| 1 | Найти объем | сфера (5) | |
| 2 | Найти площадь | окружность (5) | |
| 3 | Найти площадь поверхности | сфера (5) | |
| 4 | Найти площадь | окружность (7) | |
| 5 | Найти площадь | окружность (2) | |
| 6 | Найти площадь | окружность (4) | |
| 7 | Найти площадь | окружность (6) | |
| 8 | сфера (4) | | |
| 9 | Найти площадь | окружность (3) | |
| 10 | Вычислить | (5/4(424333-10220^2))^(1/2) | |
| 11 | Разложить на простые множители | 741 | |
| 12 | Найти объем | сфера (3) | |
| 13 | Вычислить | 3 квадратный корень из 8*3 квадратный корень из 10 | |
| 14 | Найти площадь | окружность (10) | |
| 15 | Найти площадь | окружность (8) | |
| 16 | Найти площадь поверхности | сфера (6) | |
| 17 | Разложить на простые множители | 1162 | |
| 18 | Найти площадь | окружность (1) | |
| 19 | Найти длину окружности | окружность (5) | |
| 20 | Найти объем | сфера (2) | |
| 21 | Найти объем | сфера (6) | |
| 22 | Найти площадь поверхности | сфера (4) | |
| 23 | Найти объем | сфера (7) | |
| 24 | Вычислить | квадратный корень из -121 | |
| 25 | Разложить на простые множители | 513 | |
| 26 | Вычислить | квадратный корень из 3/16* квадратный корень из 3/9 | |
| 27 | Найти объем | прямоугольный параллелепипед (2)(2)(2) | |
| 28 | Найти длину окружности | окружность (6) | |
| 29 | Найти длину окружности | окружность (3) | |
| 30 | Найти площадь поверхности | сфера (2) | |
| 31 | Вычислить | ||
| 32 | Найти объем | прямоугольный параллелепипед (5)(5)(5) | |
| 33 | Найти объем | прямоугольный параллелепипед (10)(10)(10) | |
| 34 | Найти длину окружности | окружность (4) | |
| 35 | Перевести в процентное соотношение | 1. 2-4*-1+2 | |
| 45 | Разложить на простые множители | 228 | |
| 46 | Вычислить | 0+0 | |
| 47 | Найти площадь | окружность (9) | |
| 48 | Найти длину окружности | окружность (8) | |
| 49 | Найти длину окружности | окружность (7) | |
| 50 | Найти объем | сфера (10) | |
| 51 | Найти площадь поверхности | сфера (10) | |
| 52 | Найти площадь поверхности | сфера (7) | |
| 53 | Определить, простое число или составное | 5 | |
| 54 | 3/9 | ||
| 55 | Найти возможные множители | 8 | |
| 56 | Вычислить | (-2)^3*(-2)^9 | |
| 57 | Вычислить | 35÷0. 2 | |
| 60 | Преобразовать в упрощенную дробь | 2 1/4 | |
| 61 | Найти площадь поверхности | сфера (12) | |
| 62 | Найти объем | сфера (1) | |
| 63 | Найти длину окружности | окружность (2) | |
| 64 | Найти объем | прямоугольный параллелепипед (12)(12)(12) | |
| 65 | Сложение | 2+2= | |
| 66 | Найти площадь поверхности | прямоугольный параллелепипед (3)(3)(3) | |
| 67 | Вычислить | корень пятой степени из 6* корень шестой степени из 7 | |
| 68 | Вычислить | 7/40+17/50 | |
| 69 | Разложить на простые множители | 1617 | |
| 70 | Вычислить | 27-( квадратный корень из 89)/32 | |
| 71 | Вычислить | 9÷4 | |
| 72 | Вычислить | 2+ квадратный корень из 21 | |
| 73 | Вычислить | -2^2-9^2 | |
| 74 | Вычислить | 1-(1-15/16) | |
| 75 | Преобразовать в упрощенную дробь | 8 | |
| 76 | Оценка | 656-521 | |
| 77 | Вычислить | 3 1/2 | |
| 78 | Вычислить | -5^-2 | |
| 79 | Вычислить | 4-(6)/-5 | |
| 80 | Вычислить | 3-3*6+2 | |
| 81 | Найти площадь поверхности | прямоугольный параллелепипед (5)(5)(5) | |
| 82 | Найти площадь поверхности | сфера (8) | |
| 83 | Найти площадь | окружность (14) | |
| 84 | Преобразовать в десятичную форму | 11/5 | |
| 85 | Вычислить | 3 квадратный корень из 12*3 квадратный корень из 6 | |
| 86 | Вычислить | (11/-7)^4 | |
| 87 | Вычислить | (4/3)^-2 | |
| 88 | Вычислить | 1/2*3*9 | |
| 89 | Вычислить | 12/4-17/-4 | |
| 90 | Вычислить | 2/11+17/19 | |
| 91 | Вычислить | 3/5+3/10 | |
| 92 | Вычислить | 4/5*3/8 | |
| 93 | Вычислить | 6/(2(2+1)) | |
| 94 | Упростить | квадратный корень из 144 | |
| 95 | Преобразовать в упрощенную дробь | 725% | |
| 96 | Преобразовать в упрощенную дробь | 6 1/4 | |
| 97 | Вычислить | 7/10-2/5 | |
| 98 | Вычислить | 6÷3 | |
| 99 | Вычислить | 5+4 | |
| 100 | Вычислить | квадратный корень из 12- квадратный корень из 192 |
01Математика — 10 класс.
