Указать знак производных функций: Производная — Умскул Учебник

Как по графику определить знак производной. Производная функции. Геометрический смысл производной. Вычисление точек максимума и минимума

В задаче B9 дается график функции или производной, по которому требуется определить одну из следующих величин:

1. Значение производной в некоторой точке x 0 ,
2. Точки максимума или минимума (точки экстремума),
3. Интервалы возрастания и убывания функции (интервалы монотонности).

Функции и производные, представленные в этой задаче, всегда непрерывны, что значительно упрощает решение. Не смотря на то, что задача относится к разделу математического анализа, она вполне по силам даже самым слабым ученикам, поскольку никаких глубоких теоретических познаний здесь не требуется.

Для нахождения значения производной, точек экстремума и интервалов монотонности существуют простые и универсальные алгоритмы — все они будут рассмотрены ниже.

Внимательно читайте условие задачи B9, чтобы не допускать глупых ошибок: иногда попадаются довольно объемные тексты, но важных условий, которые влияют на ход решения, там немного.

Вычисление значения производной. Метод двух точек

Если в задаче дан график функции f(x), касательная к этому графику в некоторой точке x 0 , и требуется найти значение производной в этой точке, применяется следующий алгоритм:

1. Найти на графике касательной две «адекватные» точки: их координаты должны быть целочисленными. Обозначим эти точки A (x 1 ; y 1) и B (x 2 ; y 2). Правильно выписывайте координаты — это ключевой момент решения, и любая ошибка здесь приводит к неправильному ответу.
2. Зная координаты, легко вычислить приращение аргумента Δx = x 2 − x 1 и приращение функции Δy = y 2 − y 1 .
3. Наконец, находим значение производной D = Δy/Δx. Иными словами, надо разделить приращение функции на приращение аргумента — и это будет ответ.

Еще раз отметим: точки A и B надо искать именно на касательной, а не на графике функции f(x), как это часто случается. Касательная обязательно будет содержать хотя бы две таких точки — иначе задача составлена некорректно.

Рассмотрим точки A (−3; 2) и B (−1; 6) и найдем приращения:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Найдем значение производной: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .

Рассмотрим точки A (0; 3) и B (3; 0), найдем приращения:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Теперь находим значение производной: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .

Рассмотрим точки A (0; 2) и B (5; 2) и найдем приращения:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Осталось найти значение производной: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Из последнего примера можно сформулировать правило: если касательная параллельна оси OX, производная функции в точке касания равна нулю. В этом случае даже не надо ничего считать — достаточно взглянуть на график.

Вычисление точек максимума и минимума

Иногда вместо графика функции в задаче B9 дается график производной и требуется найти точку максимума или минимума функции. При таком раскладе метод двух точек бесполезен, но существует другой, еще более простой алгоритм. Для начала определимся с терминологией:

1. Точка x 0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x 0) ≥ f(x).
2. Точка x 0 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x 0) ≤ f(x).

Для того чтобы найти точки максимума и минимума по графику производной, достаточно выполнить следующие шаги:

1. Перечертить график производной, убрав всю лишнюю информацию. Как показывает практика, лишние данные только мешают решению. Поэтому отмечаем на координатной оси нули производной — и все.
2. Выяснить знаки производной на промежутках между нулями. Если для некоторой точки x 0 известно, что f’(x 0) ≠ 0, то возможны лишь два варианта: f’(x 0) ≥ 0 или f’(x 0) ≤ 0. Знак производной легко определить по исходному чертежу: если график производной лежит выше оси OX, значит f’(x) ≥ 0. И наоборот, если график производной проходит под осью OX, то f’(x) ≤ 0.
3. Снова проверяем нули и знаки производной. Там, где знак меняется с минуса на плюс, находится точка минимума. И наоборот, если знак производной меняется с плюса на минус, это точка максимума. Отсчет всегда ведется слева направо.

Эта схема работает только для непрерывных функций — других в задаче B9 не встречается.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−5; 5]. Найдите точку минимума функции f(x) на этом отрезке.

Избавимся от лишней информации — оставим только границы [−5; 5] и нули производной x = −3 и x = 2,5. Также отметим знаки:

Очевидно, в точке x = −3 знак производной меняется с минуса на плюс. Это и есть точка минимума.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7]. Найдите точку максимума функции f(x) на этом отрезке.

Перечертим график, оставив на координатной оси только границы [−3; 7] и нули производной x = −1,7 и x = 5. Отметим на полученном графике знаки производной. Имеем:

Очевидно, в точке x = 5 знак производной меняется с плюса на минус — это точка максимума.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−6; 4]. Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−4; 3].

Из условия задачи следует, что достаточно рассмотреть только часть графика, ограниченную отрезком [−4; 3]. Поэтому строим новый график, на котором отмечаем только границы [−4; 3] и нули производной внутри него. А именно, точки x = −3,5 и x = 2. Получаем:

На этом графике есть лишь одна точка максимума x = 2. Именно в ней знак производной меняется с плюса на минус.

