Упростить алгебраическое выражение: Как упростить выражение | ЮКлэва

правила и способы упрощения, пояснение на примерах

Что значит упростить алгебраическое выражение

Определение 1

Алгебраическое выражение — одна или несколько алгебраических величин (чисел и переменных), которые объединены с помощью знаков арифметических действий в виде сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения корня, возведения в степень (при целых значениях показателей корня и степени), знаков последовательности, определяющих порядок применения данных операций (скобки разного вида).

Обязательным условием для алгебраического выражения является конечное число величин, которые его составляют. Данный принцип пригодиться математикам для решения задач в средних классах школы.

Определение 2

Упростить выражение — это значит уменьшить число арифметических действий, необходимых для вычисления значения данного выражения с учетом определенных значений переменных.

СЛОЖНА-А-А 🙀 Ты же знаешь, что если не разобраться в теме сейчас, то потом придется исправлять оценки. Беги на бесплатное онлайн-занятие с репетитором (подробности тут + 🎁).

Правила упрощения алгебраических выражений

Существуют основные методы в алгебре для того, чтобы упростить алгебраическое выражение:

• приведение подобных;
• разложение на множители;
• сокращение дроби;
• сложение и вычитание дробей;
• умножение и деление дробей.

В процессе приведения выражения в более простую форму следует использовать полезные советы:

1. При наличии подобных их рекомендуется привести, при этом не имеет значения то, в какой момент они образовались.
2. При появлении первой возможности для сокращения дробей, рекомендуется ей сразу воспользоваться. Исключением являются дроби с одинаковыми знаменателями, которые требуется вычитать или суммировать. Такие дроби можно сократить после выполнения необходимых действий.

Приведение подобных

Правило 1

Приведение подобных слагаемых в теории заключается в сложении их коэффициентов и приписывании буквенной части.

Пример 1

2a+3c+4a+5c=6a+8c

Определение 3

Подобными являются слагаемые (одночлены), которые обладают буквенной частью.

Пример 2

В выражении 2ab+3ab+b одночлены 2ab и 3ab являются подобными слагаемыми.

Определение 4

Привести подобные — значит, выполнить сложение нескольких подобных слагаемых для получения в результате одного слагаемого.

К примеру, приведем слагаемые:

2a+3b-a+8b+7a=8a+11b

Заметим, что числа в таких слагаемых умножают на буквы. Данные числа носят названия коэффициентов.

Пример 3

Рассмотрим выражение с квадратной степенью:

3ab2

Здесь число 3 является коэффициентом.

Разложение на множители

 Правило 2

Разложить выражение на множители можно, если вынести общий множитель за скобки, применить формулы сокращенного умножения и другие.

Пример 4

ab2+a2c=ab2+ac

4×2-16xy+16y2=4×2-4xy+4y2=4x-2y2

В распространенных случаях разложение на множители следует за приведением подобных при упрощении выражений. В итоге получаются произведения. Чтобы это понять, отдельно нужно упомянуть правила действия с дробями, а именно, при сокращении дроби числитель и знаменатель требуется записать, как произведения.

Сокращение дроби

Правило 3

В процессе сокращения дроби допустимо выполнять умножение или деление числителя и знаменателя дроби на одинаковое число, отличное от нуля, в результате чего величина дроби остается прежней.

Объяснение алгоритм действий при сокращении дробей:

• разложение на множители числителя и знаменателя;
• при наличии в числителе и знаменателе общих множителей их допустимо исключить из выражения.

Пример 5

aa+ba2=aa+ba·a=a+ba

Важно заметить, что сокращению подлежат исключительно множители.

Озвученное правило является следствием ключевого свойства дроби. Оно состоит в допустимости умножения или деления числителя и знаменателя дроби на одно и то же число, которое не равно нулю. В результате значение дроби останется без изменений.

Существует простой способ, руководствуясь которым можно определить, разложено ли выражение на множители. Арифметическое действие, выполняемое в последнюю очередь при вычислении значения выражения, считается «главным».

Данное правило состоит в том, что, когда при подстановке каких-либо чисел на замену буквам и вычислении значения выражения последнее действие представляет собой умножение, можно заключить, что перед нами произведение, то есть выражение разложено на множители. В том случае, когда на последнем шаге в процессе расчетов выполняется сложение или вычитание, разложение выражения на множители не выполнено, то есть сокращение не допускается.

Сложение и вычитание дробей

Правило 4

При сложении и вычитании обыкновенных дробей требуется найти общий знаменатель, умножить каждую из дробей на недостающий множитель и сложить или вычесть числители:

ab+cd=a·d+c·bb·d;

ab-cd=a·d-c·bb·d

Пример 6

Разберем правило на конкретных примерах. Вычислим:

23-14

Заметим, что знаменатели являются взаимно простыми, то есть не имеют общих множителей. Таким образом, наименьший общий множитель данных чисел соответствует их произведению. В результате:

2·4-1·33·4=512

Вычислим:

38+26-52

В данном случае общим множителем является число 24. Выполним преобразования и упростим выражение:

3·3+2·4-5·1224=-4324

Упростим выражение:

347-123

В данном примере следует смешанные дроби записать в виде неправильных. Далее можно упростить выражение по стандартному алгоритму:

347-123=25·37-5·73=75-3521=4021

Разберем самостоятельный случай, когда знаменатели не содержат буквы. При этом алгоритм действий такой же, как и при действиях с обыкновенными дробями:

• определить общий множитель;
• умножить каждую дробь на недостающий множитель;
• сложить или вычесть числители.

Упростим выражение:

a2b4+a6

Здесь общий множитель равен 12. Тогда:

a2b·34+a·26=3a2b+2a12

Далее можно привести подобные в числители, и разложить на множители при их наличии:

a2b4+a6=3a2b+2a12=a3ab+212

Когда знаменатели содержат буквы, схема действий существенно не меняется:

• разложение знаменателей на множители;
• определение одинаковых множителей;
• выделение всех общих множителей по одному разу;
• умножение общих множителей на оставшиеся множители, которые не являются общими.

Пример 7

Рассмотрим пример, когда требуется упростить выражение:

1ab2+1a2b

Разложим знаменатели на множители:

ab2=a·b·ba2b=a·a·b

Вычислим единые множители:

ab2=a¯·b¯¯·ba2b=a¯·a·b¯¯

Затем можно записать общие множители и выполнить умножение:

a¯·b¯¯·a·b=a2b2

Общим знаменателем является a2b2. Умножим первую дробь на а, вторую — на b:

1ab2 · a+1a2b · b=a+ba2b2

Умножение и деление дробей

Правило 5

Умножение и деление дробей выполняют таким образом:

ab·cd=a·cb·d;

ab:cd=a·db·c

Арифметические действия выполняют в следующем порядке:

• вычисление степени;
• умножение и деление;
• сложение и вычитание.

Важно заметить, что при наличии скобок, операции, которые в них заключены, необходимо выполнить в первую очередь. Далее можно приступать к раскрытию скобок. Когда имеется несколько скобок с арифметическими действиями, которые нужно умножить или разделить, в начале проводят вычисления в каждой из скобок, а затем умножение или деление полученных результатов. При наличии внутренних скобок, заключенных в скобки, действия в них выполняют в первую очередь.

