Умножение целых чисел на дроби: Как умножить число на дробь — Математика для школьников

Умножение дробей: простая инструкция — Лайфхакер

15 января 2021 Ликбез Образование

Простая шпаргалка для тех, кто подзабыл школьную программу по математике.

Умножение дробей друг на друга

Обыкновенные дроби

Всё просто: числитель умножьте на числитель, а знаменатель на знаменатель. Потом проверьте, можно ли сократить дробь. Например:

Правило работает для дробей и с разными, и с одинаковыми знаменателями. Если дробь большая, допустим ²⁴/₃₅, постарайтесь сразу сократить её — так будет легче вести подсчёты.

Если в примере есть смешанное число, сначала преобразуйте его в неправильную дробь, а потом умножайте способом, описанным выше. Полученный результат переведите обратно в смешанное число.

Вспомните основы 💡

• Какие бывают дроби и как их складывать

Десятичные дроби

Процесс умножения происходит в три шага:

1. Запишите дроби в столбик и умножьте как натуральные числа, пока не думая о запятых.
2. Посмотрите, сколько знаков после запятой было в каждой дроби, и сложите их количество.
3. Двигаясь справа налево, отсчитайте в результате умножения столько же цифр, сколько получилось в предыдущем шаге. Поставьте там запятую. Это и есть ответ. Например:

Если умножаете на 0,1, 0,01, 0,001 и так далее, то переместите запятую влево на столько знаков, сколько их после запятой в множителе: 0,18 × 0,1 = 0,018; 0,5 × 0,001 = 0,0005.

Освежите знания 👈

• Как перевести обычную дробь в десятичную

Умножение дробей на натуральные числа

Обыкновенные дроби

Нужно умножить только числитель, а знаменатель оставить без изменений. Если результат — неправильная дробь, выделите из неё целую часть, чтобы получить смешанное число. Например:

Если нужно умножить смешанное число, переведите его в неправильную дробь и умножайте по тому же принципу. То есть:

Есть и второй способ: разделить знаменатель на данное вам натуральное число, а числитель не трогать. Этот способ удобнее применять, когда знаменатель делится на это натуральное число без остатка. Например:

Сравните этот метод с первым — результат одинаковый.

Десятичные дроби

В этом случае используйте такой же способ, как для умножения дроби на дробь. Перемножьте числа столбиком, потом отсчитайте столько цифр, сколько их было после запятой в десятичной дроби, и там поставьте запятую. То есть:

Если нужно умножить десятичную дробь на 10, 100, 1 000 и так далее, просто переместите запятую вправо на столько знаков, сколько нулей после единицы. Например: 0,045 × 10 = 0,45; 0,045 × 100 = 4,5.

Читайте также 🧮👌🤓

• Умножать, делить, складывать как Шелдон Купер? Математические хаки…
• Как научить ребёнка считать играючи
• 6 способов посчитать проценты от суммы с калькулятором и без
• Как выучить таблицу умножения легко и быстро
• Как освоить устный счёт школьникам и взрослым

Умножение дробей, формулы и примеры решений

Содержание:

• Умножение дроби на число
• Умножение дробей
• Умножение смешанных дробей

Умножение дроби на число

Умножение дроби $\frac{a}{b}$ на число $n$ равносильно сложению одинаковых слагаемых:

Итак, можно сделать вывод, что чтобы умножить дробь на число, надо числитель этой дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.

Пример

Задание. Найти произведение  $\frac{1}{3} \cdot 4$

Решение. Выполним умножение по описанному выше правилу

$\frac{1}{3} \cdot 4=\frac{1 \cdot 4}{3}=\frac{4}{3}=1 \frac{1}{3}$

Ответ.   $\frac{1}{3} \cdot 4=1 \frac{1}{3}$

Аналогично выполняется умножения числа на дробь.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Найти произведение  3$\cdot \frac{1}{4}$

Решение. Выполним умножение по описанному выше правилу

$3 \cdot \frac{1}{4}=\frac{3 \cdot 1}{4}=\frac{3}{4}$

Ответ.   $3 \cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

Умножение дробей

Определение

Произведением дробей называется такая дробь, числитель которой равен произведению числителей исходных дробей, а знаменатель — произведению их знаменателей:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Таким образом, чтобы умножить дробь на дробь, надо умножить числитель первой дроби на числитель второй и результат записать в числитель; а также перемножить знаменатели и результат записать в знаменатель.

