Теория вероятности определение: Электронная библиотека БГУ: Invalid Identifier

Содержание

Теория вероятности в жизни людей — Информио

Основы теории вероятностей нужно знать каждому человеку для формирования правильного мировоззрения, для осознания того, что мы живем в случайном, вероятностном мире.

Психология человека такова, что ему неуютно среди случайностей. Он жаждет определенности и справедливости, ищет причин и объяснений. Часто таким образом возникают суеверия: например, среди африканских племен распространено поверье о том, что бывают просто львы и львы, в которых переселились души умерших. Последние на людей не нападают. Это объяснение не несет полезной информации, поскольку нет признаков, по которым заранее можно было бы определить, из какой категории лев, но оно успокаивает психологически. Точно так же появляются известные всем суеверия при сдаче экзаменов. Некоторые суеверия, кстати, основаны на частотных совпадениях (например, мелких неприятностей и встреч с черной кошкой). Это относится и к приметам, которые порой подмечают вероятностные закономерности. Так, поговоркам «Беда никогда не приходит одна» или «Жизнь, она полосатая» соответствует в теории вероятностей закон серий.

Следует помнить и то, что мы живем в мире, где происходят случайные события, и то, что закономерности пробиваются через массу случайностей. Чем сложнее система, тем труднее обнаружить закономерности. Именно в этих случаях и используют вероятностные методы. [4]

Таким образом, теория вероятности актуальна в наши дни как в математике и точных науках, так и в нашей повседневной жизни.

Теория вероятностей изучает объективные закономерности массовых случайных событий. Она является теоретической базой для математической статистики, занимающейся разработкой методов сбора, описания и обработки результатов наблюдений. Путем наблюдений (испытаний, экспериментов), т.е. опыта в широком смысле слова, происходит познание явлений действительного мира [1].

Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений, наблюдаемых при многократном повторении опыта [2, с. 13].

Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними [3].

Основные объекты теории вероятностей – случайные события, случайные величины, случайные процессы, то есть фактически весь окружающий нас мир [4, с.6].

Событие – это то, что может произойти или нет при выполнении определённого комплекса условий, или, как говорят, при проведении испытания. Среди возможных событий выделяют достоверные и невозможные. Если при каждом испытании всегда происходит некоторое событие, то оно называется достоверным. Если при испытании некоторое событие заведомо не может произойти, то оно называется невозможным. Если событие не является достоверным или невозможным, то оно часто называется случайным [5, с.10].

Во многих областях человеческой деятельности существуют ситуации, когда определённые явления могут повторяться неограниченное число раз в одинаковых условиях. Анализируя последовательно результаты таких простейших явлений, как подбрасывание монеты, игральной кости, выброс карты из колоды и т.п., мы замечаем две особенности, присущие такого рода экспериментам. Во-первых, не представляется возможным предсказать исход последующего эксперимента по результатам предыдущих, как бы ни было велико число проведённых испытаний. Во-вторых, относительная частота определённых исходов по мере роста числа испытаний стабилизируется, приближаясь к определённому пределу [6, с.8].

Рассмотрим теорию вероятностей на очень простых примерах. Если у нас в ящике лежит 10 пронумерованных шаров с цифрами от 1 до 10, то вероятность вытянуть шар с числом 10 равна 10 процентам. Но более вероятней, что мы вытянем любое другое число от 1 до 9, а не самое большое (не 10), поскольку такая вероятность составляет 90 процентов. Вытянуть шар с самым большим числом из 10000 пронумерованных шаров уже слишком маловероятно. Скорее всего, мы вытянем любое другое число (не 10000). При 10 миллионах шарах вытянуть самое большое число (10000000) практически невозможно [7].

Главным понятием теории вероятностей является вероятность. Это слово «вероятность», синонимом которого является, например, слово «шанс» достаточно часто применяется в повседневной жизни. Думаю, каждому знакомы фразы: «Завтра, вероятно, выпадет снег», или «вероятнее всего в выходные я поеду на природу», или «это просто невероятно», или «есть шанс получить зачет автоматом». Такого рода фразы на интуитивном уровне оценивают вероятность того, что произойдет некоторое случайное событие. В свою очередь математическая вероятность дает некоторую числовую оценку вероятности того, что произойдет некоторое случайное событие.

