Сколько пар вертикальных углов образуется при пересечении 2 прямых: Какие углы называются вертикальными? Каким свойством обладают вертикальные углы? Сколько пар

Пересекающиеся линии — объяснения и примеры

Теперь, когда вы изучаете геометрию или классы предварительного вычисления, вы несколько раз столкнетесь с концепцией пересекающихся линий . Вот почему нам нужно понимать концепции, связанные с пересекающимися линиями.

А пока давайте быстро перейдем к определению пересекающихся линий:

Пересекающиеся линии — это линии, которые пересекаются в одной точке.

Удивительно, как простое определение может помочь нам узнать важные свойства углов и систем линейных уравнений. Эта статья поможет нам понять определение, свойства и применение пересекающихся линий.

Определение пересекающихся линий

Пересекающиеся линии — это две или более линий, которые копланарны друг другу и встречаются в общей точке.

Три пары линий, показанные выше, являются примерами пересекающихся линий. Посмотрите, как каждая пара пересекается в точке $ \ boldsymbol {O} $? Мы называем это точкой пересечения . Сегменты линии также могут пересекаться и иметь точку пересечения.

Имейте в виду, что три или более линий могут иметь более одной точки пересечения.

Линии $ \ overline {WX} $, $ \ overline {YZ} $ и $ \ overline {UV} $ пересекаются друг с другом, и, как можно видеть, эти линии имеют три точки пересечения.

• Линии $ \ overline {WX} $ и $ \ overline {UV} $ пересекаются в точке $ \ boldsymbol {O} $.
• Прямые $ \ overline {YZ} $ и $ \ overline {UV} $ пересекаются в точке $ \ boldsymbol {N} $.
• Прямые $ \ overline {WX} $ и $ \ overline {YZ} $ пересекаются в точке $ \ boldsymbol {M} $.

Углы, образованные этими пересекающимися линиями (и линейными сегментами), обладают интересными свойствами, которые мы скоро узнаем в следующих нескольких разделах.

Какие реальные примеры пересекающихся линий?

Один из способов проверить наше понимание определения пересекающихся линий — это подумать о реальных примерах, представляющих пересекающиеся линии.Вы можете придумать что-нибудь? Вот три, которые помогут вам перечислить больше примеров:

• Наши ножницы — отличные примеры объектов, которые пересекаются друг с другом и имеют общую точку.
• Перекрестки также представляют собой пересекающиеся линии, поскольку они встречаются в точках пересечения.
• Линии этажей также пересекаются друг с другом и имеют общие точки пересечения.

Как использовать пересекающиеся линии в координатной геометрии?

Хотите узнать, что означает пересечение двух линий или кривых в координатной геометрии? Ниже приведены лишь некоторые из свойств, которые мы узнаем о пересекающихся линиях в системе координат xy.

• Когда два графика двух функций пересекаются друг с другом, точка пересечения представляет собой решение, когда обе функции приравниваются друг к другу.
• Это также означает, что при пересечении двух линий или графиков их уравнение будет иметь решение.
• Линии, которые пересекаются с осями $ x $ и $ y $, содержат точки пересечения и представляют собой точки пересечения $ x $ и $ y $ соответственно.

Мы узнаем больше обо всех этих основных концепциях, когда углубимся в функции и решим функции с помощью графиков.

А пока давайте рассмотрим общие свойства углов в точке пересечения. В следующих разделах мы также узнаем, как применять их при решении словесных задач, связанных с углами и пересекающимися линиями.

Свойства углов, образованных пересекающимися линиями

Когда две или более прямых пересекаются, они образуют разные углы в точке пересечения.

Линии $ \ overline {AB} $ и $ \ overline {CD} $, например, пересекаются в точке $ \ boldsymbol {O} $.Они также образуют четыре угла в точке пересечения: $ \ angle COA $, $ \ angle COB $, $ \ angle BOD $ и $ \ angle AOD $.