Алгебра — Формулы приведения Skip to main content- Классы
- 10 класс. Алгебра
- 04. Тригонометрические выражения
- Теория: 03. Формулы приведения
- 1Пример
- 2Пример
- 3Пример
Задание
Решение
Каждое из выражений
\(\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}\pm \alpha\right),\, \cos\left(\frac{\pi}{2}\pm \alpha\right),\, \sin\left(\frac{3\pi}{2}\pm \alpha\right),\, \cos\left(\frac{3\pi}{2}\pm \alpha\right),\, \sin\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right),\, \cos\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right),\)
\(\displaystyle \sin\left(\pi\pm \alpha\right),\, \cos\left(\pi\pm \alpha\right), \, \sin\left(\alpha-\pi \right),\, \cos\left(\alpha-\pi\right)\)
равно либо \(\displaystyle \pm\sin\alpha{ \small ,}\) либо \(\displaystyle \pm\cos\alpha{\small .}\)
- Если в формуле участвует \(\displaystyle \frac{\pi}{2} \) или \(\displaystyle \frac{3\pi}{2} { \small ,}\) то синус меняется на косинус, а косинус меняется на синус, иначе функция не меняется.
- Знак синуса и косинуса определяется по знаку исходного выражения, при условии, что угол \(\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}{\small .}\)
Так как в выражении \(\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\) участвует \(\displaystyle \frac{\pi}{2}{ \small ,}\) то
\(\displaystyle {\bf \cos}\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\,?\,{\bf \sin}\alpha{\small .}\)
Далее определим, какой знак должен стоять перед синусом.
Всегда можно считать, что угол \(\displaystyle \alpha\) – острый (располагается в первой четверти тригонометрического круга):
Тогда угол \(\displaystyle \frac{\pi}{2}-\alpha\) – это угол, полученный вычитанием угла \(\displaystyle \alpha \) из угла \(\displaystyle \frac{\pi}{2}{\small :}\)
Определим знак исходного выражения, то есть знак \(\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right){\small : }\)
Знак плюс. Значит,
\(\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\color{red}{+}\sin{\alpha}\)
или
\(\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin{\alpha}{\small .
}\)
Ответ: \(\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin{\alpha}{\small .}\)
Формулы приведения и косинус разности
Используем формулу косинуса разности.
Для двух углов \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle y\) верно:
\(\displaystyle \cos(x-y)=\cos x\cdot \cos y+\sin x\cdot \sin y{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\frac{\pi}{2}\cdot \cos\alpha+\sin\frac{\pi}{2}\cdot \sin\alpha{\small .}\)
Так как \(\displaystyle \cos\frac{\pi}{2}=0\) и \(\displaystyle \sin\frac{\pi}{2}=1{ \small ,}\) то получаем:
\(\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=0\cdot \cos\alpha+1\cdot \sin\alpha{ \small ,}\)
\(\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha{\small .}\)
Вход
Войти через
Регистрация
Обратный синус, косинус и тангенс.
Как SOHCATOA может вычислять углы. Как использовать эти функции…Рабочий лист обратных триггерных функций
Калькулятор арккосинуса
Калькулятор обратного синуса
Обратные тригонометрические функции (sin -1 , cos -1 и тангенс -1 ) позволяют найти величину угла в прямоугольном треугольнике. Все, что вам нужно знать, это любые две стороны, а также то, как использовать SOHCATOA.
Обратный путь SOHCATOA против суммы внутренних углов
Сравните этот метод с проверенной теоремой о том, что сумма внутренних углов треугольника равна 180°.