Теория вероятностей оформилась в самостоятельную науку относительно не давно, хотя история теории вероятностей началась еще в античности. Так, Лукреций, Демокрит, Кар и еще некоторые ученые древней Греции в своих рассуждениях говорили о равновероятностных исходах такого события, как возможность того, что вся материя состоит из молекул. Таким образом, понятие вероятности использовалось на интуитивном уровне, но оно не было выделено в новую категорию. Тем не менее, античные ученые заложили прекрасный фундамент для возникновения этого научного понятия. В средние века, можно сказать, и зародилась теория вероятности, когда были приняты первые попытки математического анализа, таких азартных игр как кости, орлянка, рулетка [8].

Первые подходы к оценке вероятности того или иного события были популярны еще в Средневековье среди «гамлеров» того времени. Однако тогда они имели лишь эмпирическое исследование (то есть оценка на практике, методом эксперимента) [9].

Первые научные работы по теории вероятностей появились в 17 веке. Когда такие ученые как Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли некоторые закономерности, которые возникают при бросании костей. В ту же пору к данному вопросу проявлял интерес еще один ученый Христиан Гюйгенс. Он в 1657 в своей работе ввел следующие понятия теории вероятностей: понятие вероятности как величины шанса или возможности; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса, а также теоремы сложения и умножения вероятностей, которые правда не были сформулированы в явном виде. Тогда же теория вероятностей стала находить сферы своего применения – демографию, страховое дело, оценку ошибок наблюдений [8].

Вероятностные представления довольно успешно применялись ещё в 18 веке такими выдающимися учеными как Лаплас, Лагранж, Лежандр, Гаусс для оценки ошибок измерений, в результате чего уже в то время были заложены основы теории ошибок [10, с.3].

Дальнейшее развитие теории вероятностей привело к необходимости аксиоматизации теории вероятностей и главного понятия – вероятности. Так становление аксиоматики теории вероятностей произошло в 30 гг 20 века. Самый существенный вклад в заложение основ теории внес Космогоров А.Н.

На сегодняшний день теории вероятностей это самостоятельная наука, имеющая огромную сферу применения [8].

Последние десятилетия характеризуются резким повышением интереса к тем разделам математики и ее приложений, которые анализируют явления, носящие «случайный» характер. Эта тенденция в значительной степени объясняется тем, что большинство возникших в последние десятилетия новых математических дисциплин, которое ныне обозначается собирательным термином «кибернетика», оказалось тесно связанным с теорией вероятностей. Тем самым теория вероятностей стала чуть ли не самой первой по прикладному значению из всех математических дисциплин. При этом возникновение новых, в большинстве своем «порожденных» теорией вероятностей наук, скажем «теория игр», «теория информации», «страховая математика» или «стохастическая финансовая математика» привело к положению, при котором теорию вероятностей также приходится рассматривать как объединение большого числа разнородных и достаточно глубоко развитых математических дисциплин [10, с.4].

Людей всегда интересовало будущее. Человечество во все времена искало способ его предугадать, или спланировать. В разное время разными способами. В жизни мы часто сталкиваемся со случайными явлениями. Чем обусловлена их случайность – нашим незнанием истинных причин происходящего или случайность лежит в основе многих явлений? Споры на эту тему не утихают в самых разных областях науки. Случайным ли образом возникают мутации, насколько зависит историческое развитие от отдельной личности, можно ли считать Вселенную случайным отклонением от законов сохранения? [8]

Примеров реального использования теории вероятности в жизни множество. Практически вся современная экономика базируется на ней. Выпуская на рынок определенный товар, грамотный предприниматель наверняка учтет риски, а также вероятности покупки в том или рынке, стране и т.д. Практически не представляют свою жизнь без теории вероятности брокеры на мировых рынках. Предсказывание денежного курса (в котором точно не обойтись без теории вероятности) на денежных опционах дает возможность зарабатывать на данной теории серьезные деньги.

