Почему делить на ноль нельзя? – статья – Корпорация Российский учебник (издательство Дрофа – Вентана)
Все математические действия равны, но некоторые равнее других
Начнём с того, что четыре арифметических действия — сложение, вычитание, умножение и деление — не являются равноправными. И разговор идёт не о порядке выполнения действий при решении какого-нибудь примера или уравнения. Нет, имеется в виду само понятие числа. И согласно ему, наиболее важными являются сложение и умножение. А уже вычитание и деление «вытекают» из них тем или иным образом.
Сложение и вычитание
Например, разберём простую операцию: «3 — 1». Что это означает? Школьник легко объяснит эту задачку: это означает, что было три предмета (например, три апельсина), один вычли, оставшееся количество предметов и есть верный ответ. Верно описано? Верно. Мы и сами объяснили бы точно так же. Но математики рассматривают процесс вычитания иначе.
Операция «3 — 1» рассматривается не с позиции вычитания, а только со стороны сложения.
Умножение и деление
Аналогичные метаморфозы происходят с таким действием, как деление. Задачу «6 : 3» математики отказываются воспринимать как некие шесть предметов, разбитых на три части. «Шесть разделить на три» не что иное, как «неизвестное число, умноженное на три, в результате чего получилось шесть»: «х · 3».
Делим на ноль
Выяснив принцип математических действий по отношению к задачам с вычитанием и делением, рассмотрим наше деление на ноль.
Задача «4 : 0» превращается в «х · 0». Получается, нам нужно найти такое число, умножение с которым даст нам 4.
Больше интересных материалов:
- Почему минус на минус всегда даёт плюс?
- Типичные ошибки учителей при проведении уроков математики в начальной школе
- Методическая помощь учителю математики
- Внеурочная деятельность по математике в начальной школе
- Формирование математической грамотности в начальной школе
А что получится, если ноль разделить на ноль?
Представим такое уравнение: «0 · x = 0».
С одной стороны, выглядит вполне справедливо. Представляем вместо неизвестного числа ноль и получаем готовое решение: «0 · 0 = 0». Из этого вполне логично вывести, что «0 : 0 = 0».
Однако теперь давайте в это же уравнение с неизвестным вместо «x = 0» подставим любое другое число, например «x = 7». Получившееся выражение выглядит теперь как «0 · 7 = 0». Вроде бы, всё верно. Делаем обратную операцию и получаем «0 : 0 = 7». Но тогда, получается, что можно взять абсолютно любое число и вывести 0 : 0 = 1, 0 : 0 = 2… 0 : 0 = 145… — и так до бесконечности.
Если при любом числе х уравнение будет справедливо, то мы не имеем права выбрать лишь одно, исключив остальные. Значит, мы так и не можем ответить, какому числу соответствует выражение «0 : 0». Снова оказавшись в тупике, мы признаём, что и эта операция тоже бессмысленна. Получается, что ноль нельзя делить даже на самого себя.
Оговоримся, что в математическом анализе иногда бывают специальные условия задачи — так называемое «раскрытие неопределенности».
В подобных случаях разрешается отдавать предпочтение одному из возможных решений уравнения «0 · x = 0». Однако в арифметике таких «допусков» не происходит.
