Сколько пар вертикальных углов образуется при пересечении 2 прямых: Какие углы называются вертикальными? Каким свойством обладают вертикальные углы? Сколько пар

Содержание

Урок-презентация по геометрии для 7 класса "Разнообразные углы"

математика Углы 7 класс УМК 7-9 кл, Атанасян Учитель: Чудинова Алена Сергеевна

 Девиз нашего урока «Думаем, мыслим, работаем и помогаем друг другу».

Цель урока: ознакомить учащихся с понятиями смежных углов, вертикальных углов, односторонних углов, накрест лежащих углов; рассмотреть их свойства

Изобразите любую фигуру состоящую из следующих геометрических фигур

Углы: смежные вертикальные Накрест лежащие односторонние

смежные Смежные углы — это углы, у которых одна сторона — общая, а другие стороны лежат на одной прямой.   ∠1 и ∠2 — смежные углы Сколько смежных углов образуется при пересечении двух прямых?

При пересечении двух прямых образуется четыре пары смежных углов: ∠1 и ∠2, ∠3 и ∠4, ∠1 и ∠3,  ∠2 и ∠4

Свойство смежных углов. Сумма смежных углов равна 180º. Задача: Угол 1 равен 38 градусов, сколько градусов равен смежный с ним угол?

Вертикальные углы Вертикальные углы — это пары углов с общей вершиной, которые образованы при пересечении двух прямых так, что стороны одного угла являются продолжением сторон другого. ∠1 и ∠2  — вертикальные углы    

Свойство вертикальных углов. Вертикальные углы равны.                                       ∠AOC =∠BOD                                      ∠AOD =∠BOC  

Односторонние углы Две прямые разбивают плоскость на части. Та часть, которая лежит между прямыми — внутренняя. Углы, которые расположены в этой части, так и называются — внутренние. Внутренние односторонние углы — это углы, которые лежат внутри между прямыми по одну сторону от секущей (поэтому они так и называются).

При пересечении двух прямых секущей образуется две пары внутренних односторонних углов.                                        ∠1 и∠2 ∠3 и∠4 - внутренние односторонние углы при прямых a и b и секущей c.

Свойства внутренних односторонних углов, образованных параллельными прямыми и секущей Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сумма внутренних односторонних углов равна 180º.                                        Если a ∥ b, то ∠1 +∠2 =180º (как внутренние односторонние при  a ∥ b и секущей c).  

Накрест лежащие углы накрест лежащие углы — это углы, которые лежат во внутренней области по разные стороны от секущей (накрест друг от друга).

Свойства накрест лежащих углов: Накрест лежащие углы равны. Задача: Назвать все углы с рисунка

Урок геометрии в 7 классе. "Смежные и вертикальные углы"

Урок геометрии в 7 классе

Смежные и вертикальные углы

Цель урока: ввести понятие «смежных» и «вертикальных» углов; рассмотреть их свойства; научить учащихся строить такие углы, находить на рисунках вертикальные и смежные углы; сформировать умения и навыки применять полученные знания свойств углов при решении задач; воспитывать аккуратность при выполнении рисунков в тетрадях и на доске, трудолюбие; развивать мышление, память, самостоятельность в учебной деятельности.

Тип урока: усвоение новых знаний

Ход урока:

  1. Организационный момент. Мотивация учебной деятельности.

  2. Актуализация опорных знаний.

Фронтальный опрос по технологии «Микрофон»

  1. Объясните, что такое луч. Как обозначаются лучи?

  2. Какая фигура называется углом? Как обозначается угол?

  3. Какой угол называется развернутым?

  4. Какой луч называется биссектрисой угла?

  5. Что такое градусная мера угла?

  6. Какой угол называется острым? прямым? тупым?

  7. Луч AD проходит между сторонами угла CAK. Найдите градусную меру угла CAK, если , .

  1. Сообщение темы и цели урока.

  2. Изучение нового материала.

Задание классу (один учащийся работает возле доски)

  • Нарисуйте два угла, у которых одна сторона общая

Рис. 1 рис. 2 рис. 3

Сколько углов изображено на каждом из этих рисунков?

На каждом рисунке по три угла, два из которых имеют общую сторону.

- понятие смежных углов

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжением одна другой, называются смежными.

Какое свойство измерения углов можно применить к ним?

На 1 и 3 рисунках угол АОС равен сумме углов АОВ и ВОС.

Можно ли назвать градусную меру каких-то из изображенных углов?

На рис.1 угол АОС равен 1800.

Проанализируйте, то что вы видите на рис.1 и сделайте вывод.

Два угла имеют общую сторону, а две другие стороны образуют развернутый угол, т.е. их сумма 1800.

Строим смежные углы, аналогично рис.1 и записываем свойство:

AOB + BОС = 1800.

Свойство смежных углов: Сумма смежных углов равна 1800.

Задание классу:

Учитель на доске строит произвольный острый угол .

  • Сколько углов, смежных с данным можно построить?

  • Даны два смежных угла и , = 300. Найдите .

  • Если один из смежных углов тупой (прямой, острый), то каким будет второй угол?

- понятие вертикальных углов

Постройте в тетрадях две пересекающиеся в точке О прямые АВ и СМ.

Сколько получилось неразвернутых углов? Пусть один из тупых углов равен 1300. Найдите остальные три угла и сделайте вывод.

При пересечении двух прямых, сколько неразвернутых углов образуется?

Назовите их (

Назовите углы , которые не являются смежными ( .

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Задание классу:

  • Какой предмет домашней обстановки дает вам представление о вертикальных углах? (Ножницы)

  • Сколько пар вертикальных углов образуется при пересечении двух прямых? (Две)

Свойство вертикальных углов: Вертикальные углы равны.

( т.к. - смежные и их сумма равна 1800)

(т.к. - смежные и их сумма равна 1800)

- вертикальные углы

  1. Закрепление новых знаний и умений учащихся.

  1. Могут ли два смежных угла быть равными: 1) 360 и1540; 2) 590 и 1210; 3) 930 и 770? Ответ обоснуйте.

  2. Верно ли утверждение, что для каждого угла можно построить только один: 1) вертикальный угол; 2) смежный угол?

  3. Найдите величину каждого из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, если:

  1. Сумма двух из них равна 980;

  2. Разность двух из них равна 580;

  3. Все углы равны между собой;

  4. Сумма трех из них равна 2860.

  1. Итоги урока

  2. Домашнее задание № 61(а,б,г), 66(а)

Смежные и вертикальные углы. Определения и свойства.

Смежные и вертикальные углы.

Напомним, что угол – это геометрическая фигура, состоящая из двух лучей, имеющих общее начало. По своему взаимному расположению углы объединяются в группы. Две такие группы мы изучим сегодня.

Смежные углы.

Изобразим прямую , отметим на ней точку . Получили развёрнутый угол . Проведём произвольный луч с началом в точке .


