Свойства диагоналей и средней линии трапеции: Свойства трапеции: отрезок, соединяющий середины диагоналей

Трапеция и ее свойства — презентация онлайн

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Трапеция и ее свойства.

Работу выполнила учитель математики
Снегурова А.М.
МБОУ СОШ №5 г-к АНАПА.
Тот, кто учится самостоятельно, достигнет в семь раз
больше того, кому все разъясняется.
Артур Гитерман.

2. Элементы трапеции

• Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны
параллельны, а две стороны не параллельны.
• Элементы трапеции:
• Основания трапеции — параллельные стороны
• Боковые стороны — две другие стороны
• Средняя линия — отрезок, соединяющий середины
боковых сторон.
• Вторая средняя линия — отрезок, соединяющий
середины оснований.
• Диагонали трапеции – это отрезки, соединяющие
противоположные вершины трапеции.
• Высота трапеции — это расстояние между
основаниями .
a — нижнее основание
b — верхнее основание
α, β — углы между
диагоналями
h — высота трапеции
m — средняя линия трапеции
S — площадь трапеции
d1 , d2 — диагонали трапеции

4. Сумма углов при каждой боковой стороне равна 1800

• ∠1+∠2=180​∘
• ∠3+∠4=180∘

5. Биссектриса любого угла отсекает на ее основании (или на ее продолжении)отрезок, равный боковой стороне.

Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции
пересекаются под прямым углом.

6. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им.

a
b
m=
=

7.

Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90 градусов, то отрезок, соединяющий середины оснований равен ихполуразности:
В
А
М
С
K
D

8. Средняя линия

9. Линия, проходящая через точку пересечения диагоналей

Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через
точку пересечения диагоналей, делится последней пополам
и равен среднему гармоническому длин оснований
трапеции (формула Буракова).
MN =
a
N
M
b

10. Линия, делящая площадь трапеции на равновеликие части

В трапеции с перпендикулярными
диагоналями:
если BF = FC и AH = HD
FH=
=
=
Если провести отрезок, концы которого лежат
на основаниях трапеции и проходящий через
точку пересечения диагоналей трапеции ,то
соотношение составляющих его отрезков от
стороны основания до точки пересечения
диагоналей будет равно соотношению
оснований трапеции. Это справедливо и для
диагоналей и для высоты.
А площадь такой трапеции равна квадрату
высоты :
2
SABCD = h

12.

В равнобедренной трапеции равны не только боковые стороны, но и диагонали: AC = BDh=m
Если в равнобедренной трапеции диагонали
перпендикулярны, то средняя линия равна высоте
трапеции.

13. В любой трапеции следующие четыре точки лежат на одной прямой:

В любой трапеции следующие четыре точки
лежат на одной прямой:
1) E – точка пересечения продолжений боковых
сторон;
2)F и H – середины оснований;
3) G – точка пересечения диагоналей.
Если продлить стороны трапеции в сторону
меньшего основания, то точка пересечения
сторон будет совпадать с прямой линией,
которая проходит через середины оснований.
Таким образом, любая трапеция может быть
достроена до треугольника.
При этом:
Треугольники, образованные основаниями
трапеции с общей вершиной в точке пересечения
продленных боковых сторон являются
подобными.
Прямая, соединяющая середины оснований
трапеции, является, одновременно, медианой
построенного треугольника

15.

Высота, проведенная из вершины тупого угла в равнобокой трапеции делит большее основание на два отрезка:

16. Треугольники, образованные основаниями и диагоналями, подобны. Их коэффициент подобия k равен отношению большего основания к

меньшему
снованию трапеции.

17. Если в произвольной трапеции сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность:  a+b = c+d

Если в произвольной трапеции сумма
оснований равна сумме боковых сторон, то в
нее можно вписать окружность:
a+b = c+d
C
B
Диаметр вписанной в трапецию
окружности равен высоте трапеции,
радиус — половине высоты:
h
A
D
d=h или
r=
Если в трапецию можно вписать окружность, то квадрат
высоты равен произведению оснований
h3 = BC · AD

18.   Площадь трапеции равна отношению квадрата радиуса вписанной окружности умноженное на четыре и синуса острого угла между

Площадь трапеции равна отношению квадрата радиуса
вписанной окружности умноженное на четыре и синуса
острого угла между боковой стороной и основанием
S
=
4r2
Sin α

19.

В трапецию можно вписать окружность, если:• сумма длин боковых сторон равна сумме длин оснований:
AB + CD = BC + AD;
• трапеция равнобедренная;
• боковая сторона трапеции видна из центра вписанной
окружности под прямым углом.

20. Формулы в помощь:

*Cредняя линия через площадь и высоту:
*Высота через площадь и длины оснований:
*Высота через площадь и длину средней линии:
*Площадь через среднюю линию и высоту S= h·m
*В равнобедренной трапеции длина диагонали равна d =
где с – боковая сторона, a и b – основания
или
d=
*Длина основания через среднюю линию и другое основание
a = 2m — b и b = 2m — a

21. Описанная окру́жность многоугольника — окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка  (принято

Описанная окру́жность многоугольника —
окружность, содержащая все вершины
многоугольника.
Центром является точка (принято обозначать {O})
пересечения серединных перпендикуляров к
сторонам многоугольника.
• Радиус окружности, описанной около трапеции, можно
найти как радиус окружности, описанной около из одного
из двух треугольников, на которые трапецию делит ее
диагональ.
• Где находится центр окружности, описанной около
трапеции? Это зависит от угла между диагональю
трапеции и ее боковой стороной.

