Сложение вычитание матриц: Сложение и вычитание матриц.

Сложение и вычитание матриц.

Сложение и вычитание матриц.

Навигация по странице:

• Сложение матриц
• Вычитание матриц
• Свойства сложения и вычитания матриц
• Примеры сложения и вычитания матриц

Онлайн калькулятор. Сложение и вычитание матриц.

Складывать и вычитать можно матрицы одного размера в результате получается матрица того же размера.

Определение.

Сложение матриц (сумма матриц) A + B есть операция вычисления матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен:

с_ij = a_ij + b_ij

Определение.

Вычитание матриц (разность матриц) A — B есть операция вычисления матрицы

C, все элементы которой равны попарной разности всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен:

с_ij = a_ij — b_ij

Свойства сложения и вычитания матриц

• Ассоциативность: (A + B) + C = A + (B + C)
• A + Θ = Θ + A = A, где Θ — нулевая матрица
• A — A = Θ
• Коммутативность: A + B = B + A

Примеры задач на сложение и вычитание матриц

Пример 1.

Найти сумму матриц A = 

4290

и B = 

31-34

.

Решение:

A + B = 

4290

+

31-34

=

4 + 32 + 19 + (-3)0 + 4

=

7364

Пример 2

Найти разность матриц A = 

4290

и B = 

31-34

.

Решение:

A — B = 

4290

—

31-34

=

4 — 32 — 19 — (-3)0 — 4

=

1112-4

Пример 3

Найти значение матрицы С = 2A + 3B, если A = 

42904-6

и B = 

31-3491

.

Решение:

C = 2A + 3B = 2

42904-6

+ 3

31-3491

=

2·4 + 3·32·2 + 3·12·9 + 3·(-3)2·0 + 3·42·4 + 3·92·(-6) + 3·1

=

17791235-9

Онлайн калькуляторы с матрицами.

Упражнения с матрицами.

определения, свойства и примеры решения задач

Содержание:

• Сумма матриц
• Разность матриц
• Свойства сложения и вычитания матриц:

Сложение и вычитание матриц, допускаются только для матриц одинакового размера.

Сумма матриц

Определение

Суммой матриц $A$ и $B$ одного размера называется матрица $C = A+B$ такого же размера, получаемая из исходных путем сложения соответствующих элементов:

$$ A_{m \times n}+B_{m \times n}=C_{m \times n} ; c_{i j}=a_{i j}+b_{i j}, i=\overline{1 ; m}, j=\overline{1 ; n} $$

Замечание

Складывать можно только матрицы одинакового размера.

Пример

Задание. Найти $A+B$, если $ A=\left( \begin{array}{ll}{1} & {4} \\ {2} & {3}\end{array}\right) $ , $ B=\left( \begin{array}{ll}{4} & {4} \\ {5} & {2}\end{array}\right) $

Решение. $ C=A+B=\left( \begin{array}{cc}{1} & {4} \\ {2} & {3}\end{array}\right)_{2 \times 2}+\left( \begin{array}{ll}{4} & {4} \\ {5} & {2}\end{array}\right)_{2 \times 2}= $

$ =\left( \begin{array}{cc}{1+4} & {4+4} \\ {2+5} & {3+2}\end{array}\right)=\left( \begin{array}{ll}{5} & {8} \\ {7} & {5}\end{array}\right) $

Ответ. $ A+B=\left( \begin{array}{ll}{5} & {8} \\ {7} & {5}\end{array}\right) $

Свойства сложения и вычитания матриц:

1.   Ассоциативность $ (A+B)+C=A+(B+C) $
2.   $ A+\Theta=\Theta+A $, где $\Theta$ — нулевая матрица соответствующего размера.
3.   $ A-A=\Theta $
4.   Коммутативность $ A+B=B+A $

Разность матриц

Разность двух матриц одинакового размера можно определить через операцию сложения матриц и через умножение матрицы на число.