Луч разделил развёрнутый угол на два угла: и . Эти два угла и являются смежными.

Определение. Смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными полупрямыми.

На рисунке сверху – общая сторона, и – дополнительные полупрямые. (Напомним, что дополнительные полупрямые – это две полупрямые, лежащие на одной прямой, имеющие общее начало и направленные в разные стороны).

Поскольку смежные углы вместе составляют развёрнутый угол, то они обладают следующим свойством:

ТЕОРЕМА: Сумма смежных улов равна .

Дано: и – смежные

Доказать:

Доказательство.

По определению смежных углов, луч является общей стороной углов и , значит, он проходит между сторонами угла . По аксиоме V (градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается каким-нибудь лучом, проходящим между его сторонами) можем записать равенство:

Опять-таки, по определению смежных углов, лучи и – дополнительные, значит, образуют развёрнутый угол . А развёрнутый угол имеет градусную меру, равную . Значит,

ч.т.д.

Из этой теоремы выходят три следствия, которые предлагаются для самостоятельного доказательства.

Следствие 1. Если два угла равны, то смежные с ними углы тоже равны.

Следствие 2. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Следствие 3. Угол, смежный с острым углом, - тупой; угол, смежный с тупым углом, - острый.

Вертикальные углы.

Смежные углы | Треугольники

Что такое смежные углы? Какие у них свойства?

Определение.

Смежные углы — это углы, у которых одна сторона — общая, а другие стороны лежат на одной прямой.

 

∠1 и ∠2 — смежные углы

 

Сколько смежных углов образуется при пересечении двух прямых?

При пересечении двух прямых образуется четыре пары смежных углов:

∠1 и ∠2, ∠3 и ∠4,

∠1 и ∠3,  ∠2 и ∠4

Но, так как ∠1 =∠4,  ∠2=∠3 (как вертикальные), то достаточно рассмотреть только одну из этих пар.

Свойство смежных углов.

Сумма смежных углов равна 180º.

Задачи.

1) Даны два смежных угла. Один на 42 градуса больше другого. Найти эти углы.

Дано:

∠AOC и ∠BOC — смежные,

∠AOC на 42º  больше, чем ∠BOC

Найти: ∠AOC и ∠BOC.

Решение:

Пусть ∠BOC=хº, тогда ∠AOC= х+42º. Так как сумма смежных углов равна 180º, то ∠BOC+∠AOC=180º.

Имеем уравнение:

х+х+42=180

2х=180-42

2x=138

x=69

Значит, ∠BOC= 69º, ∠AOC=69+42=111º.

Ответ: 69º и 111º.

2) Найти смежные углы, если их градусные меры относятся как 4:5.

Дано:

∠1 и ∠2 — смежные,

∠1 : ∠2= 4:5

Найти:∠1 и ∠2

Решение:

Пусть k — коэффициент пропорциональности. Тогда ∠2 =4kº , ∠1=5kº. Так как сумма смежных углов равна 180º, ∠1 +∠2=180º.

Имеем уравнение:

4k+5k=180

9k=180

k=20

Значит, смежные углы равны 4∙20=80º и 5∙20=100º.

Ответ: 80º и 100º.

3) Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, в 5 раз больше другого. Найти эти углы.

Дано: AB и CD — прямые, O — точка их пересечения,

∠AOD  в 5 раз больше, чем ∠BOD

Найти: ∠AOD, ∠BOD

Решение:

При пересечении двух прямых образуются смежные и вертикальные углы. Так как вертикальные углы равны между собой, то углы∠AOD и ∠BOD —  смежные. Пусть ∠BOD=xº, тогда ∠AOD=5xº. Так как сумма смежных углов равна 180º, ∠AOD +∠BOD=180º.

Имеем уравнение:

x+5x=180

6x=180

x=30

Значит, ∠BOD=30º, ∠AOD=5∙30=150º.

Ответ: 30º и 150º.

Могут ли смежные углы быть равными?

Да. Если смежные углы равны между собой, то, так как сумма смежных углов равна 180º, каждый из них равен половине суммы, то есть 90º.

Вывод:

угол, смежный с прямым, есть прямой угол.

Могут ли два смежных угла быть тупыми? Острыми?

Нет. Так как градусная мера тупого угла больше 90º, то сумма двух тупых углов больше 180º. А сумма смежных углов равна 180º.

Градусная мера острого угла меньше 90º. Значит, сумма двух острых углов меньше 180º.

Таким образом, в паре смежных углов один — тупой, другой — острый (или оба прямые).

Урок геометрии Смежные и вертикальные углы

«Смежные и вертикальные углы»

Урок геометрии в 7 классе

Цели и задачи урока:

— ввести понятия смежных и вертикальных углов;

— рассмотреть их свойства;

— развивать умение сравнивать, выявлять закономерности, обобщать;

— воспитывать потребность в доказательных рассуждениях;

— воспитывать аккуратность при выполнении рисунков,

— ответственное отношение к учебному труду.

Оборудование: компьютер, проектор, экран

Мультимедийная презентация «Смежные и вертикальные углы».

ХОД УРОКА

I. Актуализация знаний.

Сегодня мы повторим виды уг­лов, их свойства и добавим к знаниям об углах ещё два вида. Чтобы не забыть старых «знакомых», выполним устно задания

  1. Назвать вид каждого угла и указать градусную меру.

2) Дано: АОD = 8DОВ. Найти: DОВ

3) а) АОЕ=300

ЕОС=20°

AOC=?

б) АОС=70°

АОЕ=50°

ЕОС=?

II. Изучение нового материала.

Введение понятия «Смежные углы».

1. Практическая работа. Построим прямую АD и отметим точку С, лежащую между точками А и D. Проведём луч СВ. Получились два угла: АСВ и ВСD. Такие углы принято называть смежными.

Попробуем сформулировать определение смежных углов, но сначала ответим на вопросы:

а) назовите стороны каждого из углов;

б) как связаны между собой стороны смежных углов?;

в) выделить особенности смежных углов (одна сторона общая, две другие являются продолжениями одна другой).

Обратить внимание на слово «смежные» — находящиеся рядом («межа»).

Далее прочитать определение смежных углов в учебнике, подчеркнув те условия, которые должны удовлетворять смежные углы.

2. Усвоение понятия смежных углов.

Найдите пары смежных углов и объясните, почему они смежные.

3. Сформулировать свойство смежных углов. (Предложить это сделать самим учащимся).

4. Закрепление понятия и свойства смежных углов.

Решить из учебника задачу № 80_________________________

5. Введение понятия вертикальных углов.

Практическая работа:

1) проведите луч ОС, являющийся продолжением луча ОА и луч ОD, являющийся продолжением луча ОВ;

2) запишите в тетради: углы АОВ и СОD называются вертикальными.

Вопрос: Сколько пар вертикальных углов образуется при пересечении двух прямых?

