Сочетания/Теорема
Сочетания/Теорема| В конец | На главную страницу | Обратно |
|
правило суммы
правило произведения множества факториал перестановки размещения сочетания биномиальная теорема литература Об авторе главная страница |
Теорема. (1) Доказательство.
Пусть А — множество из n элементов. Чтобы построить его
подмножество, состоящее из k элементов, нужно к подмножеству из
(k–1) элементов присоединить любой из оставшихся элементов.
Поскольку таких подмножеств (содержащих k–1 элемент) имеется
и каждое из них
можно сделать состоящим из k элементов n–k+1 способами,
то, таким образом мы получим
(n–k+1)•
подмножеств.
Получили формулу (1). |
Число сочетаний из n
элементов по k
вычисляется следующим образом:
Но не все они будут различными, так как любое множество из
k элементов может быть построено из (k–1)–элементного
k способами присоединением первого элемента, второго и т.д.
k–го. Как уже отмечалось, порядок элементов в подмножестве не
имеет значения, поэтому вычисленное нами число в k раз больше,
чем ,
т.е. | В начало | Меню | На главную страницу | Обратно |
Как найти число сочетаний?
Статьи › Карточка › Сколько различных буквосочетаний можно получить перестановкой карточек со следующими буквами колокол?
Количество сочетаний обозначается как C n m (читается: сочетания из \(n\) по \(m\)).
Сочетания вычисляются по формуле C n m = n! M! (n − m)!.
- Что означает число сочетаний?
- Как найти число размещений?
- Как рассчитать количество комбинаций цифр?
- Сколько комбинаций из 3 цифр с повторением?
- Сколько сочетаний из 10 цифр?
- Когда число сочетаний максимально?
- Как найти число размещений из n по m?
- Что такое число размещений?
- В чем разница между размещением и сочетанием?
- Сколько комбинаций из цифр 1 2 3 4?
- Сколько комбинаций из 10 цифр по 4?
- Сколько комбинаций из 4 цифр от 1 до 9?
- Как посчитать возможные комбинации?
- Сколько комбинаций из 5 цифр от 1 до 5?
- Сколько комбинаций из 999 цифр?
- Сколько пар можно составить из 6 человек?
- Как посчитать все перестановки?
- Сколько можно составить комбинаций из 12 цифр?
- Как найти число если известен процент и число?
- Как находится размещение с повторением?
- Что называется сочетанием из n элементов по k?
- Когда используется сочетание?
- Что такое сочетание в теории вероятности?
- Что такое число перестановок?
Что означает число сочетаний?
Числом сочетаний из элементов по (обозначается) называется количество способов из объектов выбрать какие-то.
Более формально числом сочетаний из по называется количество различных неупорядоченных наборов из различных элементов некоторого -элементного множества.
Как найти число размещений?
Формула числа размещений
Akn=Ckn⋅k!
Как рассчитать количество комбинаций цифр?
Формула для определения количества возможных комбинаций выглядит следующим образом: nCr = n! / р! (н-р)!
Сколько комбинаций из 3 цифр с повторением?
3 = 60 способов расстановки цифр, т. е. искомое количество трехзначных чисел есть 60. (Вот некоторые из этих чисел: 243, 541, 514, 132, )
Сколько сочетаний из 10 цифр?
Если символы могут повторяться, то любой из 10-ти символов может принимать одно 36 значений (26 латинских букв плюс 10 цифр). Можно сказать, что это 10-тизначное число в 36-ричной системе счисления. Количество комбинаций будет равно 3610 или 3,6561584×1015.
Когда число сочетаний максимально?
Максимальной эта величина будет, когда k максимально близко к n/2.
Скажем, при n=10 наибольшим будет число C510.
Как найти число размещений из n по m?
Формула для числа размещений. Размещениями из n элементов по m (мест) называются такие выборки, которые имея по m элементов, выбранных из числа данных n элементов, отличаются одна от другой либо составом элементов, либо порядком их расположения. Anm = n·(n − 1)·(n − 2)· ·(n − m + 1) = n!/(n − m)!
Что такое число размещений?
Числом размещений из по (обозначается) называется количество способов расположить некоторые из различных объектов на пронумерованных местах, при условии что каждое место занято в точности одним объектом.
