Сумма модулей: Доказательства свойств модуля

Содержание

Доказательства свойств модуля

Существуют следующие свойства модуля действительных чисел:

1) |a + b| ≤ |a| + |b|;

2) |ab| = |a| × |b|;

3) , a ≠ 0;

4) |a – b| ≥ |a| – |b|.

Проведем доказательства, рассматривая различные случаи значений a и b.

Доказательство 1) |a + b| ≤ |a| + |b|:

Если a и b – положительные числа, то их модули совпадают с их значениями: |a| = a, |b| = b. Из этого следует, что |a + b| = |a| + |b|.

Если a – отрицательное число, а b – положительное число, то выражение |a + b| можно записать как |b – a|. Выражение же |a| + |b| равно сумме абсолютных значений a и b, что больше, чем b – a. Поэтому |a + b| < |a| + |b|.

Если b – отрицательное число, а a – положительное, то |a + b| принимает вид |a – b|, что также меньше суммы модулей |a| + |b|.

Если a и b – отрицательные числа, то получим |–a – b|. Результат этого выражения равен |a + b| (т.

к. |–a – b| = |–(a + b)| = |a + b|). Но уже было доказано, что |a + b| = |a| + |b|, следовательно и |–a – b| = |a| + |b|.

Доказательство 2) |ab| = |a| × |b|:
Здесь, в отличие от сложения, рассматривать все случаи особо не требуется, т. к. абсолютное значение произведения любых чисел (положительных ли, отрицательных ли) не зависит от знаков множителей. В выражении |ab| мы сначала перемножаем числа, а потом «отбрасываем» знак (отрицательный, если он есть), в выражении |a| × |b| сначала избавляемся от знаков, а потом перемножаем. Но от того, в какой момент был взят модуль (до или после умножения), не зависит абсолютное значение произведения.

Доказательство 3) , a ≠ 0:

Если a – положительное число, то |a| = a и, следовательно, доказываемое равенство верно, т. к. и правая и левая части равны 1/a.

Если a – отрицательное число, то имеем . Взятие модуля в обоих выражениях приведет к делению единицы на абсолютное значение a.

2-1}{4}d$. Равенство в нем достигается, когда $a_1 = \ldots = a_m \lt a_{m+1} = \ldots = a_{2m+1}$.

Поделиться ссылкой:

Похожее

Внеклассный урок — Модуль числа

Модуль числа

Модулем числа называется само это число, если оно неотрицательное, или это же число с противоположным знаком, если оно отрицательное.

Например, модулем числа 5 является 5, модулем числа –5 тоже является 5.

То есть под модулем числа понимается абсолютная величина, абсолютное значение этого числа без учета его знака.

Обозначается так: |5|, |х|, |а| и т.д.

Правило:

                                                                     |а| = а, если а ≥ 0.

                                                                     |а| = –а, если а < 0.

 

Пояснение:

|5| = 5
Читается так: модулем числа 5 является 5.

|–5| = –(–5) = 5
Читается так: модулем числа –5 является 5.

|0| = 0
Читается так: модулем нуля является ноль.

 

Свойства модуля:

1) Модуль числа есть неотрицательное число:

|а| ≥ 0

2) Модули противоположных чисел равны:

|а| = |–а|

3) Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа:

|а|2 = a2

4) Модуль произведения чисел равен произведению модулей этих чисел:

|а · b| = |а| · |b|

6) Модуль частного чисел равен отношению модулей этих чисел:

|а : b| = |а| : |b|

7) Модуль суммы чисел меньше или равен сумме их модулей:

|а + b| ≤ |а| + |b|

8) Модуль разности чисел меньше или равен сумме их модулей:

|аb| ≤ |а| + |b|

9) Модуль суммы/разности чисел больше или равен модулю разности их модулей:

|а ± b| ≥ ||а| – |b||

10) Постоянный положительный множитель можно вынести за знак модуля:

|m · a| = m · |а|, m >0

11) Степень числа можно вынести за знак модуля:

|аk| = |а|k, если аk существует

12) Если |а| = |b|, то a = ± b

 

Геометрический смысл модуля.

Модуль числа – это величина расстояния от нуля до этого числа.

Для примера возьмем снова число 5. Расстояние от 0 до 5 такое же, что и от 0 до –5 (рис.1). И когда нам важно знать только длину отрезка, то знак не имеет не только значения, но и смысла. Впрочем, не совсем верно: расстояние мы измеряем только положительными числами – или неотрицательными числами. Пусть цена деления нашей шкалы составляет 1 см. Тогда длина отрезка от нуля до 5 равна 5 см, от нуля до –5 тоже 5 см.

На практике часто расстояние отмеряется не только от нуля – точкой отсчета может быть любое число (рис.2). Но суть от этого не меняется. Запись вида |a – b| выражает расстояние между точками а и b на числовой прямой.

 

Пример 1. Решить уравнение |х – 1| = 3.

Решение.

Смысл уравнения в том, что расстояние между точками х и 1 равно 3 (рис.2). Поэтому от точки 1 отсчитываем три деления влево и три деления вправо – и наглядно видим оба значения х:
х1 = –2, х2 = 4.

Можем и вычислить.

х – 1 = 3
х – 1 = –3

х = 3 + 1
х = –3 + 1

х = 4
х = –2.

Ответ: х1 = –2; х2 = 4.

 

Пример 2. Найти модуль выражения:

3√5 – 10.

Решение.

Сначала выясним, является ли выражение положительным или отрицательным. Для этого преобразуем выражение так, чтобы оно состояло из однородных чисел. Не будем искать корень из 5 – это довольно сложно. Поступим проще: возведем в корень 3 и 10. Затем сравним величину чисел, составляющих разность:

3 = √9. Следовательно, 3√5 = √9 · √5 = √45

10 = √100.

Мы видим, что первое число меньше второго. Значит, выражение отрицательное, то есть его ответ меньше нуля:

3√5 – 10 < 0.

Но согласно правилу, модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. У нас отрицательное выражение. Следовательно, надо поменять его знак на противоположный. Выражением, противоположным 3√5 – 10, является –(3√5 – 10). Раскроем в нем скобки – и получим ответ:

–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.

Ответ:

|3√5 – 10| = 10 – 3√5.