Пример 8

Упростим выражение:

2+32-1621-8533

Используя правило умножения и деления дробей, получим:

2+32-1621-8533=2+9-1621-8533=-521-8533=25·1-8533=25·-3533=255·-3533=5·-333=5·-13=-53=-125

Во многих примерах имеются не только цифры, но и буквы. В этом случае выполняются алгебраические действия, в том числе, приведение подобных, сложение, сокращение дробей и другие операции. Отличия можно заметить при разложении многочленов на множители. Для этого следует пользоваться формулами сокращенного умножения или вынесением единого множителя за скобки.

Ключевой задачей при работе с такими выражениями является запись выражений в виде произведения или частного.

Пример 9

Попробуем упростить выражение:

xy-yx·5xyx+y

Так как имеются скобки, следует начать преобразования именно с них. Упростим разность дробей, которая в них записана, чтобы получить вместо нее произведение или частное. Приведем дроби к единому знаменателю и определим сумму:

x·xy-y·yx=x·x-y·yyx=x2-y2yx=x-yx+yyx

Заметим, что дальнейшие преобразования не приведут к упрощению данного выражения. Причина этого заключается в том, что каждый из множителей является элементарным. В результате:

xy-yx·5xyx+y=x-yx+yyx·5xyx+y

Умножим дроби:

x-yx+yyx·5xyx+y=x-yx+y·5xyyxx+y

Выполним сокращение:

x-yx+y·5xyyxx+y=5x-y

Пояснения на примерах

Задача 1

Требуется упростить выражения:

a-2b+3b+6a;

a+ab-3a+2ba;

a2b+ab2-ab+2ab2.

Решение

Приведем подобные и упростим выражения:

a¯-2b¯¯+3b¯¯+6a¯=7a+b

a¯+ab¯¯-3a¯+2ba¯¯=-2a+3ab

Заметим, что ab и 2ba являются подобными по той причине, что:

2ba=2ab

В результате можно сделать вывод, что данные слагаемые обладают одинаковой буквенной частью.

a2b+ab2¯-ab+2ab2¯=a2b+3¯ab2¯-ab.

Задача 2

Требуется упростить выражения:

ab2+a2c

a3b4-3ab2+8a2b3

4×2-16xy+16y2

a2+6ay+9y2-4

Решение

Путем разложения на множители упростим данные выражения:

ab2+a2c=ab2+ac

a3b4-3ab2+8a2b3=ab2a2b2-3+8ab

4×2-16xy+16y2=4×2-4xy+4y2=4x-2y2

a2+6ay+9y2-4=a+3y2-22=a+3y-2a+3y+2

Задача 3

Упростить выражения:

7230

aa+ba2

a2-b2a2+2ab+b2

Решение

Выполним преобразования:

7230=2·2·2·3·32·3·5=2·2·2·3·32·3·5=2·2·35=125

aa+ba2=aa+ba·a=a+ba

a2-b2a2+2ab+b2=a-ba+ba+b2=a-ba+ba+ba+b=a-ba+b

Задача 4

Упростить выражения:

x2-1x-1

x2+2xy+y2x2-y2

x2y-4yx2-4x+4

a3-b3a2+ab+b2

Решение

x2-1x-1=x2x=x

В первую очередь выполним разложение на множители:

x2-1x-1=x-1x+1x-1=x+1

x2+2xy+y2x2-y2= x+y2 :x+yx-yx+y:x+y=x+yx-y

x2y-4yx2-4x+4=yx2-4x-22=yx-2x+2x-22=yx+2x-2

a3-b3a2+ab+b2=a-ba2+ab+b2a2+ab+b2=a-b.

Задача 5

Дано выражение, которое требуется упростить:

1xy-2×2-x4x2-y2

Решение

В данном случае требуется разложить знаменатели на множители. Первый знаменатель записан так, что можно вынести за скобки х. Второй знаменатель содержит разность квадратов. Выполним преобразования:

1xy-2×2-x4x2-y2=1xy-2x-x2x-y2x+y

Рассмотрим выражение на наличие общих множителей:

y-2x=-2x-y

Тогда получим:

1xy-2×2-x4x2-y2=1xy-2x-x2x-y2x+y==1xy-2x-x-y-2x2x+y=1xy-2x+xy-2x2x+y

Заметим, что при переносе слагаемых, заключенных в скобках, изменился знак перед дробью. Приведем выражения к единому знаменателю:

1xy-2x+xy-2x2x+y=2x+y+x2xy-2x2x+y=x2+2x+yxy2-4×2

Ответ: x2+2x+yxy2-4×2

Задача 6

Упростить выражение:

x8-x3+1×2+2x+4

Решение

Воспользуемся формулой сокращенного умножения, а именно, разностью кубов:

x8-x3+1×2+2x+4=x23-x3+1×2+2x+4

Заметим, что в знаменателе дроби расположено выражение, которое называют неполным квадратом суммы:

x2+2x+4=x2+2·x+22

Второе по счету слагаемое в неполном квадрате суммы является произведением первого и последнего. Неполный квадрат суммы представляет собой множитель, который входит в состав разложения разности кубов:

x8-x3+1×2+2x+4=x23-x3+1×2+2x+4=x2-xx2+2x+4++1·2-xx2+2x+4=x+2-x2-xx2+2x+4=28-x3

Ответ: 28-x3

Задача 7

Требуется упростить выражения:

ab3-2ab5

3a+14+2a-310

2×2-53+3x+22-2×2-2x-14

Решение

5ab-3·2ab15=5ab-6ab15=-ab15

53a+1+22a-320=15a+5+4a-620=19a-120

42×2-5+63x+2-32×2-2x-112==8×2¯-20¯¯+18x¯¯¯+12¯¯-6×2¯+6x¯¯¯+3¯¯12=2×2-5+24×12

Задача 8

Дано выражение, которое требуется упростить:

1a2x2b3y-1ax3b2y4

Решение

При наличии в знаменателях одного и того же множителя, возведенного в разные степени, то в общем знаменателе данный множитель будет обладать самой большой из имеющихся степеней. Применительно к этой задаче, общий знаменатель будет состоять из следующих выражений:

a во второй степени;

x в третьей степени;

b в третьей степени;

y в четвертой степени.

В результате получим:

1·x·y3a2x2b3y-1·a·bax3b2y4=xy3-aba2x3b3y4

Ответ: xy3-aba2x3b3y4

Задача 9

Нужно упростить выражение:

t+33t-1+t+3t+1:t2+3t1-3t+t2+3t+1

Решение

Исключить ошибки можно, если расписать заранее порядок операций. В первую очередь целесообразно суммировать дроби, расположенные в скобках. В результате будет получена только одна дробь. Далее можно приступить к делению дробей. Полученный итог следует прибавить к последней дроби.

Выглядит этот алгоритм таким образом:

t+33t-1+t+3t+1⏞1:t2+3t1-3t⏞2+t2+3t+1⏞3.