Небольшое замечание по поводу точек с нецелочисленными координатами. Например, в последней задаче была рассмотрена точка x = −3,5, но с тем же успехом можно взять x = −3,4. Если задача составлена корректно, такие изменения не должны влиять на ответ, поскольку точки «без определенного места жительства» не принимают непосредственного участия в решении задачи. Разумеется, с целочисленными точками такой фокус не пройдет.

Нахождение интервалов возрастания и убывания функции

В такой задаче, подобно точкам максимума и минимума, предлагается по графику производной отыскать области, в которых сама функция возрастает или убывает. Для начала определим, что такое возрастание и убывание:

1. Функция f(x) называется возрастающей на отрезке если для любых двух точек x 1 и x 2 из этого отрезка верно утверждение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Другими словами, чем больше значение аргумента, тем больше значение функции.
2. Функция f(x) называется убывающей на отрезке если для любых двух точек x 1 и x 2 из этого отрезка верно утверждение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Сформулируем достаточные условия возрастания и убывания:

1. Для того чтобы непрерывная функция f(x) возрастала на отрезке , достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была положительна, т.е. f’(x) ≥ 0.
2. Для того чтобы непрерывная функция f(x) убывала на отрезке , достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была отрицательна, т.е. f’(x) ≤ 0.

Примем эти утверждения без доказательств. Таким образом, получаем схему для нахождения интервалов возрастания и убывания, которая во многом похожа на алгоритм вычисления точек экстремума:

1. Убрать всю лишнюю информацию. На исходном графике производной нас интересуют в первую очередь нули функции, поэтому оставим только их.
2. Отметить знаки производной на интервалах между нулями. Там, где f’(x) ≥ 0, функция возрастает, а где f’(x) ≤ 0 — убывает. Если в задаче установлены ограничения на переменную x, дополнительно отмечаем их на новом графике.
3. Теперь, когда нам известно поведение функции и ограничения, остается вычислить требуемую в задаче величину.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7,5]. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки.

Как обычно, перечертим график и отметим границы [−3; 7,5], а также нули производной x = −1,5 и x = 5,3. Затем отметим знаки производной. Имеем:

Поскольку на интервале (− 1,5) производная отрицательна, это и есть интервал убывания функции. Осталось просуммировать все целые числа, которые находятся внутри этого интервала:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−10; 4]. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Избавимся от лишней информации. Оставим только границы [−10; 4] и нули производной, которых в этот раз оказалось четыре: x = −8, x = −6, x = −3 и x = 2. Отметим знаки производной и получим следующую картинку:

Нас интересуют промежутки возрастания функции, т.е. такие, где f’(x) ≥ 0. На графике таких промежутков два: (−8; −6) и (−3; 2). Вычислим их длины:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Поскольку требуется найти длину наибольшего из интервалов, в ответ записываем значение l 2 = 5.

Производная функции — одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.

В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна . Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное — понять смысл.

Запомним определение:

Производная — это скорость изменения функции.

На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

Вот другой пример.

Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная , — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается .

Покажем, как найти с помощью графика.

Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной .

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси .

Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника :

Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике под номером .

Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

Величина в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой . Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси .

.

Мы получаем, что

Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.

Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других — убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

В точке функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке , образует острый угол с положительным направлением оси . Значит, в точке производная положительна.

В точке наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол с положительным направлением оси . Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке производная отрицательна.

Вот что получается:

Если функция возрастает, ее производная положительна.

Если убывает, ее производная отрицательна.

А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках (точка максимума) и (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

Точка — точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке с «плюса» на «минус».

В точке — точке минимума — производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

Если производная положительна, то функция возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

	возрастает	точка максимума	убывает	точка минимума	возрастает
+	0	—	0	+

Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задач ЕГЭ. Другое — на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.

Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая :

В точке касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки функция возрастала — и после точки продолжает возрастать. Знак производной не меняется — она как была положительной, так и осталась.

Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.

А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется

Сергей Никифоров

Если производная функции знакопостоянна на интервале, а сама функция непрерывна на его границах, то граничные точки при­со­еди­ня­ют­ся как к про­ме­жут­кам воз­рас­та­ния, так и к про­ме­жут­кам убы­ва­ния, что полностью соответствует определению возрастающих и убывающих функций.

Фарит Ямаев 26.10.2016 18:50

Здравствуйте. Как же (на каком основании) можно утверждать, что в точке, где производная равна нулю, функция возрастает. Приведите доводы. Иначе, это просто чей-то каприз. По какой теореме? А также доказательство. Спасибо.