Попробуем сформулировать определение вертикальных углов, ответив на вопросы:

1) назвать стороны каждого вертикального угла;

2) как связаны стороны вертикальных углов между собой?

3) выделить особенности вертикальных углов (1-я сторона 1-го угла является продолжением стороны второго, 2-я сторона 1-го угла является продолжением стороны второго).

Далее прочитать определение вертикальных углов в учебнике, подчеркнув те условия, которые должны удовлетворять вертикальные углы.

6. Усвоение понятия вертикальных углов.

Указать пары вертикальных углов на рисунке и объяснить, почему они вертикальные.


7. Обоснование того факта, что вертикальные углы равны, вначале можно провести на конкретном примере:

Задача. Прямые АВ и СD пересекаются в точке О так, что угол АОD равен 350.

Найдите углы АОС и ВОС,

Задачу решить по готовому чертежу.

Вопрос: верно ли утверждение, что любые вертикальные углы равны?

III. Тест.

1. Являются ли смежными углы

а) DОС и DОЕ;

б) DОС и СОВ;

в) DОЕ и АОВ?

2. Являются ли вертикальными углы:

а) DОЕ и СОА;

б) DОА и АОВ;

в) АОВ и DОЕ?

1У. Домашнее задание. _п.6, № 81,82___________________________________

У.Итог урока.

1) что нового вы узнали сегодня на уроке?

2) что было самое трудное на уроке?

3) что помогло с этой трудностью справиться?

Урок 10. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 «НАЧАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ»

Урок 10
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 «Начальные геометрические сведения»

Цели: проверить знания, умение решать задачи и навыки учащихся по теме «Измерение отрезков. Измерение углов. Смежные и вертикальные углы».

Ход урока

I. Организация учащихся на выполнение работы.

II. Выполнение работы по двум (трём) вариантам.

Вариант I

1. Три точки В, С и D  лежат на одной прямой.  Известно,  что ВD =
= 17 см, = 25 см. Какой может быть длина отрезка ВС?

2. Сумма вертикальных углов МОЕ и DОС, образованных при пересечении прямых МС и , равна 204°. Найдите угол МОD.

3. С помощью транспортира начертите угол, равный 78°, и проведите биссектрису смежного с ним угла.

Вариант II

1. Три  точки  МN и K лежат на одной прямой.  Известно, что MN =
= 15 см, NK = 18 см. Каким может быть расстояние МК?

2. Сумма вертикальных углов АОВ и СОD, образованных при пересечении прямых АD и ВС, равна 108°. Найдите угол ВОD.

3. С помощью транспортира начертите угол, равный 132°, и проведите биссектрису одного из смежных с ним углов.

Вариант III
(для более подготовленных учащихся)

1. Лежат ли точки M, N и P на одной прямой, если MP = 12 см, MN =
= 5 см, PN = 8 см?

2. Найдите неразвернутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если разность двух из них равна 37°.

3. На рисунке АВСD, луч ОЕ – биссектриса угла АОD.

Найдите угол СОЕ.

III. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить § 1–6 и подготовиться к устному опросу, который будет проводиться во внеурочное время.

Примерные варианты карточек для устного опроса учащихся.

 

 

Вариант I

1. Какая точка называется серединой отрезка?

2. Отметьте точку С на прямой АВ так, чтобы точка В оказалась серединой отрезка АС.

3. Отрезок длиной 18 см разделен точкой на два неравных отрезка. Чему равно расстояние между серединами этих отрезков?

Вариант II

1. Какой луч называется биссектрисой угла?

2. Начертите угол ВАС, а затем с помощью транспортира и линейки проведите луч АD так, чтобы луч АВ оказался биссектрисой угла САD. Всегда ли это выполнимо?

3. Чему равна градусная мера угла, образованного биссектрисами двух смежных углов?

Вариант III

1. Какие углы называются смежными? Чему равна сумма смежных углов? Могут ли быть смежными прямой и острый углы?

2. Начертите угол, смежный с данным углом. Сколько таких углов можно начертить?

3. Градусные меры двух смежных углов относятся как 3 : 7. Найдите эти углы.

Вариант IV

1. Какие углы называются вертикальными? Каким свойством обладают вертикальные углы? Сколько пар вертикальных углов образуется при пересечении двух прямых?

2. Начертите три прямые АВ, СD и МK, пересекающиеся в точке О. Назовите пары получившихся вертикальных углов.

3. При пересечении двух прямых образовались четыре неразвернутых угла. Найдите эти углы, если сумма трех углов равна 290°.

Вариант V

1. какие прямые называются перпендикулярными? Каким свойством обладают две прямые, перпендикулярные к третьей?

2. Начертите прямую а и отметьте точку М, не лежащую на ней. С помощью чертежного угольника проведите через точку М прямую, перпендикулярную к прямой а.

3. Начертите тупой угол АВС и отметьте точку D вне его. С помощью чертежного угольника через точку D проведите прямые, перпендикулярные к прямым АВ и ВС.

 

 

 

 

I. Анализ контрольной работы.

1. Сообщение итогов контрольной работы.

2. Ошибки, допущенные учащимися в ходе работы.

3. Решение на доске задач, вызвавших затруднения у учащихся

 


 

Тест Смежные и вертикальные углы 7 класс с ответами

Тесты по геометрии 7 класс. Тема: "Смежные и вертикальные углы"

Правильный вариант ответа отмечен знаком +

1. На каком рисунке изображены смежные углы:

- б

+ в

- а

- г

2. Углы ∠1= ∠4, ∠2=50°. Найдите величину угла ∠3

+ 130°

- 50°

- 180°

- 40°

3. Точка O является точкой пересечения трёх прямых. Чему равна сумма углов 1, 2 и 3 равна:

- 90°

- 360°

+ 180°

- 45°

4. Углы AOB и BOC – смежные. Угол AOB больше угла BOC в 4 раза. Чему равен угол BOC равен:

+ 36°

- 72°

- 18°

- 90°

5. Один из смежных углов – тупой. Тогда другой угол:

- тупой

- прямой

+ острый

- развёрнутый

6. Углы MNK и KNL - смежные. Угол MNK равен 127°. Найдите угол KNL.

+ 53°

- 90°

- 180°

- 60°

7. Углы AOB и COD - вертикальные. Угол AOB равен 138°. Найдите угол COD.

- 42°

- 90°

- 180°

+ 138°

8. На каком рисунке изображены вертикальные углы?

- в

+ а

- г

- б

9. Из четырёх углов, образованных при пересечении двух прямых, больший угол равен 110°. Тогда остальные углы равны:

- 110°

- 180°

+ 70°

- 55°

тест 10. Перпендикуляр к прямой a изображён на рисунке:

- б

+ а

- в

- г

11. Прямые FG и TP пересекаются в точке H. Угол FHT равен 39°. Какова градусная мера других углов?