Выполним преобразования:

t+3·t+13t-1+t+3·3t-1t+1:t2+3t1-3t+t2+3t+1==t+3t+1+t+33t-13t-1t+1:t2+3t1-3t+t2+3t+1==t2+3t+t+3+3t2+9t-t-33t-1t+1:t2+3t1-3t+t2+3t+1=

4t2+12t3t-1t+1:t2+3t1-3t+t2+3t+1=4tt+33t-1t+1:tt+31-3t+t2+3t+1=.

=4tt+33t-1t+1·1-3ttt+3+t2+3t+1=4tt+3·1-3t-13t-1t+1·tt+3++t2+3t+1=-4t+1+t2+3t+1=-4+t2+3t+1=t2-1t+1=t-1t+1t+1=t-1

Ответ:  t-1

Молодец! Раз ты дочитал это до конца, вероятно, ты все отлично усвоил.  Но если вдруг что-то еще непонятно — попробуй онлайн-занятие с репетитором (подробности тут + 🎁).

Преобразование выражений. Подробная теория (2019). Как упрощать алгебраические выражения Как упрощать выражения 8

Упрощение алгебраических выражений является одним из ключевых моментов изучения алгебры и чрезвычайно полезным навыком для всех математиков. Упрощение позволяет привести сложное или длинное выражение к простому выражению, с которым легко работать. Базовые навыки упрощения хорошо даются даже тем, кто не в восторге от математики. Соблюдая несколько простых правил, можно упростить многие из наиболее распространенных типов алгебраических выражений без каких-либо специальных математических знаний.

Важные определения

1. Подобные члены . Это члены с переменной одного порядка, члены с одинаковыми переменными или свободные члены (члены, не содержащие переменную). Другими словами, подобные члены включают одну переменную в одной и той же степени, включают несколько одинаковых переменных или не включают переменную вовсе. Порядок членов в выражении не имеет значения.

   • Например, 3x 2 и 4x 2 — это подобные члены, так как они содержат переменную «х» второго порядка (во второй степени). Однако х и x 2 не являются подобными членами, так как содержат переменную «х» разных порядков (первого и второго). Точно так же -3yx и 5хz не являются подобными членами, так как содержат разные переменные.

2. Разложение на множители . Это нахождение таких чисел, произведение которых приводит к исходному числу. Любое исходное число может иметь несколько множителей. Например, число 12 может быть разложено на следующий ряд множителей: 1 × 12, 2 × 6 и 3 × 4, поэтому можно сказать, что числа 1, 2, 3, 4, 6 и 12 являются множителями числа 12. Множители совпадают с делителями, то есть числами, на которые делится исходное число.

   • Например, если вы хотите разложить на множители число 20, запишите это так:
     4 × 5.
   • Обратите внимание, что при разложении на множители переменная учитывается. Например, 20x = 4(5x) .
   • Простые числа не могут быть разложены на множители, потому что они делятся только на себя и на 1.

3. Запомните и соблюдайте порядок выполнения операций во избежание ошибок.

   • Скобки
   • Степень
   • Умножение
   • Деление
   • Сложение
   • Вычитание

Приведение подобных членов

1. Запишите выражение. Простейшие алгебраические выражения (которые не содержат дробей, корней и так далее) можно решить (упростить) всего за несколько шагов.

   • Например, упростите выражение 1 + 2x — 3 + 4x .

2. Определите подобные члены (члены с переменной одного порядка, члены с одинаковыми переменными или свободные члены).

   • Найдите подобные члены в этом выражении. Члены 2x и 4x содержат переменную одного порядка (первого). Кроме того, 1 и -3 — это свободные члены (не содержат переменную). Таким образом, в этом выражении члены 2х и 4x являются подобными, и члены 1 и -3 тоже являются подобными.

3. Приведите подобные члены. Это значит сложить или вычесть их и упростить выражение.

   • 2x + 4x = 6х
   • 1 — 3 = -2

4. Перепишите выражение с учетом приведенных членов. Вы получите простое выражение с меньшим количеством членов. Новое выражение равно исходному.

   • В нашем примере: 1 + 2x — 3 + 4x = 6х — 2 , то есть исходное выражение упрощено и с ним легче работать.

5. Соблюдайте порядок выполнения операций при приведении подобных членов.

   В нашем примере было легко привести подобные члены. Однако в случае сложных выражений, в которых члены заключены в скобки и присутствуют дроби и корни, привести подобные члены не так просто. В этих случаях соблюдайте порядок выполнения операций.
   • Например, рассмотрим выражение 5(3x — 1) + х((2x)/(2)) + 8 — 3x. Здесь было бы ошибкой сразу определить 3x и 2x как подобные члены и привести их, потому что сначала необходимо раскрыть скобки. Поэтому выполните операции согласно их порядку.
     • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 — 3x
     • 15x — 5 + x(x) + 8 — 3x
     • 15x — 5 + x 2 + 8 — 3x. Теперь , когда в выражении присутствуют только операции сложения и вычитания, вы можете привести подобные члены.
     • x 2 + (15x — 3x) + (8 — 5)
     • x 2 + 12x + 3

Вынесение множителя за скобки

1. Найдите наибольший общий делитель (НОД) всех коэффициентов выражения.

   НОД — это наибольшее число, на которое делятся все коэффициенты выражения.
   • Например, рассмотрим уравнение 9x 2 + 27x — 3. В этом случае НОД=3, так как любой коэффициент данного выражения делится на 3.

2. Разделите каждый член выражения на НОД. Полученные члены будут содержать меньшие коэффициенты, чем в исходном выражении.

   • В нашем примере разделите каждый член выражения на 3.
     • 9x 2 /3 = 3x 2
     • 27x/3 = 9x
     • -3/3 = -1
     • Получилось выражение 3x 2 + 9x — 1 . Оно не равно исходному выражению.

3. Запишите исходное выражение как равное произведению НОД на полученное выражение. То есть заключите полученное выражение в скобки, а за скобки вынесите НОД.

   • В нашем примере: 9x 2 + 27x — 3 = 3(3x 2 + 9x — 1)

4. Упрощение дробных выражений с помощью вынесения множителя за скобки.

   Зачем просто выносить множитель за скобки, как это было сделано ранее? Затем, чтобы научиться упрощать сложные выражения, например дробные выражения. В этом случае вынесение множителя за скобки может помочь избавиться от дроби (от знаменателя).
   • Например, рассмотрим дробное выражение (9x 2 + 27x — 3)/3. Воспользуйтесь вынесением множителя за скобки, чтобы упростить это выражение.
     • Вынесите множитель 3 за скобки (как вы делали это ранее): (3(3x 2 + 9x — 1))/3
     • Обратите внимание, что теперь и в числителе, и в знаменателе присутствует число 3. Его можно сократить, и вы получите выражение: (3x 2 + 9x – 1)/1
     • Так как любая дробь, у которой в знаменателе находится число 1, равна просто числителю, то исходное дробное выражение упрощается до: 3x 2 + 9x — 1 .