 

Модуль — сумма — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Модуль — сумма

Cтраница 1

Модуль суммы не может превзойти сумму модулей слагаемых.  [1]

Модуль суммы двух или нескольких комплексных чисел не превосходит суммы модулей этих чисел.  [2]

Модуль суммы двух или нескольких чисел меньше или равен сумме модулей этих чисел.  [3]

Модуль суммы индексов всех особых точек невырожденного векторного поля v степени т ( обозначается Ind v) не превосходит числа Петровского — — Олейник II ( т) и сравним по модулю 2 с числом и.

Никаких других ограничений на Irul v не существует.  [4]

Заменим модуль суммы в правой части ( 20) суммой модулей и потребуем выполнения полученного неравенства. В этом случае ( 20) будет выполняться автоматически.  [5]

Докажите, что модуль суммы двух перемещений не превосходит суммы модулей составляющих перемещений. В каком случае модуль суммы равен сумме модулей слагаемых перемещений.  [6]

Известно, что модуль суммы меньше или равен сумме модулей слагаемых.  [7]

Доказать, что модуль суммы двух комплексных чисел не превосходит суммы модулей этих чисел.  [8]

Установим теперь свойства

модуля суммы и разности двух комплексных чисел.  [9]

Теорема о том, что модуль суммы не больше суммы модулей слагаемых, легко распространяется на случай абсолютно сходящихся рядов.  [10]

Теорема о том, что модуль суммы не больше суммы модулей слагаемых, легко распространяется на случай абсолютно сходящихся рядов.  [11]

Поскольку разложить в ряд Фурье модуль суммы гармоник в общем виде нельзя, укажем, что при незначительных искажениях несущей выходной сигнал будет подобен детектированному.  [12]

Принципиальный интерес представляет способ выделения модуля суммы и разности входных — величин, предложенный в.  [13]

Установим теперь важные для дальнейшего свойства модуля суммы и разности двух комплексных чисел.  [14]

Такое отображение, фактически представляющее собой натягивание модуля суммы гауссовскнх полей на параболоиды в направлении внешней нормали, переведет гладкие параболоиды в некоторые случайные геометрические тела. {2}}\Leftrightarrow \\xy>\left| x \right|\cdot \left| y \right|\Leftrightarrow \\xy>\left| xy \right|,\end{array}\)

а это противоречит определению модуля.

Следовательно, таких \( x;y\in \mathbb{R}\) не существует, а значит, при всех \( x,\text{ }y\in \mathbb{R}\) выполняется неравенство \( \left| x+y \right|\le \left| x \right|+\left| y \right|.\)

Примеры для самостоятельного решения:

1) Докажите свойство

№6.

2) Упростите выражение \( \left| \frac{31}{8}-\sqrt{15} \right|+\left| \frac{15}{4}-\sqrt{15} \right|\).

Ответы:

1) Воспользуемся свойством №3: \( \left| c\cdot x \right|=\left| c \right|\cdot \left| x \right|\), а поскольку \( c>0\text{ }\Rightarrow \text{ }\left| c \right|=c\), тогда

\( \left| cx \right|=c\cdot \left| x \right|\), ч.т.д.

2) \( \left| \frac{31}{8}-\sqrt{15} \right|+\left| \frac{15}{4}-\sqrt{15} \right|\). {2}}\overset{<}{\mathop{\vee }}\,15\cdot 16\text{ }\Rightarrow \text{ }\)

\( \frac{15}{4}-\sqrt{15}\text{ }<0\text{ }\Rightarrow \text{ }\left| \frac{15}{4}-\sqrt{15} \right|=\sqrt{15}-\frac{15}{4}\).

Складываем значения модулей:

\( \displaystyle \left| \frac{31}{8}-\sqrt{15} \right|+\left| \frac{15}{4}-\sqrt{15} \right|=\frac{31}{8}-\sqrt{15}+\sqrt{15}-\frac{15}{4}=\frac{1}{8}=0.125\)

В уравнении сумма равна 0

Мы уже рассматривали уравнения, равные нулю (типа «произведение равно нулю»). К виду «произведение равно нулю» сводятся многие уравнения из разных разделов алгебры.

Если в уравнении сумма равна нулю, в некоторых случаях его можно решить, применяя следующее свойство функций:

Сумма нескольких неотрицательных функций равна нулю тогда и только тогда, когда каждая из функций равна нулю.

Таким образом, уравнение

   

где

   

   

   

   

равносильно системе уравнений

   

В частности,

   

   

где 2n — чётное натуральное число

   

   

Примеры уравнений, решение которых основано на этом свойстве функций.

   

ОДЗ: x∈R.

Сумма модулей равна нулю, если каждое из слагаемых равно нулю. Поэтому данное уравнение равносильно системе

   

Найдём корни каждого уравнения:

   

Оба модуля обращаются в нуль при x=2.

Ответ: 2.

   

ОДЗ: x∈[-4;2].

Сумма корней чётной степени равна нулю, если каждое из слагаемых рано нулю. Следовательно, это уравнение равносильно системе

   

Решаем каждое уравнение:

   

Оба слагаемых обращаются в нуль при x= -4.

Ответ: -4.

Для нахождения корней достаточно решить только одно из уравнений и проверить, удовлетворяют ли полученные корни остальным уравнениям системы.

   

   

ОДЗ: x∈(-∞; 1]U[9; ∞).

Сумма неотрицательных функций равна нулю, если каждая каждая из функций равна нулю:

   

Корень третьего уравнения — x=9 — удовлетворяет также 1-му и 2-му уравнениям системы.

Ответ: 9.

   

ОДЗ: x∈[-1; 1].

Правая часть уравнений — сумма неотрицательных функций. Соответственно, уравнение равносильно системе

   

Корни второго уравнения

   

x=1 и x= -1. Оба корня удовлетворяют и первому уравнению.

Ответ: ±1.

Как в другие уравнения из курса алгебры, решаемые с применением свойств функций,  уравнения, в которых сумма неотрицательных функций равна нулю, при первом рассмотрении могут производить впечатление сложных. На самом деле, решить их достаточно просто, если помнить соответствующий теоретический материал.

Сумма модулей отклонений — Студопедия

плюсы:

— нечувствительность к выбросам.

минусы:

— сложность вычислительной процедуры;

— возможность больших отклонений между фактическими и проектными функциями;

— неоднозначность значений параметров и т.д.