| 1 | Найти число возможных исходов | 7 выбор 3 | |
| 2 | Найти число возможных исходов | 8 выбор 3 | |
| 3 | Найти число возможных исходов | 5 выбор 2 | |
| 4 | Найти число возможных исходов | 4 выбор 2 | |
| 5 | Найти число возможных исходов | 8 выбор 4 | |
| 6 | Найти число возможных исходов | 10 выбор 3 | |
| 7 | Найти число возможных исходов | 7 выбор 4 | |
| 8 | Найти число возможных исходов | 6 выбор 3 | |
| 9 | Найти число возможных исходов | 9 выбор 3 | |
| 10 | Найти число возможных исходов | 3 выбор 2 | |
| 11 | Найти число возможных исходов | 6 выбор 4 | |
| 12 | Найти число возможных исходов | 5 выбор 4 | |
| 13 | Найти число возможных исходов | 7 перестановка 3 | |
| 14 | Найти число возможных исходов | 7 выбор 2 | |
| 15 | Найти число возможных исходов | 10 выбор 5 | |
| 16 | Найти число возможных исходов | 10 выбор 6 | |
| 17 | Найти число возможных исходов | 13 выбор 5 | |
| 18 | Найти число возможных исходов | 3 выбор 3 | |
| 19 | Найти число возможных исходов | 4 выбор 1 | |
| 20 | Найти число возможных исходов | 4 выбор 4 | |
| 21 | Найти число возможных исходов | 5 выбор 1 | |
| 22 | Найти число возможных исходов | 6 перестановка 3 | |
| 23 | Найти число возможных исходов | 8 выбор 5 | |
| 24 | Найти число возможных исходов | 9 перестановка 4 | |
| 25 | Найти число возможных исходов | 13 выбор 3 | |
| 26 | Найти число возможных исходов | 12 выбор 2 | |
| 27 | Найти число возможных исходов | 12 выбор 4 | |
| 28 | Найти число возможных исходов | 12 выбор 3 | |
| 29 | Найти число возможных исходов | 9 выбор 5 | |
| 30 | Найти число возможных исходов | ||
| 31 | Найти число возможных исходов | 7 выбор 5 | |
| 32 | Найти число возможных исходов | 6 перестановка 6 | |
| 33 | Найти число возможных исходов | 8 перестановка 5 | |
| 34 | Найти число возможных исходов | 8 перестановка 3 | |
| 35 | Найти число возможных исходов | 7 перестановка 5 | |
| 36 | Найти число возможных исходов | 52 выбор 5 | |
| 37 | Найти число возможных исходов | 5 перестановка 3 | |
| 38 | Найти число возможных исходов | 12 выбор 5 | |
| 39 | Найти число возможных исходов | 3 выбор 1 | |
| 40 | Найти число возможных исходов | 11 выбор 5 | |
| 41 | Найти число возможных исходов | 10 выбор 2 | |
| 42 | Найти число возможных исходов | 15 выбор 3 | |
| 43 | Найти число возможных исходов | 52 выбор 4 | |
| Найти число возможных исходов | 9 выбор 4 | ||
| 45 | Найти число возможных исходов | 9 перестановка 3 | |
| 46 | Найти число возможных исходов | 7 перестановка 4 | |
| 47 | Найти число возможных исходов | 7 перестановка 2 | |
| 48 | Найти число возможных исходов | 11 выбор 4 | |
| 49 | Найти число возможных исходов | 11 выбор 2 | |
| 50 | Найти число возможных исходов | 11 выбор 3 | |
| 51 | Найти число возможных исходов | 10 перестановка 5 | |
| 52 | Найти число возможных исходов | 5 выбор 5 | |
| 53 | Найти число возможных исходов | 6 выбор 1 | |
| 54 | Найти число возможных исходов | 8 перестановка 4 | |
| 55 | Найти число возможных исходов | 8 выбор 6 | |
| 56 | Найти число возможных исходов | 13 выбор 4 | |
| 57 | Вычислить | e | |
| 58 | Найти уравнение, перпендикулярное прямой | -7x-5y=7 | |
| 59 | Найти число возможных исходов | 13 выбор 2 | |
| 60 | Найти число возможных исходов | 10 перестановка 2 | |
| 61 | Найти число возможных исходов | 10 перестановка 3 | |
| 62 | Найти число возможных исходов | 10 выбор 7 | |
| 63 | Найти число возможных исходов | 20 выбор 4 | |
| 64 | Найти число возможных исходов | 6 перестановка 4 | |