Дополнительные методы упрощения

1. Упрощение дробных выражений. Как отмечалось выше, если и в числителе, и в знаменателе присутствуют одинаковые члены (или даже одинаковые выражения), то их можно сократить. Для этого нужно вынести за скобки общий множитель у числителя или у знаменателя, или как у числителя, так и у знаменателя. Или можно разделить каждый член числителя на знаменатель и таким образом упростить выражение.

   • Например, рассмотрим дробное выражение (5x 2 + 10x + 20)/10. Здесь просто разделите каждый член числителя на знаменатель (10). Но учтите, что член 5x 2 не делится на 10 нацело (так как 5 меньше 10).
     • Поэтому запишите упрощенное выражение так: ((5x 2)/10) + x + 2 = (1/2)x 2 + x + 2.

2. Упрощение подкоренных выражений. Выражения, стоящие под знаком корня, называются подкоренными выражениями. Они могут быть упрощены через их разложение на соответствующие множители и последующий вынос одного множителя из-под корня.

   • Рассмотрим простой пример: √(90). Число 90 можно разложить на следующие множители: 9 и 10, а из 9 извлечь квадратный корень (3) и вынести 3 из-под корня.
     • √(90)
     • √(9×10)
     • √(9)×√(10)
     • 3×√(10)
     • 3√(10)

3. Упрощение выражений со степенями. В некоторых выражениях присутствуют операции умножения или деления членов со степенью. В случае умножения членов с одним основанием их степени складываются; в случае деления членов с одним основанием их степени вычитаются.

   • Например, рассмотрим выражение 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15). В случае умножения сложите степени, а в случае деления – вычтите их.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 — 15)
     • 48x 7 + x 2
   • Далее приведено объяснение правила умножения и деления членов со степенью.
     • Умножение членов со степенями равносильно умножению членов на самих себя. Например, так как x 3 = x × x × x и x 5 = x × x × x × x × x, то x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), или x 8 .
     • Аналогично, деление членов со степенями равносильно делению членов на самих себя. x 5 /x 3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Так как подобные члены, находящиеся и в числителе, и в знаменателе, могут быть сокращены, то в числителе остается произведение двух «х», или x 2 .

Алгебраическое выражение в записи которого наряду с действиями сложения, вычитания и умножения используют также деление на буквенные выражения, называется дробным алгебраическим выражением. Таковы, например, выражения

Алгебраической дробью мы называем алгебраическое выражение, имеющее вид частного от деления двух целых алгебраических выражений (например, одночленов или многочленов). Таковы, например, выражения

Третье из выражений ).

Тождественные преобразования дробных алгебраических выражений имеют по большей части своей целью представить их в виде алгебраической дроби. Для отыскания общего знаменателя используется разложение на множители знаменателей дробей — слагаемых с целью отыскания их наименьшего общего кратного. При сокращении алгебраических дробей может нарушаться строгая тождественность выражений: необходимо исключать значения величин, при которых множитель, на который производится сокращение, обращается в нуль.

Приведем примеры тождественных преобразований дробных алгебраических выражений.

Пример 1. Упростить выражение

Все слагаемые можно привести к общему знаменателю (удобно при этом изменить знак в знаменателе последнего слагаемого и знак перед ним):

Наше выражение равно единице при всех значениях кроме этих значениях оно не определено и сокращение дроби незаконно).

Пример 2. Представить в виде алгебраической дроби выражение

Решение. За общий знаменатель можно принять выражение . Находим последовательно:

Упражнения

1. Найти значения алгебраических выражений при указанных значениях параметров:

2. Разложить на множители.

§ 1 Понятие упрощения буквенного выражения

В этом занятии познакомимся с понятием «подобные слагаемые» и на примерах научимся выполнять приведение подобных слагаемых, упрощая, таким образом, буквенные выражения.

Выясним смысл понятия «упрощение». Слово «упрощение» образовано от слова «упрости́ть». Упрости́ть — значит сделать простым, проще. Следовательно, упростить буквенное выражение — это сделать его более коротким, с минимальным количеством действий.

Рассмотрим выражение 9х + 4х. Это буквенное выражение, которое является суммой. Слагаемые здесь представлены в виде произведений числа и буквы. Числовой множитель таких слагаемых называется коэффициентом. В этом выражении коэффициентами будут числа 9 и 4. Обратите внимание, множитель, представленный буквой — одинаковый в обоих слагаемых данной суммы.

Вспомним распределительный закон умножения:

Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

В общем виде записывается так: (а + b) ∙ с = ac + bc.

Этот закон выполняется в обе стороны ac + bc = (а + b) ∙ с

Применим его к нашему буквенному выражению: сумма произведений 9х и 4х равна произведению, первый множитель которого равен сумме 9 и 4, второй множитель — х.

9 + 4 = 13, получается 13х.

9х + 4 х = (9 + 4)х = 13х.

Вместо трех действий в выражении осталось одно действие — умножение. Значит, мы сделали наше буквенное выражение проще, т. е. упрости́ли его.

§ 2 Приведение подобных слагаемых

Слагаемые 9х и 4х отличаются только своими коэффициентами — такие слагаемые называют подобными. Буквенная часть у подобных слагаемых одинаковая. К подобным слагаемым относятся также числа и равные слагаемые.

Например, в выражении 9а + 12 — 15 подобными слагаемыми будут числа 12 и -15, а в сумме произведения 12 и 6а, числа 14 и произведения 12 и 6а (12 ∙6а + 14 + 12 ∙ 6а) подобными будут равные слагаемые, представленные произведением 12 и 6а.

Важно отметить, что слагаемые, у которых равны коэффициенты, а буквенные множители различны, подобными не являются, хотя к ним полезно иногда применить распределительный закон умножения, например, сумма произведений 5х и 5у равна произведению числа 5 и суммы х и у

5х + 5y = 5(x + y).

Упрости́м выражение -9а + 15а — 4 + 10.

Подобными слагаемыми в данном случае являются слагаемые -9а и 15а, так как они отличаются только своими коэффициентами. Буквенный множитель у них одинаковый, также подобными являются слагаемые -4 и 10, так как являются числами. Складываем подобные слагаемые:

9а + 15а — 4 + 10

9а + 15а = 6а;

Получаем: 6а + 6.

Упрощая выражение, мы находили суммы подобных слагаемых, в математике это называют приведением подобных слагаемых.

Если приведение подобных слагаемых вызывает затруднение, можно придумать к ним слова и складывать предметы.

Например, рассмотрим выражение:

На каждую букву берем свой предмет: b-яблоко, с-груша, тогда получится: 2 яблока минус 5 груш плюс 8 груш.

Можем из яблок вычесть груши? Конечно, нет. А вот к минус 5 грушам прибавить 8 груш можем.

Приведем подобные слагаемые -5 груш + 8 груш. У подобных слагаемых буквенная часть одинаковая, поэтому при приведении подобных слагаемых достаточно выполнить сложение коэффициентов и к результату дописать буквенную часть:

(-5 + 8) груш — получится 3 груши.

Возвращаясь к нашему буквенному выражению, имеем -5 с + 8с = 3с. Таким образом, после приведения подобных слагаемых получим выражение 2b + 3с.

