Сложение степеней в круге: marta_inj — LiveJournal
Деление степеней не дается. Впрочем, неудивительно. Вот что пишут по этому поводу:
Как известно разные всякие операции, и те которые производятся над числами, и те, что над объектами реального мира — можно разделить на «прямые» и «обратные». Последние выполнить гораздо труднее. (Например: забить в доску гвоздь (особенно если по самую шляпку) куда как проще чем потом его обратно оттуда вытащить.) А в математике для обратных операций еще и приходится расширять множество чисел. Вот как раз из соображений справедливости: прямая операция применима к любому числу, или любой паре чисел, если двухместная, и её результат всегда принадлежит к тому же множеству объектов, что и её операнды, а обратная, видите ли, нет.
Сначала у людей были только натуральные числа — с их помощью яблоки считали (и корзины, куда их собирались складывать), ну или мамонтов на пастбище — дело то как раз происходило примерно в те самые времена. Складывать можно, разумеется, любые натуральные числа — получается опять натуральное число.
Но вот вычитать…
Сначала постановили что вычитать большее из меньшего безсмысленно. (Ну в самом деле, как можно взять из корзины семь яблок, если их там только три? Никак!)
Но потом (а к тому времени деньги уже давно были в ходу) придумали ноль и отрицательные числа и стали трактовать их как «долг». То есть смысл для таких операций, хоть и не сразу, но нашелся.
Операция умножения тоже применима к любым натуральным числам, а вот обратная к ней — деление на равные части — для многих пар даёт остаток. А деление меньшего на большее сначала тоже считали бессмысленным, но потом (причем куда раньше изобретения ноля) признали полезным для обозначения частей целого и узаконили как «натуральные дроби».
Операция возведения в степень, изображающая многократное умножение числа самого на себя, придумана по аналогии с операцией умножения, заменяющей многократное сложение числа самого с собою. Но вот обратная к ней, известная как нахождение корня такой-то степени… На этом, кстати, сломались древние греки: обнаружили что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной.
(Теорему Пифагора они уже знали.) То есть, если длину стороны принять за единицу, то точная длина диагонали не выражается никакой натуральной дробью. В результате чего, посыпав голову пеплом, отказались от чисел вообще, перейдя исключительно к геометрическим построениям!
Много-много позже такие числа всё-таки узаконили, обозвав, правда, «иррациональными». (Причем их оказалось гораздо больше чем «рациональных». И это при том, что даже натуральных чисел, коие всего лишь подмножество рациональных, и то — бесконечность!) Некоторым наиболее популярным иррациональным числам дали собственные имена. Наиболее известные из них это числа Пи и Е, ну еще может быть Тау (коэффициент ряда Фибоначчи равный один плюс корень из пяти и всё это делённое на два). Тут пришла пора распространить действие всех известных на тот момент операций на все известные на тот момент числа, и этот фокус более-менее получился — ну кроме некоторых исключительных случаев. Причем казалось-бы самых простых. Вот не получается деление на ноль.
Но ноль — он ведь один единственный. Для него одного вполне можно сделать исключение. (И к тому же — если очень хочется — можно считать что деление любого числа на ноль даёт бесконечность. А деление его же на бесконечность — соответственно даёт ноль.) В остальном с
участием в умножении и делении отрицательных и нецелых чисел никаких сложностей больше не возникло. Перешли к возведению в степень. Отрицательную степень стали трактовать как многократное деление единицы на это число. (А возведение в нулевую — соответственно умножение или деление ноль раз — вот единица и остаётся.) Возведение в дробную степень — как нахождение корня… На радостях ввели обратную к степенной функции — логарифмическую, и тут…
Да не тут, а гораздо раньше. Еще когда только-только придумали отрицательные числа и взялись их не только складывать но и умножать, обнаружили что произведение двух отрицательных чисел неизменно даёт положительное. А значит сыскать такое число, умножив которое само на себя можно было бы получить отрицательный результат (даже для самого простейшего случая — единицы) решительно невозможно.
Таковых чисел просто нет!
То есть квадратных корней для отрицательного числа не дождёшься, в то время как у положительного числа их сразу два. Нечестно, несправедливо, судью (ну или кто там всем этим заведует) на мыло! А давайте, сказали великовозрастные детишки-математики, такое число просто выдумаем. Выдумали, обозначили буквой i и обозвали «мнимым», потому как ничему реальному не соответствует и существует исключительно в их воображении.
