Таблица производных. Типовые задачи 10 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей
Таблица производных
Дифференцирование функций «с нуля», т. е. исходя из определения производной и теории пределов – вещи достаточно трудоёмкая. Поэтому математики вычислили производные элементарных функций. Получилась таблица производных, где всё уже готово.
Производные некоторых элементарных функций:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Доказательство формулы (√x)Ꞌ=1/(2√x)
Дано:
Доказать:
Доказательство
Изобразим график функции: (см. Рис. 1). Зафиксируем точку и приращение аргумента . Получаем новое значение аргумента и, соответственно, новое значение функции . То есть при переходе от значения аргумента к значения функции изменяются соответственно от до . Значение функции в новой точке равно .
Получили прямоугольный треугольник (выделен красным цветом), катетами которого являются два приращения – приращение аргумента () и приращение функции (– разность между значением функции в новой точке и значением функции в старой точке).
Рис. 1. Иллюстрация к доказательству
Найдём отношение :
Умножим числитель и знаменатель на выражение :
В числителе получили выражение разности квадратов:
Следовательно:
Проанализируем данное выражение при :
– произвольное допустимое число, поэтому:
Что и требовалось доказать.
Задача 1
Дано:
Найти:
Решение
1. Найдём производную в любой точке :
2. Найдём производную в заданной точке:
Как известно, это значение является тангенсом угла наклона касательной к кривой , проведённой в точке с абсциссой 4 (см. Рис. 2):
Рис. 2. Иллюстрация к задаче
Ответ:
Доказательство формулы (sinx )Ꞌ=cosx
Дано:
Доказать:
Доказательство
На рисунке 3 показано, каким образом ведёт себя функция . Зафиксируем точку и приращение аргумента .
Получаем новое значение аргумента (новую точку) . При переходе от значения аргумента к значения функции изменяются соответственно от до .
Рис. 3. Иллюстрация к доказательству
Найдём отношение :
Для упрощения этого выражения используем формулу разности синусов:
При :
Объясним это, рассмотрев тригонометрический круг с радиусом 1 и угол, равный (см. Рис. 4). Нам необходимо найти длину дуги и длину хорды .
Рис. 4. Иллюстрация к доказательству
Длина дуги равна произведению радиуса на центральный угол:
Радиус равен 1, поэтому длина дуги численно равна центральному углу, который равен . Следовательно:
Хорда состоит из двух катетов треугольников и , которые равны произведению гипотенузы (единица, так как это радиус) на синус противолежащего угла. Следовательно:
При длина дуги стремится к длине хорды:
То есть при маленьком угле дуга и хорда по длине неразличимы.
Таким образом, домножив выражение на 2, получаем выражение , которое есть отношение длины хорды к длине дуги:
Но так как , то:
Следовательно, при :
Поэтому:
Что и требовалось доказать.
Задача 2
Дано:
Найти:
Решение
1. Найдём производную в любой точке :
2. Найдём производную в заданной точке:
Ответ: .
Задача 3
Дано:
Найти: тангенс угла наклона касательной к кривой в точках: а) ; б) ; в)
Решение
На рисунке 5 показана иллюстрация к задаче. Изображена синусоида, к точке кривой с абсциссой проведена касательная, которая образует угол с осью . Тангенс данного угла необходимо найти. Также необходимо найти тангенс угла, который образовывается при пересечении оси абсцисс с касательной, проведённой к точке кривой с абсциссой 0 и .
Рис. 5. Иллюстрация к задаче
Так как , то:
а) Для точки тангенс угла наклона касательной будет равен:
б) Для точки тангенс угла наклона касательной будет равен:
Следовательно, прямая , изображённая на рисунке 5, является касательной к синусоиде в точке 0.
в) Для точки , тангенс угла наклона касательной будет равен:
Следовательно, в этом случае касательная параллельна оси .
Ответ: а) ; б) ; в) .
Список литературы
- Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
- Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.
- Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики) – М.: Просвещение, 1996.
- А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др. Алгебра и начала анализа. Учеб. для 10-11 кл. – М.: Просвещение, 1990.
Домашнее задание
- Задание 231, 232 (стр.
120) – А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др. Алгебра и начала анализа (см. список рекомендованной литературы) (Источник). - Доказать формулу производной .
- Доказать формулу производной .
- Найти производную функции .
120) – А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др. Алгебра и начала анализа (см. список рекомендованной литературы) (Источник).
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Интернет-портал Webmath.ru (Источник).
- Интернет-портал Youtube.com (Источник).