Служба поддержки

Значение производной в точке не имеет прямого отношения к возрастанию функции на промежутке. Рассмотрите, например, функции — все они возрастают на отрезке

Владлен Писарев 02.11.2016 22:21

Если функция возрастает на интервале (а;b) и определена и непрерывна в точках а и b, то она возрастает на отрезке . Т.е. точка x=2 входит в данный промежуток.

Хотя, как правило возрастание и убывание рассматривается не на отрезке, а на интервале.

Но в самой точке x=2, функция имеет локальный минимум. И как объяснять детям, что когда они ищут точки возрастания (убывания), то точки локального экстремума не считаем, а в промежутки возрастания (убывания) — входят.

Учитывая, что первая часть ЕГЭ для «средней группы детского сада», то наверное такие нюансы- перебор.

Отдельно, большое спасибо за «Решу ЕГЭ» всем сотрудникам- отличное пособие.

Сергей Никифоров

Простое объяснение можно получить, если отталкиваться от определения возрастающей/убывающей функции. Напомню, что звучит оно так: функция называется возрастающей/убывающей на промежутке, если большему аргументу функции соответствует большее/меньшее значение функции. Такое определение никак не использует понятие производной, поэтому вопросов о точках, где производная обращается в ноль возникнуть не может.

Ирина Ишмакова 20.11.2017 11:46

Добрый день. Здесь в комментариях я вижу убеждения, что границы включать нужно. Допустим, я с этим соглашусь. Но посмотрите, пожалуйста, ваше решение к задаче 7089. Там при указании промежутков возрастания границы не включаются. И это влияет на ответ. Т.е. решения заданий 6429 и 7089 противоречат друг другу. Проясните, пожалуйста, эту ситуацию.

Александр Иванов

В заданиях 6429 и 7089 совершенно разные вопросы.

В одном про промежутки возрастания, а в другом про промежутки с положительной производной.

Противоречия нет.

Экстремумы входят в промежутки возрастания и убывания, но точки, в которых производная равна нулю, не входят в промежутки, на которых производная положительна.

A Z 28.01.2019 19:09

Коллеги, есть понятие возрастания в точке

(см. Фихтенгольц например)

и ваше понимание возрастания в точке x=2 противочет классическому определению.

Возрастание и убывание это процесс и хотелось бы придерживаться этого принципа.

В любом интервале, который содержит точку x=2, функция не является возрастающей. Поэтому включение данный точки x=2 процесс особый.

Обычно, чтобы избежать путаницы о включении концов интервалов говорят отдельно.

Александр Иванов

Функция y=f(x) называется возрастающей на некотором промежутке, если бо́льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует бо́льшее значение функции.

В точке х=2 функция дифференцируема, а на интервале (2; 6) производная положительна, значит, на промежутке }

Исследование функции. Задание В15 (2014)

В этой статье я продолжу объяснение решения задач на  исследование  функции с помощью производной из задания В15, а именно задач на нахождение максимума и минимума функции.

Я хочу показать решение задач, которые вызывают наибольшие затруднения у моих учеников.

Чтобы найти максимум или минимум функции, нужно следовать такому алгоритму:

1. Найти производную функции.

2. Приравнять ее к нулю.

3. С помощью метода интервалов  определить промежутки, на которых производная сохраняет знак.

4. Если нам нужно найти точку максимума функции, ищем точку, в которой производная меняет знак с «+» на «-«.

Если нам нужно найти точку минимума функции, ищем точку, в которой производная меняет знак с «-» на «+».

 

1. Задание B15 (№ 26726)

Найдите точку максимума функции  .

1. Найдем производную функции. Для начала удобно представить в виде , тогда 

Найдем производную функции по формуле производной произведения

Вынесем за скобку . Получим

2. Приравняем производную к нулю:

. Первый множитель всегда больше нуля.

3.  Нанесем эти корни на координатную прямую и расставим знаки.

4. Производная меняет знак с «+» на «-» в точке х=0, следовательно это и есть точка максимума функции.

Ответ: 0

 

2. Задание B15 (№ 77435)

Найдите точку максимума функции .

1. 

2. 

3. Нанесем корни на числовую ось и расставим знаки.

Внимание! В этом месте школьники часто делают ошибку. Мы расставляем знаки для производной, которую получили в п.1. Иногда при нахождении корней производную умножают на (-1), и потом расставляют знаки уже для преобразованного уравнения производной. Это ошибка.

4. Производная меняет знак с «+» на «-» в точке х=2, следовательно это и есть точка максимума функции.

Ответ: 2

3. Задание B15 (№ 77454)

Найдите наименьшее значение функции     на отрезке .

1. 

2. 

Производная меняет знак в правом конце отрезка. При  производная функции  отрицательна, следовательно, функция убывает на отрезке . Следовательно, наименьшее значение она принимает в правом конце отрезка, то есть в точке х=9.

3. Подставим х=9 в уравнение функции:

Ответ: -8

4. Задание B15 (№ 77471)

Найдите точку максимума функции  .

ОДЗ функции .