Теория вероятности имеет значение в начале практически любой деятельности, а также ее регулирования. Благодаря оценке шансов той или иной неполадки (например, космического корабля), мы знаем, какие усилия нам нужно приложить, что именно проверить, что вообще ожидать в тысячи километров от Земли. Возможности теракта в метрополитене, экономического кризиса или ядерной войны – все это можно выразить в процентах. А главное, предпринимать соответствующие контрдействия исходя из полученных данных. [9]

Решения чаще всего принимаются эмоционально. Люди боятся летать самолетами. А между тем, самое опасное в полете на самолете – это дорога в аэропорт на автомобиле. Но попробуй кому-то объяснить, что машина опасней самолета. Вероятность того, что пассажир, севший в самолет, погибнет в авиакатастрофе составляет примерно 1/8000000. Если пассажир будет садиться каждый день на случайный рейс, ему понадобится 21000 лет чтобы погибнуть. По исследованиям: в США в первые 3 месяца после терактов 11 сентября 2001 года погибло еще одна тысяча людей… косвенно. Они в страхе перестали летать самолетами и начали передвигаться по стране на автомобилях. А так как это опасней, то количество смертей возросло. По телевидению пугают: птичьим и свиными гриппами, терроризмом, но вероятность этих событий ничтожна по сравнению с настоящими угрозами. Опасней переходить дорогу по зебре, чем лететь на самолете.

Или другой пример – от падения кокосов погибает около 150 человек в год. Это в десятки раз больше, чем от укуса акул. Но фильма «Кокос-убийца» пока не снято. Подсчитано, что шанс человека быть подвергнутым нападению акулы составляет 1 к 11,5 млн, а шанс погибнуть от такого нападения 1 к 264,1 млн. Среднегодовое количество утонувших в США составляет 3306 человек, а погибших от акул 1. Миром правит вероятность и нужно помнить об этом. Они помогут вам взглянуть на мир с точки зрения случая [8].

Таким образом, теорию вероятностей нельзя не применять в нашей жизни. Она имеет разные области применения такие как: биологические и химические процессы, история, экономика, кораблестроение и машиностроение, медицина и большинство различной деятельности человека. Люди применяют её как сознательно, так и подсознательно, что проявляется в обычных повседневных фразах и действиях. Разумный человек должен стремиться мыслить, исходя из законов вероятностей. Теория вероятностей – это одна из составляющих частей успеха. Если стремиться учитывать законы вероятностей и, в том случае, если вероятность неблагоприятная, предпринимать соответствующие контрдействия, то можно упростить себе жизнь в разы и сэкономить своё время, которое так ценно для каждого из нас.

Список использованных источников

Савельева Р. Ю. Основы теории вероятностей и математической статистики [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://открытыйурок.рф/статьи/526665/ (дата обращения – 24.01.2018)

Кибзун А. И. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами [Текст]: учебное пособие/А. И. Кибзун, Е. Р. Горяинова, А. В. Наумов, А. Н. Сиротин. – Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 224 с.

Теория вероятностей и основные понятия теории [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://bookmaker-ratings.ru/wiki/teoriya-veroyatnostej-i-osnovny-e-ponyatiya-teorii/ (дата обращения 24.01.2018)

Крупкина Т. В. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]: учебное пособие/Т. В. Крупкина, С. В. Бабенышев, Е. С. Кирик. – Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2007. – 199 с.

Семенов В. А. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]: учебное пособие/В. А. Семенов. – Санкт-Петербург: Питер, 2013. – 192 с.

Володин И. Н. Лекции по теории вероятностей и математической статистике [Текст]: учебник/И. Н. Володин. – Казань: (Издательство), 2006. – 271 с.

Екимов В. Д. Теория вероятностей как средство к успеху в своём деле, как и в любой деятельности [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://svoedel.ru/teorver.html (дата обращения — 25.01.2018)

Гатауллина Л. Теория вероятности в жизни [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2012/01/07/teoriya-veroyatnosti-v-zhizni (дата обращения — 6.02.2018)

Вишня Ю. Теория вероятности в жизни [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://allowwonder.com/teoriya-veroyatnosti-v-zhizni/ (дата обращения – 6.02.2018)

Агеев В. В. Введение в теорию вероятностей [Текст]: учебно-методическое пособие/В. В. Агеев, М. С. Тихов. – Нижний-Новгород: ФГБОУВПО Нижегородский Государственный университет им. Н.И. Лобачевского Национальный исследовательский университет, 2012. – 32 с.

Оригинал работы:

Теория вероятности в жизни людей

Вероятность – Гуманитарный портал

Вероятность — это количественная мера осуществимости некоторого события при наличии неопределённости, то есть в ситуации, когда это событие характеризуется как возможное (которое может как произойти, так и не произойти). Вероятность представляет собой одну из наиболее важных общенаучных и философских категорий, основания которой состоят в том, что она выражает собой меру превращения возможности в действительность (см. Возможность и действительность) в ситуациях неопределённости.