- 78°,52°,52°

- 39°,51°,51°

+ 39°,141°,141°

12. Чему равна сумма смежных углов?

- 90°

+ 180°

- 45°

- 360°

13. Каким свойством обладают вертикальные углы?

- они не равны

+ они равны

- они острые

- их сумма равна 180°

14. Сколько пар вертикальных углов образуется при пересечении двух прямых:

+ 2

- 4

- 6

- 8

15. Найдите сумму углов 1, 2 и 3:

- 160°

- 70°

+ 340°

- 90°

Вертикальные углы - объяснения и примеры

В этой статье мы узнаем , что такое вертикальные углы и , как их вычислить . Прежде чем мы начнем, давайте сначала познакомимся со следующими понятиями о линиях.

Что такое пересекающиеся и параллельные прямые?

Пересекающиеся линии - это прямые линии, которые пересекаются или пересекаются в определенной точке. На рисунке ниже показаны пересекающиеся линии.

Линия PQ и линия ST пересекаются в точке Q. Следовательно, эти две линии пересекаются.

Параллельные линии - это прямые, которые не пересекаются ни в одной точке на плоскости.

Прямые AB и CD - параллельные прямые, потому что они не пересекаются ни в одной точке.

Что такое вертикальные углы?

Вертикальные углы - это парные углы, образующиеся при пересечении двух прямых. Вертикальные углы иногда называют вертикально противоположными углами, потому что эти углы противоположны друг другу.

Реальные настройки, в которых используются вертикальные углы, включают: знак железнодорожного переезда, буква « X », открытые ножницы и т. д. Египтяне рисовали две пересекающиеся линии и всегда измеряли вертикальные углы, чтобы убедиться, что они равны.

Вертикальные углы всегда равны . В целом можно сказать, что при пересечении двух прямых образуются 2 пары вертикальных углов. См. Схему ниже.

На диаграмме выше:

  • ∠a и ∠b - вертикальные противоположные углы.Эти два угла также равны, т.е. ∠a = ∠
  • ∠c и ∠d составляют еще одну пару вертикальных углов, и они тоже равны.
  • Мы также можем сказать, что два вертикальных угла имеют общую вершину (общую конечную точку двух или более линий или лучей).

Доказательство теоремы о вертикальном угле

Мы можем доказать это на диаграмме выше.

Мы знаем, что угол b и угол d являются дополнительными углами, т.е.

Мы также знаем, что угол a и угол d являются дополнительными углами i.е.

Мы можем переставить приведенные выше уравнения:

Сравнивая два уравнения, мы имеем:

Следовательно, доказано.

Вертикальные углы - это дополнительные углы, когда линии пересекаются перпендикулярно.

Например, , ∠W и ∠ Y - это вертикальные углы, которые также являются дополнительными углами. Аналогично, ∠X и ∠Z - вертикальные углы, которые являются дополнительными.

Как найти вертикальные углы?

Не существует специальной формулы для вычисления вертикальных углов, но вы можете определить неизвестные углы, соотнося разные углы, как показано в примерах ниже.

Пример 1

Рассчитайте неизвестные углы на следующем рисунке.

Решение

∠ 47 0 и ∠ b - вертикальные углы. Следовательно, ∠ b также равно 47 0 (вертикальные углы равны или равны).

∠47 0 и ∠ a - дополнительные углы. Следовательно, ∠a = 180 0 - 47 0

⇒∠a = 133 0

a и ∠ c - вертикальные углы.Следовательно, c = 133 0

Пример 2

Определите значение θ на диаграмме, показанной ниже.

Решение

На диаграмме выше ∠ (θ + 20) 0 и ∠ x - вертикальные углы. Следовательно,

∠ (θ + 20) 0 = ∠ x

Но 110 0 + x = 180 0 (дополнительные углы)

x = (180 - 110) 0

= 70 0

Подставим x = 70 0 в уравнение;

⇒ (θ + 20) 0 = ∠ 70 0

⇒ θ = 70 0 - 20 0 = 50 0

Следовательно, значение θ составляет 50 градусов.

Пример 3

Рассчитайте значение угла y на рисунке, показанном ниже.

Решение

140 0 + z = 180 0

z = 180 0 -140 0

z = 40 0

Но (x + y) + z = 180 0

(x + y) + 40 0 = 180 0

x + y = 140 0

90 0 + y = 140 0

y = 50 0

Пример 4

Если 100 0 и (3x + 7) ° - вертикальные углы, найдите значение x.

Решение

Вертикальные углы равны, следовательно;

(3x + 7) 0 = 100 0

3x = 100-7

3x = 93

x = 31 0

Следовательно, значение x равно 31 градусу.

Применение вертикальных углов (h4)

Вертикальные углы имеют множество применений, которые мы видим или испытываем в повседневной жизни.

  • Американские горки устанавливаются под определенным углом для правильной работы.Эти углы настолько важны, что если бы они сместились на градус выше или ниже, возникла бы вероятность аварии. Максимальный вертикальный угол, установленный для американских горок ( Mumbo Jumbo , Flamingo Land’s ), составляет 112 градусов.
  • На авиашоу мы видим два следа пара, которые пересекаются друг с другом и образуют вертикальные углы.
  • Знаки железнодорожных переездов (X), размещенные на дорогах для обеспечения безопасности транспортных средств.
  • Воздушный змей, где две деревянные палки пересекаются и удерживают воздушный змей.
  • Дартс имеет 10 пар вертикальных углов, где «яблочко» является виртуальной вершиной.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Пересекающиеся линии - объяснения и примеры

Теперь, когда вы изучаете геометрию или классы предварительного вычисления, вы несколько раз столкнетесь с концепцией пересекающихся линий . Вот почему нам нужно понимать концепции, связанные с пересекающимися линиями.

А пока давайте быстро перейдем к определению пересекающихся линий:

Пересекающиеся линии - это линии, которые пересекаются в одной точке.

Удивительно, как простое определение может помочь нам узнать важные свойства углов и систем линейных уравнений. Эта статья поможет нам понять определение, свойства и применение пересекающихся линий.

Определение пересекающихся линий

Пересекающиеся линии - это две или более линий, которые копланарны друг другу и встречаются в общей точке.

Три пары линий, показанные выше, являются примерами пересекающихся линий. Посмотрите, как каждая пара пересекается в точке $ \ boldsymbol {O} $? Мы называем это точкой пересечения . Сегменты линии также могут пересекаться и иметь точку пересечения.

Имейте в виду, что три или более линий могут иметь более одной точки пересечения.

Линии $ \ overline {WX} $, $ \ overline {YZ} $ и $ \ overline {UV} $ пересекаются друг с другом, и, как можно видеть, эти линии имеют три точки пересечения.