Что является градусной мерой
ЛНМ?
Поскольку сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусам, мы можем проверить
ЛНМ:
180° -16° — 90° =74°
В качестве альтернативы вы можете использовать инверсию одной из функций SOHCAHTOA, в данном случае инверсию синуса (sin -1 )! Чтобы найти угол прямоугольного треугольника, нам нужно знать только длину двух сторон! Затем используйте те же отношения SOHCATOA, только по-другому.
sin -1 (73,24/76,19) = 74°
Видео на YouTube: как рассчитать обратный SOHCATOA
Хорошее видео о том, как использовать калькулятор TI-Graphing для вычисления арксинуса, косинуса или тангенса.
Пример проблемы
Чтобы найти меру $\angle CAB$, заштрихованного угла, рассмотрим известные нам стороны.
Сравнение синуса с обратным синусом.
$ sin(b) $
$$ грех (b) = \frac{ac}{ab} $$ Синус угла выводит отношение 2 сторон треугольника 9{-1} \left( \frac{ac}{ ab} \right) = m\угол ABC $$ Обратный синус двух сторон дает измерение угла
Практика ПроблемыПроблема 1
Используйте арксинус, косинус или тангенс, чтобы вычислить меру заштрихованного угла слева.
тангенс -1 (24/18) = 53°
Проблема 2
Используйте арксинус, косинус или тангенс, чтобы вычислить меру заштрихованного угла слева.
загар -1
Проблема 3
Какова мера заштрихованного угла слева?
sin -1 (36/39) = 67°
Проблема 4
Какова мера
в треугольнике ниже? Округлите ответ до десятых долей градуса.
Поскольку вы знаете все 3 стороны, вы можете использовать любой из следующих вариантов:
= sin -1 (7/25) = 16,3°
= потому что -1 (6/15) = 16,3°
= тангенс -1 (7/24) = 16,3°
Проблема 5
Используйте обратную sohcahtoa, чтобы вычислить меру
в треугольнике ниже.
Округлите ответ до сотых долей градуса.
Поскольку вы знаете все 3 стороны, вы можете использовать любой из следующих вариантов:
= sin -1 (8/10) = 53,13°
= потому что -1 (6/10) = 53,13°
= тангенс -1 (8/6) = 53,13°
Обратные тригонометрические тождества — GeeksforGeeks
В математике обратные тригонометрические функции также известны как аркус-функции или антитригонометрические функции. Обратные тригонометрические функции — это обратные функции основных тригонометрических функций, т.
е. синуса, косинуса, тангенса, косеканса, секанса и котангенса. Он используется для нахождения углов с любым тригонометрическим соотношением. Обратные тригонометрические функции обычно используются в таких областях, как геометрия, инженерия и т. д. Представление обратных тригонометрических функций:
Если a = f(b), то обратной функцией будет x, tan -1 x и т. д.
В следующей таблице показаны некоторые тригонометрические функции с их областью определения и диапазоном значений.
| Функция | Домен | Диапазон |
| y = sin -1 x | [-1, 1] | [-π/2, π/2] |
| y = cos -1 x | [-1, 1] | 0 [9 π] |
| y = cosec -1 x | R – (-1,1 ) | [-π/2, π/2] – {0} | 0y = |
| R – (-1, 1) | [0 , π] – {π/2} | |
| y = tan -1 x | R | (- п/2, п/2) |
| Y = COT -1 x | R | (0, π) |
.
