Системы линейных уравнений с двумя переменными – онлайн-тренажер для подготовки к ЕНТ, итоговой аттестации и ВОУД
Система уравнений – это два или несколько уравнений, для которых необходимо найти все их общие решения. Систему уравнений принято записывать с помощью фигурной скобки.
Например: \(\begin{cases} 2x+3y=1\\ x-5y=0 \\ \end{cases}\)
Пара значений переменных, обращающая в истинное равенство каждое уравнение системы, называется решением системы уравнений с двумя переменными. Решить систему уравнений – значит найти множество ее решений.
Графическое решение
Графическим решением линейного уравнения являются все точки некоторой прямой на плоскости. Для системы линейных уравнений будем иметь несколько прямых (по количеству уравнений). А решением системы уравнений, будет являться точка, в которой пересекаются все прямые. Если такой точки нет, то система не будет иметь решений. Точка, в которой пересекаются все прямые, принадлежит каждой из этих прямой, поэтому решение называют общим.
Способ подстановки
Алгоритм решения системы линейных уравнений способом подстановки:
1. Выбрать одно уравнение (лучше выбирать то, где числа меньше) и выразить из него одну переменную через другую, например, x через y.
2. Полученное выражение подставить вместо соответствующей переменной в другое уравнение. Таким образом, у нас получится линейное уравнение с одной неизвестной.
3. Решаем полученное линейное уравнение и получаем решение.
4. Подставляем полученное решение в выражение, полученное в первом пункте, получаем вторую неизвестную из решения.
5. Выполнить проверку полученного решения.
Например: \(\left\{ \begin{array}{l} 2x — 3y = 1 \\ x + 2y = 4 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2(4 — 2y) — 3y = 1 \\ x = 4 — 2y \\ \end{array} \right. \)\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 8 — 4y — 3y = 1 \\ x = 4 — 2y \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = 1 \\ x = 2 \\ \end{array} \right.
\)
Ответ: (2; 1).
Способ сложения
Алгоритм решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными способом сложения.
1. Если требуется, путем равносильных преобразований уравнять коэффициенты при одной из неизвестных переменных в обоих уравнениях.
2. Складывая или вычитая полученные уравнения получить линейное уравнение с одним неизвестным.
3. Решить полученное уравнение с одним неизвестным и найти одну из переменных.
4. Подставить полученное выражение в любое из двух уравнений системы и решить это уравнение, получив, таким образом, вторую переменную.
5. Сделать проверку решения.
Например:
\(\left\{ \begin{array}{l} 3x+2y=10 \\ 5x+3y=12 \\ \end{array} \right.\)
Так как одинаковых коэффициентов нет ни у одной из переменных, уравняем коэффициенты у переменной \(y\). Для этого умножим первое уравнение на три, а второе уравнение на два.
\(\left\{ \begin{array}{l} 3x+2y=10/ \cdot3 \\ 5x+3y=12 / \cdot2\\ \end{array} \right.
\)
Получим следующую систему уравнений: из второго уравнения вычитаем первое. Приводим подобные слагаемые и решаем полученное линейное уравнение.
\(\left\{ \begin{array}{l} 39x+6y=30 \\ 10x+6y=24\\ \end{array} \right. \Rightarrow x+0=-6 \Rightarrow x=-6\)
Полученное значение подставляем в первое уравнение из нашей исходной системы и решаем получившееся уравнение.
\(\left\{ \begin{array}{l} 3\cdot(-6)+2y=10 \\ 2y=28 \ \Rightarrow y=14 \end{array} \right.\)
Ответ: (6; 14).
2×2 Калькулятор системы линейных уравнений
Этот онлайн-калькулятор системы линейных уравнений 2×2 решает систему из 2 линейных уравнений с 2 неизвестными. Введите значения коэффициентов для каждого линейного уравнения системы в соответствующие поля калькулятора. Все поля, оставленные пустыми, будут интерпретироваться как коэффициенты с нулевыми значениями. После нажатия кнопки «Рассчитать» вы получите значения неизвестных, а также графическое представление линейных уравнений и решение системы в виде точки пересечения линий.
A 1 X + B 1 Y = C 1
A 2 x + B 2 Y = C 2
В Mathematics, Система из системы линейные уравнения — это набор из одного или нескольких линейных уравнений с одинаковым количеством переменных (или неизвестных). Простейшая нетривиальная линейная система состоит из двух уравнений с двумя неизвестными:
$${ a }_{ 1 }x+{ b }_{ 1 }y={ c }_{ 1 }$$ $${ a }_{ 2 } x+{ b }_{ 2 }y={ c }_{ 2 },$$ где \(x, y\) — неизвестные, \(a_1, a_2, b_1, b_2\) — коэффициенты системы, и \(c_1, c_2\) — постоянные условия.
Решение системы линейных уравнений – это поиск таких значений неизвестных \(x, y\), что каждое из уравнений удовлетворяется. Линейная система уравнений может вести себя одним из трех возможных способов:
• Система имеет единственное единственное решение.