Исходя из этих преимуществ и недостатков, обычно в качестве меры близости выбирают сумму квадратов и выбирают такую функцию

y=f(x), у которой эта сумма квадратов достигает минимума.

Для того, чтобы лучше понять сущность метода наименьших квадратов, необходимо вначале вспомнить математические основы определения экстремума функции нескольких переменных.

В первую очередь, введем некоторые определения:

Определение 1.Функция Z = ƒ (x, y)имеет максимум в точке М00, у0), если значение функции в этой точке больше значений ее в точках, достаточно близких к точке М00, у0), т.е.

ƒ (х0, у0) > ƒ (х0 + Δх, у0 + Δу).

Это означает, что полное приращение функции Z = ƒ (х, у), вызванное переходом от точки (х0, у0) к соседней точке, будет величиной отрицательной:

ΔZ = ƒ (х0 + Δх, у0

+ Δу) — ƒ (х0, у0) < 0. (2.1)

Определение 2.Функция Z = ƒ (x, y)имеет минимум в точке М00, у0), если значение функции в этой точке меньше значений ее в точках, достаточно близких к точке М00, у0), т. е.


ƒ (х0, у0) < ƒ (х0 + Δх, у0 + Δу).

Это означает, что полное приращение функции Z = ƒ (х, у), будет величиной положительной:

ΔZ = ƒ (х0 + Δх, у0 + Δу) — ƒ (х0, у0) > 0. (2.2)

Допустим, что функция Z = ƒ (х, у) имеет в точке М00, у0) максимум или минимум (экстремум).Тогда для функции должно выполняться одно из неравенств (3.1) или (3.2) при любых, достаточно малых Δх, Δу.

Предположим, что Δу = 0; тогда функция Z = ƒ (х, у) сделается функцией только одной переменной х. Эта функция по условию имеет экстремум.

Таким образом, условия обращения в нуль частных производных функции или несуществование хотя бы одной из них являются необходимыми условиями, но недостаточными условиями экстремума функции.

Имеем систему:

. (2.4)

Условия (2. 4) являются необходимыми для существования экстремума функции. Но может случиться, что эти условия в некоторых обстоятельствах невыполнимы.

Достаточные условия существования экстремума функции нескольких переменных имеют более сложный вид.

Пусть в точке М00, у0) частные производные обращаются в нуль, т.е.

, .

Подсчитаем значения частных производных второго порядка функции

Z = ƒ (х, у) в этой точке и обозначим их соответственно буквами: А, В, С:

тогда:

1. Если АС — В2 > 0, то функция Z = ƒ (х, у) имеет в точке М00, у0) экстремум, а именно:

при А < 0 максимум,

при А > 0 минимум.

2. Если АС — В2 < 0, то функция Z = ƒ (х, у) не имеет в точке М00, у0) экстремума.

3. Если АС — В2 = 0, то вопрос о существовании экстремума функции в точке М00, у0) остается открытым и требуются дополнительные исследования.


Метод наименьших квадратов является одним из важных применений теории экстремума функции нескольких переменных.

Предположим, что в результате некоторого опыта или наблюдения установлена зависимость между переменными величинами х и у, выражаемая в виде таблицы:

х х1 х2 хn
у у1 у2 уn

Пусть требуется перейти от табличного метода задания функции к аналитическому (т.е. выраженному в виде формулы), причем, если это нельзя сделать точно, постараемся получить аналитическую связь приближенно.

Теперь обратимся к графическому изображению данной системы. Рассматривая значения х и у как координаты точек в прямоугольной системе координат, наносим эти точки на график. Пусть, например, построенные точки расположены достаточно близко к некоторой прямой. Поэтому можно приблизительно считать, что между х и у существует линейная зависимость, выражаемая формулой,

у = ах + b.

Поставим задачу аналитического определения неизвестных коэффициентов а и b.

В основе аналитического метода определения а и b лежит метод наименьших квадратов. Точки, полученные на основании опытных данных, вообще говоря, не лежат на искомой прямой. Если бы некоторая точка (хi, уi) лежала на прямой, то ее координаты удовлетворяли бы уравнению прямой, т.е. имело бы место равенство:


уi = axi + b или axi + b — yi = 0

Однако в общем случае подстановка координат точки в уравнение прямой дала бы:

axi + b — yi = εi,

где εi ─ какая то малая величина.

Прямая сумма модулей — Примеры задач

В абстрактной алгебре прямая сумма — это конструкция, которая объединяет несколько модулей в новый, более крупный. В некотором смысле прямая сумма модулей — это «самый общий» модуль, который содержит данные модули как подпространства.

Наиболее известные примеры этой конструкции встречаются при рассмотрении векторных пространств (модулей над полем) и абелевых групп (модулей над кольцом Z целых чисел). Конструкция также может быть расширена для покрытия банаховых и гильбертовых пространств.

Конструкция векторных пространств и абелевых групп

Мы даем конструкцию первой в этих двух случаях в предположении, что у нас есть только два объекта. Затем мы обобщаем на произвольное семейство произвольных модулей. Ключевые элементы общей конструкции более четко определяются при более глубоком рассмотрении этих двух случаев.

Конструкция для двух векторных пространств

Предположим, что V и W — векторные пространства над полем K .Мы можем превратить декартово произведение V × W в векторное пространство над K , определив операции покомпонентно:

  • ( v 1 , w 1 ) + ( v 2 , w 2 ) = ( v 1 + v 2 , ш 1 + ш 2 )
  • α ( v , w ) = (α v , α w )

для v , v 1 , v 2 дюймов V , w , w 1 , w 2 в W и α в K .

Результирующее векторное пространство называется прямой суммой V и W и обычно обозначается знаком плюса внутри круга:

V⊕W {\ displaystyle V \ oplus W}

Подпространство V × {0} V W изоморфно V и часто идентифицируется с V ; аналогично для {0} × W и W . (См. Внутреннюю прямую сумму ниже.) При такой идентификации верно, что каждый элемент V W может быть записан одним и только одним способом как сумма элемента V и элемента W . Размер V W равен сумме размеров V и W .

Эта конструкция легко обобщается на любое конечное число векторных пространств.

Конструкция для двух абелевых групп

Для абелевых групп G и H , которые записываются аддитивно, прямое произведение также называется прямой суммой.Таким образом, мы превращаем декартово произведение G × H в абелеву группу, определяя операции покомпонентно:

  • ( г 1 , ч 1 ) + ( г 2 , ч 2 ) = ( г 1 + г 2 , h 1 + h 2 )

для г 1 , г 2 дюймов G и h 1 , h 2 дюймов Н .