| 65 | Найти число возможных исходов | 5 перестановка 4 | |
| 66 | Найти число возможных исходов | 6 выбор 5 | |
| 67 | Найти число возможных исходов | 52 выбор 3 | |
| 68 | Найти число возможных исходов | 4 выбор 0 | |
| 69 | Найти число возможных исходов | 9 перестановка 7 | |
| 70 | Найти число возможных исходов | 6 выбор 2 | |
| 71 | Найти число возможных исходов | 5 перестановка 5 | |
| 72 | Найти число возможных исходов | 5 перестановка 2 | |
| 73 | Найти число возможных исходов | 6 выбор 6 | |
| 74 | Найти число возможных исходов | 7 выбор 6 | |
| 75 | Найти число возможных исходов | 8 перестановка 6 | |
| 76 | Найти число возможных исходов | 7 перестановка 7 | |
| 77 | Найти число возможных исходов | 9 перестановка 5 | |
| 78 | Найти число возможных исходов | 2 перестановка 2 | |
| 79 | Найти число возможных исходов | 10 выбор 8 | |
| 80 | Найти число возможных исходов | 12 выбор 7 | |
| 81 | Найти число возможных исходов | 15 выбор 5 | |
| 82 | Найти обратный элемент | [[1,0,1],[2,-2,-1],[3,0,0]] | |
| 83 | Определить область значений | 1/4x-7 | |
| 84 | Найти число возможных исходов | 10 перестановка 7 | |
| 85 | Найти число возможных исходов | 12 выбор 6 | |
| 86 | Найти число возможных исходов | 2 выбор 1 | |
| 87 | Найти число возможных исходов | 30 выбор 3 | |
| 88 | Найти число возможных исходов | 9 выбор 6 | |
| 89 | Найти число возможных исходов | 8 перестановка 2 | |
| 90 | Найти число возможных исходов | 7 выбор 1 | |
| 91 | Найти число возможных исходов | 6 перестановка 2 | |
| 92 | Найти число возможных исходов | 4 перестановка 2 | |
| 93 | Найти число возможных исходов | 4 перестановка 3 | |
| 94 | Найти число возможных исходов | 3 перестановка 3 | |
| 95 | Найти число возможных исходов | 46 выбор 6 | |
| 96 | Найти число возможных исходов | 5 перестановка 1 | |
| 97 | Найти число возможных исходов | 52 выбор 7 | |
| 98 | Найти число возможных исходов | 52 перестановка 5 | |
| 99 | Найти число возможных исходов | 9 выбор 1 | |
| 100 | Найти число возможных исходов | 9 перестановка 6 |
Мультипликативные системы: понимание силы умножения на ноль
На уроках математики мы все учили, что все, что умножается на ноль, равно нулю.
Но если вы перестанете думать об этой идее здесь, вы не увидите всех практических применений, которые понимание мультипликативных систем может дать вам в жизни.
***
Пробежимся по элементарной алгебре. Попробуйте сделать это в уме: что такое 1 506 789 x 9 809 x 5,56 x 0?
Надеюсь, вам не пришлось доставать старый TI-84, чтобы решить эту проблему. Это ноль.
Это приводит нас к ментальной модели под названием Мультипликативные системы , и ее понимание может помочь разобраться во многих вопросах.
Предположим, вы пытаетесь стать лучшим баскетболистом в мире. У вас есть следующие вещи для вас:
1. Талант от Бога . Вы ростом 6 футов 9 дюймов, быстры, умелы, можете выпрыгнуть из здания и были лучшим игроком в соревновательном городе, сколько себя помните.
2. Поддержка. Вы живете в городе, где уважают баскетбол, и вас воспитывают родители, которые заботятся о ваших целях.
3.
Подтвержденный послужной список. Вы стали лучшим игроком года на очень конкурентной конференции колледжа Дивизиона 1.
4. Открытый путь вперед. Вы выбраны под вторым номером на драфте НБА командой «Бостон Селтикс».
Похоже, у тебя есть шанс, да? Настолько хорошо, насколько это возможно, верно? Как бы вы оценили шансы этого человека стать одним из лучших игроков в мире? Довольно высоко?