В науке (см. Наука) вероятность рассматривается как количественная степень возможности появления случайных событий при фиксированных условиях наблюдения, характеризующую устойчивость их относительных частот. Например, в случае так называемой классической, или элементарной, вероятности, неопределённость порождается экспериментом (возможно, мысленным), имеющим конечное число несовместимых равновозможных исходов, событие — в осуществлении какого-либо из определённой группы исходов (называемых благоприятствующими событию), а вероятность события определяется как отношение числа благоприятствующих исходов к числу всевозможных исходов. Источником возникновения частотной вероятности является реальный эксперимент, частоты исходов которого обладают так называемой статистической устойчивостью.

Представления о вероятности зародились ещё в древности и относились к характеристике человеческого знания, при этом признавалось наличие вероятностного знания, отличающегося от достоверного знания и от ложного. Воздействие идеи вероятности на научное мышление, на развитие познания прямо связано с разработкой теории вероятностей как математической дисциплины. Зарождение математического учения о вероятности относится к XVII веку, когда было положено начало разработке ядра понятий, допускающих количественную (числовую) характеристику и выражающих вероятностную идею. Интенсивные приложения вероятности к развитию научного познания приходятся на вторую половину XIX — первую половину XX века. Вероятность вошла в структуры таких наук, как физика, генетика, кибернетика, квантовая теория, теория информации и другие. Соответственно вероятность олицетворяет тот этап в развитии науки, который ныне определяется как неклассическая наука. Анализ природы вероятности в этих науках опирается на частотную, статистическую её трактовку, которая доминирует в научном познании, поскольку она наиболее достоверно отражает специфический характер закономерностей, присущих массовым явлениям случайного характера. Во многих физических, биологических, экономических, социальных процессах приходится учитывать действие множества случайных факторов, которые характеризуются устойчивой частотой.

Выявление этой устойчивой частоты и количественная её оценка с помощью вероятности даёт возможность раскрыть необходимость, которая прокладывает себе путь через совокупное действие множества случайностей.

Зарождение математического учения о вероятности относится к XVII веку и связано, в первую очередь, с именами математиков П. Ферма, Б. Паскаля, Х. Гюйгенса, исследовавших значительное число вопросов, связанных с азартными играми в кости и карты. В XVIII веке и начале XIX века Я. Бернулли, А. Муавром, П. Лапласом и С. Пуассоном были доказаны простейшие формы закона больших чисел и предельных теорем теории вероятности. Первые значительные достижения в практических применениях теории вероятности принадлежат К. Ф. Гауссу. Во второй половине XIX века и начале XX века теория вероятностей активно разрабатывалась в России, где в это время работали П. Л. Чебышев и его ученики А. А. Марков и А. М. Ляпунов.

В настоящее время теорию вероятностей обычно определяют как математическую дисциплину, изучающую закономерности массовых случайных явлений при определённых условиях. Случайность означает, что в рамках массовости бытие каждого элементарного явления не зависит и не определяется бытием других явлений. В то же время сама массовость явлений обладает устойчивой структурой, содержит определённые регулярности. Массовое явление вполне строго делится на подсистемы, и относительное число элементарных явлений в каждой из подсистем (относительная частота) весьма устойчиво. Эта устойчивость сопоставляется с вероятностью. Массовое явление в целом характеризуется распределением вероятностей, то есть заданием подсистем и соответствующих им вероятностей. Язык теории вероятностей есть язык вероятностных распределений. Соответственно теорию вероятностей и определяют как абстрактную науку об оперировании распределениями.

Математическая теория вероятности стала общей основой, вокруг которой появились и в дальнейшем развивались различные интерпретации вероятности. Классическая математическая интерпретация вероятности, возникшая из математического анализа азартных игр, определяет вероятность как отношение числа благоприятствующих шансов, или случаев, к числу всех равновозможных. Однако равновозможные случаи редко встречаются в действительности, и поэтому эта интерпретация уступила место частотной, или статистической, где вероятность рассматривается как относительная частота массовых случайных событий при достаточно длительных наблюдениях, число которых определяется характером событий. На практике было замечено, что такие события обладают устойчивой относительной частотой, и поэтому она практически принимается за вероятность, значение которой определяется статистическими исследованиями. Однако это эмпирическое определение вероятности не совпадает с теоретическим, и поэтому, например, Р. Мизес и его сторонники определяют вероятность как предел относительной частоты массовых событий, или статистических коллективов, при неограниченном числе наблюдений.