В чем разница между размещением и сочетанием?
Размещения — это упорядоченные наборы. Комбинации, при составлении которых важно знать только то, какие элементы выбраны, но их порядок не имеет значения, называются сочетаниями.
Сколько комбинаций из цифр 1 2 3 4?
Следовательно комбинаций будет: 4 * 3 * 2 * 1 = 4! = 24.
Сколько комбинаций из 10 цифр по 4?
Очевидно, что количество всех возможных комбинаций из 10 цифр по 4 равно 10.
5 = 100,000. Логически подумайте — каждая из комбинаций от 000,001 до 100,000 повышают общее число комбинаций на одну, итого кол-во комбинаций равно собственно числу.
Сколько комбинаций из 999 цифр?
999). Всего комбинаций из цифр и букв может быть: 676 × 9 999 999 = 6 759 999 324 (6 млрд.
Сколько пар можно составить из 6 человек?
Сколькими способами можно выбрать две пары от 6-и человек. Я получила 15, но ответ-45. Склькими способами можно выбрать три пары от 8-и человек. По формуле получаю 105, но ответ 420.
Как посчитать все перестановки?
Количество перестановок обозначается как P n, где \(n\) — количество элементов множества. Перестановки вычисляются по формуле P n = n!
Сколько можно составить комбинаций из 12 цифр?
Комбинаций, точнее 2 704 156 комбинаций.
Как найти число если известен процент и число?
Чтобы найти число по его проценту, надо: 1) выразить проценты обыкновенной или десятичной дробью; 2) разделить данное число на полученную дробь.
Как находится размещение с повторением?
Упорядоченные выборки \(k\) элементов с повторениями, которые составлены из основного множества \(n\) элементов, называются размещениями с повторениями из \(n\) элементов по \(k\) элементов. Их количество обозначается как A ¯ n k и находится по формуле: A ¯ n k = n k.
Что называется сочетанием из n элементов по k?
В комбинаторике размеще́нием (из n по k) называется упорядоченный набор из k различных элементов из некоторого множества различных n элементов. (то есть совпадают как сочетания).
Когда используется сочетание?
Комбинации, при составлении которых важно знать только то, какие элементы выбраны, но их порядок не имеет значения, называются сочетаниями. В сочетаниях все элементы равноправны. Например, два дежурных, два куска хлеба. Сочетания не являются упорядоченными наборами.
Что такое сочетание в теории вероятности?
Определение. Неупорядоченные подмножества (комбинации), т. е. такие, порядок следования элементов в которых не играет роли и которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, называются сочетаниями.
Что такое число перестановок?
Группы элементов, состоящие из одних и тех же элементов и отличающиеся друг от друга только их порядком, называются перестановками этих элементов. Число всевозможных перестановок n элементов обозначается Pn. Как это будет ниже показано, оно равно произведению всех натуральных чисел от 1 до n.
Биномиальные коэффициенты
Возраст от 14 до 18 лет
Статья Бена Милвуда
Опубликовано в 2012 г.
В этой статье представлены биномиальные коэффициенты. Лучше всего читать с бумагой и ручкой, чтобы вы могли ответить на вопросы во время чтения.
Существует несколько способов определения биномиальных коэффициентов, но в этой статье мы будем использовать следующее определение и обозначения: количество различных подмножеств размера $k$ множества размера $n$. Говоря более неформально, это количество различных способов, которыми вы можете выбрать $k$ вещей из их $n$ (отсюда $n$ выберите $k$).
${3 \выберите 1} = 3$, потому что вы можете выбрать либо первое, либо второе, либо третье.
Аналогично, ${3 \выберите 2} = 3$, потому что вы можете взять либо первые два, либо первое и третье, либо последние два. Обратите внимание, что порядок, в котором вы выбираете вещи, игнорируется.
Сможете ли вы вычислить следующие биномиальные коэффициенты?
- 4$\выберите 1$
- $4 \выберите 2$
- $5 \выберите 2$
- $6 \выберите 2$
Вам нужно придумать систематический метод, чтобы убедиться, что вы нашли все способы выбора. Предлагает ли ваш метод какой-либо способ прямого вычисления результата?
