Цилиндр куб конус параллелепипед пирамида шар цилиндр: Призма, пирамида, цилиндр, конус, шар. Задание 2. Единый государственный экзамен 11 класс, Математика: уроки, тесты, задания.

Математика. 1 класс. Тема: Математика вокруг нас. Пирамида. Цилиндр. Конус. | План-конспект урока по математике (1 класс) на тему:

Тема:  Математика вокруг нас. Пирамида. Цилиндр. Конус.			Тип:  изучение нового материала.
Задачи:  познакомить с пространственными геометрическими фигурами: пирамидой, цилиндром, конусом.
Планируемые результаты
Предметные: распознавать, различать и называть геометрические тела:  пирамиду, цилиндр, конус, куб и шар.	Метапредметные: принимать и сохранять в памяти учебную задачу урока; оценивать свои достижения на уроке; применять изученные алгоритмы при выполнении заданий.			Личностные: принимать и осваивать социальную роль обучающегося; формировать личностный смысл учения.
Ресурсы урока: Минаева С.С. Математика: 1 класс: часть 1; Минаева С.С. Математика: 1 класс: рабочая тетрадь №1, рабочая программа, электронное приложение
Ход урока
Содержание деятельности учителя:		Содержание деятельности обучающихся:
Актуализация необходимых знаний
Предлагает учащимся рассмотреть геометрические фигуры на слайде №1 (квадрат, прямоугольник, треугольник, круг, куб, шар, параллелепипед), разделить их на 2 группы. Спрашивает, о значении геометрических фигур в жизни людей. Слайд №2.		Высказывают предположения. Выполняют задание: делят фигуры на 2 группы плоские и объёмные. Отвечают на вопросы, актуализируют знания о геометрических фигурах.
Мотивация познавательной деятельности
Предлагает дифференцированное задание: 1. Учащимся 1 ряда: раскрасить на предложенной карточке все кубы; посчитать, сколько кубов на рисунке. 2. Учащимся 2 ряда: раскрасить на предложенной карточке все шары; посчитать, сколько шаров на рисунке. 3. Учащимся 3 ряда: раскрасить на предложенной карточке все параллелепипеды; посчитать, сколько параллелепипедов на рисунке. 4. Трём учащимся индивидуальные задания: построить из кубиков башню по рисунку. Предлагает учащимся проверить правильно ли выполнено задание. Предлагает всем ученикам проверить правильно ли построены башни, соответствуют ли они рисункам.  Спрашивает, какие кубики (геометрические фигуры) были использованы в строительстве башен. Знакомит учащихся с геометрическими фигурами пирамидой, цилиндром, конусом. Спрашивает, какие это фигуры плоские или объёмные. Предлагает учащимся определить тему и учебную задачу урока. Помогает определить тему и учебную задачу урока.		Выполняют задание: раскрашивают и считают геометрические фигуры. Трое учащихся строят башни из кубиков по рисунку. Ученики проверяют, правильно ли выполнено задание. Ученики проверяют, правильно ли выполнено задание. Высказывают предположения, выходят на проблемный момент. Отвечают на вопрос. Определяют тему и учебную задачу урока (с помощью учителя). Тема: «Пирамида. Цилиндр. Конус» Задача: познакомиться с геометрическими фигурами: пирамидой, цилиндром, конусом.
Организация познавательной деятельности
Предлагает учащимся прочитать тему урока на  с. 34 в учебнике. Организует работу по выполнению задания в учебнике на с.34 Организует работу по выполнению задания №1 в рабочей тетради на с.34 Предлагает проверить, правильно ли выполнено задание. Рассказывает учащимся о пирамидах. Слайд №3. Организует работу по выполнению задания№3 в рабочей тетради на с.34 Предлагает проверить, правильно ли выполнено задание. Организует работу по выполнению задания№2 в рабочей тетради на с.34 Предлагает учащимся проверить правильно ли выполнено задание. Спрашивает, о значении геометрических фигур (пирамиды, цилиндры, конусы) в жизни людей.		Учащиеся читают тему урока. Выполняют задание в учебнике на с. 34, называют геометрические фигуры, изображенные на рисунке. Выполняют задание №1 в рабочей тетради на с.34, раскрашивают геометрические фигуры (пирамиды, цилиндры, конусы).  Выполняют взаимопроверку в парах. Выполняют задание №3 в рабочей тетради на с.34 (задание на внимание). Выполняют взаимопроверку в парах. Выполняют задание №2 в рабочей тетради на с.34 (задание на логику). Один ученик выполняет задание у доски. Ученики проверяют, правильно ли выполнено задание. Высказывают предположения.
Подведение итогов
Предлагает учащимся подвести итог: вспомнить тему урока и учебную задачу, ответить выполнена ли учебная задача. Предлагает оценить свои достижения на уроке (что получилось, над чем еще надо поработать, какое настроение было на уроке)		Высказывают свое мнение. Выполняют самооценку деятельности на уроке, определяют личностный смысл изучения темы.
Дополнительный материал:  вылепить из пластилина конус и цилиндр (учебник задание на с. 34)

Формулы объема цилиндра, шара, конуса — площадь поверхности и основания

Тела вращения, изучаемые в школе, — это цилиндр, конус и шар.

Если в задаче на ЕГЭ по математике вам надо посчитать объем конуса или площадь сферы — считайте, что повезло.

Применяйте формулы объема и площади поверхности цилиндра, конуса и шара. Все они есть в нашей таблице. Учите наизусть. Отсюда начинается знание стереометрии.

Смотрите также: Формулы объема и площади поверхности многогранников.
Кроме формул, в решении задач по стереометрии нужны также элементарная логика и пространственное воображение. Есть и свои небольшие секреты.

Например, такой важный факт:

Если все линейные размеры объемного тела увеличить в 2 раза, то площадь его поверхности увеличится в 4 раза, а объем — в 8 раз. 

(ведь , ).

Вот такая задача.

Как и остальные на нашем сайте, она взята из банка заданий ФИПИ.

1. Объем конуса равен . Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Очевидно, что объем меньшего конуса в раз меньше объема большого и равен двум.

Для решения некоторых задач полезны начальные знания стереометрии. Например — что такое правильная пирамида или прямая призма. Полезно помнить, что у цилиндра, конуса и шара есть еще общее название — тела вращения. Что сферой называется поверхность шара. А, например, фраза «образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов предполагает, что вы знаете, что такое угол между прямой и плоскостью. Вам также может пригодиться теорема Пифагора и простые формулы площадей фигур.

Иногда неплохо нарисовать вид сверху. Или, как в этой задаче, — снизу.

2. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

Всё просто — рисуем вид снизу. Видим, что радиус большего круга в раз больше, чем радиус меньшего. Высоты у обоих конусов одинаковы. Следовательно, объем большего конуса будет в раза больше.

Говорят, что хороший чертеж — это уже половина решения. Читайте о том, как строить чертежи в задачах по стереометрии.

Еще один важный момент. Помним, что в задачах части В вариантов ЕГЭ по математике ответ записывается в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Поэтому никаких или у вас в ответе в части В быть не должно. Подставлять приближенное значение числа тоже не нужно! Оно обязательно должно сократиться! Именно для этого в некоторых задачах задание формулируется, например, так: «Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на ».

А где же еще применяются формулы объема и площади поверхности тел вращения? Конечно же, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике.
Мы тоже расскажем о ней.

---

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Формулы объема и площади поверхности. Цилиндр, конус и шар» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 08.04.2023

Формулы объема и поверхности

Объем выражает количество чего-то (например, воды), которое нам нужно, чтобы заполнить форму. Космические фигуры имеют только объем. Плоские фигуры (треугольники, квадраты) не имеют объема.

Стандартное обозначение для тома — V.

Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед имеет 6 граней, которые являются прямоугольниками.
Если стороны прямоугольника внизу равны а и b, а высота параллелепипеда c (третье ребро прямоугольного параллелепипеда). 92$

Параллелепипед

Параллелепипед образован 6 параллелограммами. Если площадь дна равна А, а высота параллелепипед h.
Формула объема:

$V = A \cdot h$

Пирамида

Пирамида — это фигура с многоугольным основанием (треугольник, квадрат, прямоугольник), соединенным с одной точкой, называемой вершиной.
Пусть высота (расстояние между вершиной и основанием) пирамиды равна h а площадь основания равна A.92\cdot ч$

Площадь боковой поверхности = $\pi\cdot r \cdot l$

Полная площадь поверхности прямого круглого конуса равна площади боковой поверхности + площади основания.

Общая площадь поверхности = $\pi\cdot r(r + l)$

Сфера

Сфера — это поверхность полностью круглого шара.
Каждая сфера имеет центральную точку, называемую «центром» сферы.
Радиус — это длина от центра до любой точки на поверхности сферы.
Объем сферы радиусом r: 92 \cdot ч$

---

Площадь криволинейной поверхности цилиндра:

Площадь изогнутой (боковой) поверхности = $2\cdot\pi\cdot r \cdot h$

---

Общая площадь поверхности = площадь изогнутой (боковой) поверхности + площадь двух круглых концов:

Общая площадь поверхности = $2\cdot\pi\cdot r(h + r)$

---

Викторина: Объем и площадь поверхности

Твердые формы — определение, типы, свойства, примеры, часто задаваемые вопросы

Твердые фигуры — это не что иное, как тела, состоящие из трех измерений, а именно длины, ширины и высоты.

Твердые формы также известны как трехмерные формы. Эти твердые формы занимают пространство и встречаются в нашей повседневной жизни. Мы трогаем, чувствуем и используем их. В этом увлекательном уроке вы можете ознакомиться с некоторыми интерактивными примерами, чтобы узнать больше, и попробовать свои силы в решении нескольких интересных практических вопросов в конце страницы.

1.	Что такое твердые формы?
2.	Твердые формы и их свойства
3.	Грани, ребра и вершины твердых фигур
4.	Часто задаваемые вопросы о твердых формах

Что такое твердые формы?

В математике мы изучаем формы и их различные типы и пытаемся применить их в реальной жизни. Теперь мы подробно узнаем о каждой твердой форме. Твердые формы подразделяются на несколько категорий. Некоторые из них имеют криволинейные поверхности; некоторые имеют форму пирамид или призм.

Твердые фигуры Определение: Твердые фигуры — это трехмерные фигуры, которые имеют длину, ширину и высоту в качестве трех измерений.

Давайте сначала узнаем о твердых формах с изогнутыми поверхностями на примерах.

Твердые формы и их свойства

Твердые фигуры соответствуют трехмерным объектам. Осмотреться! Любой другой трехмерный объект, будь то ноутбук, мобильный телефон, рожок мороженого, шарики и т. д., являются примерами твердотельных форм. Они занимают некоторое пространство, имеют длину, ширину и высоту. Давайте изучим типы твердых форм-

• Сфера
• Цилиндр
• Конус
• Пирамида
• Призма

Сфера

Сфера представляет собой твердое тело абсолютно круглой формы, определенное в трехмерном пространстве. Каждая точка поверхности равноудалена от центра.

В таблице ниже показаны свойства сферы:

Свойства	Площадь поверхности	Том
Не имеет ни ребер, ни вершин (углов). Имеет одну поверхность. Он имеет форму шара и абсолютно симметричен. Все точки на поверхности находятся на одинаковом расстоянии (r) от центра.	4πr 2	(4/3)πr 3

Цилиндр

Цилиндр — это твердое тело, заданное на трехмерной плоскости. Он удерживает два параллельных основания круглой формы, соединенных изогнутой поверхностью (например, трубкой) на фиксированном расстоянии.

В таблице ниже показаны свойства цилиндра:

Свойства	Площадь поверхности	Том
Имеет плоское основание и плоскую верхнюю часть. Имеет одну изогнутую сторону. Основания всегда конгруэнтны и параллельны. Это трехмерный объект с двумя одинаковыми концами, круглыми или овальными.	2πr (р+ч)	πr 2 ч

Конус

Конус представляет собой характерную твердую форму, заданную в трехмерном пространстве. Он имеет плоскую поверхность и изогнутую поверхность, направленную вверх. Он образован набором отрезков, соединенных от круглого основания с общей точкой, известной как вершина или вершина. В зависимости от того, как вершина совмещена с центром основания, формируется прямой конус или косой конус.

В таблице ниже показаны свойства конуса, где r обозначает радиус, h обозначает высоту, а s обозначает наклонную высоту конуса:

Свойства	Площадь поверхности	Том
Имеет круглое или овальное основание с вершиной (вершиной). Имеет одну изогнутую сторону. Конус — это повернутый треугольник.	π г (г + с)	1/3 πr 2 ч

Пирамида

Пирамида представляет собой объемную фигуру или многогранник с многоугольным основанием, а все боковые грани — треугольниками. Пирамиды обычно описываются формой их оснований. Пирамида с:

1. Треугольным основанием называется Тетраэдром.
2. Четырехугольное основание называется квадратной пирамидой.
3. Основание Пентагона называется пятиугольной пирамидой.
4. Правильное шестиугольное основание называется шестиугольной пирамидой.

В таблице ниже показаны свойства пирамиды: (BA = площадь основания, P = периметр, A = высота и SH = высота наклона)

Свойства	Площадь поверхности	Том
Пирамида представляет собой многогранник с многоугольным основанием и вершиной с прямыми линиями. На основании совмещения их вершины с центром основания их можно разделить на правильные и наклонные пирамиды.	БА + 1/2 × П × (Ш)	1/3 ВА 2

Призмы

Призма представляет собой твердое тело, определенное на трехмерной плоскости с двумя одинаковыми фигурами, обращенными друг к другу. Различные типы призм: треугольные призмы, квадратные призмы, пятиугольные призмы, шестиугольные призмы и т. д. Призмы также широко классифицируются на правильные призмы и наклонные призмы.