1: - sin -1 (1/x) = cosec -1 x, для x ≥ 1 или x ≤ -1
- cos -1 (1/x) = sec -1 x, для x ≥ 1 или x ≤ -1
- tan -1 (1/x) = cot -1 x, для x > 0
Свойство 2:
- sin -1 (-x) = -sin -1 x, для x ∈ [-1 , 1]
- tan -1 (-x) = -tan -1 x, для x ∈ R
- cosec -1 (-x) = -cosec -1 x, для |х| ≥ 1
Свойство 3
- cos -1 (-x) = π – cos -1 x, для x ∈ [-1 , 1]
- cot -1 (-x) = π – cot -1 x, for x ∈ R
- sin -1 x + cos -1 x = π/2, для x ∈ [-1,1]
- tan -1 x + cot -1 x = π/2, для x ∈ R
- cosec -1 x + sec — 1 x = π/2 , для |x| ≥ 1
- тангенс -1 x + тангенс -1 y = tan -1 ( x + y )/(1 – xy), для xy < 1
- tan -1 x – tan -1 y = tan -1 (x – y)/(1 + xy), при xy > -1
- tan -1 x + tan -1 y = π + tan -1 (x + y)/(1 – xy), для ху >1; x, y >0
- 2tan -1 x = sin -1 (2x)/(1 + x 2 ), для |x| ≤ 1
- 2tan -1 x = cos -1 (1 – x 2 )/(1 + x 2 ), для x ≥ 0
- 2tan -1 x = tan -1 (2x)/(1 – x 2 ), для -1 < x <1
- sin -1 (sin x) = x при условии –π/2 ≤ x ≤ π/2
- cos -1 (cos x) = x при условии 0 ≤ x ≤ π
- tan -1 (tan x) = x при условии –π/2 < x < π/2
- sin(sin -1 x) = x при условии -1 ≤ x ≤ 1
- cos(cos -1 x) = x при условии -1 ≤ x ≤ 1
- tan(tan -1 x ) = x при условии x ∈ R
- cosec(cosec -1 x) = x при условии -1 ≤ x ≤ ∞ или -∞ < x ≤ 1
- sec(sec -1 x) = x при условии 1 ≤ x ≤ ∞ или -∞ < x ≤ 1
- кроватка(кроватка -1 x) = x при условии -∞ < x < ∞
- 2cos 9 x
-3 90 cos0012 -1 (2x 2 – 1)
- 2sin -1 x = sin -1 2x√(1 – x 2 )
- 3sin -1 x = sin -1 (3x – 4x 3 )
- 3cos -1 x = cos -1 (4x 3 – 3x)
- 3tan -1 x = tan -1 ((3x – x 3 /1 – 3x 2 ))
- sin -1 x + sin -1 y = sin -1 { x√(1 – y 2 ) + y√(1 – x 2 )}
- sin -1 x – sin -1 y = sin -1 { x√(1 – y 2 ) – y√(1 – x 2 )3
- cos -1 x + cos -1 y = cos -1 [xy — √{(1 — x 2 )(1 — y 2 )}] — 3
- 1 cos 1 x – cos -1 y = cos -1 [xy + √{(1 – x 2 )(1 – y 2 )}
- тангенс -1 x + тангенс 12 -3 у = тангенс -1 (х + у/1 — ху)
- tan -1 x – tan -1 y = tan -1 (x – y/1 + xy)
- tan -1 x + tan -1 y2 +tan 9
z = tan -1 (x + y + z — xyz)/(1 — xy — yz — zx) - cos -1 x + cos -1 y = cos -1 [xy — √{(1 — x 2 )(1 — y 2 )}] — 3
Property 4
Свойство 5
Свойство 6
Тождества обратной тригонометрической функции
Ниже приведены тождества обратных тригонометрических функций:
Примеры задач
Вопрос 1: Докажите sin -1 x = sec -1 1/√(1-x 2 )
Решение:
.
⇒ cos y = √(1 – x 2 ), здесь гипотенуза = 1
⇒ sec y = 1/cos y
⇒ sec y( 1 – x √ 2 )
⇒ y = сек -1 1/√(1 – х 2 )
⇒ sin -1 х = сек -2 х 900 0(1 ⚪ 900 0 3 х 901 1/√ )
Значит, доказано.
= √(1-перпендикуляр 2 )/гипотенуза )Вопрос 2: Докажите tan -1 x = cosec -1 √(1 + x 2 )/x
Решение:
Пусть tan -1 x = y
⇒ tan y = x , перпендикуляр = x и основание = 1
⇒ sin y = x/√(x 2 + 1) , (поскольку гипотенуза √ (перпендикулярный 2 + База 2 ))
⇒ cosec y = 1/sin y
⇒ cosec y = √ (x 2 + 1)/x
⇒ y = cosec -1 √(x 2 + 1)/x
⇒ tg -1 x = cosec -1 √(x 2 + 1)/x
Следовательно, доказано.
Вопрос 3: Оцените TAN (COS -1 X)
Решение:
Let COS -1 X = Y
⇒ COS Y = X, базовая = x и гипотенерация = = Y
1, следовательно, sin y = √(1 – x 2 )/1
⇒ tan y = sin y/ cos y
⇒ tan y = √(1 – x 2 )/x
⇒ y -1 √(1 – x 2 )/x
⇒ cos -1 x = tan -1 √(1 – x 2 )/x
Следовательно, tan(cos -1 x) = tan(tan -1 √(1 – x 2 )/x ) = √(1 – x 2 )/x.
Вопрос 4: tan -1 √(sin x) + cot -1 √(sin x) = y. Найдите cos у.