Теперь вернемся к определению с точки зрения выбора вещей и посмотрим, сможете ли вы понять, почему для всех $n\ge 1$ верно следующее:
\[{n \choose 0} = {n \выберите n} = 1 \] \[{n \выберите 1} = {n \выберите n-1} = n \]
На самом деле это начинает подсказывать закономерность:
\[{n \выбрать k} = {n \выбрать n-k}\]
Можете ли вы обосновать эту закономерность из определения?
Теперь выпишем биномиальные коэффициенты в сетке:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | ||||
| 1 | 1 | 1 | |||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 |
Они выглядят знакомыми? Они должны делать.
Отсюда следует следующее правило:
\[{n \выберите k} = {n-1 \выберите k} + {n-1 \выберите k-1}\]
Возвращаясь к вашему систематическому методу, можете ли вы объяснить это отношение с точки зрения выбора вещи?
Мы можем использовать это соотношение для вычисления биномиальных коэффициентов, но это не очень эффективно. Вам придется вычислять все больше и больше биномиальных коэффициентов, чем больше ваши $n$ и $k$. Итак, давайте попробуем найти другую формулу, подумав о процессе выбора:
Предположим, вы хотите выбрать пять вещей из двенадцати. Сколько вариантов у вас есть для первого? Сколько вариантов для второго? Сколько вариантов для третьего, четвертого и пятого? Сколько всего вариантов дает это?
Проблема с описанным выше методом заключается в том, что он считает 1,2,3,4,5 и 2,1,3,4,5 отдельно, хотя на самом деле это один и тот же выбор. Сколько раз вы считаете каждый вариант? Как вы можете исключить их из вашего счета?
После того, как вы придумали формулу, можете ли вы использовать ее для алгебраического обоснования предыдущих результатов?
Связь с биномом
Я упомянул, что они называются биномиальными коэффициентами в начале статьи, но с тех пор я не упоминал биномиальную формулу.
Биномиальная формула такова: 92 = {2n \выберите n}\]
1.8 Числа Стирлинга
В упражнении 4 в в разделе 1.4 мы видели числа Стирлинга второй вид. Нет как ни странно, существует чисел Стирлинга первого рода . Напомним, что числа Стирлинга второго вида определяются следующим образом:
Определение 1.8.1 Число Стирлинга второго рода, $S(n,k)$ или $\stwo{n}{k}$, количество разделов $[n]=\{1,2,\ldots,n\}$ ровно на $k$ частей, $1\le k\le n$. $\квадрат$
Прежде чем мы определим числа Стирлинга первого рода, нам нужно
пересмотреть перестановки. Как мы упоминали в разделе 1.7, мы можем думать о перестановке $[n]$ либо как о переупорядочивании
$[n]$ или как биекцию $\sigma\colon [n]\to[n]$. Есть
различные способы записи перестановок, если рассматривать их как функции. Два
типичные и полезные способы представлены как в таблице, так и в цикле форма .
Рассмотрим эту перестановку $\sigma\colon [5]\to[5]$: $\sigma(1)=3$,
$\sigma(2)=4$, $\sigma(3)=5$, $\sigma(4)=2$, $\sigma(5)=1$.
Обратите внимание, что использование $\sone{n}{k}$ конфликтует с использование тех же обозначений в разделе 1.7; не должно быть путаницы, так как мы не будем обсуждать две идеи вместе.
Некоторые значения $\sone{n}{k}$ легко увидеть; если
$n\ge 1$, то
$$\матрица{
\rlap{\left[\matrix{n\cr n\cr}\right]=1}\phantom{\left[\matrix{n\cr 1\cr}\right]=(n-1)!}
&\quad&\left[\matrix{n\cr k\cr}\right]=0, \;\mbox{, если $k>n$}\cr
\left[\matrix{n\cr 1\cr}\right]=(n-1)!&\quad&
\rlap{\left[\matrix{n\cr 0\cr}\right]=0}\phantom{\left[\matrix{n\cr k\cr}\right]=0, \;\mbox{если $k>n$}}\cr
}$$
Иногда удобно сказать, что $\sone{0}{0}=1$. Эти числа
таким образом, образуют треугольник очевидным образом, точно так же, как числа Стирлинга
первого рода делать. Вот строки 1–5 треугольника:
$$\матрица{
1\кр
0&1\кр
0&1&1\кр
0&2&3&1\кр
0&6&11&6&1\кр
0&24&50&35&10&1\кр
}$$
Первая колонка не особо интересна, поэтому часто
это устранено.