1.

2. 

, 

Нанесем корни на числовую ось и расставим знаки.   при . 

Производная меняет знак с «+» на «-» в точке х=-4, это и есть точка максимума функции .

Ответ: -4

И, наконец, предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК, в котором я показываю прием, позволяющий устно решать некоторые виды задач из задания В15.

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Попробуйте скачать
Firefox

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

AC Использование производных для описания семейств функций

Мотивирующие вопросы

• Для данного семейства функций, которое зависит от одного или нескольких параметров, как форма графика типичной функции в семействе зависит от значения параметров?

• Как мы можем построить диаграммы знаков первой и второй производной функций, которые зависят от одного или нескольких параметров, позволяя этим параметрам оставаться произвольными константами?

Математики часто интересуются общими наблюдениями, скажем, описывая закономерности, которые выполняются в большом количестве случаев. Подумайте о теореме Пифагора: она ничего не говорит нам об одном прямоугольном треугольнике, а скорее говорит о каждых прямоугольных треугольников. В следующей части наших исследований мы используем исчисление, чтобы сделать общие наблюдения о семействах функций, которые зависят от одного или нескольких параметров. Люди, использующие прикладную математику, такие как инженеры и экономисты, часто сталкиваются с одними и теми же типами функций, в которых происходят лишь небольшие изменения определенных констант. Эти константы называются параметры .

Рисунок 3.2.1. График \(f(t) = a \sin(b(t-c)) + d\) на основе параметров \(a\text{,}\) \(b\text{,}\) \(c\ text{,}\) и \(d\text{.}\)

Вы уже знакомы с некоторыми семействами функций. Например, \(f(t) = a \sin(b(t-c)) + d\) представляет собой растянутую и сдвинутую версию синуса с амплитудой \(a\text{,}\) периодом \(\frac {2\pi}{b}\text{,}\) фазовый сдвиг \(c\text{,}\) и вертикальный сдвиг \(d\text{.}\) Мы знаем, что \(a\) влияет на размер колебания, \(b\) скорость колебания и \(c\), где начинается колебание, как показано на рисунке 3. 2.1, а \(d\) влияет на вертикальное положение графика.

Другой пример: каждая функция вида \(y = mx + b\) представляет собой прямую с наклоном \(m\) и \(y\)-отрезком \((0,b)\text{.}\ ) Значение \(m\) влияет на крутизну линии, а значение \(b\) размещает линию вертикально на осях координат. Эти два параметра описывают все возможные невертикальные линии.

Для других менее знакомых семейств функций мы можем использовать исчисление, чтобы обнаружить, где происходит ключевое поведение: где члены семейства увеличиваются или уменьшаются, вогнуты вверх или вогнуты вниз, где возникают относительные экстремумы и многое другое, все с точки зрения параметров участвует. Для начала мы вернемся к обычному набору функций, чтобы увидеть, как исчисление подтверждает то, что мы уже знаем. 92 + к\текст{.}\)

1. Какой знакомый тип функции \(f\text{?}\) Какую информацию вы знаете о \(f\), просто взглянув на ее форму? (Подумайте о роли \(a\text{,}\) \(h\text{,}\) и \(k\text{.}\))

2. Далее мы используем некоторые вычисления, чтобы развить знакомые идеи с другой точки зрения. Для начала обработайте \(a\text{,}\) \(h\text{,}\) и \(k\) как константы и вычислите \(f'(x)\text{.}\)

3. Найдите все критические числа \(f\text{.}\) (они будут зависеть хотя бы от одного из \(a\text{,}\) \(h\text{,}\) и \(k \текст{.}\))

4. Предположим, что \(a \lt 0\text{.}\) Построить диаграмму знаков первой производной для \(f\text{.}\)

5. Основываясь на информации, которую вы нашли выше, классифицируйте критические значения \(f\) как максимальные или минимальные.

Подраздел 3.2.1 Описание семейств функций в терминах параметров

Наша цель — описать ключевые характеристики общего поведения каждого члена семейства функций в терминах его параметров. Находя первую и вторую производные и строя карты знаков (каждая из которых может зависеть от одного или нескольких параметров), мы часто можем сделать общие выводы о том, как будет выглядеть каждый член семейства. 9{-bx}\) всегда положителен, знак \(g’\) зависит от линейного множителя \((1-bx)\text{,}\), который положителен для \(x \lt \frac{ 1}{b}\) и отрицательно для \(x \gt \frac{1}{b}\text{. {-bx}\text{,}\) дифференцируем, чтобы найти 9{-bx}\) всегда положителен, и, таким образом, знак \(g»\) зависит от знака \((bx-2)\text{,}\), который равен нулю, когда \(x = \ frac{2}{b}\text{.}\) Поскольку \(b\) положительно, значение \((bx-2)\) отрицательно для \(x \lt \frac{2}{b }\) и положительным для \(x \gt \frac{2}{b}\text{.}\). Таблица знаков для \(g»\) показана на рисунке 3.2.4. Таким образом, \(g\) является вогнутым вниз для всех \(x \lt \frac{2}{b}\) и вогнутым вверх для всех \(x \gt \frac{2}{b}\text{.} \)

Наконец, мы анализируем долгосрочное поведение \(g\), рассматривая два предела. Во-первых, отметим, что 9{-1})\text{,}\), поэтому чем больше значение \(a\text{,}\), тем больше значение глобального максимума.