Статистическая, или частотная вероятность нашла широкое применение в естественных, технических и общественных науках, хотя она не столько определяет вероятность, сколько оценивает её. Существенный её недостаток в том, что она неприменима к отдельным событиям и высказываниям. Поэтому для их интерпретации сначала стали обращаться к фактической вере субъекта, но так как она разная у различных людей, то в дальнейшем стали тем или иным способом модифицировать такой подход. В персоналистской интерпретации вероятности постулируется, что степени веры субъекта должны удовлетворять аксиомам теории вероятности, в других интерпретациях речь идёт о рациональной вере разумно действующего субъекта. Поэтому решения, принимаемые на основе такой вероятности, являются разумными и не зависят от индивидуальных особенностей и склонностей субъекта. Субъективный характер очень затрудняет количественную оценку величины вероятности в этих случаях и делает невозможным построение на базе такого понятия вероятности строгой науч. теории, помогающей понять объективно существующие закономерности (подробнее об имеющихся в этом направлений попытках см. Логика вероятностная).

В логике (см. Логика) вероятность характеризует семантическое отношение между посылками и заключением индуктивного рассуждения, аналогичное отношению дедуктивного вывода, но в отличие от последнего заключение в нём не достоверно, а лишь подтверждается посылками в той или иной степени.

Эти степени подтверждения заключены в интервале между 0 и 1, поэтому индуктивная логика оказывается разновидностью многозначной логики. В эмпирических науках типичным примером логической вероятности служит отношение между гипотезой и её свидетельствами, степенью подтверждения которых оценивается правдоподобие гипотезы. Относительно количественной оценки логической вероятности мнения разных авторов расходятся: одни считают, что она может быть выражена лишь в сравнительных терминах (больше, меньше и равно), другие — в метрических (численно).

Формальные свойства вероятности впервые были определены в исчислении вероятности, а впоследствии в наиболее точной форме выражены в аксиоматической теории, предложенной в начале 1930-х годов А. Н. Колмогоровым. В настоящее время развиваются и другие подходы: частотный (использующий, в частности, ряд идей Р. Мизеса), сложностный, алгебраический, квантовый, так называемый «нестандартный» и другие. В 1960-х годах Л. Заде ввёл другое, отличное от вероятности, понятие для количественной характеристики неопределённости, а именно «нечёткость», или «размытость».

Проблема применимости вероятностных методов решается в рамках развития математической теории, углубления знания в соответствующих прикладных областях и осмысления накапливаемого опыта. Формализация понятия вероятности и терминов, связанных с ним, а также развитие соответствующего аналитического аппарата и методики решения прикладных задач при помощи вероятностных методов составляют содержание раздела математики — теории вероятности и родственных ей дисциплин: математической статистики, метода случайных испытаний, теории стохастического управления, теории принятия решений и ряда других.

Алёшина Н. А. Вероятностная логика в искусственном интеллекте. — В книге: Логические исследования, выпуск 2. — М., 1993.
Бернштейн С. Н. Теория вероятностей, 3-е издание. — ГТТИ, 1935.
Борель Э., Случай. — М., 1923.
Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 2 изд. — М., Л., 1954.
Гнеденко Б. В., Хинчин А. Я. Элементарное введение в теорию вероятностей, 3 изд. — М., Л., 1952.
Кайберг Г. Вероятность и индуктивная логика. — М., 1978.
Колмогоров А. Н., Основные понятия теории вероятностей. — М., Л., 1936.
Колмогоров А. Н. Теория вероятностей. — В книге: Математика, её содержание, методы и значение, т. 2. — М., 1956.
Марков Α. Α. Исчисление вероятностей, 4 изд. — М., 1924.
Mизес Р. Вероятность и статистика. — М., Л., 1930.
Монин А. С. О двух формах выражения причинности. — «Вопросы философии», 1959, № 4.
Смирнов Л. В. Категория вероятности. — «Вопросы философии», 1958, № 12.
Феллер В., Введение в теорию вероятностей и её положения. — М., 1952.
Хинчин А. Я. Метод произвольных функций и борьба против идеализма в теории вероятностей. — В книге: Философские вопросы современной физики. — М., 1952.
Яглом А. М. Яглом И. М. Вероятность и информация. — М., 1957.
Carnap R. The Logical Foundations of Probability. — Ch., 1962.
Keynes J. Treatise on Probability. — L.-NY, 1921.
Reichenbach H. The Theory of Probability. — В.-L., 1949.