Присмотрелись по-внимательнее — батюшки-светы! Выдумали то только одно мнимое число (то, которое будучи умножено само на себя, даёт в результате минус единицу), а получили столько же сколько «реальных» — целую числовую ось. Вредное число i, если умножить на него любое реальное число, делает его мнимым. И эта мнимая числовая ось не имеет с действительной ничего общего… А, нет — имеет.
Одну точку. Ту, которая ноль. Ноль — он такой: что на него ни умножь — всё в ноль превратит. За сим, что действительный ноль, что мнимый — всё ноль.
Алгебраическая сумма.
Положительные и отрицательные числа. Целые числа. Сложение целых чисел. 12+8 месяцев назад
Математика от Баканчиковой326 подписчиков
Сегодня мы будем говорить об алгебраической сумме. Этот урок будет полезен ученикам 6 и 7 классов. Но вначале, мы напомним Вам, что такое целые числа, для чего они нужны, как обозначаются. Покажем, как строится числовая прямая, где на ней находятся положительные, отрицательные и противоположные числа. Затем объясним, как складываются отрицательные числа. Особо остановимся на том, как складывать положительные и отрицательные числа. На примере про деревья, Вы точно поймете и будете без ошибок выполнять подобные действия. Мы дадим Вам определение и объясним, из чего складывается алгебраическая сумма, приведем конкретные примеры и покажем, как можно вычислять алгебраическую сумму.
00:00 Начало видео.
00:30 Для чего нужны целые числа?
01:48 Вспоминаем построение числовой прямой.
03:04 Противоположные числа. Отрицательные и положительные числа.
Порядок действий в математике. Примеры на порядок действий. Оформление решений. https://rutube.ru/video/7c0d132e7a5a520f24ed240f458a8b0e/
Степень с натуральным показателем. Компоненты степени. https://rutube.ru/video/d70872cb3e43dad6eb4ad3bf16eaaa7c/
#АлгебраическаяСумма #ЦелыеЧисла #МатематикаОтБаканчиковой #алгебраическаясуммамногочленов #построениечисловойпрямой #алгебраическаясумма #целыечисла #сложениецелыхчисел #противоположныечисла #чтотакоецелыечисла #целыечисла #обозначениецелыхчисел #действиясцелымичислами #сложениеотрицательныхчисел #сложениеположительныхиотрицательныхчисел #примерыалгебраическойсуммы #примерывычисленияалгебраическойсуммы #обозначениецелыхчисел #алгебра7класс #математика6класс #вычитаниеотрицательныхчисел #сложениеивычитаниеотрицательныхчисел #сложениевычитаниеотрицательныхиположительныхчисел
вычитание отрицательных чисел, сложение и вычитание отрицательных чисел, сложение вычитание отрицательных и положительных чисел, построение числовой прямой, алгебраическая сумма, целые числа, сложение целых чисел, противоположные числа, что такое целые числа, целые числа, обозначение целых чисел, действия с целыми числами, сложение отрицательных чисел, сложение положительных и отрицательных чисел, примеры алгебраической суммы, примеры вычисления алгебраической суммы, обозначение целых чисел, алгебра 7 класс, математика 6 классОтрицательные силы — Математика GCSE
Введение
Как работать с отрицательными силами
Рабочий лист отрицательных степеней
Распространенные заблуждения
Практикуйте вопросы об отрицательной силе
Отрицательные силы Вопросы GCSE
Контрольный список обучения
Следующие уроки
Все еще застряли?
Индивидуальные занятия по математике, созданные для успеха KS4
Теперь доступны еженедельные онлайн-уроки повторения математики GCSE
Узнать большеВведение
Как работать с отрицательными силами
Рабочий лист отрицательных степеней
Распространенные заблуждения
Практикуйте вопросы об отрицательной силе
Отрицательные силы Вопросы GCSE
Контрольный список обучения
Следующие уроки
Все еще застряли?
Здесь мы узнаем об отрицательных степенях, в том числе о том, что они собой представляют, как их упрощать и вычислять, а также как комбинировать их с другими законами экспонент.