Добавим еще одну информацию:
5. Вы пристрастились к кокаину.
Каковы ваши шансы сейчас?
Это небольшое упражнение не является академическим, это печальный случай Леонарда «Лена» Биаса, молодого баскетбольного вундеркинда, который умер от передозировки кокаина после того, как был выбран для игры в НБА за Бостон Селтикс в 1986 году. Многие звонят Биас лучший баскетболист, который никогда не играл профессионально.
Что так хорошо иллюстрирует история Лена Биаса, так это тот факт, что любое число, умноженное на ноль, все равно должно быть нулем, независимо от того, насколько длинна предшествующая ему последовательность чисел.
В некоторых аспектах жизни вся ваша тяжелая работа, стремление к совершенствованию и удача могут ничего не стоить, если в цепи есть слабое звено.
Все инженеры очень рано узнают, что система не сильнее ее самого слабого компонента . Возьмем, к примеру, случай с атомной электростанцией. У нас есть очень хорошее представление о том, как сделать атомную электростанцию достаточно безопасной, почти неразрушимой, что должно учитываться при масштабах аварии.
Но на самом деле, что является самым слабым звеном в цепи для большинства атомных электростанций? Ими управляют люди. Мы часть системы! А поскольку нам еще предстоит усовершенствовать человека, нам еще предстоит усовершенствовать атомную электростанцию. Как же может быть иначе?
Система присадок не работает таким образом. В аддитивной системе каждый компонент дополняет друг друга для создания конечного результата. Возвращаясь к алгебре, предположим, что наше уравнение было аддитивным, а не мультипликативным: 1 506 789 плюс 9 809 плюс 5,56 плюс 0, Ответ: 1 516 603,56 — все равно довольно большое число!
Воспринимайте аддитивную систему как нечто вроде великолепного ужина в честь Дня Благодарения.
У вас есть отличная индейка, немного взбитого картофеля, масса начинки и кусок домашнего клюквенного соуса, и вы тусуетесь со своей семьей. Потрясающий!
Допустим, картошка сгорела в духовке, и она несъедобна. Проблема? Конечно, но ужин все равно получается просто отлично. Кто-то приходит с пирогом на десерт? Большой! Но это не сильно изменит ужин.
Благодаря взаимодействию частей обед может варьироваться от хорошего до великолепного. Уберите некоторые части или добавьте новые, и вы получите различных результатов , но не бинарных, побед/проигрышей. Еда все еще происходит. Аддитивные системы и мультипликативные системы по-разному реагируют на добавление или удаление компонентов.
Большинство предприятий, например, работают в мультипликативной системе. Но они слишком часто думают, что работают с аддитивными функциями: Вы когда-нибудь замечали, как некоторые компании добавляют одну функцию поверх другой в свои продукты, но терпят неудачу в базовом обслуживании клиентов, поэтому вы уходите, чтобы никогда не возвращаться? Это компания, которая думает, что работает с аддитивной системой, когда на самом деле нужно решать большие проблемы 9.
0051 ноль в середине уравнения вместо добавления дополнительных элементов.
***
Финансовые системы, конечно, мультипликативны. General Motors, , основанная в 1908 году Уильямом Дюрантом и К. С. Моттом, стала доминировать на американском автомобильном рынке, увеличив долю рынка на 50% благодаря ряду блестящих инноваций и методов управления, и на протяжении многих лет была доминирующей и самой замечательной корпорацией. в Америке. Даже сегодня, после более чем столетия конкуренции, ни один американский автопроизводитель не производит больше автомобилей, чем General Motors.
И тем не менее, первоначальные акционеры GM получили ноль в 2008 году, когда компания обанкротилась из-за многолетнего финансового неумелого управления. Неважно, что у них было несколько поколений лидеров: все это сводится на нет в мультипликативной системе.
***
В меньшем масштабе возьмем случай молодого корпоративного альпиниста , который чувствует, что просто не сможет продвинуться вперед.