Обратите внимание, что мы также можем расширить операцию взятия целых кратных до прямой суммы:

для г в G , h в H и n целое число. Это аналогично расширению скалярного произведения векторных пространств до указанной выше прямой суммы.

Результирующая абелева группа называется прямой суммой из G и H и обычно обозначается знаком плюса внутри круга:

G⊕H {\ displaystyle G \ oplus H}

Подпространство G × {0} из G H изоморфно G и часто идентифицируется с G ; аналогично для {0} × H и H .(См. Внутреннюю прямую сумму ниже.) С этой идентификацией верно, что каждый элемент G H может быть записан одним и только одним способом как сумма элемента G и элемента из H . Ранг G H равен сумме рангов G и H .

Эта конструкция легко обобщается на любое конечное число абелевых групп.

Построение произвольного семейства модулей

Следует заметить явное сходство между определениями прямой суммы двух векторных пространств и двух абелевых групп.Фактически каждый из них является частным случаем построения прямой суммы двух модулей. Кроме того, изменяя определение, можно учесть прямую сумму бесконечного семейства модулей. Точное определение выглядит следующим образом.

Предположим, что R — некоторое кольцо, а { M i : i in I } — семейство левых модулей R , индексированных набором I . Прямая сумма для { M i } затем определяется как набор всех функций α с областью I , таких что α ( i ) ∈ M i для все i I и α ( i ) = 0 для всех, кроме конечного числа индексов i .

Две такие функции α и β можно добавить, записав (α + β) ( i ) = α ( i ) + β ( i ) для всех i (обратите внимание, что это снова ноль для все, кроме конечного числа индексов), и такая функция может быть умножена на элемент r из R , записав ( r α) ( i ) = r (α ( i )) для все и . Таким образом, прямая сумма становится левым модулем R . Обозначим его через

⨁i∈IMi {\ displaystyle \ bigoplus _ {i \ in I} M_ {i}}

Свойства

При правильной идентификации мы снова можем сказать, что каждый элемент x прямой суммы может быть записан одним и только одним способом как сумма конечного числа элементов M i .

Если M i на самом деле являются векторными пространствами, то размерность прямой суммы равна сумме размеров M i . То же верно и для ранга абелевых групп и длины модулей.

Каждое векторное пространство над полем K изоморфно прямой сумме достаточно большого количества копий K , поэтому в определенном смысле следует учитывать только эти прямые суммы. Это неверно для модулей над произвольными кольцами.

Тензорное произведение распределяется по прямым суммам в следующем смысле: если N — некоторый правильный R -модуль, то прямая сумма тензорных произведений N на M i (что являются абелевыми группами) естественно изоморфно тензорному произведению N на прямую сумму M i .

Прямые суммы также коммутативны и ассоциативны, что означает, что не имеет значения, в каком порядке формируется прямая сумма.

Группа линейных гомоморфизмов R из прямой суммы в некоторую левую R -модуль L естественно изоморфна прямому произведению групп R -линейных гомоморфизмов из M i до L .

Внутренняя прямая сумма

Предположим, что M — это некий модуль R , а M i — это подмодуль M для каждых i в I .Если каждое x в M может быть записано одним и только одним способом как сумма конечного числа элементов M i , то мы говорим, что M — это внутренняя прямая сумма субмодулей M i . В этом случае M естественно изоморфна (внешней) прямой сумме M i , как определено выше.

Прямое слагаемое из M — это подмодуль N , такой, что есть другой подмодуль N ‘ из M , такой, что M является внутренней внутренней прямой суммой N и N ′ .

Категориальная интерпретация

На языке теории категорий прямая сумма является копроизведением и, следовательно, копределом в категории левых R -модулей, что означает, что она характеризуется следующим универсальным свойством. Для каждых i в I учитывайте естественное вложение

ji: Mi → ⨁i∈IMi {\ displaystyle j_ {i}: M_ {i} \ rightarrow \ bigoplus _ {i \ in I} M_ {i}}

, который отправляет элементы M i к тем функциям, которые равны нулю для всех аргументов, кроме i .Если f i : M i M являются произвольными линейными картами R для каждого i , то существует ровно одна линейная карта R

f: ⨁i∈IMi → M {\ displaystyle f: \ bigoplus _ {i \ in I} M_ {i} \ rightarrow M}

, так что f o j i = f i для всех i .

Прямая сумма модулей с дополнительной структурой

Если рассматриваемые нами модули несут некоторую дополнительную структуру (например,грамм. норма или внутренний продукт), то прямая сумма модулей часто также может содержать эту дополнительную структуру. В этом случае мы получаем копродукт в соответствующей категории всех объектов, несущих дополнительную структуру. Два наиболее ярких примера относятся к банаховым и гильбертовым пространствам.

Прямая сумма банаховых пространств

Прямая сумма двух банаховых пространств X и Y является прямой суммой X и Y , рассматриваемых как векторные пространства, с нормой || ( x , y ) || = || x || X + || y || Y для всех x дюймов X и y дюймов Y .

Как правило, если X i , где i пересекает набор индексов I , представляет собой набор банаховых пространств, то прямая сумма ⊕ i I X i состоит из всех функций x с доменом I , так что x ( i ) ∈ X i для всех i I и

∑i∈I‖x (i) ‖Xi конечно. {\ displaystyle \ sum _ {i \ in I} \ | x (i) \ | _ {X_ {i}} {\ mbox {конечно.}}}

Норма определяется суммой выше. Прямая сумма с этой нормой снова является банаховым пространством.

Например, если мы возьмем набор индексов I = N и X i = R , то прямая сумма ⊕ i N будет пробелом l 1 , который состоит из всех последовательностей ( a i ) вещественных чисел с конечной нормой || a || = ∑ i | a i |.

Прямая сумма гильбертовых пространств

Если дано конечное число гильбертовых пространств H 1 , …, H n , можно построить их прямую сумму, как указано выше (поскольку они являются векторными пространствами), а затем повернуть прямую сумму в гильбертово пространство, определив внутренний продукт как:

⟨(x1, . .., xn), (y1, …, yn)⟩ = ⟨x1, y1⟩ + … + ⟨xn, yn⟩ {\ displaystyle \ langle (x_ {1}, …, x_ {n}), (y_ {1}, …, y_ {n}) \ rangle = \ langle x_ {1}, y_ {1} \ rangle +… + \ langle x_ {n}, y_ {n} \ rangle}

Это превращает прямую сумму в гильбертово пространство, которое содержит данные гильбертовы пространства как взаимно ортогональные подпространства.