Теория вероятностей | Определение, примеры и факты

образец места для пары игральных костей

Просмотреть все материалы

Ключевые люди:: Карл Фридрих Гаусс Пьер де Ферма Андрей Николаевич Колмогоров Симеон-Дени Пуассон Авраам де Муавр

Похожие темы:: Теорема Байеса Центральная предельная теорема стохастический процесс равнодушие вероятность

Просмотреть весь связанный контент →

теория вероятностей , раздел математики, занимающийся анализом случайных явлений. Исход случайного события не может быть определен до того, как оно произойдет, но может быть любым из нескольких возможных исходов. Считается, что фактический результат определяется случайностью.

Слово вероятность имеет несколько значений в обычном разговоре. Два из них особенно важны для развития и приложений математической теории вероятностей. Одним из них является интерпретация вероятностей как относительных частот, примером чего могут служить простые игры с монетами, картами, костями и колесами рулетки. Отличительной особенностью азартных игр является то, что исход данного испытания нельзя предсказать с уверенностью, хотя совокупные результаты большого числа испытаний обнаруживают некоторую закономерность. Например, утверждение о том, что вероятность выпадения «орла» при подбрасывании монеты равна половине, согласно интерпретации относительной частоты, подразумевает, что при большом количестве подбрасываний относительная частота, с которой действительно выпадает «орел», будет приблизительно равна одной. -половина, хотя это не подразумевает исход любого данного броска. Есть много подобных примеров, связанных с группами людей, молекулами газа, генами и так далее. Актуарные заявления об ожидаемой продолжительности жизни для лиц определенного возраста описывают коллективный опыт большого числа людей, но не претендуют на то, чтобы сказать, что произойдет с каждым конкретным человеком. Точно так же прогнозы о вероятности возникновения генетического заболевания у ребенка родителей с известным генетическим составом являются утверждениями об относительной частоте встречаемости в большом количестве случаев, но не являются прогнозами относительно данного человека.

(Читайте статью Стивена Пинкера о рациональности в «Британнике»). Для более полной исторической обработки см. вероятность и статистику. Поскольку приложения неизбежно включают в себя упрощение предположений, фокусирующихся на одних особенностях проблемы за счет других, полезно начать с простых экспериментов, таких как подбрасывание монеты или бросание игральной кости, а затем посмотреть, как соотносятся эти, казалось бы, несерьезные исследования. к важным научным вопросам.

Викторина «Британника»

Числа и математика

Эксперименты, выборочное пространство, события и равновероятные вероятности

Применение простых вероятностных экспериментов

Фундаментальным компонентом теории вероятностей является эксперимент, который можно повторить, по крайней мере гипотетически, в практически идентичных условиях и который может привести к различным результатам на разных испытаниях. Набор всех возможных результатов эксперимента называется «выборочным пространством». Эксперимент с однократным подбрасыванием монеты приводит к выборке пространства с двумя возможными исходами: «орел» и «решка». Бросание двух игральных костей имеет выборочное пространство с 36 возможными исходами, каждый из которых может быть отождествлен с упорядоченной парой ( i , j ), где i и j принимают одно из значений 1, 2, 3, 4, 5, 6 и обозначают грани, показанные на отдельных костях. Важно думать о костях как об идентифицируемых (например, по разнице в цвете), чтобы результат (1, 2) отличался от (2, 1). «Событие» — это четко определенное подмножество выборочного пространства. Например, событие «сумма граней, выпавших на двух костях, равна шести» состоит из пяти исходов (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2) и ( 5, 1).

