5.2. Необходимый признак сходимости ряда. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
Ряд может сходиться только при условии, что его общий член ап при неограниченном увеличении номера n стремится к нулю:
lim an — 0 — это необходимый признак сходимости ряда.
Если же lim an ф 0, то ряд расходится — это достаточный при-
знак расходимости ряда.
Для знакоположительных числовых рядов имеют место следующие достаточные признаки, по которым можно установить их сходимость или расходимость.
1. Признак сравнения. Если члены знакоположительного ряда
начиная с некоторого номера, не превосходят соответствующих членов ряда
то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).
При исследовании рядов на сходимость и расходимость по этому признаку часто используется геометрическая прогрессия
которая сходится при | q | < 1 и расходится при | q | > 1, и гармонический ряд
являющийся расходящимся рядом.
2. Признак Даламбера. Если для ряда (1)
то при I < 1 ряд сходится, при I > 1 — расходится (при I = 1 вопрос
о сходимости ряда остается нерешенным).
Пример 5.3. Пользуясь необходимым признаком сходимости, показать, что ряд
расходится.
lim an = lim ——— = 1.
— —¥ n——¥ n +1
Таким образом, предел общего члена ряда при n — да отличен от нуля, т. е. необходимый признак сходимости не выполняется. Это означает, что данный ряд расходится.
Пример 5.4. Исследовать на сходимость ряд
111 1
—+—2 +—3 + ••• +—+ ••• •
5 • 2 5 • 2 5 • 2 5 • 2n
Решение. Сравним данный ряд с рядом
1 1 1 1
— +—2 +—3 + ••• +—+ ••• • (*)
2 22 23 2n
Ряд (*) сходится, так как его члены образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q =1 • При этом 1
каждый член an =- данного ряда меньше соответствующего
5 • 2
члена bn = -1 ряда (*)• Поэтому, согласно признаку сравнения, данный ряд сходится •
Пример 5.
данного ряда, начиная со второго, боль-
ше соответствующего члена bn =— гармонического ряда. Так как
n
гармонический ряд расходится, то, согласно признаку сравнения, расходится и данный ряд.
Решение. Каждый член ряда
(*)
меньше соответствующего члена ряда
Как было показано в задаче 5.2, последний ряд сходится. Следовательно, сходится и ряд (*). Сходимость исходного ряда, отличающегося от ряда (*) наличием первого члена 1, теперь очевидна.
Пример 5.7. С помощью признака Даламбера решить вопрос
о сходимости ряда
Решение. Для того чтобы воспользоваться признаком Даламбера, надо знать (п + 1)-й член ряда. Он получается путем подста-
Пример 5.8. Пользуясь признаком Даламбера, исследовать на сходимость ряд
Решение. Знаянайдем (п + 1)-й член ряда
Вычислим
Пример 5.9. На основании признака Даламбера исследовать сходимость ряда
Решение. Зная n-й член ряда запишем (п + 1)-й член:
Отсюда
Так как I = 0 < 1, то ряд сходится.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Исследовать ряд на сходимость. — примеры, решения
Пример 1:
Исследовать ряд на сходимость:
Решение от преподавателя:
общий член ряда имеет вид , при этом для n≥1 выполнены неравенства
Ряд расходится (гармонический ряд), следовательно, расходится и исходный ряд (по признаку сравнения).
Пример 2:
Исследовать числовой ряд на сходимость:
Решение от преподавателя:
Пример 3:
Исследовать ряд на сходимость:
Решение от преподавателя:
Пример 4:
Исследовать ряд на сходимость:
Решение от преподавателя:
Пример 5:
Исследовать ряд на сходимость:
Решение от преподавателя:
общий член ряда имеет вид , при этом
Поскольку , для этого ряда не выполнено необходимое условие сходимости — ряд расходится.
Пример 6:
Исследовать на сходимость числовой ряд.
Решение от преподавателя:
Пример 7:
Исследовать ряд на сходимость:
Решение от преподавателя:
Пример 8:
Исследовать ряд на сходимость:
Решение от преподавателя:
Пример 9:
Исследовать ряд на сходимость:
Решение от преподавателя:
: общий член ряда имеет вид , при этом
Следовательно, данный ряд сходится (по признаку Даламбера).
Пример 10:
Исследовать на абсолютную и условную сходимость:
Решение от преподавателя:
Пример 11:
Исследовать ряд на сходимость:
Решение от преподавателя:
Пример 12:
Исследовать ряд на сходимость:
Решение от преподавателя:
Пример 13:
Исследовать ряд на сходимость:
Решение от преподавателя:
общий член ряда имеет вид , при этом для n≥1 выполнены неравенства
Ряд сходится (обобщенный гармонический ряд с параметром p=11/6>1), следовательно, сходится и исходный ряд (по признаку сравнения).
Пример 14:
Найти область сходимости степенного ряда.