Вычитание матриц вводится следующим образом: $ A-B=A+(-1) \cdot B $

То есть к матрице $A$ прибавляется матрица $B$, умноженная на (-1).

Определение

Разностью матриц $A$ и $B$ одного и того же размера называется матрица $C = A-B$ такого же размера, получаемая из исходных путем прибавления к матрице $A$ матрицы $B$, умноженной на (-1).

На практике же от элементов матрицы $A$ попросту отнимают соответствующие элементы матрицы $B$ при условии, что заданные матрицы одного размера.

Замечание

Вычитать можно только матрицы одинакового размера.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Найти матрицу $ C=A-3 B $, если $ A=\left( \begin{array}{rr}{1} & {2} \\ {2} & {-1} \\ {3} & {0}\end{array}\right) $ , $ B=\left( \begin{array}{rr}{-1} & {1} \\ {1} & {2} \\ {0} & {0}\end{array}\right) $

Решение. $ C=A-3 B=\left( \begin{array}{rr}{1} & {2} \\ {2} & {-1} \\ {3} & {0}\end{array}\right)-3 \cdot \left( \begin{array}{rr}{-1} & {1} \\ {1} & {2} \\ {0} & {0}\end{array}\right)= $

$ \left( \begin{array}{rr}{1} & {2} \\ {2} & {-1} \\ {3} & {0}\end{array}\right)-\left( \begin{array}{rr}{-3} & {3} \\ {3} & {6} \\ {0} & {0}\end{array}\right)=\left( \begin{array}{rr}{1-(-3)} & {2-3} \\ {2-3} & {-1-6} \\ {3-0} & {0-0}\end{array}\right)=\left( \begin{array}{rr}{4} & {-1} \\ {-1} & {-7} \\ {3} & {0}\end{array}\right) $

Ответ. $ C=\left( \begin{array}{rr}{4} & {-1} \\ {-1} & {-7} \\ {3} & {0}\end{array}\right) $

Читать дальше: умножение матриц.

Сложение и вычитание матриц

Горячая математика

А матрица можно добавить к другой матрице (или вычесть из нее) только в том случае, если две матрицы имеют одинаковые Габаритные размеры .

Чтобы добавить две матрицы, просто добавьте соответствующие элементы и поместите эту сумму в соответствующую позицию в полученной матрице.

Пример 1:

Добавьте матрицы.

[ 1 5 − 4 3 ] + [ 2 − 1 4 − 1 ]

Во-первых, обратите внимание, что оба дополнения 2 × 2 матрицы, поэтому мы можем добавить их.

[ 1 5 − 4 3 ] + [ 2 − 1 4 − 1 ] знак равно [ 1 + 2 5 + ( − 1 ) − 4 + 4 3 + ( − 1 ) ]

знак равно [ 3 4 0 2 ]

Вычитание с матрицами так же просто.

Пример 2:

Вычесть.

[ 4 5 6 2 3 4 ] − [ 2 4 6 1 2 3 ]

Вычтите соответствующие записи.

[ 4 5 6 2 3 4 ] − [ 2 4 6 1 2 3 ] знак равно [ 4 − 2 5 − 4 6 − 6 2 − 1 3 − 2 4 − 3 ]

знак равно [ 2 1 0 1 1 1 ]

Сложение и вычитание матриц и умножение матрицы на константу

При умножении матрицы на скаляр (константу или число) или сложении и вычитании матриц операции выполняются поэлементно. Давайте рассмотрим каждую операцию отдельно, чтобы увидеть, как это работает.

Содержание

1. Добавление матриц
2. Вычитание матриц
3. Умножение матрицы на константу (скалярное умножение)
4. Сочетание сложения, вычитания и скалярного умножения

реклама

Добавление матриц

Чтобы добавить две матрицы, добавьте соответствующие записи, как показано ниже. Обратите внимание, что вам нужно, чтобы матрицы были одинакового размера, чтобы это имело смысл.