Если дано бесконечно много гильбертовых пространств H i для i в I , мы можем провести такое же построение; обратите внимание, что при определении внутреннего продукта только конечное число слагаемых будет отличным от нуля. Однако результатом будет только внутреннее пространство продукта, и оно не будет полным.Затем мы определяем прямую сумму гильбертовых пространств H i как завершение этого внутреннего пространства продукта.

В качестве альтернативы и эквивалентно, можно определить прямую сумму гильбертовых пространств H i как пространство всех функций α с областью I , так что α ( i ) является элементом H i для каждых i в I и:

∑i‖α (я) ‖2 <1 {\ displaystyle \ sum _ {i} \ left \ | \ alpha _ {(i)} \ right \ | ^ {2} <{\ mathcal {1}} }

Тогда скалярное произведение двух таких функций α и β определяется как:

⟨α, β⟩ знак равно ∑i⟨αi, βi⟩ {\ displaystyle \ langle \ alpha, \ beta \ rangle = \ sum _ {i} \ langle \ alpha _ {i}, \ beta _ {i} \ rangle}

Это пространство заполнено, и мы получаем гильбертово пространство. {2}}. Сравнивая это с примером для банаховых пространств, мы видим, что прямая сумма банахова пространства и прямая сумма гильбертова пространства не обязательно совпадают. Но если имеется только конечное число слагаемых, то прямая сумма банахова пространства изоморфна прямой сумме гильбертова пространства.

Каждое гильбертово пространство изоморфно прямой сумме достаточно большого числа копий основного поля (либо R , либо C ).

de: Direkte Summe es: Suma directa fr: somme directe он: סכום ישר ja: 直 和

(PDF) Подмодули типов и разложение модулей по прямой сумме

98 J.DAUNS AND Y. ZHOU

(4) ⇒ (2). Пусть K — естественный класс. Чтобы показать (2), достаточно показать

, что для любых подмодулей X и Y из M, если X и Yare в K, тогда

будет X + Y. По лемме Цорна существует подмодуль Pmaximal

относительно X⊆P∈K и подмодуль Qmaximal относительно

до Y⊆Q∈K. Тогда P и Q дополняют подмодули M,

P∩Q≤eP и P∩Q ≤eQ. Таким образом, P и Q оба являются замыканиями

P∩Qin M. Если P = Q, по (4) существует 0– = X⊆P + Q, например

P∩X = 0 и X → P∩Q.Тогда X∈K и P⊂P⊕X∈K, противоречие

. Итак, P = Q и, значит, X + Y⊆P∈K.

(5) ⇒ (1). Предположим, что (1) не выполняется. Тогда существуют подмодули типа

T1- = T2 Mof типа K для естественного класса K. Отсюда следует

, что T1∩T2- = 0, T1∩T2≤eTifor i = 1,2, и T1∩T2 не является существенным

. в T1 + T2. Таким образом, существует 0  = A⊆T1 + T2, такое что

T1∩T2∩A = 0. Отсюда следует, что Ti∩A = 0fori = 1,2. Поскольку

каждый Ti является подмодулем типа M, мы имеем TiTA. Мы знаем, что

A = A / (T1∩A) ∼

= (A + T1) / T1⊆ (T2 + T1) / T1∼

= Т2 / (Т1∩Т2).Тогда

A∼

= B / (T1∩T2) для некоторого B с T1∩T2≤eB⊆T2. Обратите внимание, что B⊥A,

и поэтому B∩A = 0 иB⊕A⊆M.

(3) ⇒ (5). Предположим, что существует вложение X⊕ (X / Y) α

→ M

, где Y — собственный существенный подмодуль X и X⊥ (X / Y). Возьмем

x∈X, но x / ∈Y, и пусть m1 = α (x) и m2 = α (x + Y). Тогда m1R⊥

m2R. Чтобы в этом убедиться, пусть m1aR ∼

= m2bR для некоторых a, b ∈R. Отсюда следует, что

α (xaR) ∼

= α ((x + Y) bR). Это дает xaR ∼

= (x + Y) bR.Должно быть

xaR = 0, поскольку X⊥ (X / Y). Итак, m1aR = 0. Таким образом, m1R⊥m2R.

Кроме того, m⊥

1⊆m⊥

2 и m⊥

2 / m⊥

1≤eR / m⊥

1.Wenextprovem2 = 0,

, что дает противоречие. Определим β: m1R → m2R по β (m1r) = m2r,

r∈R. Тогда β является гомоморфизмом и ker (β) = m1m⊥

2. Пусть L будет замыканием типа

для ker (β) inm1R. Определим f: m1R → m1R⊕m2R (⊆M)

как f (x) = x + β (x), x∈m1R. Тогда это мономорфизм. Поскольку L

является замыканием типа ker (β) inm1R, f (ker (β)) параллельно f (L).Это

дает, что ker (β) параллельно f (L). Пусть Ltc и f (L) tc — замыкания типа

Земли f (L) inM соответственно. Тогда и Ltc, и f (L) tc

являются замыканиями типа ker (β) в M. По (3) Ltc = f (L) tc. Отсюда следует, что

L + f (L) является параллельным расширением L.ПримечаниеL — это подмодуль типа

m1R. Так как m1R⊥m2R, Lis — подмодуль типа для m1R⊕m2R. Это

означает, что L = L + f (L), т. Е. F (L) .L. Отсюда следует, что β (L) ⊆L.

прямая сумма в nLab

Прямые суммы и слабые прямые произведения

Контекст

Пределы и пределы

пределы и коллимиты

1-категориальный

  • предел и копредел

    • лимитов и копределов на примере

    • Коммутативность пределов и копределов

    • малый лимит

    • отфильтрованный colimit

    • колимит просеянный

    • подключенный лимит, широкий откат

    • сохраненный лимит, отраженный лимит, созданный лимит

    • продукт, продукт волокна, изменение базы, сопродукт, откат, выталкивание, изменение базы, эквалайзер, коэквалайзер, соединение, встреча, конечный объект, исходный объект, прямой продукт, прямая сумма

    • конечный предел

  • Канский добавочный номер

  • взвешенный лимит

  • конец и коэнда

2-категоричный

(∞, 1) -категория

Модельно-категориальная

Идея

Понятие прямой суммы или слабого прямого произведения — это понятие из алгебры, которое действительно имеет смысл в любой категории CC с нулевыми морфизмами (то есть любой категории, обогащенной над замкнутой моноидальной категорией заостренных множеств), поскольку пока существуют необходимые (со) лимиты.

