Таблица по алгебре 9 класс формулы: Справочник по алгебре 9 класс: в таблицах и схемах

Справочник по алгебре. (7-9 класс)

МБОУ СОШ с. Восток
Справочник
Алгебра
Степень с натуральным
показателем
а а а ……. а а
n
n множителей
аn — степень с натуральным показателем;
а – основание степени;
n – показатель степени.
1
a=
a

3. Таблица степеней

21 2
Таблица степеней
2 4
3 3
5 5
3 9
52 25
3 27
5 125
2
2 8
3
24 16
2 32
5
2 64
6
27 128
28 256
1
2
3
3 81
4
35 243
3 729
6
1
3
5 625
4
7 7
1
7 49
2
7 343
3
1n 1 для любого n
0n 0 для любого n
2 512
1 1 для четных n
2 1024
1
9
10
n
n
1 для нечетных n
Свойства степеней
1.
а1 = а;
m · an = am+n;
9.
a
2.
m : аn = am-n,
10.
a
an =a·a·a·a·…….·a;
где m ≥ n;
n раз
n)k = ank;
0
11.
(а
3. а = 1, где а ≠ 0;
4. 1n = 1;
12. anbn = (ab)n ;
n
n
n
=
5. 0 0;
13. a a
n
6. (-1)2n = 1;
b
b ,
7. (-1)2n-1 = -1;
где
b≠0.
8. 10n = 100……0;
n раз
Формулы сокращённого
умножения
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
a2 – b2 = (a – b)(a + b)
(a + b)3 = a3 + 3a2b +3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b +3ab2 – b3
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
(а + b + с)2 = а2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
Свойства неравенств
1).а b, а с b с
2).а b, c 0, ac bc
3).a b, c 0, ac bc
4).a b, c d , a c b d ,
a b
5).a 0, b 0,
2
ab
Квадратные корни
а 0, то а 0;
а
2
а; а а
2
а 0, b 0, то аb а b ,
а
а 0, b 0, то
b
a
b
;
Модуль числа
а, если а 0;
а
а, если а 0
-а
0
а
х
х а
х а
-а
0
а
х
Квадратные уравнения
Классификация квадратных
уравнений .
Квадратное уравнение
ах2 + bх + с =0,
а≠0, b,с-любые числа, х- переменная
неполное
b = 0;
ax2+c=0
c = 0;
a x2 + b x = 0
b = 0; c = 0;
a x2 = 0

11.

Решение неполных квадратных уравнений1.ах 0;
2
х 0
2
3.ах вх 0
с
а
х1 0,
2.ах с 0
х1, 2
Если числа а и
с одного знака,
то уравнение
имеет корни,
если
разных
знаков,
то
уравнение
не
имеет корней
2
в
х2 ;
а
ах вх с 0
2
полное квадратное уравнение
D в 4ас
2
дискриминант – «различитель»
х1, 2
в D
2а
Количество корней
квадратного
уравнения
D>0
2 корня
D<0
корней
нет
D=0
1 корень
ах вх с 0
2
чётное квадратное уравнение, если
в
в чётное к
2
D к ас
2
х1, 2
к D
а
х pх q 0
2
— приведённое квадратное уравнение
а = 1,
р – второй коэффициент,
q – свободный член.
D p 4q
2
х1, 2
p D
2
Теорема Виета:
х2 + рх + q= 0,
х1+х2=-р ,
х1•х2=q.
Сумма корней приведенного
квадратного уравнения равна
второму
коэффициенту,
взятому с противоположным
знаком, а произведение корней
равно свободному члену
Теорема обратная
теореме Виета:
Если p, q, x1, x2 таковы, что
х1+х2= — p, х1 ·х2 = q, то
Если х1+х2=-р , и
х1•х2=q, то х1, х2корни уравнения
х2 + рх + q= 0
х1, х2-корни уравнения
х2 + рх + q= 0
Рвзложение квадратного
трёхчлена на множители
Если х1, х2-корни
уравнения
ах2 + bх + c= 0, то
ах2 + bх + c= а(х-х1)·(х-х2)
Если х1, х2 – корни квадратного
уравнения
ах2 + bх + с = 0, то при всех х
справедливо равенство
ах2 + bх + c= а(х-х1)·(х-х2)
Квадратичная функция
у = ах2+bх+с, а ≠ 0
у = ах2 + bх + с = а(х — х0)2 +у0
b
2
х0 ; у ах0 bх0 с
2a
у
у
a>0
х0
у0
х
у0=у(х0 )наименьшее
значение функции
у0
a<0
х
х0
у0=у(х0 )наибольшее
значение функции
Схема построения графика
квадратичной функции у = ax2+bx+c
1. Построить вершину параболы (х0,у0):
b
[ x0 ; у 0 ( х0 )]
2a
2.Провести через вершину параболы прямую,
параллельную оси ординат,- ось симметрии
параболы.
3.Найти нули функции, если они есть, и
построить на оси абсцисс соответствующие
точки параболы.
4.Построить две какие-нибудь точки
параболы, симметричные её оси.
5. Провести через построенные точки параболу
Квадратные неравенства
а>0
1)ах2+bх+с ≤ 0,
х1 ≤ х0 ≤ х2
а<0
1)ах2+bх+с ≤ 0,
х ≤ х1, х ≥ х2
у
у
a<0
a>0
х1
х2
х
2)ах2+bх+с > 0,
х < х1, х > х2
х1
х2
х
2)ах2+bх+с > 0,
х1 < х < х2
Решение квадратного неравенства с
помощью графика
1. Определить направление ветвей параболы по знаку первого коэффициента
квадратичной функции;
2. Найти
корни
соответствующего
квадратного уравнения или установить,
что их нет;
3. Построить эскиз графика квадратичной
функции, используя точки пересечения
(или касания) с осью Ох, если они есть;
4. По графику определить промежутки, на
которых функция принимает нужные
значения