  • Линии $ \ overline {WX} $ и $ \ overline {UV} $ пересекаются в точке $ \ boldsymbol {O} $.
  • Прямые $ \ overline {YZ} $ и $ \ overline {UV} $ пересекаются в точке $ \ boldsymbol {N} $.
  • Прямые $ \ overline {WX} $ и $ \ overline {YZ} $ пересекаются в точке $ \ boldsymbol {M} $.

Углы, образованные этими пересекающимися линиями (и линейными сегментами), обладают интересными свойствами, которые мы скоро узнаем в следующих нескольких разделах.

Какие реальные примеры пересекающихся линий?

Один из способов проверить наше понимание определения пересекающихся линий - это подумать о реальных примерах, представляющих пересекающиеся линии.Вы можете придумать что-нибудь? Вот три, которые помогут вам перечислить больше примеров:

  • Наши ножницы - отличные примеры объектов, которые пересекаются друг с другом и имеют общую точку.
  • Перекрестки также представляют собой пересекающиеся линии, поскольку они встречаются в точках пересечения.
  • Линии этажей также пересекаются друг с другом и имеют общие точки пересечения.

Как использовать пересекающиеся линии в координатной геометрии?

Хотите узнать, что означает пересечение двух линий или кривых в координатной геометрии? Ниже приведены лишь некоторые из свойств, которые мы узнаем о пересекающихся линиях в системе координат xy.

  • Когда два графика двух функций пересекаются друг с другом, точка пересечения представляет собой решение, когда обе функции приравниваются друг к другу.
  • Это также означает, что при пересечении двух линий или графиков их уравнение будет иметь решение.
  • Линии, которые пересекаются с осями $ x $ и $ y $, содержат точки пересечения и представляют собой точки пересечения $ x $ и $ y $ соответственно.

Мы узнаем больше обо всех этих основных концепциях, когда углубимся в функции и решим функции с помощью графиков.

А пока давайте рассмотрим общие свойства углов в точке пересечения. В следующих разделах мы также узнаем, как применять их при решении словесных задач, связанных с углами и пересекающимися линиями.

Свойства углов, образованных пересекающимися линиями

Когда две или более прямых пересекаются, они образуют разные углы в точке пересечения.

Линии $ \ overline {AB} $ и $ \ overline {CD} $, например, пересекаются в точке $ \ boldsymbol {O} $.Они также образуют четыре угла в точке пересечения: $ \ angle COA $, $ \ angle COB $, $ \ angle BOD $ и $ \ angle AOD $.

Вы также заметили две пары вертикальных углов? Если вам нужно напомнить, что такое вертикальные углы, вы можете прочитать эту статью о вертикальных углах, которую мы написали ранее. Для случая двух пересекающихся линий, показанных выше, у нас есть следующие вертикальные углы:

  • $ \ angle COA $ и $ \ angle BOD $
  • $ \ angle COB $ и $ \ angle AOD $

Свойства вертикальных и линейных углов по-прежнему применяются к углам, образованным двумя пересекающимися линиями.

Что происходит с углами, когда третья линия пересекает две пересекающиеся линии посередине?

Применяются те же свойства, и согласно постулату сложения углов угол, пересекаемый третьей пересекающейся линией, создаст два угла, которые в сумме составят величину пересеченного угла.

  • Это означает, что сумма $ \ boldsymbol {\ angle SOW} $ и $ \ boldsymbol {\ angle WOU} $ равна $ \ boldsymbol {\ angle SOU} $.
  • Аналогично $ \ boldsymbol {\ angle VOX + \ angle XOT = \ angle VOT} $.

Хотите проверить эти концепции? Вы можете попробовать построить четыре пересекающиеся линии и проверить, как ведут себя углы.

Теперь, когда мы узнали об определениях и свойствах пересекающихся линий, пришло время поработать над некоторыми вопросами, чтобы проверить свои знания.

Пример 1

Заполните следующие инструкции: иногда , никогда и всегда .

  1. Параллельные линии могут ____________ быть пересекающимися.
  2. Перпендикулярные линии могут быть ____________ пересекающимися линиями.
  3. Стрелки часов могут ____________ представлять две пересекающиеся линии.
  4. Пересекающиеся линии ______________ будут иметь более одной точки пересечения.

Решение

При работе с подобными вопросами всегда полезно вернуться к определению используемых терминов.

  • Параллельные линии - это линии, которые никогда не пересекутся, поэтому никогда не пересекутся.
  • Перпендикулярные линии, с другой стороны, вместе образуют 90 °, поэтому они всегда будут .
  • Стрелки часов пересекаются в общей точке. всегда представляет две пересекающиеся линии.
  • Для трех или более пересекающихся линий они могут иногда иметь две или более пересекающихся точек.

Пример 2

Какое из следующих утверждений неверно?

  1. Три пересекающиеся линии могут иметь общую точку пересечения.
  2. Две пересекающиеся линии образуют две пары вертикальных углов.
  3. Две пересекающиеся линии образуют четыре пары вертикальных углов.
  4. Три пересекающиеся линии никогда не могут иметь четыре общие точки пересечения.

Решение

Давайте продолжим и рассмотрим каждое из приведенных утверждений.

  • Три пересекающиеся линии могут пересекаться только в одной общей точке, поэтому утверждение верно.
  • Когда две линии пересекаются, они образуют четыре угла.Каждая пара углов напротив друг друга - это вертикальные углы, так что это утверждение верно.
  • Две пересекающиеся линии образуют только четыре угла и две пары вертикальных углов. Это утверждение неверно.
  • Максимальное количество точек пересечения между тремя пересекающимися линиями - три, поэтому невозможно иметь четыре общие точки. Следовательно, четвертое утверждение верно.

Пример 3

Постройте линию, которая будет пересекать линию $ \ overline {AB} $.Обозначьте линию и точку пересечения, затем назовите четыре угла, образованные двумя пересекающимися линиями.

Решение

Постройте вторую линию, которая пересекает линию $ \ overline {AB} $. Ниже приведены три пары пересекающихся линий, которые помогут вам создать собственную пару пересекающихся линий.

В трех примерах мы назвали линию пересечения $ \ overline {CD} $ и точку пересечения Point $ O $. Ваше решение может отличаться от приведенного выше, но не беспокойтесь, все они хороши, если две линии пересекаются.

Четыре угла, образованные для пересекающихся прямых, - это $ \ angle AOC $, $ \ angle AOD $, $ \ angle COB $ и $ \ angle BOD $. Если вы пометите строки по-другому, вы получите другой ответ, нежели тот, который мы показали.

Как узнать, правильный ли ваш ответ? Проверьте, есть ли в названиях всех углов одинаковая буква посередине.

Пример 4

Невозможно создать четыре пересекающиеся линии , которые имеют только одну точку пересечения.

Докажите неверное утверждение, построив контрпример.

Решение

Постройте четыре пересекающиеся линии, где все пересекаются в одной общей точке.