Работа, которую мы выполнили в примере 3.2.2, часто может быть воспроизведена для других семейств функций, зависящих от параметров. Обычно нас больше всего интересует определение всех критических чисел, диаграммы знаков первой производной, диаграммы знаков второй производной и предела функции как \(x \to \infty\text{. }\). Везде мы предпочитаем работать с параметрами как произвольные константы. Кроме того, мы можем экспериментировать с некоторыми конкретными значениями параметров, чтобы уменьшить алгебраическую сложность нашей работы. Следующие действия предлагают несколько ключевых примеров, где мы видим, что значения параметров существенно влияют на поведение отдельных функций в данном семействе. 93 — ax\text{,}\) где \(a \ne 0\) — произвольная константа.

1. Найдите \(p'(x)\) и определите критические числа \(p\text{.}\) Сколько критических чисел имеет \(p\)?

2. Постройте диаграмму знаков первой производной для \(p\text{.}\) Что вы можете сказать об общем поведении \(p\), если константа \(a\) положительна? Почему? Что, если константа \(а\) отрицательна? В каждом случае опишите относительные экстремумы \(p\text{.}\)

3. Найдите \(p»(x)\) и постройте диаграмму знаков второй производной для \(p\text{.}\) Что это говорит вам о вогнутости \(p\text{?}\) Что роль \(a\) играет в определении вогнутости \(p\text{?}\)

4. Без использования графической утилиты нарисуйте и пометьте типичные графики \(p(x)\) для случаев, когда \(a\gt 0\) и \(a \lt 0\text{. 3 — ax\) по крайней мере для четырех различных значений \(a\text{.}\) Напишите несколько предложений, чтобы описать ваши общие выводы о том, как поведение \(p\) зависит от \(a\text{.}\) 9{-bx})\text{,}\), где \(a\) и \(b\) — положительные действительные числа.

   1. Найдите первую производную и критические числа \(h\text{.}\) Используйте их, чтобы построить диаграмму знаков первой производной и определить, для каких значений \(x\) функция \(h\) увеличивается и уменьшается.

   2. Найдите вторую производную и постройте диаграмму знаков второй производной. При каких значениях \(х\) функция из этого семейства вогнута вверх? вогнутый вниз?

   3. 9{-кт}}\текст{?}\)

   4. Найдите значение \(L(x)\) в точке перегиба, найденной в (b).

   5. Не используя графическую утилиту, нарисуйте график типичного члена этого семейства. Напишите несколько предложений, чтобы описать общее поведение типичной функции \(L\) и то, как это поведение зависит от \(A\text{,}\) \(c\text{,}\) и \(k\) числа .

   6. Объясните, почему разумно полагать, что функция \(L(t)\) моделирует рост популяции с течением времени в условиях, когда максимально возможная популяция, которую может поддерживать окружающая среда, равна \(A\text{.} \)

   Подраздел 3.2.2 Резюме

   • Имея семейство функций, которое зависит от одного или нескольких параметров, исследуя, как критические числа и места, где вторая производная равна нулю, зависят от значений этих параметров, мы часто можем точно описать форму функции в терминах параметры.

   • В частности, точно так же, как мы можем создать диаграммы знаков первой и второй производной для одной функции, мы часто можем сделать это для целых семейств функций, где критические числа и возможные точки перегиба зависят от произвольных констант. Затем эти диаграммы знаков показывают, где члены семейства увеличиваются или уменьшаются, вогнуты вверх или вогнуты вниз, и помогают нам определить относительные крайности и точки перегиба. 92.\)

     Какая дозировка обеспечивает максимальное изменение температуры?

     \(D =\)

     Чувствительность организма к препарату определяется как \(dT/dD\text{.}\) Какая доза обеспечивает максимальную чувствительность?

     \(Д =\)

     2. Использование графика \(g’\).

     На рисунке ниже показано поведение производной \(g(x)\) на \(-2\le x\le 2\text{.}\)

     График \(g'(x)\ ) ( не \(g(x)\))

     (Нажмите на график, чтобы увеличить его.)

     Нарисуйте график \(g(x)\) и используйте его, чтобы ответить на следующие вопросы.

     A. Где график \(g(x)\) имеет точки перегиба?

     \(x =\)

     Введите ответ в виде списка значений, разделенных запятыми, или введите нет , если их нет.