Существуют также рабочие листы полномочий и корней, основанные на экзаменационных вопросах Edexcel, AQA и OCR, а также дополнительные рекомендации о том, что делать дальше, если вы все еще застряли. 9{2}}=\frac{1}{9} .
Отрицательная степень не означает , что основание является отрицательным числом.
Давайте посмотрим, почему отрицательная степень — это дробь, использующая степени числа 10.
При делении каждой строки на 10 мощность уменьшается на 1 .
Когда мы достигаем 100 (нулевой показатель степени), мы делим основание само на себя, любое основание в степени 9{-1} .
По мере того, как мы продолжаем делить на 10, знаменатель дроби становится все больше, а это означает, что исходное число становится все меньше и меньше (приближаясь к 0).
Что такое отрицательные силы?
Положительная обратная связь
Другим термином для отрицательной мощности является положительная обратная величина .
обратная числа — это значение, которое можно умножить на исходное число, чтобы получить ответ 1 . 9{-3}=\frac{1}{64} .
Помните: Дробь также может быть преобразована в десятичную.
Как работать с отрицательными степенями
Для использования отрицательных степеней:
- Упростите любые силы, используя законы индексов.
- Оценить или решить (при необходимости).
Как работать с отрицательными силами
Рабочая таблица полномочий и корней (включая отрицательные силы)
Получите бесплатный рабочий лист с отрицательными способностями, содержащий более 20 вопросов и ответов о способностях и корнях. Включает рассуждения и прикладные вопросы.
СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО ИксРабочий лист сил и корней (включая отрицательные силы)
Получите бесплатный рабочий лист отрицательных сил, содержащий более 20 вопросов и ответов о силах и корнях.
Включает рассуждения и прикладные вопросы.
Примеры отрицательных степеней
Пример 1: упростить и оценить 9{-3} .
Запишите свой ответ в виде смешанного числа.
Упростите любые силы, используя законы индексов.
Поскольку мы начинаем с основания \frac{3}{4}, возведенного в степень -3, мы знаем, что отрицательная степень дает положительную обратную величину основания (помните, что обратная величина — это число, которое вы умножьте на, чтобы получить ответ 1 ).
Итак, на что нам нужно умножить \frac{3}{4}, чтобы получить значение 1 ?
1 \ дел {\ гидроразрыва {3} {4}} = 1 \ раз {\ гидроразрыва {4} {3}} = \ гидроразрыва {4} {3} 9{3}}=\фракция{1}{343}(1)
Контрольный список для изучения
Теперь вы узнали, как:
- Расширить свое понимание системы счисления, включив в него степени
- Вычисления с корнями и целыми индексами
- Упрощение выражений с суммами, произведениями и степенями, включая законы индексов
Все еще зависает?
Подготовьте своих учеников KS4 к успешной сдаче выпускных экзаменов по математике с помощью программы Third Space Learning.
Еженедельные онлайн-уроки повторения GCSE по математике, которые проводят опытные преподаватели математики.
Узнайте больше о нашей программе обучения математике GCSE.
Мы используем необходимые и необязательные файлы cookie, чтобы улучшить работу нашего веб-сайта. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашей Политикой в отношении файлов cookie, чтобы узнать, как мы используем файлы cookie и как управлять вашими настройками файлов cookie или изменять их. Принять
Отрицательные показатели — полный курс алгебры
Навыки
в
A L G E B R A
Содержание | Главная
20
Степень дроби
Делительные степени одного основания
Отрицательные показатели
Секция 2
Показатель степени 0
Научное обозначение
Степень дроби
«Чтобы возвести дробь в степень, возведите числитель
и знаменатель в эту степень.»
Пример 1. |
Для, согласно значению показателя степени и правилу умножения дробей:
| Пример 2. Применить правила экспоненты: |
Решение . Мы должны принять 4-ю силу всего. Но чтобы взять степень степени — умножьте показатели:
Задача 1. Применить правила экспонент.
Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы снова закрыть ответ, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решай задачу сам!
| а) | = | x 2 у 2 | б) | = | 8 x 3 27 | в) | = |
| г) | = |
| д) | = | x 2 — 2 x + 1 x 2 + 2 x + 1 |
Трехчлен Perfect Square
Делительные степени одного основания
В следующем уроке мы увидим следующее правило сокращения дроби:
| топор ай | = | х у |
«И числитель, и знаменатель могут быть разделены
на общий множитель.