Приведенный выше пример является одним из возможных контрпримеров для утверждения. Не стесняйтесь создавать свои собственные, чтобы показать, что утверждение не соответствует действительности.

Используйте изображение, показанное ниже, чтобы ответить на вопросы 5–7 .

Пример 5

Назовите две пары пересекающихся линий и соответствующие им точки пересечения.

Решение

Вот несколько пар линий, которые вы можете обнаружить на изображении, и мы включили их точки пересечения.

  • Прямые $ \ overline {RS} $ и $ \ overline {TU} $ пересекаются в точке $ \ boldsymbol {A} $.
  • Прямые $ \ overline {PQ} $ и $ \ overline {VW} $ пересекаются в точке $ \ boldsymbol {D} $.
  • Прямые $ \ overline {PQ} $ и $ \ overline {TU} $ пересекаются в точке $ \ boldsymbol {B} $.
  • Прямые $ \ overline {PQ} $ и $ \ overline {RS} $ пересекаются в точке $ \ boldsymbol {E} $.
  • Прямые $ \ overline {VW} $ и $ \ overline {RS} $ пересекаются в точке $ \ boldsymbol {C} $.

Удалось ли вам найти две пары из списка, который у нас есть? Попытайтесь найти оставшиеся три, чтобы помочь вам освоить эту концепцию!

Пример 6

Назовите три отрезка прямой, которые имеют общую точку пересечения.

Решение

Помните, что отрезки линии также могут пересекаться. Вот два примера трех линейных сегментов, имеющих общую точку пересечения.

  • Отрезки прямых $ \ overline {AC} $, $ \ overline {DC} $ и $ \ overline {EC} $ пересекаются в точке $ \ boldsymbol {C} $.
  • Отрезки прямых $ \ overline {BD} $, $ \ overline {CD} $ и $ \ overline {ED} $ пересекаются в точке $ \ boldsymbol {D} $. {\ circ} $, каким будет значение $ \ angle RAT $?

    Решение

    Помните, что два вертикальных угла, образованные парой пересекающихся линий, встретятся в их общей точке пересечения.{\ circ} $, каков угол $ \ angle BOA $?

  • Решение

    Постройте две пересекающиеся прямые с точкой пересечения $ \ boldsymbol {O} $.

    Вы можете увидеть четыре угла, образованные в точке пересечения. Это следующие углы: $ \ angle AOC $, $ \ angle BOD $, $ \ angle AOB $ и $ \ angle COD $.

    Обратите внимание на две пары вертикальных углов - каждая пара обращена друг напротив друга.

    Это означает, что две пары вертикальных углов:

    • $ \ angle AOC $ и $ \ angle BOD $
    • $ \ angle AOB $ и $ \ angle COD $

    Поскольку $ \ angle AOC $ и $ \ angle BOD $ - вертикальные углы, их угловые меры равны.{\ circ} $.

    При работе с пересекающимися линиями и связанными с ними проблемами со словами всегда возвращайтесь к его основному определению и свойствам. Попробуйте выполнить еще несколько практических задач ниже, чтобы еще больше закрепить свои знания о пересекающихся линиях.

    Практические вопросы

    1. Определите, верны ли следующие утверждения. Если утверждение неверно, замените подчеркнутое слово, чтобы утверждение было правильным.

    Пересекающиеся линии никогда не могут иметь общую точку .

    Две пересекающиеся линии могут иногда две точки пересечения.

    Пересекающиеся линии - это некопланарных прямых, которые пересекаются в одной точке.

    Две пересекающиеся линии могут образовывать две пары вертикальных углов.

    1. Постройте линию, которая будет пересекать линию $ \ overline {XY} $. Обозначьте линию и точку пересечения, затем назовите четыре угла, образованные двумя пересекающимися линиями.

    1. Докажите, что утверждение неверно, построив контрпример. {\ circ} $, каким будет значение \ angle UCR $?

      6.{\ circ} $, какова угловая мера $ \ angle MOP $?

      Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

      Вертикальные углы - теорема, доказательство, вертикально противоположные углы

      Часто задаваемые вопросы о вертикальных углах

      Что такое вертикальные углы в геометрии?

      Вертикальные углы образуются при пересечении двух линий. Из 4 образованных углов противоположные друг другу углы являются вертикальными.Их также называют «вертикально противоположными углами». Эти углы всегда равны.

      ☛Также прочитайте

      Конгруэнтны ли вертикальные углы?

      Когда две прямые линии пересекаются друг с другом, образуются вертикальные углы. Вертикальные углы всегда совпадают и равны. Вертикальные углы совпадают, поскольку две пары несмежных углов, образованных пересечением двух линий, накладываются друг на друга.

      ☛Проверьте и прочтите

      Вертикальные углы являются дополнительными?

      Когда сумма любых двух углов составляет 180 °, мы называем их дополнительными углами.Если есть случай, когда вертикальные углы равны прямым углам или равны 90 °, то каждый вертикальный угол равен 90 °. Следовательно, сумма этих двух углов будет равна 180 °. Так что в таких случаях можно сказать, что вертикальные углы являются дополнительными. Следует отметить, что это особый случай, в котором вертикальные углы являются дополнительными. В противном случае, во всех остальных случаях, когда значение каждого из вертикальных углов меньше или больше 90 градусов, они не являются дополнительными.

      ☛Проверьте разницу между следующим:

      Что такое теорема о вертикальном угле?

      Теорема о вертикальном угле утверждает, что углы, образованные двумя пересекающимися линиями, которые называются вертикальными углами, совпадают.Вертикальные углы имеют одинаковые размеры. Например, если ∠a, ∠b, ∠c, ∠d - это 4 угла, образованные двумя пересекающимися линиями, а ∠a вертикально противоположен ∠b, а ∠c вертикально противоположен ∠d, то ∠a конгруэнтно ∠ b и ∠c конгруэнтно ∠d.

      Могут ли вертикальные углы быть прямыми?

      Да, вертикальные углы могут быть прямыми. Когда два противоположных вертикальных угла составляют 90 ° каждый, тогда говорят, что вертикальные углы являются прямыми углами. Это можно наблюдать по линиям оси x и оси y декартовой диаграммы.

      ☛Отъезд

      Как измерить значение вертикального угла?

      Решая такие случаи, сначала нужно внимательно соблюдать заданные параметры. Если задан угол рядом с вертикальным углом, то значение вертикальных углов легко определить путем вычитания данного значения из 180 градусов в Поскольку в геометрии доказано, что вертикальный угол и прилегающий к нему угол являются дополнительными (180 °). друг другу.

      Как определить, является ли угол смежным или вертикальным?

      Вертикальные углы - это углы, образующиеся при пересечении двух прямых.Противоположные углы, образованные этими линиями, называются вертикально противоположными углами. В то время как смежные углы - это два угла, которые имеют одно общее плечо и вершину.

      Могут ли вертикальные углы быть смежными?