     B. Где глобальные максимумы и минимумы \(g\) на \([-2,2]\text{?}\)

     минимум в \(x =\)

     максимум в \(х =\)

     C. Если \(g(-2) = -8\text{,}\), каковы возможные значения для \(g(0)\text{?}\)

     \(g(0) \) находится в

     (Введите ответ в виде интервала или объединения интервалов, указав возможные значения. Таким образом, если вы знаете \(-5 \lt g(0) \le -2\text{,}\) введите (-5,-2] . Введите бесконечность для \(\infty\text{,}\) интервал [1,1] для указания одной точки)

     Как значение из \(g(2)\) относительно значения \(g(0)\text{?}\) 92\text{,}\) где \(a \gt 0\text{.}\)

     1. Нарисуйте график типичного члена семейства, используя тот факт, что каждый из них представляет собой кубический многочлен с повторяющимся нулем в точке \(x = 0\) и еще одним нулем в точке \(x = a\text{.}\ )

     2. Найти все критические числа \(p\text{.}\)

     3. Вычислите \(p»\) и найдите все значения, для которых \(p»(x) = 0\text{.}\) Следовательно, постройте вторую диаграмму знаков производной для \(p\text{.}\ )

     4. Опишите, как положение критических чисел и точка перегиба \(p\) изменяются при изменении \(a\). То есть, если значение \(а\) увеличить, что произойдет с критическими числами и точкой перегиба? 9{-x}}{x-c}\) — однопараметрическое семейство функций, где \(c \gt 0\text{. }\)

        1. Объясните, почему \(q\) имеет вертикальную асимптоту в точке \(x = c\text{.}\)

        2. Определить \(\lim_{x \to \infty} q(x)\) и \(\lim_{x \to -\infty} q(x)\text{.}\)

        3. Вычислить \(q'(x)\) и найти все критические числа \(q\text{.}\)

        4. Постройте диаграмму знаков первой производной для \(q\) и определите, ведет ли каждое критическое число к локальному минимуму, локальному максимуму или ни к одному из них для функции \(q\text{.}\) 94} \справа)\текст{.} \end{уравнение*}

           Найти все значения \(x\), для которых \(E»(x) = 0\text{.}\)

        5. Определить \(\lim_{x \to \infty} E(x)\) и \(\lim_{x \to -\infty} E(x)\text{.}\)

        6. Постройте помеченный график типичной функции \(E\), который ясно показывает, как важные точки на графике \(y = E(x)\) зависят от \(m\) и \(s\text{. }\)

        Как понимать схемы знаков – mathsathome.com

        Видеоуроки по схемам знаков

        Как построить диаграмму знаков для функции

        Как сделать диаграмму знаков из графика

        Что такое диаграмма знаков?

        Диаграмма знаков показывает интервалы, в которых функция имеет положительные или отрицательные выходные значения. Точки пересечения оси 𝑥 написаны на оси диаграммы знаков. Между этими точками записывается положительный знак, если график находится выше 𝑥-оси , и отрицательный знак, если он ниже 𝑥-оси s.

        На приведенном ниже графике функции показано, где функция находится выше и ниже оси 𝑥.

        Положительный знак записывается на диаграмме знаков в областях, где график находится над осью, и отрицательный знак записывается на диаграмме знаков в областях, где график находится ниже оси.

        График пересекает ось 𝑥 в точках -6, -3, 1 и 7. Эти точки записаны на диаграмме знаков.

        Положительные знаки записываются там, где функция находится над осью 𝑥. Это потому, что здесь функция имеет положительный результат.

        Это происходит для 𝑥<-6, -3<𝑥<1 и 7<𝑥.

        Отрицательные знаки записываются там, где функция находится ниже оси 𝑥. Это потому, что здесь функция имеет отрицательный результат.

        Это происходит для -6<𝑥<-3 и 1<𝑥<7.

        Для чего используется схема знаков?

        Диаграмма знаков предоставляет ключевую информацию о функции, например:

        • Знаковая диаграмма f(𝑥) показывает, где выходы функции положительные или отрицательные.
        • На диаграмме знаков f(𝑥) перечислены все точки пересечения оси 𝑥, корни функции.
        • Диаграмма знаков f'(𝑥) отображает интервалы, для которых функция возрастает или убывает.
        • На диаграмме знаков f'(𝑥) перечислены все стационарные точки (максимумы, минимумы и стационарные точки перегиба).
        • Знаковая диаграмма f'(x) позволяет нам классифицировать стационарные точки как максимумы, минимумы или стационарные точки перегиба.
        • На диаграмме знаков f”(x) отображаются интервалы, для которых кривизна функции вогнута вверх или вогнута вниз.
        • На диаграмме знаков f”(x) перечислены все точки перегиба функции.

        Как составить диаграмму знаков

        Диаграмму знаков можно построить без графика, просто рассмотрев уравнение функции.