22. Окружность, описанная около трапеции. Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его

противолежащих углов равна
180º. Отсюда следует, что вписать в окружность можно
только равнобокую трапецию.
Радиус описанной окружности — точка пересечения серединных
перпендикуляров с сторонам трапеции.
Если диагональ трапеции перпендикулярна ее боковой
стороне, то центр окружности, описанной около
трапеции, лежит на середине ее большего основания.
Радиус описанной около трапеции окружности в этом
случае равен половине ее большего основания:

English     Русский Правила

Что такое трапеция: определение, виды, свойства

В данной публикации мы рассмотрим определение, виды и свойства (касательно диагоналей, углов, средней линии, точки пересечения боковых сторон и т. д.) одной из основных геометрических фигур – трапеции.

• Определение трапеции
• Виды трапеций
  • Равнобедренная трапеция
  • Прямоугольная трапеция
  • Разносторонняя трапеция
• Свойства трапеции
  • Свойство 1
  • Свойство 2
  • Свойство 3
  • Свойство 4
  • Свойство 5
  • Свойство 6
  • Свойство 7
  • Свойство 8

Определение трапеции

Трапеция – это четырехугольник, две стороны которого параллельны, а остальные две – нет.

Параллельные стороны называются основаниями трапеции (AD и BC), две другие стороны – боковыми (AB и CD).

Угол при основании трапеции – внутренний угол трапеции, образованный ее основанием и боковой стороной, например, α и β.

Трапеция записывается путем перечисления его вершин, чаще всего, это ABCD. А основаниям обозначаются маленькими латинскими буквами, например, a и b.

Средняя линия трапеции (MN) – отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.

Высота трапеции (h или BK) – это перпендикуляр, проведенный от одного основания к другому.

Виды трапеций

Равнобедренная трапеция

Трапеция, боковые стороны которой равны, называется равнобедренной (или равнобокой).

AB = CD

Прямоугольная трапеция

Трапеция, у которой оба угла при одной из ее боковых сторон прямые, называется прямоугольной.

∠BAD = ∠ABC = 90°

Разносторонняя трапеция

Трапеция является разносторонней, если ее боковые стороны не равны, и ни один из углов при основании не является прямым.

Свойства трапеции

Перечисленные ниже свойства применимы к любым видам трапеций. Свойства равнобедренной и прямоугольной трапеций представлены на нашем сайте в отдельных публикациях.

Свойство 1

Сумма углов трапеции, прилежащих к одной и той же боковой стороне, равна 180°.

α + β = 180°

Свойство 2

Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равняется половине их суммы.

Свойство 3

Отрезок, который соединяет середины диагоналей трапеции, лежит на ее средней линии и равняется половине разности оснований.

• KL – отрезок, соединяющий середины диагоналей AC и BD
• KL лежит на средней линии трапеции MN

Свойство 4

Точки пересечения диагоналей трапеции, продолжений ее боковых сторон и середин оснований лежат на одной прямой.

• DK – продолжение боковой стороны CD
• AK – продолжение боковой стороны AB
• E – середина основания BC, т.е. BE = EC
• F – середина основания AD, т.е. AF = FD

Если сумма углов при одном основании равняется 90° (т. е. ∠DAB + ∠ADC = 90°), значит продолжения боковых сторон трапеции пересекаются под прямым углом, а отрезок, который соединяет середины оснований (ML) равняется половине их разности.

Свойство 5

Диагонали трапеции делят ее на 4 треугольника, два из которых (при основаниях) подобны, а два других (при боковых сторонах) равны по площади.

• ΔAED ~ ΔBEC
• S_ΔABE = S_ΔCED

Свойство 6

Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно ее основаниям, можно выразить через длины оснований:

Свойство 7

Биссектрисы углов трапеции при одинаковой боковой стороне взаимно перпендикулярны.

• AP – биссектриса ∠BAD
• BR – биссектриса ∠ABC
• AP перпендикулярна BR

Свойство 8

В трапецию можно вписать окружность только в том случае, если сумма длин ее оснований равна сумме длин ее боковых сторон.

Т.е. AD + BC = AB + CD

Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине ее высоты: R = h/2.

Геометрия: свойства трапеций

Трапеция — это четырехугольник с ровно двумя параллельными сторонами. На рис. 15.1 показана трапеция ABCD. Помните о правилах именования полигонов. Вы должны перечислить вершины в последовательном порядке. В трапеции ABCD ¯BC ¯AD. Параллельные стороны ¯BC и ¯AD называются основаниями , а непараллельные стороны ¯AB и ¯CD — катетами . Углы при основании — это пара углов, имеющих общее основание. На рис. 15.1 A и D образуют один набор основных углов.