      Вертикальные углы противоположны друг другу, тогда как смежные углы находятся рядом друг с другом. Таким образом, вертикальные углы никогда не могут примыкать друг к другу.

      Всегда ли совпадают вертикальные углы?

      Да, вертикальные углы всегда совпадают. Пересечение двух прямых составляет 4 угла.При этом образуются две пары вертикальных углов. Они равны по меру и конгруэнтны.

      вертикальных углов | Определение, теорема и примеры (видео)

      В этом уроке используются два слова, которые часто неправильно понимают: вертикальный и дополнительный . Слово «вертикальный» обычно означает «вверх и вниз», но с вертикальными углами оно означает «относящийся к вершине» или углу. Дополнительный в математике означает «прибавление к 90 °», но это также прилагательное, обычно используемое для обозначения «объединение таким образом, чтобы что-то усилить», например, два человека с дополнительными навыками - например, один готовит, а другой печет.

      Держите в уме математическое значение этих двух слов, и вы четко определите вертикальные углы и дополнительные углы.

      Содержание

      1. Определение вертикальных углов
      2. Теорема о вертикальных углах
    2. Пример дополнительных углов
    3. Что такое вертикальные углы?
    4. Определение вертикальных углов

      Когда две прямые пересекаются в геометрии, они образуют четыре угла. Углы прицела - углы, противоположные друг другу.Любые две пересекающиеся линии образуют две пары вертикальных углов, например:

      При беглом взгляде на рисунок возникает несколько назойливых вопросов:

      1. Вертикальные углы совпадают?
      2. Смежны ли вертикальные углы?
      3. Вертикальные углы являются дополнительными?
      4. Вертикальные углы дополняют друг друга?

      Давайте займемся этим по очереди. Возьмите два прямых предмета, например бамбуковые шпажки или карандаши. Перебросьте их так, чтобы они пересеклись и образовали две пары углов.Теперь посмотрите на углы, которые они образуют.

      Если вы изучите любую пару противоположных углов в предметах, которые вы выбросили, вы увидите, что они имеют общую точку в своих вершинах, своих углах. Это делает их вертикальными углами. Вы также заметите, что, большие или маленькие, они кажутся зеркальными отражениями друг друга. Они есть; они имеют одинаковый угол, отраженный поперек вершины.

      Теорема о вертикальных углах

      Вертикальные углы Теорема утверждает, что вертикальные углы, углы, которые расположены друг напротив друга и образованы двумя пересекающимися прямыми линиями, совпадают.Вертикальные углы всегда совпадают, поэтому, когда кто-то задает следующий вопрос, вы уже знаете ответ.

      Конгруэнтны ли вертикальные углы?

      Да, согласно теореме о вертикальном угле, независимо от того, как вы бросаете шпажки или карандаши, чтобы они пересекались, или как пересекаются две пересекающиеся линии, вертикальные углы будут всегда совпадать или равны друг другу. Это закреплено в математике в теореме о вертикальных углах.

      Смежны ли вертикальные углы?

      Вертикальные углы по определению не могут быть рядом с (рядом друг с другом).Другая пара вертикальных углов прерывается, поскольку противоположных углов являются вертикальными. Смежные углы берут один угол из одной пары вертикальных углов и другой угол из другой пары вертикальных углов.

      Вертикальные углы являются дополнительными?

      Дополнительные углы добавляют к 180 °, и только одна конфигурация пересекающихся линий дает дополнительные вертикальные углы; когда пересекающиеся линии перпендикулярны.

      Это становится очевидным, когда вы понимаете противоположные, совпадающие вертикальные углы, называя их обязательным решением этого простого алгебраического уравнения:

      2a = 180 °

      а = 90 °

      У вас есть шанс 1 к 90 случайным образом получить дополнительные вертикальные углы в результате случайного выброса двух отрезков прямой так, чтобы они пересекались.

      В то время как вертикальные углы не всегда являются дополнительными, смежные углы всегда являются дополнительными . Возьмите любые два смежных угла из четырех углов, образованных двумя пересекающимися линиями. Эти два смежных угла всегда будут составлять 180 °. Мы можем убедиться в этом, если начнем с верхнего левого угла и обойдем цифру по часовой стрелке:

      • EMI является дополнением к IMU и ∠EMP
      • IMU является дополнением к PMU и EMI
      • ∠UMP является дополнением к IMU и EMP
      • ∠EMP является дополнением к EMI и ∠UMP

      Вертикальные углы дополняют друг друга?

      Если вертикальные углы не всегда являются дополнительными, составляют ли они по крайней мере дополнительных углов , то есть в сумме с 90 °?

      Опять же, мы можем использовать алгебру для подтверждения того, что очевидно на рисунках для вертикальных углов a:

      2a = 90 °

      а = 45 °

      Только когда вертикальные углы a составляют 45 °, они могут быть дополнительными. Острые вертикальные углы могут быть дополнительными; у вас есть шанс 1 из 45.

      Пример дополнительных углов

      Дополнительные углы добавляют к 90 °. Дополнительные углы не обязательно соединять с общей вершиной, точкой или линией. Они могут быть смежными или вертикальными на пересекающихся линиях. Они могут быть в двух разных многоугольниках, если сумма их углов равна точно 90 °. Дополнительные углы - это острые углы.

      В большинстве случаев вы можете найти только один дополнительный угол, если вы знаете меру его дополнительного угла.Если вам говорят, что треугольник имеет ∠T, дополнительный к P в неправильном пятиугольнике, вы ничего не можете знать о двух углах, кроме того, что оба они острые.

      Если, однако, мы скажем, что inP в пятиугольнике составляет 57 °, тогда мы сразу узнаем отсутствующее ∠T, угол составляет 33 °:

      90 ° - 57 ° = 33 °

      Что такое вертикальные углы?

      Пара вертикальных углов образуется при пересечении двух прямых. Вертикальные углы противоположны друг другу и имеют общую вершину.Давайте рассмотрим, что еще мы узнали о вертикальных углах:

      1. Могут ли вертикальные углы совпадать?
      2. Могут ли вертикальные углы быть дополнительными?
      3. Когда вертикальные углы будут дополнять друг друга?

      Для № 1, мы надеемся, вы сказали, что вертикальные углы всегда совпадают!

      Для № 2, вы сказали, что вертикальные углы являются дополнительными, только когда линии перпендикулярны?

      Для № 3 вы писали, что вертикальные углы будут дополнять друг друга, только если каждый из них составляет 45 °?

      Можно так много узнать об углах и соотношениях углов.

      Следующий урок:

      Теорема о средней точке

      пересекающихся линий и углов | Справка по геометрии

      Две пересекающиеся линии образуют 4 угла. Мы называем два угла, которые находятся рядом друг с другом и образуют прямую линию, «линейной парой» или «дополнительными углами», и их сумма составляет 180 °.