        Чтобы сделать схему знаков:

        1. Отметить все значения, для которых функция равна нулю.
        2. Подставьте значения 𝑥 в функцию, выбранную из каждого из этих отмеченных значений.
        3. При положительном ответе отметить регион знаком +.
        4. Если ответ отрицательный, отметьте регион знаком –.

        Например, сделайте диаграмму знаков для .

        Отметьте все значения, для которых функция равна нулю

        Сначала мы устанавливаем f(𝑥) = 0 и находим 𝑥.

        Для этого может помочь факторизация функции, если она еще не факторизована.

        и так 𝑥 = 0 или 𝑥 = 3.

        Отмечаем на диаграмме знаков и 0, и 3.

        Подстановка значений из каждой области в функцию для получения положительных или отрицательных результатов

        Слева от 0 на диаграмме знаков мы можем подставить любое значение 𝑥, меньшее 0, в f(𝑥).

        Подставляем в 𝑥 = -1, чтобы получить результат 4. Это 4 — положительное число, поэтому мы ставим положительный знак в этой области диаграммы знаков.

        Между 0 и 3 мы можем подставить любое значение 𝑥 в f(𝑥) при условии, что оно больше 0 или меньше 3.

        Мы подставляем 𝑥 = 1 в функцию, чтобы получить результат -2. Это отрицательный выход, поэтому на диаграмме знаков мы записываем отрицательный знак.

        Наконец, мы подставляем число больше 3 в f(𝑥).

        Подставляем 𝑥 = 4, чтобы получить результат 4. Это положительно, поэтому мы помечаем эту область диаграммы знаком плюс.

        Неважно, каков числовой результат подстановки, важно, будет ли результат положительным или отрицательным.

        Например, вместо подстановки 𝑥 = 4 в для нахождения знака самой правой области мы могли бы подставить любое число больше 3, например 𝑥 = 10,

        Замена 𝑥 = 10 даст результат 70, что опять-таки положительно.

        Простой метод построения диаграммы знаков

        Чтобы построить диаграмму знаков, в функцию необходимо подставить только одно значение 𝑥. Определите, является ли этот результат положительным или отрицательным. Отсюда можно найти другие области в зависимости от того, является ли степень фактора в функции четной или нечетной.

        Например, в функции есть три фактора. Когда каждый множитель равен нулю, на диаграмме знаков ставится отметка.

        𝑥 дает нам корень из 𝑥 = 0.

        (𝑥 +1) ³ дает нам корень из 𝑥 = -1.

        (𝑥 – 2) ² дает нам корень из 𝑥 = 2.

        Сначала мы можем подставить значение 𝑥 = 1 в функцию. Когда мы это делаем, мы получаем результат 8, что является положительным. Мы помечаем положительный знак, где 𝑥 = 1 должен быть на диаграмме знаков.

        Отсюда мы решаем, оставить ли знак положительным или изменить его на отрицательный при перемещении в соседний регион.

        Если степень множителя в уравнении нечетная, знак меняется при перемещении по соответствующему корню.

        Если степень множителя в уравнении четная, знак остается тем же, когда мы перемещаемся по соответствующему корню.

        Когда мы проходим мимо 𝑥 = 2, эта 2 получается из множителя (𝑥 – 2) ² . Эта степень числа 2 является четной, поэтому положительный знак в области от 0<𝑥<2 остается положительным при переходе в область 2<𝑥.

        Когда мы движемся влево мимо 𝑥 = 0, этот 0 появился из множителя 𝑥. Это 𝑥 в степени 1, что нечетно. Поэтому положительный знак в области от 0<𝑥<2 становится отрицательным в области -1<𝑥<0.

        Когда мы движемся дальше влево за 𝑥 = -1, это -1 получается из множителя (𝑥 + 1) ³ . 3 — нечетное число, поэтому знак изменится. Отрицательный знак в области -1<𝑥<0 становится положительным в области 𝑥<-1.

        Диаграмма знаков для первой производной

        Можно построить диаграмму знаков первой производной f'(𝑥). Стационарные точки записываются на диаграмме знаков. В областях между этими точками пишется положительный знак при возрастании функции и отрицательный знак при убывании функции.

        Чтобы построить диаграмму знаков для первой производной:

        1. Отметьте 𝑥 координаты всех стационарных точек на линии диаграммы знаков.
        2. Рассмотрим каждую область между этими отмеченными точками.
        3. Если график возрастает или f'(𝑥) положительна, запишите на диаграмме положительный знак в этой области.
        4. Если график убывающий или f'(𝑥) отрицательное, напишите на диаграмме в этой области знак минус.

        Отметьте 𝑥 координаты всех стационарных точек на линии диаграммы знаков

        В приведенной ниже функции есть стационарные точки, отмеченные как 𝑥 = -4, 𝑥 = -1,5 и 𝑥 = 5.