22. Метод интервалов (для решения квадратного неравенства)

ах²+вх+с>0
ах²+вх+с<0
[ах²+вх+с≥0]
[ах²+вх+с≤0]
1) Разложить данный многочлен на
множители, т.е. представить
его в виде
а(х – х1)(х – х2)>0 [а(х – х1)(х – х2)≥0]
а(х – х1)(х – х2)<0 [а(х – х1)(х – х2)≤0]
2)Корни многочлена нанести на
числовую ось;
3)Определить знак функции в
каждом из промежутков;
4)Выбрать подходящие
промежутки и записать ответ
х х 6 0
2
x²+x-6=0;
(х-2)(х+3)=0;
x1 3; x2 2.
—
—
+
-3
2
Ответ:
хє(-∞;-3]U[2;+∞).
х
Арифметическая прогрессия
Числовая последовательность а1,а2,….аn,….
-арифметическая прогрессия, если для всех
натуральных n выполняется равенство
аn+1= an+d, где d – некоторое число
а n 1 a n d -определение арифметической прогрессии
d a n 1 a n
-разность арифметической прогрессии
а n a1 (n 1)d
формула n-го члена арифметической
аn 1 an 1
аn
, n 1 прогрессии
2
a1 a n
Sn
n -сумма n первых членов
2
арифметической прогрессии
Геометрическая прогрессия
Числовая последовательность b1,b2,…. bn,….
-геометрическая прогрессия, если для всех
натуральных n выполняется равенство bn+1= bn·q,
где bn ≠ 0, q – число не равное 0
bn 1 bn q -определение геометрической прогрессии
bn 1
-знаменатель геометрической прогрессии
q
bn
формула n-го члена
bn b1 q n 1
геометрической
bn bn 1 bn 1 прогрессии
n
сумма n первых
bn q b1
b1 (1 q )
членов
Sn
; Sn
1 q
q 1 геометрической
где q ≠ 1
где q ≠ 1
прогрессии

Литература:
Алимов Ш.А. Алгебра. Учебник для 7, 8, 9 классов
общеобразовательных учреждений. М.:
Просвещение, 2008.
Бурмистрова Т.А. Алгебра 7 — 9 классы.
Программы общеобразовательных учреждений.
М.: Просвещение, 2009.
Стандарт основного общего образования по
математике//«Вестник образования» -2004 — №
12 — с.107-119.
Электронные учебные пособия
–
–
Интерактивная математика. 5-9 класс. Электронное
учебное пособие для основной школы. М., ООО
«Дрофа», ООО «ДОС»,, 2002.
Математика. Практикум. 5-11 классы. Электронное
учебное издание. М., ООО «Дрофа», ООО «ДОС», 2003.

График функции / Функции / Алгебра / Справочник по математике 5-9 класс

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по математике 5-9 класс
4. Алгебра
5. Функции
6. График функции

Рассмотрим функцию, которая задана формулой , где Составим таблицу для целых значений аргумента:

Если рассмотреть пары чисел, которые записаны в каждом столбце этой таблицы, как координаты точек, то их можно отметить на координатной плоскости. При этом значения аргумента будут являться абсциссами точек, а соответствующие значения функции их ординатами.

Если мы найдем значение функции при других значениях аргумента (отличных от целых значений), принадлежащих области определения функции, сможем отметить еще больше точек на координатной плоскости.

Все такие точки образуют график функции, которая задана формулой , где Чем больше отметим точек, которые принадлежат графику, тем точнее будет построен график функции.