Итак, на этом занятии Вы познакомились с понятием «подобные слагаемые» и научились упрощать буквенные выражения путем приведения подобных слагаемых.

Список использованной литературы:

1. Математика. 6 класс: поурочные планы к учебнику И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича//автор-составитель Л.А. Топилина. Мнемозина 2009.
2. Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. И.И.Зубарева, А.Г. Мордкович.- М.: Мнемозина, 2013.
3. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений/Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др./по редакцией Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина; Рос.акад.наук, Рос.акад.образования. М.: «Просвещение», 2010.
4. Математика. 6 класс: учеб.для общеобразоват.учреждений/Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М.:Мнемозина, 2013.
5. Математика. 6 кл.:учебник/Г.К. Муравин, О.В. Муравина. – М.: Дрофа, 2014.

Использованные изображения:

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

3.3: Упрощение алгебраических выражений — Mathematics LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

22475

• Дэвид Арнольд
• College of the Redwoods

Вспомните коммутативные и ассоциативные свойства умножения.

Коммутативное свойство умножения. Если a и b — любые целые числа, то

a · b = b · a , или эквивалентно, 3,7 ba

6 ab

Ассоциативное свойство умножения. Если a, b и c — любые целые числа, то

( a · b ) · c = a · ( b · c ), или эквивалентно, ( ab ) c = a 7c 3 b ( ).

Свойство коммутативности позволяет нам изменять порядок умножения, не влияя на произведение или ответ. Ассоциативность позволяет нам перегруппироваться, не затрагивая продукт или ответ.

Пример 1

Упростить: 2(3 x ).

Раствор

Используйте свойство ассоциативности, чтобы перегруппировать, а затем упростить.

\[ \begin{aligned} 2(3x) = (2 \cdot 3)x ~ & \textcolor{red}{ \text{ Перегруппировка с ассоциативным свойством. }} \\ = 6x ~ & \textcolor{red }{ \text{ Упростить: } 2 \cdot 3 = 6.} \end{aligned}\nonumber \]

Упражнение

Упрощение: −5(7 y )

Ответ

−35 г

Выписка 2(3 x )=6x является идентификатором . То есть левая и правая части 2(3 x )=6 x одинаковы для всех значений x . Хотя вывод в Примере 1 должен быть доказательством этого утверждения, он помогает интуиции проверить справедливость утверждения для одного или двух значений x .

Если х = 4, то

\[ \begin{array}{c c c} 2(3x) = 2(3(\textcolor{red}{4})) & \text{and} & 6x = 6(\textcolor{red}{4}) \\ = 2(12) & & = 24 \\ = 24 \end{массив}\номер\]

Если х = -5, то

\[ \begin{array}{c c c} 2(3x) = 2(3(\textcolor{red}{-5})) & \text{and} & 6x = 6(\textcolor{red}{-5 }) \\ =2(-15) & & = -30 \\ = -30 \end{массив}\номер\]

Приведенные выше вычисления показывают, что 2(3 x )=6 x как для x = 4, так и для x = −5. В самом деле, утверждение 2(3 x )=6 x верно, независимо от того, что подставляется вместо x .

Пример 2

Упростить: (−3 t )(−5).

Решение

По сути, мы умножаем три числа: −3, t и −5, но символы группировки просят нас сначала умножить −3 и t. Ассоциативные и коммутативные свойства позволяют нам изменить порядок и перегруппировать.

\[ \begin{aligned} (-3t)(-5) = ((-3)(-5))t ~ & \textcolor{red}{ \text{ Измените порядок и перегруппируйте.}} \\ = 15t ~ & \textcolor{red}{ \text{ Умножить: } (-3)(-5) = 15.} \end{aligned}\nonumber \]

Упражнение

Упрощение: (−8 a )(5)

Ответ

−40 и

Пример 3

Упрощение: (−3 x )(−2 y )

Решение

По сути, мы умножаем четыре числа: −3, x, −2 и y, но символы группировки определяют определенный порядок. Ассоциативные и коммутативные свойства позволяют нам изменить порядок и перегруппировать.

\[ \begin{aligned} (-3x)(-2y) =((-3)(-2))(xy) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Измените порядок и перегруппируйте.}} \\ = 6xy ~ & \textcolor{red}{ \text{ Умножить: } (-3)(-2)=6.} \end{aligned}\nonumber \]

Упражнение

Упрощение: (−4 a )(5 b )

Ответ

−20 аб

Ускорение

Значение выражения 2 · 3 · 4 ясно. Скобки и порядок операций на самом деле не нужны, поскольку коммутативные и ассоциативные свойства объясняют, что не имеет значения, какое из трех чисел вы умножаете первым.

• Вы можете сначала умножить 2 и 3:

\[ \begin{align} 2 \cdot 3 \cdot 4 &= (2 \cdot 3) \cdot 4 \\ &= 6 \cdot 4 \\ &= 24. \end{aligned}\nonumber \]

• Или вы можете сначала умножить 3 и 4:

\[ \begin{align} 2 \cdot 3 \cdot 4 &= 2 \cdot (3 \cdot 4) \\ &= 2 \cdot 12 \\ &= 24. \end{align}\nonumber \]

• Или вы можете сначала умножить 2 и 4:

\[ \begin{align} 2 \cdot 3 \cdot 4 &= (2 \cdot 4) \cdot 3 \\ &= 8 \cdot 3 \\ &= 24. \end{aligned}\nonumber \]

Итак, неважно, какие два множителя умножать первыми.

Конечно, этого бы не было, если бы существовала смесь умножения и других операций (деление, сложение, вычитание). Тогда нам пришлось бы строго следовать «Правилам, определяющим порядок действий». Но если единственным оператором является умножение, порядок умножения не имеет значения.

Таким образом, когда мы видим 2(3 x ), как в примере 1, мы должны думать: «Это все умножение, и неважно, какие два числа я умножаю вместе первыми, поэтому я умножу 2 и 3 и получить 2(3 х )=6 х ».

Наши комментарии в равной степени применимы к произведению четырех или более факторов. Просто не имеет значения, как вы группируете умножение. Итак, в случае (−3 x )(−2 y ), как и в примере 3, найдите произведение −2 и −3 и умножьте результат на произведение x и y . . То есть (−3 x )(−2 y )=6 xy .

Пример 4

Упрощение: (2 a )(3 b )(4 c ).

Решение

Единственным оператором является умножение, поэтому мы можем упорядочивать и группировать по своему усмотрению. Итак, мы возьмем произведение 2, 3 и 4 и умножим результат на произведение a, b и c. То есть

\[(2a)(3b)(4c)=24abc\nonumber \]

Упражнение

Упростить: (−3 x )(−2 y )(−4 z )

Ответить

−24 xyz .

Распределительное свойство

Умножение является распределительным по отношению к сложению.

Распределительное свойство

, если A , B и C — любые целые числа, затем

A · 6. ... . . . ... .. ... .. . a · c или эквивалентно a ( b + c ) = ab + ac .