»
Рассмотрим эти примеры:
| 2 · 2 · 2 · 2 · 2 2 · 2 | = | 2 · 2 · 2 |
| ___2 · 2___ 2 · 2 · 2 · 2 906 83 · 2 | = | __1__ 2 · 2 · 2 |
Если мы запишем их с показателями, то
| 2 2 | = | 2 3 |
| 2 2 2 5 | = | 1 2 3 |
В каждом случае мы вычитаем показателей. Но когда показатель степени в знаменателе больше, мы пишем 1 над разницей.
Пример 3. | x 3 | = | х 5 |
| x 8 | = | 1 x 5 |
Вот правило:
Проблема 2. Упростите следующее. (Не пишите отрицательную степень.)
| а) | = | х 3 | б) | x 2 x 5 | = | 1 x 3 | в) | x x 5 | = | 1 x 4 |
| г) | x 2 x | = | х | д) | = | − х 4 | е) | = | 1 x 2 |
Проблема 3.
Упростите каждое из следующих действий. Затем вычислите каждое число.
| а) | = | 2 3 | = | 8 | б) | 2 2 2 5 | = | 1 2 3 | = | 1 8 | в) | 2 2 5 | = | 1 2 4 | = | 1 16 |
| г) | 2 2 2 | = | 2 | д) | = | −2 4 | = | −16. | См. Урок 13. |
| е) | = | 1 2 2 | = | 1 4 |
| Пример 4. Упрощение путем сокращения до наименьших членов: |
Раствор. Рассмотрите каждый элемент по очереди:
Проблема 4. Упростите, приведя к наименьшим терминам. (Не пишите отрицательные степени.
| а) | = | г 3 5 x 3 | б) | = | − | 8 а 3 5 б 3 |
| в) | = | − | 3 z _ 5 x 4 y 3 | г) | = | с 3 16 |
| д) | ( x + 1) 3 ( x — 1) ( x — 1) 3 ( x + 1) 901 30 | = | ( x + 1) 2 ( x − 1) 2 |
Отрицательные показатели степени
Теперь мы собираемся расширить значение экспоненты не только на положительное целое число.
Мы сделаем это таким образом, чтобы выполнялись обычные правила экспонент. То есть мы хотим, чтобы следующие правила выполнялись для любые показателей степени: положительные, отрицательные, 0 — четные дроби.
| а м а н | = | а м + п | То же основание |
| ( аб ) п | = | а н б н | Сила продукта |
| ( a м ) n | = | а мин | Сила Силы |
Начнем с определения числа с отрицательным показателем степени .
| а − п | = | 1 а н |
Это число, обратное этому числу с положительным показателем степени.
a − n это взаимный из а н .
| Пример 5. | 2 −3 | = | 1 2 3 | = | 1 8 |
База 2 не меняется. Отрицательная экспонента становится положительной — в знаменателе.
Пример 6. Сравните следующее. То есть оценить каждый:
3 −2 −3 −2 (−3) −2 (−3) −3
| Ответы. | 3 −2 | = | 1 3 2 | = | 1 9 | . |
Далее,
−3 −2 является отрицательным числом из 3 −2 .
(См. Урок 13.) База по-прежнему равна 3.
| −3 −2 | = − | 1 9 | . |
Что касается (−3) −2 , скобки указывают, что основание равно −3:
.| (−3) −2 | = | 1 (−3) 2 | = | 1 9 | . |
Наконец,
| (−3) −3 | = | 1 (−3) 3 | = | − | 1 27 | . |
Таким образом, отрицательная экспонента не дает отрицательного числа. Это может сделать только отрицательное основание. И тогда показатель степени должен быть нечетным
Пример 7. Упростите | а 2 а 5 | . |
Решение . Поскольку мы изобрели отрицательные показатели степени, теперь мы можем вычесть 90 704 из любых 90 705 показателей степени следующим образом:
| а 2 а 5 | = a 2 − 5 = a −3 |
Теперь у нас есть следующее правило для любых показателей m , н :
На самом деле именно потому, что мы хотели, чтобы это правило выполнялось, мы
| определили a − n как | 1 а н | . |
Мы хотим
| а 2 а 5 | = | а −3 |
Но
| а 2 а 5 | = | 1 а 3 |
| Следовательно, мы определяем a −3 как | . 1 а 3 | . |
| Пример 8. | а −1 | = | 1 а |
a −1 теперь является символом обратной или мультипликативной инверсии числа к любому числу a . Он появляется в следующем правиле (Урок 6):
а · а −1 = 1
Проблема 5. Оцените следующее.