Графиком функции называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех, и только тех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции

При этом графиком функции не всегда является линия. Но если какая-то фигура является графиком функции , то обязательно выполняются два условия:

1) если — некоторое значение аргумента, а — соответствующее значение функции, то точка с координатами обязательно принадлежит графику;

2) если — координаты произвольно выбранной точки графика, то и — соответствующее значения независимой и зависимой переменных функции , то есть

Заметим, что фигура может являться графиком некоторой функции, если любая прямая, перпендикулярная оси абсцисс, имеет с этой фигурой

не более одной общей точки.

Советуем посмотреть:

Связи между величинами. Функция

Способы задания функции

Линейная функция, ее график и свойства

Введение в алгебру

Линейное уравнение с одной переменной

Решение задач с помощью уравнений

Тождественно равные выражения. Тождества

Степень с натуральным показателем

Свойства степени с натуральным показателем

Одночлены

Многочлены

Сложение и вычитание многочленов

Умножение одночлена на многочлен

Умножение многочлена на многочлен

Разложение многочленов на множители

Формулы сокращенного умножения

Функции

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Алгебра

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Номер 824, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 827, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 837, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 865, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 873, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 876, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 897, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 899, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1137, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 12, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

8 класс

Номер 55, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 56, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 57, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 63, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 12, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

---

Национальный совет учителей математики

• 
  Учебные программы от дошкольного возраста до 12 класса должны позволить каждому учащемуся—

  • Понимание закономерностей, отношений и функций
  • Представлять и анализировать математические ситуации и структуры с помощью алгебраических символов
  • Использовать математические модели для представления и понимания количественных отношений
  • Анализировать изменения в различных контекстах

  ---

  Понимание моделей, отношений и функций

  Pre-K–2 Ожидания : От Pre-K до 2 класса каждый учащийся должен–

  • сортировать, классифицировать и упорядочивать объекты по размеру, количеству и другим свойствам;
  • распознавать, описывать и расширять шаблоны, такие как последовательности звуков и форм или простые числовые шаблоны, и переводить из одного представления в другое;
  • проанализируйте, как генерируются повторяющиеся и растущие шаблоны.

  3–5 классы Ожидания : В 3–5 классах каждый учащийся должен–

  • описывать, расширять и обобщать геометрические и числовые модели;
  • представлять и анализировать шаблоны и функции, используя слова, таблицы и графики.

  6–8 классы Ожидания : В 6–8 классах каждый учащийся должен–

  • представлять, анализировать и обобщать различные шаблоны с помощью таблиц, графиков, слов и, по возможности, символических правил;
  • связывать и сравнивать различные формы представления отношений;
  • идентифицирует функции как линейные или нелинейные и сравнивает их свойства с таблицами, графиками или уравнениями.

  9–12 классы Ожидания : В 9–12 классах каждый учащийся должен–

  • обобщать шаблоны, используя явно определенные и рекурсивно определенные функции;
  • понимать отношения и функции и выбирать, гибко преобразовывать и использовать для них различные представления;
  • анализируют функции одной переменной, исследуя скорости изменения, точки пересечения, нули, асимптоты, а также локальное и глобальное поведение;
  • понимать и выполнять преобразования, такие как арифметическое комбинирование, составление и инвертирование часто используемых функций, используя технологию для выполнения таких операций над более сложными символьными выражениями;
  • понимать и сравнивать свойства классов функций, включая экспоненциальные, полиномиальные, рациональные, логарифмические и периодические функции;
  • интерпретировать представления функций двух переменных

  ---

  Представлять и анализировать математические ситуации и структуры с использованием алгебраических символов

  Pre-K–2 Ожидания : От Pre-K до 2 класса каждый учащийся должен–

  • иллюстрируют общие принципы и свойства операций, таких как коммутативность, с использованием конкретных чисел;
  • используют конкретные, графические и словесные представления для развития понимания изобретенных и общепринятых символических обозначений.

  3–5 классы Ожидания : В 3–5 классах каждый учащийся должен–

  • определяют такие свойства, как коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность, и используют их для вычислений с целыми числами;
  • представляют переменную как неизвестную величину, используя букву или символ;
  • выражают математические отношения с помощью уравнений.

  6–8 классы Ожидания : В 6–8 классах каждый учащийся должен–

  • развивать начальное концептуальное понимание различных способов использования переменных;
  • изучить отношения между символическими выражениями и графиками линий, уделяя особое внимание значению пересечения и наклона;
  • используют символическую алгебру для представления ситуаций и решения проблем, особенно тех, которые связаны с линейными отношениями;
  • распознавать и генерировать эквивалентные формы для простых алгебраических выражений и решать линейные уравнения

  9–12 классы Ожидания : В 9–12 классах каждый учащийся должен–

  • понимать значение эквивалентных форм выражений, уравнений, неравенств и отношений;
  • писать эквивалентные формы уравнений, неравенств и систем уравнений и решать их бегло — в уме или на бумаге и карандаше в простых случаях и с использованием техники во всех случаях;
  • используют символическую алгебру для представления и объяснения математических отношений;
  • используют различные символические представления, включая рекурсивные и параметрические уравнения, для функций и отношений;
  • судить о значении, полезности и разумности результатов манипуляций с символами, в том числе осуществляемых с помощью технологий.