Вы также заметили две пары вертикальных углов? Если вам нужно напомнить, что такое вертикальные углы, вы можете прочитать эту статью о вертикальных углах, которую мы написали ранее. Для случая двух пересекающихся линий, показанных выше, у нас есть следующие вертикальные углы:

• $ \ angle COA $ и $ \ angle BOD $
• $ \ angle COB $ и $ \ angle AOD $

Свойства вертикальных и линейных углов по-прежнему применяются к углам, образованным двумя пересекающимися линиями.

Что происходит с углами, когда третья линия пересекает две пересекающиеся линии посередине?

Применяются те же свойства, и согласно постулату сложения углов угол, пересекаемый третьей пересекающейся линией, создаст два угла, которые в сумме составят величину пересеченного угла.

• Это означает, что сумма $ \ boldsymbol {\ angle SOW} $ и $ \ boldsymbol {\ angle WOU} $ равна $ \ boldsymbol {\ angle SOU} $.
• Аналогично $ \ boldsymbol {\ angle VOX + \ angle XOT = \ angle VOT} $.

Хотите проверить эти концепции? Вы можете попробовать построить четыре пересекающиеся линии и проверить, как ведут себя углы.

Теперь, когда мы узнали об определениях и свойствах пересекающихся линий, пришло время поработать над некоторыми вопросами, чтобы проверить свои знания.

Пример 1

Заполните следующие инструкции: иногда , никогда и всегда .

1. Параллельные линии могут ____________ быть пересекающимися.
2. Перпендикулярные линии могут быть ____________ пересекающимися линиями.
3. Стрелки часов могут ____________ представлять две пересекающиеся линии.
4. Пересекающиеся линии ______________ будут иметь более одной точки пересечения.

Решение

При работе с подобными вопросами всегда полезно вернуться к определению используемых терминов.

• Параллельные линии — это линии, которые никогда не пересекутся, поэтому никогда не пересекутся.
• Перпендикулярные линии, с другой стороны, вместе образуют 90 °, поэтому они всегда будут .
• Стрелки часов пересекаются в общей точке. всегда представляет две пересекающиеся линии.
• Для трех или более пересекающихся линий они могут иногда иметь две или более пересекающихся точек.

Пример 2

Какое из следующих утверждений неверно?

1. Три пересекающиеся линии могут иметь общую точку пересечения.
2. Две пересекающиеся линии образуют две пары вертикальных углов.
3. Две пересекающиеся линии образуют четыре пары вертикальных углов.
4. Три пересекающиеся линии никогда не могут иметь четыре общие точки пересечения.

Решение

Давайте продолжим и рассмотрим каждое из приведенных утверждений.

• Три пересекающиеся линии могут пересекаться только в одной общей точке, поэтому утверждение верно.
• Когда две линии пересекаются, они образуют четыре угла.Каждая пара углов напротив друг друга — это вертикальные углы, так что это утверждение верно.
• Две пересекающиеся линии образуют только четыре угла и две пары вертикальных углов. Это утверждение неверно.
• Максимальное количество точек пересечения между тремя пересекающимися линиями — три, поэтому невозможно иметь четыре общие точки. Следовательно, четвертое утверждение верно.

Пример 3

Постройте линию, которая будет пересекать линию $ \ overline {AB} $.Обозначьте линию и точку пересечения, затем назовите четыре угла, образованные двумя пересекающимися линиями.

Решение

Постройте вторую линию, которая пересекает линию $ \ overline {AB} $. Ниже приведены три пары пересекающихся линий, которые помогут вам создать собственную пару пересекающихся линий.

В трех примерах мы назвали линию пересечения $ \ overline {CD} $ и точку пересечения Point $ O $. Ваше решение может отличаться от приведенного выше, но не беспокойтесь, все они хороши, если две линии пересекаются.

Четыре угла, образованные для пересекающихся прямых, — это $ \ angle AOC $, $ \ angle AOD $, $ \ angle COB $ и $ \ angle BOD $. Если вы пометите строки по-другому, вы получите другой ответ, нежели тот, который мы показали.

Как узнать, правильный ли ваш ответ? Проверьте, есть ли в названиях всех углов одинаковая буква посередине.

Пример 4

Невозможно создать четыре пересекающиеся линии , которые имеют только одну точку пересечения.

Докажите неверное утверждение, построив контрпример.