Базовый и знакомый пример — прямая сумма V1⊕V2V_1 \ oplus V_2 двух векторных пространств V1V_1 и V2V_2 над некоторым полем или, в более общем смысле, двух модулей над некоторым кольцом. Как правило, для II — множество и {Vi} i∈I \ {V_i \} _ {i \ in I} — индексируемое II семейство векторных пространств или модулей, их прямая сумма ∈i∈IVi \ bigoplus_ {i \ in I } V_i — это набор формальных линейных комбинаций элементов в каждом из ViV_i. Это может частично мотивировать терминологию: элемент в прямой сумме — это сумма элементов , по крайней мере, в этих случаях.

Это обобщает двумя разными способами, которые мы называем прямой суммой и слабым прямым произведением . Во многих случаях (как в примере выше) они совпадают, но не всегда. Также во многих случаях прямые суммы будут такими же, как и сопутствующие продукты. В любом случае конечные слабые прямые продукты такие же, как и продукты, но бесконечные версии (почти всегда) разные.

Терминология

Название «слабый прямой продукт» происходит от понятия прямого продукта в алгебре для продукта в конкретной категории, созданного с помощью функтора забывчивости; слабый прямой продукт будет подобъектом прямого продукта (и всего прямого продукта в конечных случаях). Но здесь мы не будем ограничиваться контекстом такой конкретной категории.

Термин «прямая сумма» происходит от конечного побочного продукта (одновременно продукта и сопутствующего продукта) в аддитивных категориях. Аддитивный характер этих побочных продуктов распространяется в бесконечном случае (где побочные продукты обычно больше не появляются) на побочные продукты, а не на продукт. Даже когда прямая сумма не совпадает с побочным продуктом, он все равно сохраняет часть этого аромата.

В классических примерах CC прямая сумма и слабое прямое произведение совпадают.Однако приведенные ниже общие определения различают их в некоторых случаях, и мы используем термины «прямая сумма» и «слабый прямой продукт», чтобы лучше всего вызвать ощущения «как сопутствующий продукт» и «часть продукта».

Определения

Пусть 𝒞 \ mathcal {C} — категория с произведениями и копроизведениями, а также с нулевыми морфизмами. Пусть II — множество, и пусть (Ai) i∈I (A_i) _ {i \ in I} — II-индексированное семейство объектов в 𝒞 \ mathcal {C}, следовательно, функция A: I → Obj ( 𝒞) A: I \ to Obj (\ mathcal {C}).

Теперь мы определим как прямую сумму, так и слабое прямое произведение этого семейства.AiA_i будем называть прямыми слагаемыми или (слабыми) прямыми множителями .

Прямая сумма

Здесь мы должны предположить, кроме того, что 𝒞 \ mathcal {C} — обычная категория (или иначе имеет хорошее представление об изображении).

Определение

Пусть rr — морфизм копроизведения ∐iAi \ coprod_i A_i в произведение ∏iAi \ prod_i A_i, характеризующийся наличием следующих компонентов

(Ai → ∐A → r∏A → Aj) = {IdAiifi = j0ijifi ≠ j, \оставил( A_i \ to \ coprod A \ stackrel {r} {\ to} \ prod A \ to A_j \верно) знак равно \оставил\{ \множество{ Id_ {A_i} & if \; я = j \\ 0_ {ij} & если \; я \ neq j ,} \верно.\,

, где 0ij0_ {ij} — нулевой морфизм от AiA_i к AjA_j.

Прямая сумма по семейству {Ai} \ {A_i \} — это изображение

∐iAi → coimr⨁iAI → imriAi \ coprod_i A_i \ overset {\ coim r} \ to \ bigoplus_i A_I \ overset {\ im r} \ to \ prod_i A_i

морфизма рр.

Слабое прямое произведение

Здесь мы рассматриваем финишные изделия

∏i∈FAi \ prod_ {i \ in F} A_i

, поскольку FF изменяется на конечных подмножествах индексного множества II. (В конструктивной математике используйте здесь «конечно индексированные» или «конечные по Куратовски» … хотя если II имеет разрешимое равенство, как это имеет место в обычных примерах, то каждое конечно индексированное подмножество II на самом деле конечно в самом строгом смысле.)

Эти конечные произведения образуют прямую систему, индексируемую направленным множеством 𝒫finI \ mathcal {P} _ {fin} I конечных подмножеств II (упорядоченных по включению) с отображением

∏i∈FAi → ∏i∈GAi, \ prod_ {i \ in F} A_i \ to \ prod_ {i \ in G} A_i,

, где F⊆GF \ substeq G, заданная формулой

∏i∈FAi≅∏i∈FAi × ∏i∈G ∖ F1 → (id, 0) ∏i∈FAi × ∏i∈G ∖ FAi≅∏i∈GAi. \ prod_ {i \ in F} A_i \ cong \ prod_ {i \ in F} A_i \ times \ prod_ {i \ in G \ setminus F} 1 \ stackrel {(id, 0)} {\ to} \ prod_ { i \ in F} A_i \ times \ prod_ {i \ in G \ setminus F} A_i \ cong \ prod_ {i \ in G} A_i. wk_i A_i определяется как направленный копредел этой прямой системы.

Примеры

Пример

В категориях Grp или Ab (абелевых) групп прямая сумма и слабое прямое произведение согласуются. Для конечного числа объектов это то же самое, что и прямой продукт, который является продуктом в обеих категориях.

Предложение

В этих примерах прямая сумма также может быть описана в более элементарных терминах как подгруппа прямого произведения:

⨁i: IAi = {(ai) i: I | ess∀ (i: I), ai = 0}, \ bigoplus_ {i: I} A_i = \оставил\{ (a_i) _ {i: I} \; | \; ess \ forall (i: I), \; a_i = 0 \верно\} \ ,,

, где «ess∀ess \ forall» означает «для всех, кроме конечного множества».Это проясняет, что прямая сумма равна прямому продукту, когда задействовано только конечное число объектов.