Замечание. При выполнении умножения по возможности следует сокращать. Сокращать можно только числа стоящие в числителе с числами, стоящими в знаменателе. Числитель с числителем и знаменатель со знаменателем сокращать нельзя.

Пример

Задание. Найти произведение дробей  $\frac{1}{3}$  и  $\frac{4}{5}$ 

Решение. Выполним умножение дробей по описанному выше правилу

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{5}=\frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 5}=\frac{4}{15}$

Ответ.   $\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{5}=\frac{4}{15}$

Пример

Задание. Умножить  $\frac{13}{14}$  на  $\frac{14}{39}$ 

Решение. Необходимо найти произведение $\frac{13}{14} \cdot \frac{14}{39}$ . Как видим, числа 13 и 39 можно сократить на общее число 13. Для этого сами указанные величины зачеркиваем, а над ними пишем число, которое получается после деления. Аналогично поступает со знаменателем первой дроби и числителем второй:

Ответ.   $\frac{13}{14} \cdot \frac{14}{39}=\frac{1}{3}$

Умножение смешанных дробей

Чтобы перемножить смешанные дроби, нужно представить их в виде неправильных дробей, а затем уже выполнить умножение как обыкновенных дробей.

Пример

Задание. Найти произведение дробей 3$\frac{1}{3} \cdot 4 \frac{2}{5}$

Решение. Выполним умножение смешанных дробей по описанному выше правилу

$3 \frac{1}{3} \cdot 4 \frac{2}{5}=\frac{3 \cdot 3+1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 5+2}{5}=\frac{10}{3} \cdot \frac{22}{5}=$

Ответ.   $3 \frac{1}{3} \cdot 4 \frac{2}{5}=14 \frac{2}{3}$

Для умножения смешанной дроби на целое число поступают либо аналогично и далее умножают дробь на число, либо на целое число отдельно умножают целую часть, и отдельно дробную часть смешанного числа.

Пример

Задание. Умножить смешанную дробь 3$\frac{3}{4}$ на 2

Решение. Выполним умножение смешанной дроби на число по описанному выше правилу

Либо

$=(6+1)+\frac{1}{2}=7+\frac{1}{2}=7 \frac{1}{2}$

Ответ.   $3 \frac{3}{4} \cdot 2=7 \frac{1}{2}$

Читать следующую тему: деление дробей.

Умножение дроби на целые числа? Определение, примеры

Что такое целые числа?

Целые числа — это набор чисел, включающий все натуральные числа, а также 0. Например, 10, 18, 200 и т. д. 

Связанные игры

Что такое дробь?

Дроби часто называют числом между числами. Дроби — это числовые значения, которые представляют собой часть или часть целого. Например, посмотрите на пиццу ниже.

Эта пицца разрезана на 4 равные части. Таким образом, каждый кусок пиццы представляет собой 1 из 4 равных частей. Таким образом, математически мы можем представить каждую часть как $\frac{1}{4}$. Это число называется дробью.

В общем, когда целое разделено на равные части, каждая часть представляет собой часть целого, и мы записываем дроби как $\frac{a}{b}$, где a и b — действительные числа, а b не может быть равно нулю .

Число под чертой, представляющее общее количество равных частей, на которые делится целое, называется знаменателем. А число сверху, которое представляет количество рассматриваемых нами равных частей, называется числителем.

Связанные рабочие листы

Умножение дробей на целые числа

Умножение двух чисел аналогично многократному сложению. Например,

2 раза по 4 или $2 \times 4$ равносильно добавлению числа «4» 2 раза.

Итак, умножение дробей на целые числа — это то же самое, что многократное сложение, когда мы складываем дробь столько же раз, сколько и целое число.

Например: попробуем перемножить 3 и $\frac{1}{4}$.

3 раза $\frac{1}{4}$ означает сложение дроби $\frac{1}{4}3$ раза.

Алгебраически это означает,

Мы можем решить это выражение визуально,

Источник

И наш ответ будет:

Но теперь давайте посмотрим, как мы можем обобщить это, не создавая модель каждый раз, когда мы хотим умножить целое число и дробь.

Умножение дробей с целыми числами

Сделаем это с помощью примера,

Умножим 5 и $\frac{3}{4}$.