Если матрицы разного размера, сложение не определено.

Вычитание матриц

Вычитание матриц работает таким же образом. Вы можете вычесть запись за записью.

Как и в случае сложения, это было бы неопределенным, если бы матрицы были разных размеров. В этой ситуации ваш ответ будет просто «неопределенный».

Умножение матрицы на константу (скалярное умножение)

Умножение матрицы на константу или число (иногда называемое скаляром) всегда определено, независимо от размера матрицы. Вам просто нужно убедиться, что каждая запись в матрице умножается на число.

Комбинирование операций

В некоторых вопросах вас могут попросить объединить сложение, вычитание и умножение на константу. Здесь мы рассмотрим пару примеров, чтобы убедиться, что вы знаете, как к ним подходить.

Пример

Найдите \(-2A + B\) для:

\(A= \left[\begin{array}{cc} -4 & 1\\ 2 & -2\\ \end{array}\right]\) и \(B= \left[\begin{array}{cc} 9 & -4\\ 0 & 8\\ \end{array}\right]\)

Не забывайте умножать каждую запись на константу и работать с записью за записью при добавлении.

\(\begin{align} -2A + B &= 2\left[\begin{array}{cc} -4 & 1\\ 2 & -2\\ \end{array}\right] + \left[\ begin{array}{cc} 9 & -4\\ 0 & 8\\ \end{array}\right]\\ &= \left[\begin{array}{cc} -2 \times -4 & -2 \times 1\\ -2 \times 2 & -2 \times -2\\ \end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc} 9 & -4\\ 0 & 8\\ \end{массив}\right]\\ &= \left[\begin{array}{cc} 8 & -2\\ -4 & 4\\ \end{массив}\right] + \left[\begin{ array}{cc} 9 & -4\\ 0 & 8\\ \end{array}\right]\\ &= \left[\begin{array}{cc} 8 + 9& -2 + (-4) \\ -4 + 0 & 4 + 8\\ \end{массив}\right]\\ &= \boxed{\left[\begin{array}{cc} 17 & -6 \\ -4 и 12\\ \end{массив}\right]}\end{align}\)

Это также работает, когда у вас более двух матриц, как показано в следующем примере.

Пример

Найдите \(A – 3B + 2C\) для:

\(A= \left[\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 0\\ \end{array}\right]\) , \(B= \left[\begin{array}{cc} 2 & 1\\ 1 & 4\\ \end{array}\right]\) и \(C= \left[\begin{array}{ cc} 5 & 2\\ 3 & 0\\ \end{массив}\right]\)

\(\begin{align} A — 3B + 2C &= \left[\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 0\\ \end{array}\right] — 3\left[\begin {массив}{cc} 2 и 1\\ 1 и 4\\ \end{массив}\right] + 2\left[\begin{массив}{cc} 5 и ​​2\\ 3 & 0\\ \end{ array}\right]\\ &= \left[\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 0\\ \end{array}\right] – \left[\begin{array}{cc} 3\times2 & 3\times1\\ 3\times1 & 3\times4\\ \end{массив}\right] + \left[\begin{array}{cc} 2\times5 & 2\times2\\ 2\times3 & 2\times0\\ \end{массив}\right]\\ &= \left[\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 0\\ \end{массив}\right] – \left [\begin{array}{cc} 6 & 3\\ 3 & 12\\ \end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc} 10 & 4\\ 6 & 0\\ \ end{массив}\right]\\ &= \left[\begin{array}{cc} 1 – 6 + 10 & 1 – 3 + 4\\ 0 – 3 + 6 & 0 – 12 + 0\\ \end {массив}\right]\\ &= \boxed{\left[\begin{array}{cc} 5 & 2\\ 3 & – 12\\ \end{массив}\right]}\end{align}\ )

Резюме

Запомните следующее для операций с матрицами:

• Чтобы сложить или вычесть, идите запись за записью.

  No related posts.