Для 𝒞 = \ mathcal {C} = Ab, RRMod это группа формальных линейных комбинаций элементов в слагаемых.

Пример

Для RR кольца прямые суммы в категории RRMod или модулей над RR даются суммами на нижележащих абелевых группах.

Пример

В категории заостренных множеств прямая сумма и слабое прямое произведение различаются.p прямых сумм для 1≤p≤∞1 \ leq p \ leq \ infty, хотя я не знаю, каким универсальным свойствам они все удовлетворяют.) В этом случае прямая сумма совпадает с копроизведением, а слабое прямое произведение — то же самое, что и произведение даже для бесконечно большого числа объектов. См. Прямую сумму банаховых пространств.

Внутренние прямые суммы

Дан объект BB и семейство подобъектов? AiA_i группы BB (или, в более общем смысле, семейство морфизмов Ai → BA_i \ to B, или эквивалентно отображение ∐iAi → B \ coprod_i A_i \ to B), предположим, что существует прямая сумма ⨁iAi \ bigoplus_i A_i.Предположим далее, что отображение ∐iAi → B \ coprod_i A_i \ в B факторизуется через отображение ∐iAi → ⨁iAi \ coprod_i A_i \ в \ bigoplus_i A_i (что означает, что оно уникально множится, если ∐iAi → ⨁iAi \ coprod_i A_i \ to \ bigoplus_i A_i эпично, так как должно быть в обычной категории). Наконец, предположим, что (или) фактор-отображение ⨁iAi → B \ bigoplus_i A_i \ to B является изическим. Затем мы говорим, что BB — это внутренняя прямая сумма AiA_i.

Напротив, абстрактно определенная прямая сумма ⨁iAi \ bigoplus_i A_i может называться внешней прямой суммой .Эти термины обычно используются с конкретными категориями, где AiA_i может быть задан независимо (для внешней прямой суммы) или как подмножество некоторого окружающего пространства (либо BB, либо что-то из того, что BB является подмножеством) для внутренней прямой суммы. В слишком абстрактном контексте разницы нет: с одной стороны, любая внутренняя прямая сумма тем более изоморфна любой внешней прямой сумме; с другой стороны, для внешней прямой суммы существует естественное отображение ∐iAi → ⨁iAi \ coprod_i A_i \ to \ bigoplus_i A_i, относительно которого внешняя прямая сумма является внутренней прямой суммой.3 | y \ in \ mathbb {F} \} \), то уравнение (4.4.2) остается в силе.

Если \ (U = U_1 + U_2 \), то для любого \ (u \ in U \) существуют \ (u_1 \ in U_1 \) и \ (u_2 \ in U_2 \) такие, что \ (u = u_1 + u_2. \)

Если так получилось, что \ (u \) можно однозначно записать как \ (u_1 + u_2 \), то \ (U \) называется прямой суммой \ (U_1 \) и \ (U_2. \)

Определение 4.4.3: Прямая сумма

Предположим, что каждое \ (u \ in U \) может быть однозначно записано как \ (u = u_1 + u_2 \) для \ (u_1 \ in U_1 \) и \ (u_2 \ in U_2 \).{2m + 1} \}. \]
Тогда \ (\ mathbb {F} [z] = U_1 \ oplus U_2. \)

Предложение 4.4.6 . Пусть \ (U_1, U_2 \ subset V \) — подпространства. Тогда \ (V = U_1 \ oplus U_2 \) тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:

  1. \ (V = U_1 + U_2; \)
  2. Если \ (0 = u_1 + u_2 \) с \ (u_1 \ in U_1 \) и \ (u_2 \ in U_2 \), тогда \ (u_1 = u_2 = 0. \)

Доказательство.
\ ((«\ Rightarrow») \) Предположим, \ (V = U_1 \ oplus U_2 \).Тогда по определению выполняется условие 1. Конечно, \ (0 = 0 + 0 \), и, поскольку по уникальности это единственный способ записать \ (0 \ in V \), мы имеем \ (u_1 = u_2 = 0 \).

\ ((«\ Leftarrow») \) Предположим, что выполнены условия 1 и 2. По условию 1 для всех \ (v \ in V \) существуют \ (u_1 \ in U_1 \) и \ (u_2 \ in U_2 \) такие, что \ (v = u_1 + u_2 \). Предположим, \ (v = w_1 + w_2 \) с \ (w_1 \ in U_1 \) и \ (w_2 \ in U_2 \). Вычитая два уравнения, получаем

\ [0 = (u_1 — w_1) + (u_2 — w_2), \]

, где \ (u_1 — w_1 \ in U_1 \) и \ (u_2 — w_2 \ in U_2 \).По условию 2 это подразумевает \ (u_1 — w_1 = 0 \) и \ (u_2 — w_2 = 0 \), или, что эквивалентно, \ (u_1 = w_1 \) и \ (u_2 = w_2 \), как требуется.

Предложение 4.4.7. Пусть \ (U_1, U_2 \ subset V \) будут подпространствами. Тогда \ (V = U_1 \ oplus U_2 \) тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:

  1. \ (V = U_1 + U_2; \)
  2. \ (U_1 \ cap U_2 = \ {0 \}. \)

Доказательство.
\ ((«\ Rightarrow») \) Предположим, \ (V = U_1 \ oplus U_2 \).Тогда по определению выполняется условие 1. Если \ (u \ in U_1 \ cap U_2 \), то \ (0 = u + (−u) \) с \ (u \ in U_1 \) и \ (- u \ in U_2 \) (почему?). По предложению 4.4.6 имеем \ (u = 0 \) и \ (- u = 0 \), так что \ (U_1 \ cap U_2 = \ {0 \}. \)

\ ((«\ Leftarrow») \) Предположим, что выполнены условия 1 и 2. Чтобы доказать, что выполняется \ (V = U_1 \ oplus U_2 \), предположим, что

\ [0 = u_1 + u_2, \ rm {~ где ~} u_1 \ в U_1 \ rm {~ и ~} u_2 \ в U_2. \ tag {4.3} \]

По предложению 4.4.6 достаточно показать, что \ (u_1 = u_2 = 0 \).3 \ neq U_1 \ oplus U_2 \ oplus U_3 \), поскольку, например,

\ [(0, 0, 0) = (0, 1, 0) + (0, 0, 1) + (0, -1, -1). \]

Но \ (U_1 \ cap U_2 = U_1 \ cap U_3 = U_2 \ cap U_3 = \ {0 \} \), так что аналог предложения 4.4.7 не выполняется.