Шаг 1: Преобразуйте 5 в дробную форму, применив 1 к знаменателю.

Шаг 2: Умножьте числитель на числитель и знаменатель на знаменатель.

И вуаля, у нас есть ответ.
В качестве дополнительного шага, если вы получили неправильную дробь, вы можете преобразовать ее в смешанное число.

Умножение смешанных дробей на целые числа

Умножение смешанных чисел на целые числа следует той же процедуре, только с дополнительным шагом.

Сделаем это на примере.

Как умножить 3 на $2\frac{1}{5}$?

Шаг 1: Преобразуйте смешанное число в неправильную дробь.

Шаг 2: Преобразуйте 3 в дробную форму, применив 1 к знаменателю.

Шаг 2: Умножьте числитель на числитель и знаменатель на знаменатель.

И после преобразования в неправильную дробь

Получим ответ:

Решенные примеры

Пример 1: Кэтрин готовит торт, для которого ей нужно три четверти чашки масла . Если она решит испечь три лепешки, сколько потребуется масла?

Решение : 

Количество пирожных $= 3$ 

Масло, необходимое для 1 пирожного $= \frac{3}{4}$ чашек

Общее количество требуемого масла $= 3 \times { 3}{4} = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$ чашек

Пример 2. Найдите произведение целого числа 10 и смешанной дроби 523.  Решение : $10\times 5\frac{2}{3} = 10\times \frac{17}{3} = \frac{170}{3} = 56\frac{2}{3}$

Практические задачи

1

На вечеринке каждый человек выпивает $\frac{3}{5}$$l$ сока. Если вы пригласите на свою вечеринку 15 человек, сколько сока вам понадобится?

$8$$l$

$10$$l$

$9$$l$

$15$$l$

Правильный ответ: $9$$l$
Необходимое количество сока $= 15 \times \ frac{3}{5} = \frac{45}{5} = $$9$$l$

2

Clove ежедневно проезжает $\frac{1}{4}$ миль.

Сколько она проедет за 10 дней?

$2\frac{2}{4}$ миль

$\frac{2}{5}$ миль

$2$ миль

$1\frac{1}{4}$ миль

Правильный ответ: $2\frac{2}{4}$ миль
Пройденное расстояние за 10 дней $= 10 \times$ расстояние, пройденное за один день
$= 10 \times \frac{1}{4} = \frac{10}{4} = 2\frac{2}{4}$ миль

3

Джейн купила в магазине 20 яблок, из которых $\frac{1}{5}$ яблок были гнилыми. Сколько яблок было гнилым?

5

10

2

4

Правильный ответ: 4
Общее количество яблок $= 20$
Доля гнилых яблок $= \frac{1}{5}$
Количество гнилых яблок $= 20 \times \frac{1}{5} = \frac{20}{ 5} = 4 яблока

Часто задаваемые вопросы

Как умножить дробь на целое число, используя числовую прямую?

Сначала мы отмечаем дробь на числовой прямой, а затем, чтобы умножить ее на целое число, прибавляем к той же дроби столько раз, сколько этого требует умножение.

Чему равно произведение умножения целого числа на смешанную дробь?

Произведением целого числа и смешанной дроби может быть смешанная дробь, неправильная дробь, правильная дробь или целое число.

Какое целое число дает тот же продукт, что и исходная дробь?

Число «1» при умножении на любую дробь дает ту же дробь, что и ответ. Например, $1 \times \frac{3}{5} = \frac{3}{5}$.

Как умножить дробь на целое число

Как умножить дробь на целое число

Чтобы умножить дробь на целое число:

1. Умножьте числитель дроби на целое число.
2. Оставьте знаменатель прежним.
3. Упростите дробь, если это возможно.

Например, умножьте 5 ×   ² / ₇ .

Числитель дроби — число сверху, равное 2.

Мы умножаем 2 на 5, но сохраняем знаменатель 7 равным 7.

5 × ² / ₇ = ¹⁰ / ₇ .

Упрощаем, если это возможно. Поскольку дробь неправильная, мы можем преобразовать ее в смешанное число.

¹⁰ / ₇   означает 10 ÷ 7, что составляет 1 остаток 3. Следовательно, дробь может быть записана как 1   ³ / ₇ .