Решение

Постройте четыре пересекающиеся линии, где все пересекаются в одной общей точке.

Приведенный выше пример является одним из возможных контрпримеров для утверждения. Не стесняйтесь создавать свои собственные, чтобы показать, что утверждение не соответствует действительности.

Используйте изображение, показанное ниже, чтобы ответить на вопросы 5–7 .

Пример 5

Назовите две пары пересекающихся линий и соответствующие им точки пересечения.

Решение

Вот несколько пар линий, которые вы можете обнаружить на изображении, и мы включили их точки пересечения.

• Прямые $ \ overline {RS} $ и $ \ overline {TU} $ пересекаются в точке $ \ boldsymbol {A} $.
• Прямые $ \ overline {PQ} $ и $ \ overline {VW} $ пересекаются в точке $ \ boldsymbol {D} $.
• Прямые $ \ overline {PQ} $ и $ \ overline {TU} $ пересекаются в точке $ \ boldsymbol {B} $.
• Прямые $ \ overline {PQ} $ и $ \ overline {RS} $ пересекаются в точке $ \ boldsymbol {E} $.
• Прямые $ \ overline {VW} $ и $ \ overline {RS} $ пересекаются в точке $ \ boldsymbol {C} $.

Удалось ли вам найти две пары из списка, который у нас есть? Попытайтесь найти оставшиеся три, чтобы помочь вам освоить эту концепцию!

Пример 6

Назовите три отрезка прямой, которые имеют общую точку пересечения.

Решение

Помните, что отрезки линии также могут пересекаться. Вот два примера трех линейных сегментов, имеющих общую точку пересечения.

• Отрезки прямых $ \ overline {AC} $, $ \ overline {DC} $ и $ \ overline {EC} $ пересекаются в точке $ \ boldsymbol {C} $.
• Отрезки прямых $ \ overline {BD} $, $ \ overline {CD} $ и $ \ overline {ED} $ пересекаются в точке $ \ boldsymbol {D} $. {\ circ} $, каким будет значение $ \ angle RAT $?

  Решение

  Помните, что два вертикальных угла, образованные парой пересекающихся линий, встретятся в их общей точке пересечения.{\ circ} $, каков угол $ \ angle BOA $?

Решение

Постройте две пересекающиеся прямые с точкой пересечения $ \ boldsymbol {O} $.

Вы можете увидеть четыре угла, образованные в точке пересечения. Это следующие углы: $ \ angle AOC $, $ \ angle BOD $, $ \ angle AOB $ и $ \ angle COD $.

Обратите внимание на две пары вертикальных углов — каждая пара обращена друг напротив друга.

Это означает, что две пары вертикальных углов:

• $ \ angle AOC $ и $ \ angle BOD $
• $ \ angle AOB $ и $ \ angle COD $

Поскольку $ \ angle AOC $ и $ \ angle BOD $ — вертикальные углы, их угловые меры равны.{\ circ} $.

При работе с пересекающимися линиями и связанными с ними проблемами со словами всегда возвращайтесь к его основному определению и свойствам. Попробуйте выполнить еще несколько практических задач ниже, чтобы еще больше закрепить свои знания о пересекающихся линиях.

Практические вопросы

1. Определите, верны ли следующие утверждения. Если утверждение неверно, замените подчеркнутое слово, чтобы утверждение было правильным.

Пересекающиеся линии никогда не могут иметь общую точку .

Две пересекающиеся линии могут иногда две точки пересечения.

Пересекающиеся линии — это некопланарных прямых, которые пересекаются в одной точке.

Две пересекающиеся линии могут образовывать две пары вертикальных углов.

2. Постройте линию, которая будет пересекать линию $ \ overline {XY} $. Обозначьте линию и точку пересечения, затем назовите четыре угла, образованные двумя пересекающимися линиями.
2. Докажите, что утверждение неверно, построив контрпример. {\ circ} $, каким будет значение \ angle UCR $?

   6.{\ circ} $, какова угловая мера $ \ angle MOP $?

   Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

   Вертикальные углы — теорема, доказательство, вертикально противоположные углы

   Часто задаваемые вопросы о вертикальных углах

   Что такое вертикальные углы в геометрии?