Авторы

Версии этого учебника в твердом и мягком переплете доступны на сайте WorldScientific. com.

О. В. Камловский, “Сумма модулей коэффициентов Уолша для некоторых сбалансированных булевых функций”, Матем.Вопр. Криптогр., 8: 4 (2017), 75–98













Эта статья цитируется в научной статье 1 (всего в статье 1 )

Сумма модулей коэффициентов Уолша для некоторых сбалансированных булевых функций

О.В. Камловский

ООО «Центр Сертификационных Исследований», Москва

Аннотация: Мы рассматриваем следующие сбалансированные булевы функции: а) построенные из нормальной бент-функции методом Доббертина, б) мажоритарная функция, в) функции, значения единиц которых последовательно расположены в таблице истинности. Получены точные формулы и оценки сумм модулей коэффициентов Уолша.

Ключевые слова: Логические функции, коэффициенты Уолша, генераторы фильтрации, генераторы комбинирования.

DOI: https://doi.org/10.4213/mvk240

Полный текст: PDF-файл (225 kB)
Ссылки : PDF файл HTML файл

Библиографические базы данных:


УДК: 519.12 + 519.719.2
Поступила 11.V.2017

Образец цитирования: О. В. Камловский, “Сумма модулей коэффициентов Уолша для некоторых сбалансированных булевых функций”, Матем. Вопр. Криптогр., 8: 4 (2017), 75–98

Цитирование в формате AMSBIB

\ RBibitem {Kam17}
\ by О. ~ В. ~ Камловский
\ paper Сумма модулей коэффициентов Уолша для некоторых сбалансированных булевых функций
\ jour Матем. Вопр. Криптогр.
\ год 2017
\ vol 8
\ issue 4
\ pages 75--98
\ mathnet {http://mi. mathnet.ru/mvk240}
\ crossref {https://doi.org/10.4213/mvk240 }
\ mathscinet {http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=3770676}
\ elib {https://elibrary.ru/item.asp?id=32641310}

Варианты соединения:

  • http://mi.mathnet.ru/eng/mvk240
  • https://doi.org/10.4213/mvk240
  • http://mi.mathnet.ru/eng/mvk/v8/i4/p75

    Цитирующие статьи в Google Scholar: Русские цитаты, Цитаты на английском языке
    Статьи по теме в Google Scholar: Русские статьи, Английские статьи

    Эта публикация цитируется в следующих статьях:

    1. О.А. Логачев, С. Н. Федоров, В. В. Ященко, “О $ \ Delta $ -эквивалентности булевых функций”, Дискретная математика. Appl., 30: 2 (2020), 93–101
  • Количество просмотров:
    Эта страница: 295
    Полный текст: 143
    Ссылки: 38
    Первая страница:

    прямой перевод% 20sum% 20of% 20modules — английский французский перевод прямого% 20sum% 20of% 20modules

    Ваш поиск не дал результатов

    EN Слова, похожие на прямые% 20sum% 20of% 20modules

    • отстранение ,
    • Därstetten ,
    • du reste ,
    • Drust IX des Pictes ,
    • Друк Цендхен ,
    • Drucat ,
    • Дроге де Травейл ,
    • Дроге-де-Травей ,
    • Дроэда ,
    • Driss Jettou ,
    • Дрезденко ,
    • Дрезднер Банк ,
    • Дрезден ,
    • Дрезде

    FR Слова, похожие на прямые% 20sum% 20of% 20modules

    • Därstetten ,
    • Дурресский район ,
    • Сухих дрожжей ,
    • Стены из сухого камня ,
    • Стена из сухого камня ,
    • Сухой камень ,
    • галантерея ,
    • Друст IX пиктов ,
    • Друк Цендхен ,
    • аптека ,
    • Торговля наркотиками ,
    • Наркотуризм ,
    • Дизайн лекарств ,
    • наркозависимый ,
    • наркозависимость

    Прямая сумма — go2kanid

    Прямые суммы определены для ряда различных видов математических объектов,

    включая подпространства, матрицы, модули и группы.

    Прямая сумма матрицы определяется как

    (Ayres 1962, стр. 13-14).

    Прямая сумма двух подпространств и представляет собой сумму подпространств, в которых и имеют общий только нулевой вектор (Розен 2000, стр. 357).

    Важным свойством прямой суммы является то, что она является копродуктом в категории модулей (т. Е. Прямой суммой модулей). Это общее определение как следствие дает определение прямой суммы абелевых групп и (поскольку они являются -модулями, т.е., модули над целыми числами) и прямую сумму векторных пространств (поскольку они являются модулями над полем). Обратите внимание, что прямая сумма абелевых групп такая же, как прямое произведение группы, но термин прямая сумма не используется для неабелевых групп.

    Обратите внимание, что прямые продукты и прямые суммы различаются для бесконечных индексов. Элемент прямой суммы равен нулю для всех элементов, кроме конечного, в то время как элемент прямого произведения может иметь все ненулевые элементы.

    СМОТРИ ТАКЖЕ: Abelian Group, Direct Product, Direct Summand, Group Direct Product, Group Direct Sum, Matrix Direct Sum, Module, Module Direct Sum

    Части этой записи предоставлены Тоддом Роулендом

    ССЫЛКИ:

    Ayres , Ф.Jr. Очерк теории и проблем матриц Шаума. New York: Schaum, 1962.

    Rosen, K.H. (Ed.). Справочник по дискретной и комбинаторной математике. Boca Raton, FL: CRC Press, 2000.

    Прямая сумма двух подпространств и является суммой подпространств, в которых и имеют общий только нулевой вектор (Rosen 2000, стр. 357).

    Важным свойством прямой суммы является то, что она является сопутствующим продуктом в категории модулей (т.е., модульная прямая сумма). Это общее определение как следствие дает определение прямой суммы абелевых групп и (поскольку они являются -модулями, т. Е. Модулями над целыми числами) и прямой суммы векторных пространств (поскольку они являются модулями над полем).

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.

    © 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

    Карта сайта