Третий пример — вытащить n шаров из урны, содержащей шары разных цветов. Общим результатом этого эксперимента является n -кортеж, где i th определяет цвет шара, полученного при i розыгрыше ( i = 1, 2,…, n ). . Несмотря на простоту этого эксперимента, его глубокое понимание дает теоретическую основу для проведения опросов общественного мнения и выборочных опросов. Например, лица в популяции, поддерживающие определенного кандидата на выборах, могут быть идентифицированы шарами определенного цвета, те, кто поддерживает другого кандидата, могут быть идентифицированы другим цветом и так далее. Теория вероятностей обеспечивает основу для изучения содержимого урны по выборке шаров, извлеченных из урны; приложение должно узнать об электоральных предпочтениях населения на основе выборки, взятой из этого населения.

Оформите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту.

Подпишитесь сейчас

Другое применение простых моделей урн — это использование клинических испытаний, предназначенных для определения того, является ли новое лечение болезни, новое лекарство или новая хирургическая процедура лучше стандартного лечения. В простом случае, когда лечение можно рассматривать как успех или неудачу, цель клинического испытания состоит в том, чтобы выяснить, приводит ли новое лечение к успеху чаще, чем стандартное лечение. Больных этим заболеванием можно определить по шарикам в урне. Красные шарики — это те пациенты, которые вылечились новым лечением, а черные шарики — те, кто не вылечился. Обычно есть контрольная группа, которая получает стандартное лечение. Они представлены второй урной с, возможно, другой долей красных шаров. Цель опыта по извлечению из каждой урны некоторого количества шаров состоит в том, чтобы на основе выборки выяснить, в какой урне больше красных шаров. Вариант этой идеи можно использовать для проверки эффективности новой вакцины. Возможно, самым крупным и известным примером было испытание вакцины Солка от полиомиелита, проведенное в 1954. Она была организована Службой общественного здравоохранения США и охватила почти два миллиона детей. Его успех привел к почти полной ликвидации полиомиелита как проблемы здравоохранения в промышленно развитых частях мира. Строго говоря, эти приложения представляют собой задачи статистики, основу для которых дает теория вероятностей.

В отличие от экспериментов, описанных выше, многие эксперименты имеют бесконечно много возможных исходов. Например, можно подбрасывать монету до тех пор, пока впервые не выпадет «орел». Количество возможных бросков равно 9.0025 n = 1, 2,…. Другой пример — крутить спиннер. Для идеализированного счетчика, состоящего из отрезка прямой линии, не имеющего ширины и повернутого в его центре, набор возможных исходов представляет собой набор всех углов, которые конечная позиция счетчика образует с некоторым фиксированным направлением, что эквивалентно всем действительным числам в [0 , 2π). Многие измерения в естественных и социальных науках, такие как объем, напряжение, температура, время реакции, предельный доход и т. д., производятся на непрерывных шкалах и, по крайней мере, теоретически включают бесконечное множество возможных значений. Если повторные измерения на разных субъектах или в разное время на одном и том же субъекте могут привести к разным результатам, теория вероятностей является возможным инструментом для изучения этой изменчивости.

Из-за их сравнительной простоты сначала обсуждаются эксперименты с конечными выборками. На заре развития теории вероятностей математики рассматривали только те эксперименты, для которых казалось разумным, исходя из соображений симметрии, предположить, что все результаты эксперимента «одинаково вероятны». Тогда в большом числе испытаний все исходы должны встречаться примерно с одинаковой частотой. Вероятность события определяется как отношение числа случаев, благоприятных для события, т. е. числа исходов в подмножестве выборочного пространства, определяющего событие, к общему числу случаев. Таким образом, 36 возможных исходов при бросании двух игральных костей предполагаются равновероятными, а вероятность выпадения «шестёрки» равна числу благоприятных случаев, 5, делённому на 36, или 5/36.

Теперь предположим, что монета подбрасывается n раз, и рассмотрим вероятность того, что орел не выпадет за n подбрасываний. Результатом эксперимента является n -кортеж, k -й вход которого идентифицирует результат k -го броска. Поскольку есть два возможных исхода для каждого броска, количество элементов в пространстве выборки равно 2 ⁿ . Из них только один исход соответствует отсутствию орла, поэтому требуемая вероятность равна 1/2 ⁿ .

Немногим сложнее определить вероятность «не более одного орла». Помимо единственного случая, когда орёл не выпадает, существует n случаев, в которых выпадает ровно один орёл, потому что он может выпасть при первом, втором,… или n -м подбрасывании. Следовательно, имеется n + 1 случаев, благоприятных для получения не более одной головы, и желаемая вероятность равна ( n + 1)/2 ⁿ .