Решение:
Мы знаем, что tan -1 x + cot -1 x = /2, поэтому, сравнивая это тождество с уравнением, данным в вопросе, мы получаем y = π/2
Таким образом, , cos y = cos π/2 = 0,
Вопрос 5: tan -1 (1 – x)/(1 + x) = (1/2)tan -1 x, x > 0.
Найдите x.
Решение:
тангенс -1 (1 – х)/(1 + х) = (1/2)тангенс -1 х
⇒ 2тангенс
⇒ 2тангенс
-1 )/(1 + x) = tan -1 x …(1)
Мы знаем, что 2tan -1 x = tan -1 2x/(1 – x 2 ).
Таким образом, LHS уравнения (1) можно записать как
тангенс -1 [ { 2(1 – x)/(1 + x)}/{ 1 – [(1 – x)(1 + x)] 2 }]
= тангенс -1 [ {2(1 – x)(1 + x)} / { (1 + x) 2 – (1 – x) 2 }]
= тангенс -1 [ 2(1 – x) 2 )/(4x)]
= tan -1 (1 – x 2 )/(2x)
Так как LHS = RHS, следовательно,
tan -1 (1 – x )/(2x) = тангенс -1 x
⇒ (1 – x 2 )/2x = x
⇒ 1 – x 2 = 2x 2
⇒ 3x 2 = 1
⇒ x = ± 1/√1/3
⇒ x = ± 1/√1/3
, следовательно, x = ± 1/√1/3
.
является приемлемым ответом.Вопрос 6. Докажите tan -1 √x = (1/2)cos -1 (1 – x)/(1 + x)
Решение: 9002 100308 4 8 -1 √x = y
⇒ тангенс y = √x
⇒ tan 2 y = x
Следовательно,
RHS = (1/2)cos -1 ( 1- тангенс 2 y)/(1 + tan 2 y)
= (1/2)cos -1 (cos 2 y – sin 2 y)/(cos 2 y + sin 2 y)
= (1/2)cos -1 (cos 2 y – sin 2
)
= (1/2)cos -1 (cos 2y)
= (1/2)(2y)
= y
= tan -1 √x
= LHS
2, следовательно, доказано .
Вопрос 7: загар -1 (2x)/(1 – x 2 ) + кроватка -1 (1 – x 2 )/(2x) = π /2,0068 1 < x < 1. Найдите x.
Решения:
tan -1 (2x)/(1 – x 2 ) + кроватка -1 (1 – x x 2) 9002
⇒ тангенс -1 (2x)/(1 – x 2 ) + тангенс -1 (2x)/(1 – x 2 ) = π/2
⇒ 2tan -1 (2x)/(1 – x 2 ) = ∏/2
⇒ tan -1 (2x)/(1 – x 2 ) = ∏/4
⇒ (2x)/(1 – х 2 ) = тангенс ∏/4
⇒ (2х)/(1 – х 2 ) = 1
⇒ 2х = 1 – х 2
⇒ 3 9012 012 х 9 = 0
⇒ х = [-2 ± √(2 2 – 4(1)(-1))] / 2
⇒ х = [-2 ± √8] / 2
⇒ х = — 1 ± √2
⇒ x = -1 + √2 или x = -1 – √2
Но согласно вопросу x ∈ (-1, 1), следовательно, для данного уравнения множество решений есть x ∈ ∅.
Вопрос 8: тангенс -1 1/(1 + 1,2) + тангенс -1 1/(1 + 2,3) + … + тангенс -1 1/(1 + n(n) + 1)) = тангенс -1 х. Решите для х.
Решение:
тангенс -1 1/(1 + 1,2) + тангенс -1 1/(1 + 2,3) + … + тангенс + n(1/ n + 1)) = тангенс -1 x
⇒ тангенс -1 (2 – 1)/(1 + 1,2) + тангенс -1 (3 – 2)/(1 + 2,3) + … + загар -1 (n + 1 – n)/(1 + n(n + 1)) = тангенс -1 x
⇒ (тангенс -1 2 – тангенс -1 1) + (тангенс -1 3 – тангенс -1 2) + … + (тангенс -1 (n + 1) – тангенс -1 n) = тангенс -1 x
⇒ тангенс
-1 (n + 1) – тангенс -1 1 = тангенс -1 x
⇒ тангенс -1 n/(1 + (n + 1).1) = тангенс -1 x
⇒ тангенс -1 n/(n + 2) = тангенс -1 x
⇒ x = n/(n + 2)
Вопрос 9: Если 2tan -1 (sin x) = tan -1 (2sec x), то найдите x.