирать
систему 3-х линейных уравнений с 3-мя
переменными.
• в первую очередь необходимо найти
определитель
Δ,
• но вопрос как?
• Все просто но тут как раз легко запутаться и
проблематично запомнить
Лично я это понимал так как если всмотреться в решение примера то
можно наблюдать постоянно повторяющийся порядок действий.
Придётся найти таким же
способом 3 значения:
• ΔХ
• ΔУ
• ΔZ
Но все не так просто,
тут то как раз тоже очень
много ошибок из за
невнимательности.

10. ПРИМЕР

Вычислим определитель основной матрицы системы
• Вычислим вспомогательные определители (ΔХ, ΔУ, ΔZ)
• По формулам Крамера найдем неизвестные.
Таким образом, х = 0; y = 1; z = 3.

13. ПРОВЕРКА

х=0
y=1
z=3

14. СПАСИБО ЗА ПРОСМОТР

English     Русский Правила

Метод Крамера

Пусть дана система трех линейных уравнений:

(1)

Для решения системы линейных уравнений методом Крамера из коэффициентов при неизвестных составляется главный определитель системы . Для системы (1) главный определитель имеет вид .

Далее составляются определители по переменным ,,. Для этого в главном определителе вместо столбца коэффициентов при соответствующей переменной записывается столбец свободных членов, то есть

, ,.

Тогда решение системы находится по формулам Крамера

, ,

Следует отметить, что система имеет единственное решение , если главный определитель.Если же и = 0,= 0,= 0, то система имеет бесчисленное множество решений, найти которые по формулам Крамера нельзя. Если же

и 0, или0,или0, то система уравнений несовместна, то есть решений не имеет.

Пример

Решить систему уравнений методом Крамера:

Решение:

1) Составим и вычислим главный определитель системы, состоящий из коэффициентов при неизвестных.

.

Следовательно, система имеет единственное решение.

2) Составим и вычислим вспомогательные определители, заменяя соответствующий столбец в  столбцом из свободных членов.

По формулам Крамера находим неизвестные:

, ,.

Сделаем проверку, чтобы убедиться в правильности решения

, т.е. .

, т.е.

, т.е.

Ответ: .

Пример

Решить систему уравнений методом Крамера:

Решение:

1) Составим и вычислим главный определитель системы из коэффициентов при неизвестных:

.

Следовательно, система не имеет единственного решения.

2) Составим и вычислим вспомогательные определители, заменяя соответствующий столбец в  столбцом из свободных членов:

.

, , следовательно, система несовместна.

Ответ: система несовместна.

Метод Гаусса состоит из двух этапов. Первый этап заключается в последовательном исключении переменных из уравнений системы при помощи действий, не нарушающих равносильности системы. Например, рассмотрим два первых уравнения системы (1).

(1)

Необходимо путем сложения этих двух уравнений получить уравнение, в котором отсутствует переменная . Умножим первое уравнение на, а второе на () и сложим полученные уравнения

+

Заменим коэффициент перед y, z и свободный член на ,исоответственно, получим новую пару уравнений

Заметим, что во втором уравнении отсутствует переменная x.

Проведя аналогичные действия над первым и третьим уравнениями системы (1), а затем над полученными в результате сложения вторым и третьим уравнениями, преобразуем систему (1) к виду

(2)

Такой результат возможен, если система имеет единственное решение. В этом случае решение находится при помощи обратного хода метода Гаусса (второй этап). Из последнего уравнения системы (2) находим неизвестную переменную z, затем из второго уравнения находим y, а x соответственно из первого, подставляя в них уже найденные неизвестные.

Иногда в результате сложения двух уравнений суммарное уравнение может принять один из видов:

А) , где. Это означает, что решаемая система несовместна.

Б) , то есть. Такое уравнение исключается из системы, в результате число уравнений в системе становится меньше, чем число переменных, и система имеет бесчисленное множество решений, нахождение которых будет показано на примере.

Пример

Решить систему методом Гаусса:

Решение:

Рассмотрим следующий способ осуществления первого этапа решения методом Гаусса. Запишем три строки коэффициентов при неизвестных и свободных членов, соответствующих трем уравнениям системы. Свободные члены отделим от коэффициентов вертикальной линией, а под третьей строкой проведем горизонтальную прямую.