      Почему? Возьмем отрезок прямой (AB) и начнем вращать его вокруг одной из конечных точек:

      Угол, образованный между исходным отрезком (AB0) и последующими положениями (AB1, AB2…), продолжает расти.Когда мы завершаем полный круг, угол составляет 360 °, потому что, как мы сказали выше, это то, что измеряет полный круг.

      Итак, когда мы поворачиваем достаточно, чтобы образовать полукруг (до точки B3), размер будет 180 °. Мы знаем, что когда мы вращаемся достаточно, чтобы образовать полукруг, из-за симметрии у нас будет прямая линия - мы могли бы повернуть линию в любом направлении, и точка на полпути была бы такой же.

      Мы описываем углы, используя следующие обозначения: ∠1 или ∠α, а их размер в градусах - как m∠1 или m∠α.Мы также обычно описываем углы, используя 3 точки, которые их определяют, например: ∠ABC, где B - вершина, а BA и BC - два луча, исходящие из точки B наружу:

      Постулат сложения углов

      сложение углов постулат утверждает, что если точка P лежит внутри угла B, то m∠ABP + m∠PBC = m∠ABC

      Другими словами, мера большего угла является суммой измерений двух внутренних углы, составляющие больший.

      Когда две линии пересекаются и образуют 4 угла на пересечении, два угла, которые находятся напротив друг друга, называются «противоположными углами» или «вертикальными углами», и эти вертикальные углы являются «конгруэнтными», то есть имеют одинаковую форму и размер. .Мы говорим, что два угла конгруэнтны, если у них одинаковая мера угла в градусах. Они равны друг другу. Мы отмечаем конгруэнтность с помощью этого символа: ≅.

      С определениями и аксиомами, представленными до сих пор, мы можем теперь начать вывод нашей первой теоремы, используя наше первое формальное доказательство, доказывая, что противоположные углы двух пересекающихся прямых совпадают.

      -
      Теперь, когда мы объяснили основную концепцию пересечения линий и углов в геометрии, давайте прокрутим вниз, чтобы поработать над конкретными геометрическими проблемами, относящимися к этой теме.

      Строительные блоки - углы и пересекающиеся линии

      Смежные средства "следующий за." Но мы используем это слово совершенно определенным образом, когда говорим о соседних углы. Изучите эти две фигуры. Учитывается только пара справа чтобы быть смежными, углы c и d . Смежные углы должны иметь общий общая сторона и общая вершина, и они не должны перекрывать друг друга.

      Вертикальные углы представляют собой пары углов, образованных двумя пересекающимися прямыми.Вертикальные углы не смежных углов - они противоположны друг другу. На этой диаграмме углы a и c - вертикальные углы, а углы b и d - вертикальные углы. Вертикальные углы совпадают.

      Эти две строки параллельны и разрезаются на поперечную, что является всего лишь названием, данным линия, пересекающая две или более линий в разных точках.Восемь углов появляются в четырех соответствующих парах, имеющих одинаковую меру, поэтому, следовательно, конгруэнтны.

      Эти четыре соответствующих пары:

      углы a и e
      углы c и g
      углы b и f
      углы d и h

      Углы, которые лежат во внутренней области или в области между двумя линиями, которые разрезаются поперечные, называются внутренними углами.Уголки c, d, e и f внутренние углы. Углы a, b, g, и h лежат снаружи. площади, и их называют «внешними углами».

      ср назовем углы на противоположных сторонах от поперечных альтернативных углов. Углы c и f и d и e - это альтернативные внутренние углы. Уголки a и h , и b и g , имеют альтернативный внешний вид. углы.Обратите внимание, что эти альтернативные пары также совпадают.

      При поперечном отрезает две непараллельные линии, как показано здесь, все равно образует восемь углы - четыре соответствующие пары. Однако соответствующие пары не совпадают, как это происходит с параллельными линиями.

      назад наверх

      открытых учебников | Сиявула

      Математика

      Наука

        • Читать онлайн
        • Учебники

          • Английский

            • Класс 7A

            • Марка 7Б

            • 7 класс (A и B вместе)

          • Африкаанс

            • Граад 7А

            • Граад 7Б

            • Граад 7 (A en B saam)

        • Пособия для учителя

        • Читать онлайн
        • Учебники

          • Английский

            • Марка 8A

            • Марка 8Б

            • Оценка 8 (вместе A и B)

          • Африкаанс

            • Граад 8А

            • Граад 8Б

            • Граад 8 (A en B saam)

        • Пособия для учителя

        • Читать онлайн
        • Учебники

          • Английский

            • Марка 9А

            • Марка 9Б

            • 9 класс (A и B вместе)

          • Африкаанс

            • Граад 9А

            • Граад 9Б

            • Граад 9 (A en B saam)

        • Пособия для учителя

        • Читать онлайн
        • Учебники

          • Английский

            • Класс 4A

            • Класс 4Б

            • Класс 4 (вместе A и B)

          • Африкаанс

            • Граад 4А

            • Граад 4Б

            • Граад 4 (A en B saam)

        • Пособия для учителя

        • Читать онлайн
        • Учебники

          • Английский

            • Марка 5A

            • Марка 5Б

            • Оценка 5 (вместе A и B)

          • Африкаанс

            • Граад 5А

            • Граад 5Б

            • Граад 5 (A en B saam)

        • Пособия для учителя

        • Читать онлайн
        • Учебники

          • Английский

            • Класс 6A

            • класс 6Б

            • 6 класс (A и B вместе)

          • Африкаанс

            • Граад 6А

            • Граад 6Б

            • Граад 6 (A en B saam)

        • Пособия для учителя

      Наша книга лицензионная

      Эти книги не просто бесплатные, они также имеют открытую лицензию! Один и тот же контент, но разные версии (брендированные или нет) имеют разные лицензии, как объяснено:

      CC-BY-ND (фирменные версии)

      Вам разрешается и поощряется свободное копирование этих версий.Вы можете делать ксерокопии, распечатывать и распространять их сколь угодно часто. Вы можете скачать их на свой мобильный телефон, iPad, ПК или флешку. Вы можете записать их на компакт-диск, отправить по электронной почте или загрузить на свой веб-сайт. Единственным ограничением является то, что вы не можете адаптировать или изменять эти версии учебников, их содержание или обложки, поскольку они содержат соответствующие бренды Siyavula, спонсорские логотипы и одобрены Департаментом базового образования. Для получения дополнительной информации посетите Creative Commons Attribution-NoDerivs 3.0 Непортированный.

      Узнайте больше о спонсорстве и партнерстве с другими, которые сделали возможным выпуск каждого из открытых учебников.

      CC-BY (безымянные версии)

      Эти небрендовые версии одного и того же контента доступны для вас, чтобы вы могли делиться ими, адаптировать, трансформировать, изменять или дополнять их любым способом, с единственным требованием - дать соответствующую оценку Siyavula.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *