Ответов пока нет | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
..Многогранник в кубе • Николай Авилов • Научно-популярные задачи на «Элементах» • Математика
Найдем вначале объем тела, полученного при вращении куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) вокруг его диагонали \(AC_1\). Форма фигуры вращения определяется трехзвенными ломаными с концами в вершинах \(A\) и \(C_1\), например, \(ADD_1C_1\) или \(AA_1D_1C_1\).
Звено \(AD\) имеет с осью вращения общую точку \(A\), поэтому при вращении это звено определяет боковую поверхность конуса. Высота \(AF\) конуса равна трети диагонали \(AC_1\), радиусом основания конуса является перпендикуляр \(DF\), опущенный из вершины \(D\) на ось вращения \(AC_1\).
3\sqrt{3}\).
Прямая, содержащая ребро \(A_1D_1\) по отношению к оси \(AC_1\) вращения является скрещивающей прямой. При вращении такая прямая задает однополостный гиперболоид вращения.
Покажем это в общем виде для скрещивающихся прямых \(a\) и \(l\), где \(l\) — ось вращения (рис. 3). Взаимное расположение скрещивающихся прямых \(a\) и \(l\) определяется расстоянием \(d=ON\) и углом \(\alpha=\angle MNK\) между этими прямыми. Введем прямоугольную систему координат \(\mathrm{O}xyz\) таким образом, чтобы ось \(\mathrm{O}y\) совпадала с прямой \(l\), ось \(\mathrm{O}z\) — с прямой \(ON\). Плоскость \(\mathrm{O}xy\) можно считать одной из плоскостей сечения полученной при вращении фигуры. Произвольная точка \(M(x,\ y,\ z)\) прямой \(a\) при вращении будет оставлять следы-точки \(M_1\) и \(M_2\) на секущей плоскости \(\mathrm{O}xy\), и в координатной плоскости \(\mathrm{O}xy\) будут иметь координаты \(M_1(x,\ y)\) и \(M_2(-x,\ y)\).
Найдем уравнение линии, по которой секущая плоскость пересекает фигуру вращения.
3\sqrt{3}\right)=\frac58.\]
Пошаговое решение:
Шаг 1 :
1
Упростить ——
64
Уравнение в конце шага 1 :
1
(х 3 ) - —— = 0
64
Шаг 2 :
Преобразование целого в виде эквивалентной дроби:
2.1 Вычитание дроби из целого
Преобразование целого в виде дроби, используя 64 в качестве знаменателя:
x 909017 30018 х3 • 64 х 3 = —— = ——————— 1 64
Эквивалентная дробь : Полученная таким образом дробь выглядит иначе, но имеет то же значение, что и целое
Общий знаменатель : Эквивалентная дробь и другая дробь, участвующая в вычислении, имеют один и тот же знаменатель
Сложение дробей, имеющих общий знаменатель:
2.2 Сложение двух эквивалентных дробей
Сложение двух эквивалентных дробей, которые теперь имеют общий знаменатель
Соедините числители, поднесите сумму или разность к общему знаменателю, затем приведите к наименьшему числу, если возможно:
x 3 • 64 - (1) 64x 3 - 1
"="
64 64
Попытка учитывать разницу в кубиках:
2,3 Факторинг: 64x 3 -1
Теория: разница в двух идеальных кубиках, 3 -B 3 можно учитывать в
(A-B).
• (a 2 +AB+B 2 )
Доказательство: (A -B) • (A 2 +AB+B 2 ) =
A 3 +A 2 B+AB 2 — 2 B+AB 2 — ba 2 -b 2 a-b 3 =
a 3 +(a 2 b-ba 2 )+(ab 2 -b 2 a)-b 3 =
a 3 +0+0-b 3 =
a 3 -b 3
4 это куб из 6 40005
Проверка: 1 — куб 1
Проверка: x 3 — это куб x 1
Факторизация:
(4x — 1) • (16x 2 + 4x + 1)
Попытка факторизовать путем разделения среднего члена
2,4 Факторизация 16x 2 + 4x + 1
Первый член равен 16x 2 его коэффициент равен 16 .
Средний член равен +4x , его коэффициент равен 4 .
Последний термин, «константа», равен +1
Шаг-1: Умножьте коэффициент первого члена на константу 16 • 1 = 16
Шаг-2: Найдите два множителя 16, сумма которых равна коэффициенту среднего члена, который равен 4 .
| -16 | + | -1 | = | -17 | ||||||||||||||||||||
| -8 | + | -2 | = | -10 | ||||||||||||||||||||
| -4 | + | -4 | = | -8 | ||||||||||||||||||||
| -2 | + | -8 | = | -10 | ||||||||||||||||||||
| -1 | + | -16 | = | -17 | ||||||||||||||||||||
| 1 | + | 1 | + | 1 | + | 1 | + | 1 | + | 0148 | ||||||||||||||
| 2 | + | 8 | = | 10 | ||||||||||||||||||||
| 4 | + | 4 | = | 8 | ||||||||||||||||||||
| 8 | + | 2 | = | 10 | ||||||||||||||||||||
| 16 | + | 1 | = | 1 | = | 1 | = | 1 | = | 1 | = | 1 | = | 1 | = | 0147 17 |
Наблюдение: Невозможно найти два таких фактора!!
Вывод: Трехчлен нельзя разложить на множители
Уравнение в конце шага 2 :
(4x - 1) • (16x 2 + 4x + 1)
————————————————————————— = 0
64
Шаг 3 :
Если дробь равна нулю:
3.1 Если дробь равна нулю...
1 Если дробь равна нулю... Если дробь равна нулю, ее числитель, часть, которая находится над чертой дроби, должна равняться нулю.
Теперь, чтобы избавиться от знаменателя, Тигр умножает обе части уравнения на знаменатель.
Вот как:
(4x-1)•(16x 2 +4x+1)
————————————————— • 64 = 0 • 64
64
Теперь в левой части 64 уравновешивает знаменатель, а в правой части ноль, умноженный на что-либо, по-прежнему равен нулю.
Уравнение теперь принимает форму:
(4x-1) • (16x 2 +4x+1) = 0
Теория — корни произведения:
3.2 Произведение нескольких слагаемых равно нулю.
Если произведение двух или более слагаемых равно нулю, то хотя бы одно из слагаемых должно быть равно нулю.
Теперь мы будем решать каждый термин = 0 отдельно
Другими словами, мы собираемся решить столько уравнений, сколько членов в произведении
Любое решение термина = 0 также решает произведение = 0.
Решение уравнения с одной переменной :
3.3 Решение : 4x-1 = 0
Добавить 1 к обеим сторонам уравнения:
4x = 1
Разделите обе стороны уравнения на 4:
x = 1/4 = 0,250
Парабола, обнаружение вершины:
3.4 Найдите вершину y = 16x 2 +4x+1
Параболы имеют самую высокую или самую низкую точку, называемую вершиной. Наша парабола раскрывается и, соответственно, имеет низшую точку (абсолютный минимум). Мы знаем это еще до того, как нанесем на график «у», потому что коэффициент первого члена, 16 , положителен (больше нуля).
Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину. Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух точек пересечения x (корней или решений) параболы. То есть, если парабола действительно имеет два действительных решения.
Параболы могут моделировать многие реальные жизненные ситуации, такие как высота над землей объекта, брошенного вверх через некоторый период времени.
Вершина параболы может предоставить нам такую информацию, как максимальная высота, на которую может подняться объект, брошенный вверх. По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.
Для любой параболы, Ax 2 +Bx+C, x координата вершины определяется как -B/(2A) . В нашем случае координата х равна -0,1250
. Подставив в формулу параболы -0,1250 для х, мы можем вычислить координату у:
Парабола, графическая вершина и точки пересечения X:
Корневой график для: y = 16x 2 +4x+1
Ось симметрии (пунктирная) {x}={-0,12}
Вершина в {x,y} = {-0,12, 0,75}
Функция не имеет действительных корней
Решить квадратное уравнение, заполнив квадрат
3.5 Решение 16x 2 +4x+1 = 0, заполнив квадрат .
Поделите обе части уравнения на 16, чтобы получить 1 в качестве коэффициента при первом члене:
x 2 +(1/4)x+(1/16) = 0
x 2 +(1/4)x = -1/16
Теперь хитрость: возьмем коэффициент при x, равный 1/4, разделим на два, получим 1/8, и, наконец, возведи его в квадрат, что даст 1/64
Добавьте 1/64 к обеим частям уравнения:
В правой части мы получим:
-1/16 + 1/64 Общий знаменатель двух дробей равен 64 Складываем (-4/64)+(1 /64) дает -3/64
Таким образом, прибавив к обеим сторонам, мы окончательно получим:
x 2 +(1/4)x+(1/64) = -3/64
Добавление 1/64 завершило левое стороны в полный квадрат:
x 2 +(1/4)x+(1/64) =
(x+(1/8)) • (x+(1/8)) =
(x+(1/ 8)) 2
Вещи, равные одной и той же вещи, также равны друг другу.
Поскольку
x 2 +(1/4)x+(1/64) = -3/64 и
x 2 +(1/4)x+(1/64) = (x+(1/8)) 2
тогда, согласно закону транзитивности,
(x+(1/8)) 2 = -3/64
Мы будем называть это уравнение уравнением #3.5.1
Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны.
Обратите внимание, что квадратный корень из
(x+(1/8)) 2 is
(x+(1/8)) 2/2 =
(x+(1/8)) 1 =
x+(1/8)
Теперь, применяя принцип квадратного корня к уравнению. #3.5.1 получаем:
x+(1/8) = √ -3/64
Вычтем 1/8 с обеих сторон, чтобы получить:
x = -1/8 + √ -3/64
В математике, i называется мнимой единицей. Он удовлетворяет i 2 =-1. И i , и -i являются квадратными корнями из -1
Поскольку квадратный корень имеет два значения, одно положительное, а другое отрицательное
x 2 + (1/4)x + (1/16) = 0
имеет два решения:
x = -1/8 + √ 3/64 • i
или
x = -1/8 — √ 3/64 • I
Обратите внимание, что √ 3/64 можно записать как
√ 3 / √ 64, который √ 3/8
Решение квадратичного уравнения с использованием квадратичной формулы
3.
6 Решение 16x 2 +4x + 1 = 0 по квадратичной формуле.
Согласно квадратичной формуле, x , решение для Ax 2 +Bx+C = 0 , где A, B и C – числа, часто называемые коэффициентами, определяется следующим образом:
-B ± √ B 2 -4AC
X = ————————
2A
В нашем случае A = 16
C = 1
Соответственно, b 2 -4AC =
16-64 =
-48
Применение квадратичной формулы:
-4 ± √ -48
x = ————
32
В множестве действительных чисел отрицательные числа не имеют квадратных корней. Был изобретен новый набор чисел, называемый комплексным, чтобы отрицательные числа имели квадратный корень. Эти цифры написаны (a+b*i)
И I, и -i-квадратные корни минус 1
Соответственно, √ -48 =
√ 48 • (-1) =
√ 48 • √ -1 =
± √ 48 • i
Можно ли упростить √ 48 ?
Да! Первичная факторизация числа 48 равна
2•2•2•2•3
Чтобы иметь возможность удалить что-то из-под корня, должно быть 2 этих экземпляра (потому что мы берем квадрат, то есть корень второй степени).
√ 48 = √ 2 • 2 • 2 • 2 • 3 = 2 • 2 • √ 3 =
± 4 • √ 3
√ 3, округленные до 4 десятичных цифр, 1,7321
, так что теперь мы смотрим на:
x = ( -4 ± 4 • 1,732 i ) / 32
Два воображаемых решения:
х = (-4+√-48)/32=(-1+i√3 )/8= -0,1250+0,2165i или:
x = (-4-√-48)/32=(-1-i√ 3 )/8= -0,1250-0,2165i
Было найдено три решения:
- x =(-4-√-48)/32=(-1-i√ 3 )/8= -0,1250-0,2165i
- x =(-4+√- 48)/32=(-1+i√ 3 )/8= -0,1250+0,2165i
- x = 1/4 = 0,250
Почему нельзя отменить x?
Даже не записав алгебру, вы, вероятно, уже знаете, о каких типах задач идет речь в этой статье. В алгебре возникают проблемы, когда кажется, что вы должны иметь возможность отменить переменную и двигаться дальше. Тем не менее, именно в таких ситуациях ваш профессор или учитель продолжает твердить вам, что этого не может произойти. Почему это так?
Ниже мы рассмотрим несколько конкретных примеров и увидим разницу между тем, когда можно отменить переменную, и когда нельзя.
реклама
Все дело в факторах
Может не всегда так кажется, но
Когда в рациональном выражении можно сокращать члены?
Вы можете отменить любые совпадающие множители, которые встречаются как в числителе, так и в знаменателе. Давайте воспользуемся числами, чтобы понять это немного лучше. Рассмотрим дробь ниже:
\(\dfrac{4}{14}\)
В приведенной выше дроби 2 является коэффициентом 4, поскольку \(2 \times 2 = 4\). Точно так же 2 является коэффициентом 14, поскольку \(2 \times 7 = 14\). Основываясь на правиле сокращения общих множителей, мы должны иметь возможность сократить двойки и получить дробь с тем же значением.
\(\dfrac{4}{14}=\dfrac{2(2)}{2(7)}=\dfrac{2}{7}\)
Если вы проверите на калькуляторе, то обнаружите, что 4 разделить на 14 равно 2 разделить на 7 — так что это правило здесь работает. Что происходит на самом деле?
Почему это работает?
Каждое число, отличное от нуля, при делении само на себя равно 1. Поскольку дробь просто представляет собой деление (в некотором смысле), \(\dfrac{2}{2} = 1\), и мы действительно просто имеем \(1\ раз\dfrac{2}{7}\).
Пробуем с переменными 92}}\конец{выравнивание}\)
Единственный случай, когда вы не можете отменить члены в числителе и знаменателе, это когда они оба НЕ являются множителями. . Вот почему вы не можете отменить \(x\) в \(\dfrac{x-5}{x}\). \(x\) не является множителем числителя; просто добавляется термин. Отмена \(x\) здесь была бы похожа на отмену \(5\) в \(\dfrac{5+1}{5}\) и утверждение, что это 1, хотя на самом деле \(\dfrac{5+1} {5}\) = \dfrac{6}{5}. Это, конечно, не эквивалентно одному!
реклама
Резюме
Упрощение рациональных выражений, как показано выше, требует тех же навыков, которые вы использовали при упрощении дробей, таких как \(\dfrac{2}{4}\) или \(\dfrac{8}{10}\) .