   Вертикальные углы образуются при пересечении двух линий. Из 4 образованных углов противоположные друг другу углы являются вертикальными.Их также называют «вертикально противоположными углами». Эти углы всегда равны.

   ☛Также прочитайте

   Конгруэнтны ли вертикальные углы?

   Когда две прямые линии пересекаются друг с другом, образуются вертикальные углы. Вертикальные углы всегда совпадают и равны. Вертикальные углы совпадают, поскольку две пары несмежных углов, образованных пересечением двух линий, накладываются друг на друга.

   ☛Проверьте и прочтите

   Вертикальные углы являются дополнительными?

   Когда сумма любых двух углов составляет 180 °, мы называем их дополнительными углами.Если есть случай, когда вертикальные углы равны прямым углам или равны 90 °, то каждый вертикальный угол равен 90 °. Следовательно, сумма этих двух углов будет равна 180 °. Так что в таких случаях можно сказать, что вертикальные углы являются дополнительными. Следует отметить, что это особый случай, в котором вертикальные углы являются дополнительными. В противном случае, во всех остальных случаях, когда значение каждого из вертикальных углов меньше или больше 90 градусов, они не являются дополнительными.

   ☛Проверьте разницу между следующим:

   Что такое теорема о вертикальном угле?

   Теорема о вертикальном угле утверждает, что углы, образованные двумя пересекающимися линиями, которые называются вертикальными углами, совпадают.Вертикальные углы имеют одинаковые размеры. Например, если ∠a, ∠b, ∠c, ∠d — это 4 угла, образованные двумя пересекающимися линиями, а ∠a вертикально противоположен ∠b, а ∠c вертикально противоположен ∠d, то ∠a конгруэнтно ∠ b и ∠c конгруэнтно ∠d.

   Могут ли вертикальные углы быть прямыми?

   Да, вертикальные углы могут быть прямыми. Когда два противоположных вертикальных угла составляют 90 ° каждый, тогда говорят, что вертикальные углы являются прямыми углами. Это можно наблюдать по линиям оси x и оси y декартовой диаграммы.

   ☛Отъезд

   Как измерить значение вертикального угла?

   Решая такие случаи, сначала нужно внимательно соблюдать заданные параметры. Если задан угол рядом с вертикальным углом, то значение вертикальных углов легко определить путем вычитания данного значения из 180 градусов в Поскольку в геометрии доказано, что вертикальный угол и прилегающий к нему угол являются дополнительными (180 °). друг другу.

   Как определить, является ли угол смежным или вертикальным?

   Вертикальные углы — это углы, образующиеся при пересечении двух прямых.Противоположные углы, образованные этими линиями, называются вертикально противоположными углами. В то время как смежные углы — это два угла, которые имеют одно общее плечо и вершину.

   Могут ли вертикальные углы быть смежными?

   Вертикальные углы противоположны друг другу, тогда как смежные углы находятся рядом друг с другом. Таким образом, вертикальные углы никогда не могут примыкать друг к другу.

   Всегда ли совпадают вертикальные углы?

   Да, вертикальные углы всегда совпадают. Пересечение двух прямых составляет 4 угла.При этом образуются две пары вертикальных углов. Они равны по меру и конгруэнтны.

   вертикальных углов | Определение, теорема и примеры (видео)

   В этом уроке используются два слова, которые часто неправильно понимают: вертикальный и дополнительный . Слово «вертикальный» обычно означает «вверх и вниз», но с вертикальными углами оно означает «относящийся к вершине» или углу. Дополнительный в математике означает «прибавление к 90 °», но это также прилагательное, обычно используемое для обозначения «объединение таким образом, чтобы что-то усилить», например, два человека с дополнительными навыками — например, один готовит, а другой печет.

   Держите в уме математическое значение этих двух слов, и вы четко определите вертикальные углы и дополнительные углы.

   Содержание

   1. Определение вертикальных углов
   2. Теорема о вертикальных углах
3. Пример дополнительных углов
4. Что такое вертикальные углы?