• Система не имеет решения (линейная система несовместна).
• Система имеет бесконечно много решений (уравнения эквивалентны).
Существует несколько методов решения системы линейных уравнений. Этот калькулятор системы линейных уравнений использует метод подстановки — самый простой, который можно легко применить к системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
В соответствии с этим методом мы используем первое уравнение системы, чтобы выразить одну из двух переменных, скажем, \(x\), через вторую переменную \(y\). Затем мы заменяем первую переменную \(x\) во втором уравнении этим выражением и таким образом получаем уравнение только с одним неизвестным \(y\), которое легко решается. И, наконец, подставляем найденное значение для второй неизвестной \(y\) в первое уравнение и решаем соответствующее уравнение для одной неизвестной и в результате находим решение для первой переменной \(x\).
Решение приведенной выше системы линейных уравнений выглядит следующим образом:
$$x=\frac { { c }_{ 1 }{ b }_{ 2 }-{ b }_{ 1 }{ c }_ { 2 } }{ { a }_{ 1 }{ b }_{ 2 }-{ b }_{ 1 }a_{ 2 } }$$ $$y=\frac { { a }_{ 1 }{ c }_{ 2 }-c_{ 1 }{ a }_{ 2 } }{ { a }_{ 1 }{ b }_{ 2 }-{ b }_{ 1 }a_{ 2 } }.
$$
В случае, если знаменатель \({ a }_{ 1 }{ b }_{ 2 }-{ b }_{ 1 }a_{ 2 }\) равен нулю, система, очевидно, не имеет решений. В случае, если и знаменатель, и числитель \({ c }_{ 1 }{ b }_{ 2 }-{ b }_{ 1 }{ c }_{ 2 }\) (или \({ a }_{ 1 }{ c }_{ 2 }-c_{ 1 }{ a }_{ 2 }\)) равно нулю, система имеет бесконечно много решений.
Связанные калькуляторы
Ознакомьтесь с другими нашими алгебраическими калькуляторами, такими как калькулятор системы линейных уравнений 3×3.
Использовать метод эшелонов для решения каждой системы из двух уравнений с двумя неизвестными
Исчисление
Таннер С.
спросил 07.11.21Привет, просто очень запутался, как использовать метод эшелона для решения системы двух уравнений с двумя неизвестными. Кроме того, что значит иметь два неизвестных?
вопрос
х + у = 5
2х -2у = 2
Подписаться І 1
Подробнее
Отчет
2 ответа от опытных наставников
Лучший Новейшие Самый старыйАвтор: ЛучшиеНовыеСамыеСтарые
Брэдфорд Т.
ответил 07.11.21
Репетитор
4.9 (29)
Инженер на пенсии / преподаватель математики высшей категории
См. таких репетиторов
Посмотреть таких репетиторов
В данном случае это два неизвестных x и y.
Метод эшелонирования строк состоит в том, чтобы поместить коэффициенты в матрицу и привести к форме эшелонирования строк.
[1 1 5]
[2 -2 2]
Ряд2 = Ряд2 — 2Ряд1
[1 1 5]
[0 -4 -8]
Ряд2 = Ряд2/-4
[1 1 5]
[0 1 2]
Ряд1 = Ряд1- Ряд2
1[ ]
[0 1 2]
Который находится в форме сокращенного эшелона строк (RREF)
x=3
y=2
Проверить 3+2=5 и 6-4=2
Голосовать за 0 Понизить
Подробнее
Отчет
Осман А.
Репетитор
5 (34)
Профессор инженерных и бизнес-расчетов
См. таких репетиторов
Посмотреть таких репетиторов
Использовать эшелонный метод для решения каждой системы из двух уравнений с двумя неизвестными; вопрос:
x + y = 5
2x -2y = 2
Подробное решение:
Это очень простая система, которую можно легко решить методом исключения, нет необходимости в эшелонном методе
x + y = 5 <== (Уравнение 1)
2x — 2y = 2 <== (Уравнение 2)
2(x + y = 5) <== (Уравнение 1)
2x — 2y = 2 <== (Уравнение 2)
2x + 2y = 10 <== (Уравнение 1)
2x — 2y = 2 <== (Уравнение 2)
Уравнение 1 + Уравнение 2 ==> 4x = 12 ==> x = 12/4 ==> x = 3
Подставьте
x + y = 5 ==> 3 + y = 5 ==> y = 5 – 3 ==>
6
6 2
(x, y) = (3, 2) <== Окончательное решение
Используйте TI-84 Plus для решения: => Создайте Матрицу A (2 строки x 3 столбца) ==> Введите коэффициенты/значения
* Перейти к: 2-я матрица ==> Math ==> rref(A) ==> (x, y) = (3, 2) <== Результат
Голосовать за 0 Понизить
Подробнее
Отчет
Все еще ищете помощь? Получите правильный ответ, быстро.