| а) ( | 2 3 | ) −1 | = | 3 2 | . | 3 2 | является обратным числом | . 2 3 | . |
| б) ( | 2 3 | ) −4 | = | 81 16 | . | 81 16 | является величиной, обратной 4-й степени числа | . 2 3 | . |
| Задача 6. Покажите: a m · b − n = | а м б н | . |
| а м · б − n = а м · | 1 б н | = | а м б н | . |
Определение подразделения
Пример 9. Используйте правила экспонент, чтобы вычислить (2 −3 · 10 4 ) −2 .
| Решение. | (2 −3 · 10 4 ) −2 | = | 2 6 · 10 −8 | Сила силы |
| = | Проблема 6 | |||
| = | _64_ 100 000 000 | |||
Задача 7. Оцените следующее.
| а) | 2 −4 | = | 1 2 4 | = | 1 16 | б) | 5 −2 | = | 1 5 2 | = | 1 25 | в) | 10 −1 | = | 1 10 1 | = | 1 10 |
| г) | (−2) −3 | = | 1 (−2) 3 | = | 1 −8 | = | − | 1 8 |
| д) | (−2) −4 | = | 1 (−2) 4 | = | 1 16 | е) | −2 −4 | = | − | 1 2 4 | = | − | 1 16 |
г) (½) −1 =
2.
2 — это , обратное ½.
Задача 8. Используйте правила экспонент, чтобы оценить следующее.
| а) | 10 2 · 10 −4 = 10 2 − 4 = 10 −2 = 1/100. |
| б) | (2 −3 ) 2 | = | 2 −6 | = | 1 2 6 | = | 1 64 |
| в) | (3 −2 · 2 4 ) −2 | = | 3 4 · 2 −8 | = | 3 4 2 8 | = | 81 256 |
| г) | 2 −2 · 2 | = | 2 −2+1 | = | 2 −1 | = | 1 2 |
Задача 9.
Перепишите без знаменателя.
| а) | x 2 x 5 | = | x 2−5 | = | x −3 | б) | г г 6 | = | г 1−6 | = | г −5 |
| в) | = | x −3 г −4 | г) | = | а −1 б −6 в −7 |
| д) | 1 х | = | x −1 | е) | 1 x 3 | = | x −3 |
| г) | ( x + 1) x | = | ( х + 1) х -1 | ч) | ( х + 2) 2 ( х + 2) 6 | = | ( х + 2) −4 |
Пример 10.
Перепишите без знаменателя и оцените:
Ответить . Правило вычитания показателей —
— выполняется, даже если показатель степени отрицателен.
Следовательно,
| = | 10 −3 + 5 − 2 + 4 | = | 10 4 | = | 10 000. |
Показатель степени 2 входит в числитель как −2; показатель -4 идет туда как +4.
Задача 10. Перепишите без знаменателя и оцените.
| а) | 2 2 2 −3 | = 2 2 + 3 = 2 5 = 32 | б) | 10 2 10 −2 | = 10 2 + 2 = 10 4 = 10 000 |
| в) | = 10 2 − 5 − 4 + 6 = 10 −1 = | 1 10 |
| г) | = 2 5 − 6 + 9 − 7 = 2 1 = 2 |
Проблема 11.
Можно сдвинуть множители между числителем и знаменателем [Как?]
Путем изменения знака степени.
| Пример 11. Перепишем без знаменателя: |
| Ответ. |
Показатель степени 3 входит в числитель как −3; показатель степени -4 идет туда как +4.
Задача 12. Перепишите только с положительными показателями.
| а) | x y −2 | = | ху 2 | б) | = | в) | = |
| г) | = | д) | = |
Задача 13.