Определение вертикальных углов

Когда две прямые пересекаются в геометрии, они образуют четыре угла. Углы прицела — углы, противоположные друг другу.Любые две пересекающиеся линии образуют две пары вертикальных углов, например:

При беглом взгляде на рисунок возникает несколько назойливых вопросов:

1. Вертикальные углы совпадают?
2. Смежны ли вертикальные углы?
3. Вертикальные углы являются дополнительными?
4. Вертикальные углы дополняют друг друга?

Давайте займемся этим по очереди. Возьмите два прямых предмета, например бамбуковые шпажки или карандаши. Перебросьте их так, чтобы они пересеклись и образовали две пары углов.Теперь посмотрите на углы, которые они образуют.

Если вы изучите любую пару противоположных углов в предметах, которые вы выбросили, вы увидите, что они имеют общую точку в своих вершинах, своих углах. Это делает их вертикальными углами. Вы также заметите, что, большие или маленькие, они кажутся зеркальными отражениями друг друга. Они есть; они имеют одинаковый угол, отраженный поперек вершины.

Теорема о вертикальных углах

Вертикальные углы Теорема утверждает, что вертикальные углы, углы, которые расположены друг напротив друга и образованы двумя пересекающимися прямыми линиями, совпадают.Вертикальные углы всегда совпадают, поэтому, когда кто-то задает следующий вопрос, вы уже знаете ответ.

Конгруэнтны ли вертикальные углы?

Да, согласно теореме о вертикальном угле, независимо от того, как вы бросаете шпажки или карандаши, чтобы они пересекались, или как пересекаются две пересекающиеся линии, вертикальные углы будут всегда совпадать или равны друг другу. Это закреплено в математике в теореме о вертикальных углах.

Смежны ли вертикальные углы?

Вертикальные углы по определению не могут быть рядом с (рядом друг с другом).Другая пара вертикальных углов прерывается, поскольку противоположных углов являются вертикальными. Смежные углы берут один угол из одной пары вертикальных углов и другой угол из другой пары вертикальных углов.

Вертикальные углы являются дополнительными?

Дополнительные углы добавляют к 180 °, и только одна конфигурация пересекающихся линий дает дополнительные вертикальные углы; когда пересекающиеся линии перпендикулярны.

Это становится очевидным, когда вы понимаете противоположные, совпадающие вертикальные углы, называя их обязательным решением этого простого алгебраического уравнения:

2a = 180 °

а = 90 °

У вас есть шанс 1 к 90 случайным образом получить дополнительные вертикальные углы в результате случайного выброса двух отрезков прямой так, чтобы они пересекались.

В то время как вертикальные углы не всегда являются дополнительными, смежные углы всегда являются дополнительными . Возьмите любые два смежных угла из четырех углов, образованных двумя пересекающимися линиями. Эти два смежных угла всегда будут составлять 180 °. Мы можем убедиться в этом, если начнем с верхнего левого угла и обойдем цифру по часовой стрелке:

• EMI является дополнением к IMU и ∠EMP
• IMU является дополнением к PMU и EMI
• ∠UMP является дополнением к IMU и EMP
• ∠EMP является дополнением к EMI и ∠UMP

Вертикальные углы дополняют друг друга?

Если вертикальные углы не всегда являются дополнительными, составляют ли они по крайней мере дополнительных углов , то есть в сумме с 90 °?

Опять же, мы можем использовать алгебру для подтверждения того, что очевидно на рисунках для вертикальных углов a:

2a = 90 °

а = 45 °

Только когда вертикальные углы a составляют 45 °, они могут быть дополнительными. Острые вертикальные углы могут быть дополнительными; у вас есть шанс 1 из 45.

Пример дополнительных углов

Дополнительные углы добавляют к 90 °. Дополнительные углы не обязательно соединять с общей вершиной, точкой или линией. Они могут быть смежными или вертикальными на пересекающихся линиях. Они могут быть в двух разных многоугольниках, если сумма их углов равна точно 90 °. Дополнительные углы — это острые углы.

В большинстве случаев вы можете найти только один дополнительный угол, если вы знаете меру его дополнительного угла.Если вам говорят, что треугольник имеет ∠T, дополнительный к P в неправильном пятиугольнике, вы ничего не можете знать о двух углах, кроме того, что оба они острые.

Если, однако, мы скажем, что inP в пятиугольнике составляет 57 °, тогда мы сразу узнаем отсутствующее ∠T, угол составляет 33 °:

90 ° — 57 ° = 33 °

Что такое вертикальные углы?

Пара вертикальных углов образуется при пересечении двух прямых. Вертикальные углы противоположны друг другу и имеют общую вершину.Давайте рассмотрим, что еще мы узнали о вертикальных углах:

1. Могут ли вертикальные углы совпадать?
2. Могут ли вертикальные углы быть дополнительными?
3. Когда вертикальные углы будут дополнять друг друга?

Для № 1, мы надеемся, вы сказали, что вертикальные углы всегда совпадают!

Для № 2, вы сказали, что вертикальные углы являются дополнительными, только когда линии перпендикулярны?

Для № 3 вы писали, что вертикальные углы будут дополнять друг друга, только если каждый из них составляет 45 °?

Можно так много узнать об углах и соотношениях углов.

Следующий урок:

Теорема о средней точке

пересекающихся линий и углов | Справка по геометрии

Две пересекающиеся линии образуют 4 угла. Мы называем два угла, которые находятся рядом друг с другом и образуют прямую линию, «линейной парой» или «дополнительными углами», и их сумма составляет 180 °.

Почему? Возьмем отрезок прямой (AB) и начнем вращать его вокруг одной из конечных точек:

Угол, образованный между исходным отрезком (AB0) и последующими положениями (AB1, AB2…), продолжает расти.Когда мы завершаем полный круг, угол составляет 360 °, потому что, как мы сказали выше, это то, что измеряет полный круг.

Итак, когда мы поворачиваем достаточно, чтобы образовать полукруг (до точки B3), размер будет 180 °. Мы знаем, что когда мы вращаемся достаточно, чтобы образовать полукруг, из-за симметрии у нас будет прямая линия — мы могли бы повернуть линию в любом направлении, и точка на полпути была бы такой же.

Мы описываем углы, используя следующие обозначения: ∠1 или ∠α, а их размер в градусах — как m∠1 или m∠α.Мы также обычно описываем углы, используя 3 точки, которые их определяют, например: ∠ABC, где B — вершина, а BA и BC — два луча, исходящие из точки B наружу:

Постулат сложения углов

сложение углов постулат утверждает, что если точка P лежит внутри угла B, то m∠ABP + m∠PBC = m∠ABC

Другими словами, мера большего угла является суммой измерений двух внутренних углы, составляющие больший.

Когда две линии пересекаются и образуют 4 угла на пересечении, два угла, которые находятся напротив друг друга, называются «противоположными углами» или «вертикальными углами», и эти вертикальные углы являются «конгруэнтными», то есть имеют одинаковую форму и размер. .Мы говорим, что два угла конгруэнтны, если у них одинаковая мера угла в градусах. Они равны друг другу. Мы отмечаем конгруэнтность с помощью этого символа: ≅.

С определениями и аксиомами, представленными до сих пор, мы можем теперь начать вывод нашей первой теоремы, используя наше первое формальное доказательство, доказывая, что противоположные углы двух пересекающихся прямых совпадают.

—
Теперь, когда мы объяснили основную концепцию пересечения линий и углов в геометрии, давайте прокрутим вниз, чтобы поработать над конкретными геометрическими проблемами, относящимися к этой теме.

Строительные блоки — углы и пересекающиеся линии

Смежные средства «следующий за.» Но мы используем это слово совершенно определенным образом, когда говорим о соседних углы. Изучите эти две фигуры. Учитывается только пара справа чтобы быть смежными, углы c и d . Смежные углы должны иметь общий общая сторона и общая вершина, и они не должны перекрывать друг друга.

Вертикальные углы представляют собой пары углов, образованных двумя пересекающимися прямыми.Вертикальные углы не смежных углов — они противоположны друг другу. На этой диаграмме углы a и c — вертикальные углы, а углы b и d — вертикальные углы. Вертикальные углы совпадают.