Например, если мы следуем «Правилам, определяющим порядок операций» и сначала оцениваем выражение в скобках, затем

\[ \begin{aligned} 3(4+5)=3(9) ~ & \textcolor {red}{ \text{ Сначала скобки: } 4+5 = 9.} \\ =27. ~ & \textcolor{red}{ \text{ Умножить: } 3(9) = 27.} \end{aligned}\nonumber \]

Но если мы «распределим» 3, мы получим тот же ответ.

\[ \begin{aligned} 3(4+5) =3(4+5) ~ & \begin{aligned} \textcolor{red}{ \text{ Каждое число в скобках умножается}} \\ \textcolor {red}{ \text{ на число 3 за скобками.}} \end{aligned} \\ = 3(4) +3(5) ~ \\ = 12 + 15 ~ & \textcolor{red}{ \ text{ Сначала умножить: } 3(4) = 12,~ 3(5) = 15.} \\ =27 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add.}} \end{aligned}\nonumber \]

Пример 5

Используйте свойство распределения для упрощения: 3(4 x + 5).

Решение

Распределить 3.

\[ \begin{align} 3(4x+5) = 3(4x)+3(5) ~ & \begin{aligned} \textcolor{red}{ \ text{ Каждое число в скобках умножается}} \\ \textcolor{red}{ \text{ на число 3 вне скобок.}} \end{aligned} \\ =12x + 15 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Сначала умножить: } 3(4x)=12x,~ 3(5)=15.} \end{aligned}\nonumber \]

Упражнение

Используйте свойство распределения для упрощения: 2(5 z +7).

Ответить

10з + 14

Умножение также является дистрибутивным по отношению к вычитанию.

Распределительное свойство

, если A , B и C — любые целые числа, затем

A · ( B — C ) = A 6 a 6. 6 a 6 a 6. 6 a 6. 6. 6 — C ).0037 − a · c или эквивалентно a ( b − c ) = ab − ac .

Применение этой формы распределительного свойства идентично первой, единственное отличие состоит в символе вычитания.

Пример 6

Используйте свойство распределения для упрощения: 5(3 x − 2).

Решение

Распределить 5.

\[ \begin{align} 5(3x — 2) = 5(3x)-5(2) ~ & \begin{aligned} \textcolor{red}{ \ text{ Каждое число в скобках умножается }} \\ \textcolor{red}{ \text{ на число 5 за скобками.}} \end{aligned} \\ = 15x — 10 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Сначала умножить: } 5(3x) = 15x, 5(2) = 10.} \end{aligned}\nonumber \]

Упражнение

Используйте свойство распределения для упрощения: 7(4 a − 5).

Ответить

28 а − 35

Пример 7

Удалите скобки: (a) −9(2 t + 7) и (b) −5(4 − 3 y ).

Решение

а) Используйте свойство распределения.

\[ \begin{aligned} -9(2t+7) = -9(2t)+(-9)(7) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Распределить умножение на }-9.} \\ = -18t + (-63) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Умножить: } -9(2t) = -18t \text{ и } -9(7) = -63. } \ \ = — 18t — 63 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Запишите ответ в более простой форме.}} \\ ~ & \textcolor{red}{ \text{ Добавление } -63 \text{ аналогично вычитание 63.}} \end{aligned}\nonumber \]

b) Используйте свойство распределения.

\[ \begin{aligned} -5(4-3y) = -5(4)-(-5)(3y) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Распределить умножение на }-5.} \ \ = -20-(-15y) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Умножить: } -5(4) = -20 \text{ и } -5(3y) = -15y.} \\ = — 18t — 63 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Запишите ответ в более простой форме.}} \\ ~ & \textcolor{red}{ \text{ Вычитание } -15y \text{ аналогично сложению } 15y .} \end{выровнено}\nonumber \]

Упражнение

Удалите скобки: −3(4 t − 11).

Ответить

−12 т + 33

Письмо по математике

В примере 7 подчеркивается важность использования как можно меньшего количества символов для написания окончательного ответа. Следовательно, -18 t — 63 предпочтительнее -18 t + (-63) и -20 + 15 y предпочтительнее -20 — (-15 y ). Вы должны всегда делать эти окончательные упрощения.

Движение немного быстрее

После того, как вы применили свойство дистрибутивности к ряду задач, показывая всю работу, как в примере 7, вы должны попытаться исключить некоторые из шагов. Например, снова рассмотрим пример 7(а). Нетрудно применить распределительное свойство, не записывая ни одного шага, получая:

\[−9(2t + 7) = −18t − 63.\nonnumber \]

Вот идея, стоящая за этой техникой:

1. Во-первых, умножьте −9 на 2 t , получаем −18 t .
2. Во-вторых, умножьте −9 на +7, получится −63.

Обратите внимание, что это дает точно такое же решение, как и в примере 7(а).

Давайте попробуем ту же технику на примере 7(b).

\[−5(4 − 3y) = −20 + 15y\nonnumber \]

Вот идея, стоящая за этой техникой.

1. Сначала умножьте −5 на 4, получив −20.
2. Во-вторых, умножьте −5 на −3 y , получив +15 y .

Обратите внимание, что это дает точно такое же решение, как и в примере 7(b).

Расширение свойства Distribution

Предположим, что мы добавляем дополнительный термин в круглые скобки.

Distributive Property

If a , b , c , and d are any integers, then

a ( b + c + d ) = ab + ак + объявление .

Обратите внимание, что мы «распределили» a раз каждый член в скобках. В самом деле, если бы мы добавили еще один член в круглых скобках, мы бы «распределили» в раз и этот член.

Пример 8

Удалите скобки: −5(2 x − 3 y + 8).

Решение

Воспользуемся «более быстрой» техникой, мысленно «распределив» -5 раз каждое слагаемое в скобках.

\[ -5(2x — 3y +8)=-10x + 15y -40\номер \]

Вот наш мыслительный процесс:

1. Сначала умножьте −5 на 2 x , чтобы получить −10 x .
2. Во-вторых, умножьте −5 на −3 y , получив +15 y .
3. В-третьих, умножьте −5 на +8, получив −40.

Упражнение

Удалите скобки: −3(4 a − 5 b + 7)

Ответ

−12 а + 15 б − 21

Пример 9

Удалить скобки: −4(−3 a + 4 b − 5 c + 12).

Решение

Воспользуемся «более быстрой» техникой, мысленно «распределив» -4 раза каждое слагаемое в скобках.

\[ -4(-3a + 4b — 5c +12) = 12a — 16b + 20c — 48\нечисло \]

Вот наш мыслительный процесс:

1. Сначала умножьте -4 на -3 a , получив 12 .
2. Во-вторых, умножьте −4 на +4 b , получив −16 b .
3. В-третьих, умножьте −4 на −5 c , получив +20 c .
4. В-четвертых, умножьте −4 на +12, получив −48.

Упражнение

Удалите скобки: −2(−2 x + 4 y − 5 z − 11).

Ответить

4 x − 8 y + 10 z + 22

Распространение отрицания

Полезно помнить, что отрицание эквивалентно умножению на -1.

Умножение на −1

Пусть a — любое целое число, тогда

(−1) a = − a и − a = (−1) a .

Мы можем использовать этот факт в сочетании со свойством распределения, чтобы отрицать сумму.