В таблице ниже показаны свойства призмы: (BA = площадь основания, P = периметр, H = высота)

Свойства	Площадь поверхности	Том
Имеет одинаковые концы (многоугольные) и плоские грани. Имеет одинаковое поперечное сечение по всей длине.	2 × (ВА) + П × В	БА × Н

Многогранники/Платоновые тела

Платоновы тела имеют грани, идентичные правильным многоугольникам. Есть пять многогранников.

1. Тетраэдр с четырьмя равносторонне-треугольными гранями
2. Октаэдр с восемью равносторонне-треугольными гранями
3. Додекаэдр с двенадцатью пятиугольными гранями
4. Икосаэдр с двадцатью равносторонними треугольными гранями
5. Шестигранник или куб с шестью квадратными гранями.

В таблице ниже показаны свойства платоновых форм: (EL = длина ребра)

Свойства куба	Площадь поверхности	Том
Он имеет 6 граней, каждая из которых имеет 4 ребра (и является квадратом). Имеет 12 ребер. Он имеет 8 вершин (угловых точек), где сходятся 3 ребра.	6 × (EL) 2	(EL) 3

Грани, ребра и вершины твердых фигур

Как упоминалось ранее, объемные формы и объекты отличаются от двумерных форм и объектов наличием трех измерений — длины, ширины и высоты. Благодаря этим трем измерениям эти объекты имеют грани, ребра и вершины. Давайте разберемся с этими тремя подробно.

Грани твердых тел

• Гранью называется любая отдельная плоская поверхность твердого объекта.
• Твердые фигуры могут иметь более одной грани.

Ребра объемных фигур

• Ребро — это отрезок линии на границе, соединяющий одну вершину (угловую точку) с другой.
• Они служат стыком двух граней.

Вершины объемных фигур

• Точка, в которой встречаются две или более прямых, называется вершиной.
• Это угол.
• Точка пересечения ребер обозначает вершины.

Например:

Советы и рекомендации

• Рифма для запоминания объемных форм:

«Твердые фигуры толстые, а не плоские.
Найди шишку в праздничной шапке!
Вы видите сферу в баскетбольном мяче,
И прямоугольный параллелепипед в таком высоком здании!
Вы видите куб в кости, которую вы бросаете,
И цилиндр в блестящем флагштоке!»

• Движение пальцев по геометрическим фигурам поможет вам понять концепцию граней, ребер и вершин.

Важные моменты

• Твердые или трехмерные объекты имеют 3 измерения: длину, ширину и высоту.
• Твердые фигуры имеют грани, ребра и вершины.
• Изучение твердых форм поможет нам в нашей повседневной жизни, поскольку большая часть нашей деятельности вращается вокруг них и зависит от них.

Похожие темы

• Площадь прямоугольника
• Площадь квадрата
• Является ли квадрат прямоугольником
• Типы треугольников
• Форма многоугольника

Часто задаваемые вопросы о твердых формах

Что такое твердая форма?

Трехмерные объекты с определенной длиной, шириной и высотой называются объемными формами.

Как еще можно назвать твердую форму?

В геометрии объемную форму также можно назвать трехмерной.

Сколько твердых фигур существует?

В список твердых фигур входят куб, прямоугольный параллелепипед, сфера, конус, полусфера, призма, цилиндр, пирамида и т. д.

Что такое объем твердой формы?

Объем сплошных фигур относится к объему кубического пространства, заполненного фигурами. Чтобы найти объем, нам нужны измерения трех измерений.

Шар твердый или плоский?

Сфера представляет собой твердое тело без краев и вершин (углов).

Каковы свойства твердых фигур?

Твердые фигуры — это трехмерные объекты. Они имеют три измерения — длину, ширину и высоту. Будучи трехмерными, они занимают место во Вселенной. Твердые формы идентифицируются в соответствии с особенностями — ребрами, вершинами, гранями и т. д.

Что такое плоские и твердые формы?

Плоские формы также известны как плоские формы, которые представляют собой 2D-формы, состоящие из прямых, изогнутых линий или того и другого. В то время как твердые формы представляют собой трехмерные формы, состоящие из длины, ширины и высоты. Разница между плоскими и сплошными формами заключается в размерах. Например, квадрат представляет собой плоскую форму, а его противоположная твердая форма представляет собой куб, который представляет собой трехмерную форму.