У них, кажется, есть все свои утки подряд: отличное резюме, отличный опыт, большой опыт… проблема в том, что они не умеют общаться с другими людьми и относятся к другим как к ступенькам. Это ноль, который может отрицать все предшествующих ему больших чисел. Остальное не имеет значения.
Таким образом, мы приходим к выводу, что «должно быть верным», что понимание того, когда вы находитесь в аддитивной системе, а где в мультипликативной системе, и какие компоненты нуждаются в абсолютной надежности для работы системы, является критической моделью, которую вы должны иметь в своей голове. . Мультипликативное мышление — это модель, связанная с более широкой идеей системного мышления, еще одна ментальная модель, которую стоит приобрести.
***
Мультипликативные системы — еще одна ментальная модель FS.
Почему 0 умножить на бесконечность не равно 1? — Ответы MATLAB
351 просмотр (последние 30 дней)
Комментарии: John D’Errico on 30 Dec 2017
Скажи мне, как 1 разделить на бесконечность не равно 1.
Когда вы рисуете x * y = 1, не встречаются ли 0 и бесконечность в одной и той же точке? Мне это кажется элементарной математикой, я был поражен, когда услышал, что кто-то подумал, что это 0 или не определено. Делить на 0 и умножать на бесконечность — одно и то же. Я не могу смотреть на 2 и не видеть, что они взаимны.
Ответы (3)
Под редакцией: Джон Д’Эррико on 29 Dec 2017
Пока вы говорите об «основной математике», понятие бесконечности может быть довольно парадоксальным и редко действительно простым.
inf в MATLAB не является истинным числом. Это признак того, что MATLAB обнаружил что-то странное, что что-то должно быть очень большим, но MATLAB не был уверен, насколько большим. NaN относится к тому же классу, что и признак того, что MATLAB обнаружил что-то, что не может разрешить, неопределенность.
Вы можете просматривать информацию только с точки зрения ограничений. Таким образом, мы можем думать о inf как о пределе x, поскольку x становится сколь угодно большим.
Итак, что такое inf*0? Опять же, вам нужно рассматривать это с точки зрения предела. Но проблема в том, какой предел?
Является ли (inf*0) пределом (x*0), когда x становится сколь угодно большим? В этом случае inf*0 логически будет равно 0.
Или (inf*0) является пределом inf/x, когда x приближается к нулю? Если мы примем, что inf, умноженный или разделенный на любую положительную ненулевую конечную константу, все еще является inf, то inf/x должен быть inf.
Мы можем так же легко привести аргументы, что inf*0 может быть 1 или любым другим значением, которое вы пожелаете. Лично я считаю, что должно быть 17, но в результате существуют убедительные опубликованные аргументы в пользу 42. Должен ли я предоставить ссылку на 42? 😉
Дело в том, что поскольку inf*0 действительно не имеет равномерно непротиворечивого предела, мы должны называть его NaN. Это неопределенно.
Это не вопрос Matlab.
сильно упрощенный «ответ» входящий:
Бесконечность — странная вещь.
Если подойти к нему с пределом, легко увидеть, что 1/x при стремлении x к бесконечности равно 0,9.0003
Деление на 0 — это другое дело. a/b=c «фактически» решает a=b*c. Таким образом, вы видите, что для b = 0 a и c также должны быть равны 0, или c может быть любым, в зависимости от того, как вы берете предел. Чтобы это не нарушало другие математические вычисления, деление на 0 обычно считается неопределенным. (или sign(a)*inf, как это делает Matlab, за исключением 0/0, что приводит к NaN)
1/0 — бесконечность
2/0 — бесконечность
3/0 — бесконечность
умножить оба стороны на 0:
1 бесконечность*0 ?
2 бесконечность*0 ?
3 бесконечность*0 ?
мы видим, что бесконечность*0 должна быть всеми значениями (кроме, возможно, 0) одновременно. В математике, когда значение может быть любым значением, математика говорит, что результат не определен.
Произошла ошибка
Невозможно выполнить действие из-за изменений, внесенных на страницу.