        Тогда это написаны на оси знаковой диаграммы.

        Если график увеличивается, запишите положительный знак, а если график убывающий, запишите отрицательный знак.

        Если график увеличивается, он растет слева направо.

        Если график убывающий, то он падает слева направо.

        До 𝑥 = -4 график убывающий. Ставим отрицательный знак в этой области диаграммы.

        Между 𝑥 = -4 и 𝑥 = -1,5 график увеличивается. Ставим положительный знак в этой области диаграммы.

        Между 𝑥 = -1,5 и 𝑥 = 5 график уменьшается. Ставим отрицательный знак в этой области диаграммы.

        После 𝑥 = 5 график увеличивается. Ставим положительный знак в этой области диаграммы.

        Классификация стационарных точек

        Классификация стационарных точек означает определение того, является ли она максимальным, минимальным или стационарным перегибом. Можно использовать диаграмму знаков первой производной. +/ – соответствует максимальной точке. – / + — минимум и — / — или + / + — стационарные точки перегиба.

        Чтобы найти стационарные точки, продифференцируем функцию и приравняем ее к нулю. Решите полученное уравнение относительно 𝑥.

        Дополните диаграмму знаков для f'(𝑥), подставив в нее значения 𝑥 для каждой области.

        Используйте приведенную ниже таблицу для классификации каждой стационарной точки, учитывая рисунок с каждой стороны неподвижной точки.

        Диаграмма знаков первой производной	Тип стационарной точки
        + / –	Maximum
        – / +	Minimum
        – / – or + / +	Stationary Inflection

        Sign Diagram for the Second Derivative

        In исчисление, t Диаграмма знаков для второй производной f”(𝑥) описывает кривизну графика. Положительное значение f”(𝑥) указывает на вогнутый вверх интервал кривизны. Отрицательное значение f”( 𝑥 ) указывает интервал вогнутости вниз. f”( 𝑥 ) равно нулю в точках перегиба.

        На графике выше показана диаграмма знаков для второй производной.

        В областях 𝑥<-4, 0<𝑥<4,5 и 7<𝑥 имеется положительная кривизна.

        Имеется отрицательная кривизна в областях -4<𝑥<0 и 4,5<𝑥<7.

        Точки перегиба отмечены на диаграмме знаков второй производной при 𝑥 = -4, 𝑥 = 0, 𝑥 = 4,5 и 𝑥 = 7. В точках перегиба кривизна меняется с положительной на отрицательную.

        Использование диаграммы знаков для решения неравенства

        Диаграммы знаков можно использовать для решения неравенств. Сначала постройте диаграмму знаков для функции. Если неравенство требует, чтобы функция была больше нуля, это положительные интервалы. Если неравенство требует, чтобы функция была меньше нуля, это отрицательные интервалы.

        Например, найдите интервалы, для которых .

        Мы строим диаграмму знаков, как показано ниже.

        Поскольку нам требуется , нам нужны интервалы, для которых функция больше нуля или положительна.

        Ищем положительные области, перечисленные на диаграмме знаков.

        Поэтому для и .

        Мы используем как больше или равно, так и меньше или равно, поскольку неравенство в вопросе также позволяет функции быть равной нулю.

        Диаграмма знаков для кубической функции

        Диаграмма знаков для кубической функции может быть построена с перечислением точек пересечения осей.

        Вот несколько примеров различных кубических функций и их диаграммы знаков.

        Диаграмма знаков для рациональной функции

        При построении диаграммы знаков для рациональной функции точки пересечения оси 𝑥 должны быть помечены, как и любые значения 𝑥, которые создают вертикальную асимптоту. В рациональной функции числитель обеспечивает точек пересечения оси 𝑥, а асимптоты — это точки, где знаменатель равен нулю.

        Например, создайте диаграмму знаков для рациональной функции.

        Найдены точки пересечения 𝑥, где числитель равен нулю. Это при 𝑥 = -2.

        Находятся вертикальные асимптоты, где знаменатель равен нулю. Это при 𝑥 = 1.

        Мы отмечаем асимптоту пунктирной линией на диаграмме знаков

        Мы можем подставить 𝑥 = 0 в функцию, чтобы получить результат 8. Это положительно, поэтому средняя область знаковая диаграмма (где был бы 0) положительна.

        По мере того, как мы проходим точку пересечения каждой оси или асимптоту на диаграмме знаков, мы можем видеть, меняется ли знак или нет, в зависимости от степени фактора, из которого получено значение.

        Когда мы движемся мимо асимптоты в 𝑥 = 1, эта асимптота возникла из (𝑥 – 1) ² в знаменателе. 2 четно, поэтому знак остается прежним. Положительный знак остается положительным, когда мы перемещаемся в область больше 1.

        Когда мы движемся влево за точку пересечения в точке 𝑥 = -2, это значение получается из (𝑥 + 2) ³ в числителе.

        No related posts.