- Интернет-портал Cleverstudents.ru (Источник).
§ 2. Таблица производных.
Приведём в таблице производные как простых, так и сложных функций, которые подробнее рассмотрим в следующем параграфе.
Простая функция | Сложная функция | |
 | , | , |
2. | ||
3. | ||
4. | ||
5. | ||
6. | ||
7. | ||
8. | ||
9. | ||
10. | ||
11. | ||
12. | ||
13. |
§ 3. Основные правила дифференцирования. Производная сложной функции.
Если функции , дифференцируемы, то
, где |
, |
Пример 7.
4. Найдите
производную функции .
В оспользуемся формулой 1 таблицы производных и правилами дифференцирования.
.
Пример 7.5. Найдите производную функции
.
П реобразуем функцию с помощью следующих правил:
Действия со степенями |
Таким образом, имеем:
.
Воспользуемся
формулой 1 таблицы производных и правилами
дифференцирования.
.
Производная сложной функции.
Если , где , т.е. — сложная функция, то
или в других обозначениях .
Это правило легко распространить на цепочку из любого конечного числа дифференцируемых функций.
Пример 7.6. Найдите производную функции .
В оспользуемся формулой 6 таблицы производных сложных функций:
.
Пример 7.7. Найдите производную функции
.
.
Производная обратной функции.
Если для функции существует обратная функция , имеющая производную , то справедлива формула
.
§ 4.
Правило Лопиталя и его применение к раскрытию неопределённостей.Теорема. Пусть функции и на некотором отрезке удовлетворяют условиям теоремы Коши и в точке одновременно обращаются в нуль или равны бесконечности. Тогда, если существует предел , то выполняется равенство
(7.1)
Правило применимо и в случае, когда .
Пример 7.8. Найдите предел .
.
П ример 7.9. Найдите предел .
.
Пример 7.10. Найдите предел .
.
П равило Лопиталя применяется и для раскрытия неопределенностей вида: ; ; ; ; .
Пример 7.11. Найдите предел .
.
Неопределенности
вида
;
;
можно раскрыть, предварительно вычислив
предел от логарифма функции.
. Обозначим . Тогда .
2+135x-24\) равно \(\fe{\fd{f}}{x}=3(x-5)(x-9)\text{.}\)Тривиально показано, что критические числа \(f\) равны \(5\) и \(9\text{.}\). Скопируйте таблицу 9.4.1 на свой лист и заполните недостающую информацию. Затем укажите локальные минимальные и максимальные точки на \(f\text{.}\) В частности, укажите как минимальные, так и максимальные точки, даже если ни одна, ни другая не существуют. Помните, что точки на плоскости представлены упорядоченными парами. Убедитесь, что вы указываете точки на \(f\), а не на \(\fd{f}\text{!}\)
| Интервал | Знак \(\fd{f}\) | Поведение \(f\) |
| \(\oинтервал{-\infty}{5}\) | \(\фантом{\текст{отрицательный}}\) | \(\фантом{\текст{убывание}}\) |
| \(\oинтервал{5}{9}\) | ||
| \(\oинтервал{9}{\infty}\) |
Таблица 9.
2}\) равно 93\sqrt{t-4}}\text{.}
\end{уравнение*}
2
Укажите критические числа \(g\text{;}\) вам не нужно показывать формальное определение критических чисел. Вам сделать нужно написать полное предложение.
3
Скопируйте таблицу 9.4.2 на свой лист и заполните недостающую информацию. Затем укажите точки локального минимума и максимума на \(g\text{.}\)
В частности, укажите как минимальные, так и максимальные точки, даже если ни одна, ни другая не существуют. 93\sqrt{t-4}}\)
4
Почему мы не включили какую-либо часть интервала \(\ointerval{-\infty}{4}\) в таблицу 9.4.2?
5
Формально мы говорим, что \(\fe{g}{t_0}\) является локальным минимальным значением \(g\), если существует открытый интервал с центром в \(t_0\), на котором \(\fe{g }{t_0}\lt\fe{g}{t}\) для каждого значения \(t\) на этом интервале (конечно, кроме \(t_0\text{,}\)). Поскольку \(g\) не определено слева от \(4\text{,}\), это определение невозможно выполнить в \(4\text{;}\), следовательно, \(g\) делает не иметь локального минимального значения в \(4\text{.
7
Укажите критические числа \(k\text{;}\) вам не нужно показать формальное определение критических чисел. Вам сделать нужно написать полное предложение.