Пример 10

Удалите скобки: −( a + b ).

Решение

Замените отрицательный символ на умножение на -1, затем распределите -1.

\[ \begin{aligned} -(a + b) =(-1)(a+b) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Отрицание эквивалентно умножению на } -1.} \\ = -a-b ~ & \textcolor{red}{ \text{ Распределить }-1.} \end{aligned}\nonumber \]

Мы решили использовать «более быстрый» метод «распределения» -1. Вот как мы думаем:

1. Умножить −1 на на , получится −9.0036 и .
2. Умножаем −1 раз + b , получаем − b .

Упражнение

Удалите скобки: −(4 a − 3 c )

Ответ

−4 а + 3 в

Результаты в Примере 10 и Примере 11 показывают нам, как инвертировать сумму: Просто инвертируйте каждый член суммы. Положительные термины меняются на отрицательные, отрицательные — на положительные.

Отрицание суммы

Чтобы инвертировать сумму, просто инвертируйте каждый член суммы. Например, если a и b — целые числа, то

− ( a + b ) = − a − b и − ( b ) а + б .

Пример 12

Удалите скобки: −(5 − 7 u + 3 t ).

Решение

Просто отрицайте каждое слагаемое в скобках.

\[−(5 − 7 u + 3 t ) = −5+7 u − 3 t \nonnumber \]

Упражнение

Убрать скобки2: −(03 − 6 х 9: + 4 y − 5 z )

Ответ

−5+2 x − 4 y + 5 z

Упражнения

В упражнениях 1-20 используйте ассоциативные и коммутативные свойства умножения, чтобы упростить выражение.

1. 10(-4х)

2. 7(-8х)

3. (-10х)(-3)

4. (-5х)(-8)

5. -5(3х) )

6. 9(6x)

7. (−4x)10

8. (−10x)(−6)

9. (5x)3

10. (3x)3

11. (5x)10

12. (−2x)(−10)

13. −9(−7x)

14. −10(5x)

15,6(2x)

16,3(− 10x)

17. -8(-9x)

18. 3(-3x)

19. (6x)7

20. (-8x)(-5)

---

В упражнениях 21-44 упростите выражение.

21. 8(7x + 8)

22. −2(5x + 5)

23. 9(−2 + 10x)

24. −9(4 + 9x)

25. −(− 2x + 10y − 6)

26. −(−6y + 9x − 7)

27. 2(10 + x)

28. 2(10 − 6x)

29. 3(3 + 4x)

30. 3(4 + 6x)

31. −(−5 − 7x + 2y)

32. −(4x − 8 − 7y)

33. 4(−6x + 7)

34. 6 (4x + 9)

35. 4(8x — 9)

36. 10(-10x + 1)

37. −(4 − 2x − 10y)

38. −(−4x + 6 − 8y)

39. −(−5x +1+9y)

40. −(−10 − 5x − 4y) )

41. −(6x + 2 − 10y)

42. −(6x + 4 − 10y)

43. −(−3y − 4+4x)

44. −(−7 − 10x + 7y )

---

Answers

1. −40x

3. 30x

5. −15x

7. −40x

9. 15x

11. 50x

13. 63x

15. 12x

17. 72x

19. 42x

21. 56x + 64

23. −18 + 90x

25. 2x — 10y + 6

27. 20 + 2x

29. 9 + 12x

31. 5 + 7x — 2y

33. −24x + 28

35. 32x − 36

37. −4+2x + 10y

39. 5x − 1 − 9y

41. −6x − 2 + 10y

3 − 0

44.

---

Эта страница под названием 3.3: Упрощение алгебраических выражений распространяется под лицензией CC BY-NC-SA, ее автор, ремикширование и/или куратор — Дэвид Арнольд.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   Дэвид Арнольд

   Лицензия

   CC BY-NC-SA

   Показать страницу TOC

   нет

2. Теги

   1. ассоциативное свойство умножения
   2. Коммутативное свойство умножения
   3. тождество

2.

2: Упрощение алгебраических выражений — Mathematics LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

18334

• Анонимный
• LibreTexts

Цели обучения

• Применение свойства распределения для упрощения алгебраического выражения.
• Определите и объедините похожие термины.

Distributive Property

Свойства действительных чисел важны в нашем изучении алгебры, потому что переменная — это просто буква, обозначающая действительное число. В частности, дистрибутивное свойство утверждает, что для любых действительных чисел \(a, b,\) и \(c\)

\[\color{Cerulean}{a}\color{black}{(b+c) =}\color{Cerulean}{a}\color{black}{b+}\color{Cerulean}{a}\color{black}{c}\]

Это свойство применяется при упрощении алгебраических выражений. Чтобы продемонстрировать, как он используется, мы упростим \(2(5−3)\) двумя способами и получим тот же правильный результат.

Конечно, если можно упростить содержимое скобок, сделайте это в первую очередь. С другой стороны, если содержание скобок не может быть упрощено, умножьте каждый член в скобках на коэффициент вне скобок, используя распределительное свойство. Применение распределительного свойства позволяет умножать и удалять скобки.

Пример \(\PageIndex{1}\)

Упрощение:

\(5(7y+2)\).

Решение :

9{2}-15x-3\)

Пример \(\PageIndex{3}\)

Упрощение:

\(5(−2a+5b)−2c\).

Решение :

Примените свойство распределения, умножив только члены, сгруппированные в скобках, на \(5\).

Figure \(\PageIndex{1}\)

Ответ :

\(-10a+25b-2c\) следующим образом:

\[(b+c)a=ba+ca\]

Пример \(\PageIndex{4}\)

Упрощение:

\((3x−4y+1)⋅3\).

Решение :

Умножьте каждый член в скобках на \(3\).

\(\begin{align} (3x-4y+1)\cdot 3&=3x\color{Cerulean}{\cdot 3}\color{black}{-4y}\color{Cerulean}{\cdot 3} \color{black}{+1}\color{Cerulean}{\cdot 3} \\ &=9x-12y+3 \end{aligned}\)

Ответ :

\(9x-12y+3 \)

Деление в алгебре часто обозначается дробью, а не символом (\(÷\)). А иногда бывает полезно переписать выражения с делением как произведения:

\(\begin{array}{c}{\color{black}{\frac{x}{\color{Cerulean}{5}}=\frac{1x}{5}=\color{Cerulean}{ \ frac {1} {5}} \ color {black} {\ cdot x}}} \\ {\ color {black} {\ frac {\ color {Cerulean} {3} \ color {black} {ab}} {\color{Cerulean}{7}}=\frac{3}{7}\cdot \frac{ab}{1}=\color{Cerulean}{\frac{3}{7}}\color{black} {\ cdot ab}}} \\ {\ frac {x + y} {\ color {Cerulean} {3}} = \ frac {1} {3} \ cdot \ frac {(x + y)} {1} =\color{Cerulean}{\frac{1}{3}}\color{black}{\cdot (x+y)}} \end{array}\)

Преобразование алгебраических выражений в виде произведений позволяет нам применять распределительное свойство. 9{2}-x+2\)

Мы обсудим деление алгебраических выражений более подробно по мере прохождения курса.