Первую строку, которая соответствует первому уравнению системы, обведем – коэффициенты в этом уравнении останутся неизменными. Вместо второй строки (уравнения) надо получить строку (уравнение), где коэффициент при равен нулю. Для этого все числа первой строки умножим на (–2) и сложим с соответствующими числами второй строки. Полученные суммы запишем под горизонтальной чертой (четвертая строка). Для того чтобы вместо третьей строки (уравнения) также получить строку (уравнение), в которой коэффициент приравен нулю, умножим все числа первой строки на (–5) и сложим с соответствующими числами третьей строки. Полученные суммы запишем пятой строкой и проведем под ней новую горизонтальную черту. Четвертую строку (или пятую – по выбору) обведем. Выбирается строка с меньшими коэффициентами. В этой строке коэффициенты останутся неизменными. Вместо пятой строки надо получить строку, где уже два коэффициента равны нулю. Умножим четвертую строку на 3 и сложим с пятой. Сумму запишем под горизонтальной чертой (шестая строка) и обведем ее.

Все описанные действия изображены в таблице 1 при помощи арифметических знаков и стрелок. Обведенные в таблице строки запишем снова в виде уравнений (3) и, применив обратный ход метода Гаусса, найдем значения переменных

x, y и z.

Таблица 1

1	1	-2	6	*(-2)	*(-5)
2	3	-7	16
5	2	1	16
0	1	-3	4	*( 3)
0	-3	11	-14
0	0	2	-2

Восстанавливаем систему уравнений, полученную в результате наших преобразований:

(3)

Обратный ход метода Гаусса

Из третьего уравнения находим.

Во второе уравнение системы подставим найденное значение, получимили.

Из первого уравнения , подставляя уже найденные значения переменных, получаем, то есть.

Чтобы убедиться в правильности решения, проверку необходимо сделать во всех трех уравнениях системы.

Проверка:

, получим

, получим

, получим

значит, система решена верно.

Ответ: ,,.

Пример

Решить систему методом Гаусса:

Решение:

Порядок действий в этом примере аналогичен порядку в предыдущем примере, а конкретные действия указаны в таблице 2.

Таблица2

2	2	1	1	*(-3)	*(-5)
3	5	-2	0	*2
5	3	6	-2	*2
0	4	-7	-3
0	-4	7	-9
0	0	0	-12

В результате преобразований получим уравнение вида , следовательно, заданная система несовместна.

Ответ: система несовместна.

Пример

Решить систему методом Гаусса:

Решение:

Таблица 3

1	2	-1	0	*(-2)	*(-4)
2	-1	3	1
4	3	1	1
0	-5	5	1	*(-1)
0	-5	5	1
0	0	0	0

В результате преобразований получим уравнение вида , которое исключается из рассмотрения. Таким образом, имеем систему уравнений, в которой число неизвестных 3, а число уравнений 2.

Система имеет бесчисленное множество решений. Чтобы отыскать эти решения, введем одну свободную переменную. (Число свободных переменных всегда равно разности между числом неизвестных и числом уравнений, оставшихся после преобразования системы. В нашем случае 3 – 2 = 1).

Пусть – свободная переменная.

Тогда из второго уравнения найдем , откуда, а затем найдемx из первого уравнения или.

Таким образом, ;;.

Сделаем проверку в уравнениях, которые не участвовали в нахождении и, то есть во втором и в третьем уравнениях первоначальной системы.

Проверка:

или , получаем.

или , получаем.

Система решена верно. Давая произвольной постоянной различные значения, будем получать различные значенияx, y и z.

Ответ: ;;.

21

3×3 Калькулятор системы линейных уравнений

---

Этот онлайн-калькулятор системы линейных уравнений 3×3 решает систему из 3 линейных уравнений с 3 неизвестными, используя правило Крамера. Введите значения коэффициентов для каждого линейного уравнения системы в соответствующие поля калькулятора. Все поля, оставленные пустыми, будут интерпретироваться как коэффициенты с нулевыми значениями. После нажатия кнопки «Рассчитать» вы получите значения неизвестных.