Решение от преподавателя:
Пример 15:
Исследовать ряд на сходимость:
Решение от преподавателя:
Пример 16:
Исследовать на сходимость ряд:
Решение от преподавателя:
Пример 17:
Исследовать ряд на сходимость:
Решение от преподавателя:
: общий член ряда имеет вид , при этом для n≥1 выполнены неравенства
Ряд сходится (геометрическая прогрессия со знаменателем q=2/3
Пример 18:
Исследовать ряд на сходимость:
Решение от преподавателя:
Пример 19:
Исследовать ряд на сходимость:
Решение от преподавателя:
Пример 20:
Исследовать на сходимость ряд:
Решение от преподавателя:
Пример 21:
Исследовать ряд на сходимость:
Решение от преподавателя:
: общий член ряда имеет вид , при этом
Следовательно, данный ряд сходится (по признаку Даламбера).
Пример 22:
Исследовать ряд на сходимость:
Решение от преподавателя:
Пример 23:
Исследовать сходимость ряда:
.
Решение от преподавателя:
Пример 24:
Исследовать на сходимость ряд:
Решение от преподавателя:
Пример 25:
Исследовать ряд на сходимость:
Решение от преподавателя:
Используем интегральный признак сходимости.
Расходится, следовательно, ряд тоже расходится.
Ответ: Ряд расходится.
Пример 26:
Исследовать ряд на сходимость:
Решение от преподавателя:
Пример 27:
Исследовать сходимость ряда c
Решение от преподавателя:
Пример 28:
Исследовать ряд на сходимость:
Решение от преподавателя:
Пример 29:
Исследовать сходимость степенного ряда:
Решение от преподавателя:
Пример 30:
Исследовать ряд на сходимость:
Решение от преподавателя:
Пример 31:
Исследовать ряд на сходимость:
Решение от преподавателя:
Пример 32:
Исследовать сходимость числового ряда
Решение от преподавателя:
Бесконечная серия $\sum 1/(n(n+1))$ Задать вопрос
спросил
Изменено 1 год, 8 месяцев назад
Просмотрено 130 тысяч раз
$\begingroup$
9{m}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) = 1 — \frac{1}{2} + \frac{1}{2} — \ frac{1}{3} + \frac{1}{3} — \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{m-1} — \frac{1}{m} + \ frac{1}{m} — \frac{1}{m+1}.
{\infty} \dfrac1{n(n+1)} = \lim_{m \to \infty} S_m = \lim_{m \to \infty} \left(1 — \dfrac1{m+1} \right) = 1$$ 9{h+1}\frac{1}{n}\right)
\\=&\lim_{h\стрелка вправо\infty}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{h+1}\right)
\\=&1-0=1
\end{align}$$
$\endgroup$
3
$\begingroup$
Это телескопический ряд. Запишите несколько членов ряда, скажем, от n = 1 до n = 5, и посмотрите сокращения … Надеюсь, вы сможете сделать оттуда
$\endgroup$
Интегральный тест и p-серия
Интегральный тест и серия p
I. Викторина
II. Домашнее задание
III. Интегральный тест
Рассмотрим сумму ряда a n такую, что a n > 0 и n > a n+1
Мы можем нанести точки (n,a n ) на график и построить прямоугольники
чьи основания имеют длину 1, а высоты имеют длину a и .
Если мы сможем найти непрерывную функцию f(x) такую, что f(n) =
a n , затем обратите внимание, что площадь этих прямоугольников равна верхней
Сумма Реймана для площади под графиком функции f(x). Следовательно, int от 1
до бесконечности f(x) dx < сумма от 1 до бесконечности a n . Точно так же, если мы исследуем нижнюю сумму Реймана, мы увидим, что
int от 1 до бесконечности f(x) dx > сумма от 2 до бесконечности a n .
Это доказывает следующую теорему:
Теорема: Интегральный тест
Пусть f(x) — положительная непрерывная функция, которая со временем убывает. и пусть f(n) = a n
Затем
sum a n сходится тогда и только тогда, когда сходится int от 1 до бесконечности.
Обратите внимание на противопоставление:
sum a n расходится тогда и только тогда, когда расходится int от 1 до бесконечности.
Пример:
А) Рассмотрим ряд: сумма 1/n 2
Мы используем интегральный тест:
Пусть f(x) = 1/x
Следовательно, по интегральному признаку сумма 1/n 2 сходится.
К чему это сходится? Мы используем калькулятор: Перейти к MATH MISC тогда поставь
суммировать seq(1/x 2 ,x,1,100,1), чтобы получить 1,635…
Б) Рассмотрим сумму ряда 1/sqrt(n)
Мы используем интегральный тест:
Пусть f(x) = 1/sqrt(x)
int от 1 до бесконечности 1/sqrt(x) dx = lim m -> бесконечность 2sqrt(x) от 1 до бесконечности = бесконечность. Следовательно, по интегральному критерию сумма 1/sqrt(n) расходится.
Обратите внимание, что если мы воспользуемся калькулятором, мы получим
сумма seq(1/sqrt(x),x,1,100,1) = 18,59
Следовательно, по калькулятору нельзя сказать, сходится оно или расходится.