Рисунок 15.1 Трапеция ABCD.

Когда середины двух катетов трапеции соединяются вместе, результирующий сегмент называется медианой трапеции. На рис. 15.2 R и S — середины ¯AB и ¯CD, а ¯RS — медиана трапеции ABCD. Медиана трапеции параллельна каждому основанию. Как ни странно, длина медианы трапеции равна половине суммы длин двух оснований. Примите эти утверждения как теоремы (без доказательства) и используйте их при необходимости.

Рис. 15.2 R и S — середины ¯AB и ¯CD, а ¯RS — медиана трапеции ABCD.

• Теорема 15.1 : Медиана трапеции параллельна каждому основанию.
• Теорема 15.2 : Длина медианы трапеции равна половине суммы длин двух оснований.
• Пример 1 : В трапеции ABCD, ¯BC ¯AD, R — середина ¯AB, а S — середина ¯CD, как показано на рис. 15.3. Найдите AD, BC и RS, если BC = 2x, RX = 4x 25 и AD = 3x 5,9.0028

Рис. 15.3 Трапеция ABCD, ¯BC ¯AD ¯AB имеет середину R, а ¯CD имеет середину S. можно заменить значениями для каждой длины сегмента:

4x 25 = ¹ / ₂ (3x 5 + 2x)

Перестановка и упрощение дает:

4x 25 = ⁵ / 29048 / ₂

4x ⁵ / ₂ x = 25 — ⁵ / ₂

³ / ₂ x = ⁴⁵ / ₂

x = 15

So, x = 15, BC = 30, RS = 35, AD = 40.

Высота трапеции — это отрезок перпендикулярной линии, проходящий от вершины одного основания до другого основания (или до продолжения этого основания). На рис. 15.4 ¯BT — высота трапеции ABCD.

Рисунок 15.4 Трапеция ABCD с высотой ¯BT.

Solid Facts

Трапеция — это четырехугольник, у которого ровно две параллельные стороны.

оснований трапеции являются параллельными сторонами.

катетов трапеции являются непараллельными сторонами.

Медиана трапеции — это отрезок, соединяющий середины двух катетов.

Высота трапеции — это отрезок перпендикулярной прямой от вершины одного основания до другого основания (или продолжения этого основания).

Углы при основании трапеции представляют собой пару углов, имеющих общее основание.

В трапецию встроены две параллельные прямые (основания ¯BC и ¯AD), пересеченные секущей (одним из катетов, либо ¯AB, либо ¯CD). Вы знаете, что два внутренних угла на одной стороне секущей являются дополнительными углами (теорема 10.5), поэтому A и B являются дополнительными углами, как и C и D. Автор Denise Szecsei, Ph.D. Все права защищены, включая право на полное или частичное воспроизведение в любой форме. Используется по договоренности с Alpha Books , член Penguin Group (USA) Inc.

Чтобы заказать эту книгу непосредственно у издателя, посетите веб-сайт Penguin USA или позвоните по телефону 1-800-253-6476. Вы также можете приобрести эту книгу на Amazon.com и в Barnes & Noble.

• Геометрия: расчет площадей

Трапеция

(Переход к площади трапеции или периметру трапеции)

Трапеция – это четырехгранная плоская фигура с прямыми сторонами, имеющая пара параллельных противоположных сторон (обозначены стрелками ниже):

Трапеция		Равнобедренная трапеция

Трапеция:

	имеет пару параллельных сторон
	это равнобедренных трапеция, когда она имеет равных углов от параллельной стороны
	называется « трапеция » в Великобритании (см. ниже)

Игра с трапецией:

изображений/geom-quad.js?mode=trapezoid

 

Параллельные стороны являются «основаниями»

Две другие стороны — «ножки»

Расстояние (под прямым углом) от одного основания до другого называется «высотой»

Район трапеции

Площадь равна среднему значению двух базовых длин, умноженному на высоты : Площадь = a+b 2  × h

Пример: Два основания трапеции равны 6 м и 4 м, а высота 3 м. Какова его площадь?

Площадь = 6 ​​м + 4 м 2 × 3 м = 5 м × 3 м = 15 м ²

Инструмент «Площадь многоугольника по рисованию» полезен, когда вы можете нарисовать трапецию.

Периметр трапеции

Периметр — это расстояние по краям.

Периметр равен сумме длин всех сторон : Периметр = a+b+c+d

Пример: Трапеция имеет длины сторон 5 см, 12 см, 4 см и 15 см, каков ее периметр?

Периметр = 5 см + 12 см + 4 см + 15 см = 36 см

Медиана трапеции

Медиана (также называемая средней линией или средним сегментом) представляет собой отрезок, проходящий посередине между двумя основаниями. Длина медианы равна среднему значению двух базовых длин: м = а+б 2

Вы можете вычислить площадь, когда знаете медиану, это просто медиана, умноженная на высоту:

Площадь = mh

Трапеция

Трапеция (Великобритания: трапеция) представляет собой четырехугольник, у которого НЕТ параллельных сторон.