---

а ₁ X + B ₁ Y + C ₁ Z = D ₁

A ₂ x + B ₂ Y + C ₂ Z = D ₂

a ₃ x + b ₃ y + c ₃ z = d ₃

---

В математике система линейных уравнений представляет собой набор из одного или нескольких линейных уравнений с одинаковым числом переменных (или неизвестные). Рассматриваемая здесь линейная система состоит из трех уравнений с тремя неизвестными:
$${ a }_{ 1 }x+{ b }_{ 1 }y+{ c }_{ 1 }z={ d }_{ 1 }$$ $${ a }_{ 2 }x+{ b } _{ 2 }y+{ c }_{ 2 }z={ d }_{ 2 }$$ $${ a }_{ 3 }x+{ b }_{ 3 }y+{ c }_{ 3 }z= { d }_{ 3 },$$ где \(x, y, z\) — неизвестные, \(a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3, c_1, c_2, c_3\) — коэффициенты система, а \(d_1, d_2, d_3\) — постоянные условия.

Решение линейной системы уравнений — это поиск таких значений неизвестных \(x, y, z\), что каждое из уравнений удовлетворяется. Существует ряд методов решения системы линейных уравнений. Этот калькулятор линейной системы уравнений использует правило Крамера. Он выражает решение системы через определители матрицы коэффициентов и матриц, полученных из нее заменой одного столбца вектором-столбцом правых постоянных членов уравнений.

Обозначим через \(D\) определитель матрицы коэффициентов системы:
$$D=\begin{vmatrix} { a }_{ 1 } & { b }_{ 1 } & { c }_{ 1 } \\ {а}_{ 2} & {б}_{ 2} & {в}_{ 2} \\ {а}_{ 3} & {б}_{ 3} & {в}_{ 3 } \end{vmatrix}. $$

Тогда определители матриц, полученных из матрицы коэффициентов заменой одного столбца на вектор-столбец правых частей уравнений, будут:

$$ {D_x = \left|\begin{array}{ccc} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \\ \end{array}\right|,} \hspace{0.3em}
{D_y = \left|\begin{array}{ccc} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \\ \end{array}\right|,} \hspace{0.3 em}
{D_z = \left|\begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \\ \end{array}\right|.} $$

Правило Крамера утверждает, что в случае \(D\neq 0\) система имеет единственное решение, индивидуальные значения неизвестных которого задаются следующими формулами:

$$x = \frac{D_x}{D} , \hspace{0,2em} y = \frac{D_y}{D}, \hspace{0,2em} z = \frac{D_z}{D}.$$

В зависимости от значения \(D\) линейная система уравнений может вести себя одним из трех возможных способов:

• Если \(D\neq 0\) система имеет единственное единственное решение, представленное выше.
• Если \(D = 0\) и \({D_x}\neq 0\) (или \({D_y}\neq 0\) или \({D_z}\neq 0\)) система не имеет решения (линейная система несовместна).
• Если \(D = {D_x} = {D_y} = {D_z} = 0\), то система имеет бесконечно много решений.

Связанные калькуляторы

Ознакомьтесь с другими нашими алгебраическими калькуляторами, такими как калькулятор системы линейных уравнений 2×2.

---

Решение вопроса по правилу Крамера

Меван К.

спросил 30.10.16

3x — 2y + 5z = 6

 

9x — 8y + 1z = 46

 

-6x — 4y + 7z = 27

Подписаться І 2

Подробнее

Отчет

1 ответ эксперта

Лучший Новейшие Самый старый

Автор: ЛучшиеНовыеСамыеСтарые

Майкл Дж. ответил 30.10.16

Репетитор

5 (5)

Освоение пределов, производных и методов интегрирования

См. таких наставников

Посмотреть таких репетиторов

При использовании правила Крамера вы берете определитель. Для нахождения определителя преобразуем систему уравнений в матрицу.

 

При формировании матрицы у вас будет столбец коэффициентов, соответствующих переменным. Самая нижняя переменная — это первый столбец. Итак, вот наша матрица. Позвоните в эту матрицу M.

3 -2 5

9 -8 1

-6 -4 7

Затем обнаружите определяющий вель. Это дет(М).

 

Далее вы найдете определитель для каждого столбца.

 

Find det(x) using the matrix

 

 

6         -2         5

 

46       -8         1

 

27       -4         7

 

 

Затем найдите DET (Y), используя матрицу

3 6 5

9 46 1

-6       27        7

 

 

Then find det(z) using the matrix

 

3         -2            6
 
9         -8            46
 
-6        -4            27

 

 

Обратите внимание, что в последних трех матрицах коэффициенты в правой части уравнения соответствуют столбцам конкретных определителей.