8
Скопируйте таблицу 9.4.3 на свой лист и заполните недостающую информацию.
| Интервал | Знак \(\fd{k}\) | Поведение \(k\) |
\(\ointerval{-\infty}{1}\) 94\текст{.}\)13Является ли \(9\) определенно критическим числом \(f\text{?}\) Объясните, почему или почему нет. 14Кроме \(9\text{,}\) что всегда является знаком \(\fe{\fd{f}}{x}\text{?}\) Что этот знак говорит вам о функции \(ф\текст{?}\) 15 Какой тип точки имеет \(f\) в точке \(9\text{?}\) (Подсказка: нарисуйте от руки набросок кривой. 16Как можно использовать вторую производную \(f\) для подтверждения вашего вывода в упражнении 9.4.1.15? Иди и сделай это. Эта работа находится под лицензией Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License. Вычисление интеграла или производной одномерной интерполяционной таблицыВычисление интеграла или производной одномерной интерполяционной таблицыВычисление интеграла или производной одномерной интерполяционной таблицыВ некоторых случаях может потребоваться вычислить интеграл или производная от функции, заданной интерполяционной таблицей. Чтобы реализовать это, вы можете добавить второй аргумент в таблицу функция: Имя таблицы (переменная строки, TBL_Derivative): возвращает производную функции в указанное время. значение строки. Имя таблицы (переменная строки, TBL_Integral): возвращает интеграл табличной функции до указанное значение строки. Имя таблицы (переменная результата,
TBL_Inv_Integral): возвращает значение строки, соответствующее указанному
интеграл для результата таблицы (переменная результата). Например, если у вас есть справочная таблица (с именем Volume) в где независимой переменной была длина, а зависимой переменной была объем, то следующее выражение вернет производную от соответствующая функция (площадь), когда независимая переменная была 5 м: Примечание : эти аргументы можно использовать только с одномерными таблицами. Они не могут использоваться 2-D и 3-D таблицами. Лучший способ проиллюстрировать, как работают эти функции. рассчитывается на простом примере. Рассмотрим следующий 1-D Таблица (названная «Объем»), в которой независимая переменная имеет размеры длины и зависимая переменная имеет размерность объема: Вычисление производной График ниже показывает, как GoldSim будет вычислять Volume(X, TBL_Derivative) для разных значений X: Следует отметить несколько моментов: • Для
TBL_Derivative, размерность входного аргумента должна быть такой же, как у
Независимая переменная. • Если ввод находится за пределами диапазона таблицы, функция возвращает значение на краю таблицы (независимо от поля Обработка данных за пределами границ параметр). • производная функция всегда возвращает нулевое значение, если интерполяция таблицы установлено значение «Следующий ниже». • производная функция возвращает ошибку, если интерполяция установлена на «Точная только». Вычисление интеграла График ниже показывает, как GoldSim будет вычислять Volume(X, TBL_Integral) для разных значений X: Следует отметить несколько моментов: • Для
TBL_Integral, размерность входного аргумента должна быть такой же, как у
Независимая переменная. • Интеграл функция интегрирует от начала таблицы до меньшего из заданных аргумент и конец таблицы. Если аргумент меньше первого значение строки для таблицы, функция возвращает ноль. • Если ввод находится за пределами диапазона таблицы, функция возвращает значение на краю таблицы (независимо от поля Обработка данных за пределами границ параметр). • Интеграл функция возвращает ошибку, если для параметра Interpolation установлено значение «Exact только». Вычисление обратного интеграла График ниже показывает, как GoldSim будет вычислять Volume(X, TBL_Inv_Integral) для разных значений X: Следует отметить несколько моментов: • Для
TBL_Inv_Integral, размерность входного аргумента должна быть Зависимой
Переменные размеры * Независимые переменные размеры. • Если ввод (интеграл) выходит за пределы диапазона, создаваемого входными данными таблицы, функция возвращает значение на краю таблицы (независимо от Обработка данных за пределами поля ). Например, в приведенный выше пример, значение 15 м (последняя точка данных в таблице) соответствует интегральному значению 395м 4 . В результате, если первый аргумент Table(X, Inv_Integral) больше 395m 4 , функция вернет 15 м. • Если интеграл таблицы немонотонный, обратный интеграл возвращает наименьший значение, интеграл которого соответствует аргументу. • Обратное интегральная функция возвращает ошибку, если для параметра Interpolation установлено значение «Exact только». Одним из практических применений использования этих функций является
при создании таблиц, которые описывают, как площадь поверхности, объем и вода
высоты в пруду или водохранилище связаны. |
)