Эти две строки параллельны и разрезаются на поперечную, что является всего лишь названием, данным линия, пересекающая две или более линий в разных точках.Восемь углов появляются в четырех соответствующих парах, имеющих одинаковую меру, поэтому, следовательно, конгруэнтны.

Эти четыре соответствующих пары:

углы a и e
углы c и g
углы b и f
углы d и h

Углы, которые лежат во внутренней области или в области между двумя линиями, которые разрезаются поперечные, называются внутренними углами.Уголки c, d, e и f внутренние углы. Углы a, b, g, и h лежат снаружи. площади, и их называют «внешними углами».

ср назовем углы на противоположных сторонах от поперечных альтернативных углов. Углы c и f и d и e — это альтернативные внутренние углы. Уголки a и h , и b и g , имеют альтернативный внешний вид. углы.Обратите внимание, что эти альтернативные пары также совпадают.

При поперечном отрезает две непараллельные линии, как показано здесь, все равно образует восемь углы — четыре соответствующие пары. Однако соответствующие пары не совпадают, как это происходит с параллельными линиями.

назад наверх

открытых учебников | Сиявула

Математика

Наука

• • Читать онлайн

  • Учебники

    • Английский

      • Класс 7A

      • Марка 7Б

      • 7 класс (A и B вместе)

    • Африкаанс

      • Граад 7А

      • Граад 7Б

      • Граад 7 (A en B saam)

  • Пособия для учителя

• • Читать онлайн

  • Учебники

    • Английский

      • Марка 8A

      • Марка 8Б

      • Оценка 8 (вместе A и B)

    • Африкаанс

      • Граад 8А

      • Граад 8Б

      • Граад 8 (A en B saam)

  • Пособия для учителя

• • Читать онлайн

  • Учебники

    • Английский

      • Марка 9А

      • Марка 9Б

      • 9 класс (A и B вместе)

    • Африкаанс

      • Граад 9А

      • Граад 9Б

      • Граад 9 (A en B saam)

  • Пособия для учителя

• • Читать онлайн

  • Учебники

    • Английский

      • Класс 4A

      • Класс 4Б

      • Класс 4 (вместе A и B)

    • Африкаанс

      • Граад 4А

      • Граад 4Б

      • Граад 4 (A en B saam)

  • Пособия для учителя

• • Читать онлайн

  • Учебники

    • Английский

      • Марка 5A

      • Марка 5Б

      • Оценка 5 (вместе A и B)

    • Африкаанс

      • Граад 5А

      • Граад 5Б

      • Граад 5 (A en B saam)

  • Пособия для учителя

• • Читать онлайн

  • Учебники

    • Английский

      • Класс 6A

      • класс 6Б

      • 6 класс (A и B вместе)

    • Африкаанс

      • Граад 6А

      • Граад 6Б

      • Граад 6 (A en B saam)

  • Пособия для учителя

Наша книга лицензионная

Эти книги не просто бесплатные, они также имеют открытую лицензию! Один и тот же контент, но разные версии (брендированные или нет) имеют разные лицензии, как объяснено:

CC-BY-ND (фирменные версии)

Вам разрешается и поощряется свободное копирование этих версий.Вы можете делать ксерокопии, распечатывать и распространять их сколь угодно часто. Вы можете скачать их на свой мобильный телефон, iPad, ПК или флешку. Вы можете записать их на компакт-диск, отправить по электронной почте или загрузить на свой веб-сайт. Единственным ограничением является то, что вы не можете адаптировать или изменять эти версии учебников, их содержание или обложки, поскольку они содержат соответствующие бренды Siyavula, спонсорские логотипы и одобрены Департаментом базового образования. Для получения дополнительной информации посетите Creative Commons Attribution-NoDerivs 3.0 Непортированный.

Узнайте больше о спонсорстве и партнерстве с другими, которые сделали возможным выпуск каждого из открытых учебников.

CC-BY (безымянные версии)

Эти небрендовые версии одного и того же контента доступны для вас, чтобы вы могли делиться ими, адаптировать, трансформировать, изменять или дополнять их любым способом, с единственным требованием — дать соответствующую оценку Siyavula.

No related posts.