Альтернативный метод умножения дроби на целое число

Чтобы умножить дробь на целое число:

1. Запишите целое число как дробь от 1.
2. Умножьте числители.
3. Умножить знаменатели..
4. Упростите, если возможно.

Например, умножьте 4 ×   ¹ / ₂ .

Первый шаг — записать 4 как ⁴ / ₁ .

Второй шаг — умножить числители: 4 × 1 = 4. Числитель ответа равен 4.

Третий шаг — умножить знаменатели: 1 × 2 = 2. Знаменатель ответа равен 2.

Следовательно, 4 × ¹ / ₂ = ⁴ / ₂ .

Наконец, упростите дробь, разделив и числитель, и знаменатель на одно и то же значение. Мы можем разделить 4 и 2 на 2, поэтому ⁴ / ₂ упрощается до ² / ₁ . ² / ₁  то же, что и 2.

Следовательно, 4 × ¹ / ₂ = 2.

Мы также знаем, что половина 4 равна 2.

Как умножить дробь на целое число в простейшей форме

Чтобы умножить дробь на целое число, умножьте числитель на целое число. Чтобы записать этот ответ в простейшей форме, разделите числитель и знаменатель на наибольшее число, которое точно делится на оба.

Например, вычислите 2 × ³

/ ₁₀ в простейшей форме.

Первый шаг — умножить числитель дроби на целое число. 2 × 3 = 6 и, следовательно, 2 × ³ / ₁₀   =  ⁶ / ₁₀ .

Второй шаг — упростить дробь, разделив числитель и знаменатель на наибольшее число, которое делится на оба.

И 6, и 10 можно разделить на 2. ⁶ / ₁₀ упрощается до ³ / ₅ .

Следовательно, 2 × ³ / ₁₀ в простейшей форме равно ³ / ₅ .

Умножение дроби на целое число можно также рассчитать, разделив знаменатель на целое число.

10 — знаменатель, а 10 ÷ 2 = 5 — новый знаменатель. Это работает только в том случае, если знаменатель дроби можно разделить на целое число.

Как умножить смешанное число на целое

Чтобы умножить смешанное число на целое число:

1. Преобразуйте смешанное число в неправильную дробь.
2. Умножить числитель неправильной дроби на целое число.
3. Упростите, если возможно, и преобразуйте обратно в смешанное число.

Например, умножьте 2 × 1   ² / ₃ .

Шаг 1. Превратите смешанное число в неправильную дробь.

Оставьте знаменатель прежним.

Чтобы найти новый числитель, умножьте целое число смешанного числа на знаменатель, а затем добавьте числитель.

Знаменатель равен 3. Числитель находится путем умножения 1 и 3, чтобы получить 3, а затем прибавления 2, чтобы получить 5.

1   ² / ₃   =   ⁵ / ₃ .

Шаг 2. Умножьте числитель неправильной дроби на целое число.

Мы умножаем 2 × 5 = 10 и, таким образом, 2 ×

5 / ₃ = ¹⁰ / ₃ .

Последний шаг — упростить и снова записать смешанное число.

¹⁰ / ₃ = 3 ¹ / ₃ .

Следовательно, 2 × 1   ² / ₃   = 3   ¹ / ₃

Умножение дроби на целое число с помощью числовой строки

Отметьте дробь на числовой прямой. Чтобы умножить его на целое число, прибавьте к той же дроби столько раз, сколько требуется для умножения.

Например, вот 5 × ¹ / ₈ на числовой прямой.

Разбиваем каждое целое число на восьмые и считаем пять из них.

5 × ¹ / ₈ = ⁵ / ₈ .

Вот еще один пример с неправильной дробью или смешанным числом.

Вычислите 5 × ¹

/ ₃ , используя числовую прямую.

Разобьем каждое целое число на трети. Затем мы отсчитываем пять таких прыжков на нашей числовой прямой.

5 × ¹ / ₃ = ⁵ / ₃ .

В качестве смешанного числа это 1   ² / ₃ .

Умножение дроби на целое число с использованием моделей

Модели можно использовать для обучения процессу умножения дробей на целые числа.

Вот модель дроби ¹ / ₃ . Чтобы умножить его на 2, мы имеем в два раза больше частей.

Мы видим, что теперь у нас есть заштрихованные ² / ₃ .