  ---

  Использование математических моделей для представления и понимания количественных отношений

  Pre-K–2 Ожидания : От Pre-K до 2 класса каждый учащийся должен–

  •  моделировать ситуации, связанные со сложением и вычитанием целых чисел, используя предметы, изображения и символы.

  3–5 классы Ожидания : В 3–5 классах каждый учащийся должен–

  • моделировать проблемные ситуации с объектами и использовать такие представления, как графики, таблицы и уравнения, чтобы делать выводы.

  6–8 классы Ожидания : В 6–8 классах каждый учащийся должен–

  • моделировать и решать контекстуализированные задачи, используя различные представления, такие как графики, таблицы и уравнения.

  9–12 классы Ожидания : В 9–12 классах каждый учащийся должен–

  • выявить существенные количественные отношения в ситуации и определить класс или классы функций, которые могут моделировать отношения;
  • использовать символические выражения, включая повторяющиеся и рекурсивные формы, для представления отношений, возникающих из различных контекстов;
  • делать обоснованные выводы о моделируемой ситуации.

  ---

  Анализ изменений в различных контекстах

  Pre-K–2 Ожидания : От Pre-K до 2 класса каждый учащийся должен–

  • описывают качественные изменения, такие как увеличение роста учащегося;
  • описывают количественные изменения, например рост учащегося на два дюйма за один год.

  3–5 классы Ожидания : В 3-5 классах каждый ученик должен —

  • выяснить, как изменение одной переменной связано с изменением второй переменной;

  • определить и описать ситуации с постоянной или переменной скоростью изменения и сравнить их.

  6–8 классы Ожидания : В 6–8 классах каждый учащийся должен–

  • используют графики для анализа характера изменения величин в линейных зависимостях.

  9–12 классы Ожидания : В 9–12 классах каждый ученик должен –

  • аппроксимировать и интерпретировать скорость изменения по графическим и числовым данным.

  ---

• 0 1

  •   Принципы и стандарты школьной математики является ресурсом для членов. Войти или Присоединяйся сейчас.

    Посмотреть обзор ожиданий

Q4 a Заполните таблицу и просмотрев таблицу, найдите решение уравнения m 10 16 b C…

Перейти к

• Упражнение 11.1
• Упражнение 11.2
• Упражнение 11.3
• Упражнение 11. 4
• Упражнение 11.5

• Зная наши цифры
• Целые числа
• Игра с числами
• Основные геометрические идеи
• Понимание элементарных форм
• Целые числа
• Фракции
• Десятичные
• Обработка данных
• Измерение
• Алгебра
• Соотношение и пропорция
• Симметрия
• Практическая геометрия

Главная > Решения НЦЭРТ Класс 6 Математика > Глава 11 — Алгебра > Упражнение 11. 5 > Вопрос 8

Вопрос 8 Упражнение 11.5

Q4)

(a) Заполните таблицу и, просмотрев таблицу, найдите решение уравнения m + 10 = 16

(b) Заполните таблицу и просмотрев таблицы найти решение уравнения 5t=35.

(c) Заполните таблицу и, просмотрев таблицу, найдите решение уравнения \frac{z}{3}=4

(d) Заполните таблицу и, просмотрев таблицу, найдите решение уравнения m–7=3.

Ответ:

Решение:

(a)

∴ M = 6 — решение. 7 – решение.∵ При t=7,5t=35

(в)

∴ z=12 – решение.∵ При z=12 \frac{z}{3}=4

(d)

∴ m=10 – решение.∵ При m=10,m –7=3

Родственные вопросы

Q1) Укажите, какие из следующих уравнений являются уравнениями (с переменной). Учитывая причину вашего ответа. …

Укажите, какие из приведенных ниже уравнений являются уравнениями (с переменной). Обоснуйте свой ответ. Определите т…

Заполните записи в третьем столбце таблицы.

Q2) Заполните записи третьего столбца таблицы:

Выберите решение из значений, данных в скобках рядом с каждым уравнением. Покажите, что другое…

Q3) Выберите решение из значений, данных в скобках рядом с каждым уравнением. Показать, что…

Фейсбук WhatsApp

Копировать ссылку

Было ли это полезно?

Упражнение

Упражнение 11.