В упражнении 4 в раздел 1.4, мы видели, что $$\eqalignno{ \stwo{n}{k}&=\stwo{n-1}{k-1}+k\cdot\stwo{n-1}{k}. &(1.8.1)\кр }$$ Беззнаковые числа Стирлинга первого рода удовлетворяют аналогичному повторение.
Теорема 1.8.3 $\sone{n}{k}=\sone{n-1}{k-1} + (n-1)\cdot\sone{n-1}{k}$, $k\ge1$, $n\ge1$.
Доказательство. Доказательство проводится индукцией по $n$; таблица выше показывает, что это
верно для первых нескольких строк. Разделим перестановки $[n]$ с $k$
циклы на два типа: те, в которых $(n)$ — 1-цикл, и
отдых. Если $(n)$ — 1-цикл, то остальные циклы образуют
перестановка $[n-1]$ с $k-1$ циклами, так что есть
$\sone{n-1}{k-1}$ из них. В противном случае возникает $n$
в цикле длины не менее 2, а удаление $n$ оставляет перестановку
$[n-1]$ с $k$ циклами. Дана перестановка $\sigma$ $[n-1]$ с $k$
циклов, $n$ можно добавить к любому циклу в любой позиции, чтобы сформировать
перестановка $[n]$, в которой $(n)$ не является 1-циклом. Предположим,
длины циклов в $\sigma$ равны $l_1,l_2,\ldots,l_k$.
В
номер цикла $i$, $n$ может быть добавлен после любого из элементов $l_i$ в
цикл. Таким образом, общее количество мест, на которое можно добавить $n$, равно
$l_1+l_2+\cdots+l_k=n-1$, поэтому
$(n-1)\cdot\sone{n-1}{k}$ перестановки $[n]$ в
который $(n)$ не является 1-циклом. Теперь общее количество перестановок
$[n]$ с $k$ циклами
$\sone{n-1}{k-1}+ (n-1)\cdot\sone{n-1}{k}$ по желанию.
$\qed$
9{n-j-1}\sone{n-1}{j}\stwo{j}{k-1}\cr
&=\дельта_{n-1,k-1}=0,
}$$
начиная с $k-1
Если мы интерпретируем треугольники, содержащие $s(n,k)$ и $S(n,k)$, как
матрицы, либо $m\times m$, взяв первые $m$ строк и
столбцы или даже бесконечные матрицы, содержащие все
треугольников, суммы теоремы соответствуют вычислению матрицы
товар в обоих заказах. Тогда теорема говорит, что это произведение
состоит из единиц по диагонали и нулей в остальных местах, поэтому эти матрицы
являются обратными. Вот небольшой пример:
$$
\pmatrix{
1& 0& 0& 0& 0& 0\cr
0& 1& 0& 0& 0& 0\cr
0& -1& 1& 0& 0& 0\cr
0& 2& -3& 1& 0& 0\cr
0& -6& 11& -6& 1& 0\cr
0& 24& -50& 35& -10& 1\кр
}
\pmatrix{
1& 0& 0& 0& 0& 0\cr
0& 1& 0& 0& 0& 0\cr
0& 1& 1& 0& 0& 0\cr
0& 1& 3& 1& 0& 0\cr
0& 1& 7& 6& 1& 0\cr
0& 1& 15& 25& 10& 1\кр
}
«=»
\pmatrix{
1& 0& 0& 0& 0& 0\cr
0& 1& 0& 0& 0& 0\cr
0& 0& 1& 0& 0& 0\cr
0& 0& 0& 1& 0& 0\cr
0& 0& 0& 0& 1& 0\cr
0& 0& 0& 0& 0& 1\cr
}
$$
9{n-i-1}(n-i-1)!
{n-1\выберите i}s(i,k-1)$.