Упражнение \(\PageIndex{1}\)

Упрощение:

\(\frac{1}{3}(−9x+27y−3)\).

Ответить

\(-3x+9y-1\)

Объединение сходных терминов

Термины с одинаковыми переменными частями называются подобными терминами или подобными терминами. Кроме того, постоянные термины считаются подобными терминам. Если алгебраическое выражение содержит одинаковые члены, примените распределительное свойство следующим образом: 9{2}b\)

Обратите внимание, что переменные коэффициенты и их показатели не меняются. Объединение одинаковых членов таким образом, чтобы выражение не содержало других подобных членов, называется упрощением выражения. Используйте эту идею для упрощения алгебраических выражений с несколькими одинаковыми терминами.

Пример \(\PageIndex{6}\)

Упрощение:

\(3a+2b−4a+9b\).

Решение :

Определите похожие термины и объедините их.

\(\begin{выровнено} 3a+2b-4a+9b&=3\color{Cerulean}{a}\color{black}{-4}\color{Cerulean}{a}\color{black}{+2}\color{OliveGreen}{b}\color{black} {+9}\color{OliveGreen}{b}&\color{Cerulean}{Commutative\:property\:of\:addition} \\ &=-1a+11b &\color{Cerulean}{Combine\:like\ :terms.} \\ &=-a+11b \end{aligned}\)

Ответ :

\(-a+11b\)

В предыдущем примере перестановка терминов обычно выполняется в уме и не отображается в презентации решения.

9{2}\)

Пример \(\PageIndex{9}\)

Упрощение:

\(\frac{1}{2}a−\frac{1}{3}b+\frac{3}{ 4}а+б\).

Чтобы сложить дробные коэффициенты, используйте эквивалентные коэффициенты с общими знаменателями для каждого подобного термина.

\(\begin{align} \frac{1}{2}a-\frac{1}{3}b+\frac{3}{4}a+1b&=\frac{1}{2}a+\ frac{3}{4}a-\frac{1}{3}b+1b \\ &=\frac{2}{4}a+\frac{3}{4}a-\frac{1}{3 }b+\frac{3}{3}b \\&=\frac{5}{4}a+\frac{2}{3}b \end{выравнивание}\)

Ответ 9{3}\)

Упражнение \(\PageIndex{2}\)

Упрощение:

\(−7x+8y−2x−3y\).

Ответить

\(−9x+5y\)

Распределительное свойство и подобные термины

При упрощении нам часто приходится комбинировать сходные термины после применения распределительного свойства. Этот шаг соответствует порядку операций: умножение перед сложением.

Пример \(\PageIndex{11}\)

Упрощение:

\(2(3a−b)\)−\(7(−2a+3b)\).

Решение :

Распределите \(2\) и \(−7\), а затем объедините одинаковые члены.

Рисунок \(\PageIndex{2}\)

Ответ :

\(20a-23b\)

круглые скобки и собираете одинаковые термины, потому что вы умножаете вторую величину на \(−7\), а не только на \(7\). Чтобы правильно применить распределительное свойство, подумайте об этом как о добавлении \(-7\) заданного количества, \(2(3a-b)+(-7)(-2a+3b)\).

Упражнение \(\PageIndex{3}\)

Упрощение:

\(−5(2x−3)+7x\).

Ответить

\(-3x+15\)

Часто мы сталкиваемся с алгебраическими выражениями, такими как \(+(a+b)\) или \(−(a+b)\). Как мы видели, на самом деле подразумевается, что коэффициенты равны \(+1\) и \(-1\) соответственно, и, следовательно, свойство распределения применяется с использованием \(+1\) или \(-1\) как фактор. Умножьте каждый член в скобках на эти коэффициенты: 9{2}+x-14\)

Ключевые выводы

• Свойства действительных чисел применяются к алгебраическим выражениям, поскольку переменные — это просто представления неизвестных действительных чисел.
• Комбинируйте похожие термины или термины с одинаковой переменной частью, чтобы упростить выражения.
• Используйте распределительное свойство при умножении сгруппированных алгебраических выражений, \(a(b+c)=ab+ac\).
• Рекомендуется применять распределительное свойство только тогда, когда выражение внутри группировки полностью упрощено.
• После применения распределительного свойства удалите скобки, а затем объедините любые подобные термины.
• Всегда используйте порядок операций при упрощении.

Упражнение \(\PageIndex{5}\) Распределительное свойство

Умножение.

1. \(3(3x−2)\)
2. \(12(−5y+1)\)
3. \(−2(х+1)\)
4. \(5(а-б)\)
5. \(\ гидроразрыва{5}{8}(8x−16)\)
6. \(−\frac{3}{5}(10x−5)\)
9{2}-40\)

Упражнение \(\PageIndex{7}\) Объединение похожих терминов

Упрощение.

1. \(2x−3x\)
2. \(-2а+5а-12а\)
3. \(10 лет-30-15 лет\)
4. \(\frac{1}{3}x+\frac{5}{12}x\)
5. \(−\frac{1}{4}x+\frac{4}{5}+\frac{3}{8}x\)
6. \(2x−4x+7x−x\)
7. \(−3y−2y+10y−4y\)
8. \(5x−7x+8y+2y\)
9. \(−8α+2β−5α−6β\)
10. \(−6α+7β−2α+β\)
9{2}-1)\)

31. \(−8(2x+7)\)

Упражнение \(\PageIndex{8}\) Смешанная практика

Упрощение.

1. \(5(2x−3)+7\)
2. \(−2(4y+2)−3y\)
3. \(5x−2(4x−5)\)
4. \(3−(2x+7)\)
5. \(2x-(3x-4y-1)\)
6. \((10y−8)−(40x+20y−7)\)
7. \(\frac{1}{2}y-\frac{3}{4}x-(\frac{2}{3}y-\frac{1}{5}x)\)
8. \(\frac{1}{5}a-\frac{3}{4}b+\frac{3}{15}a-\frac{1}{2}b\) 9{2}\)

   27. \(−3ab+10\)

   29. \(−10α−20β+15\)

   Упражнение \(\PageIndex{9}\) Смешанная практика

   Переведите следующие предложения в алгебраические выражения, а затем упростите их.

   1. В чем разница между \(3x−4\) и \(−2x+5\)?
   2. Вычесть \(2x−3\) из \(5x+7\).
   3. Вычесть \(4x+3\) из удвоенной величины \(x−2\).
   4. Вычесть трижды количество \(−x+8\) из \(10x−9\).

   Ответить

   1. \(5x-9\)

   3. \(-2x-7\)

   Упражнение \(\PageIndex{10}\) Темы на доске обсуждений

   1. Нужно ли нам распределительное свойство для деления, \((a+b)÷c\)? Объяснять.
   2. Нужно ли нам отдельное распределительное свойство для трех терминов \(a(b+c+d)\)? Объяснять.
   3. Объясните, как вычесть одно выражение из другого. Приведите несколько примеров и продемонстрируйте важность порядка, в котором выполняется вычитание.
   4. Учитывая алгебраическое выражение \(8−5(3x+4)\), объясни, почему вычитание \(8−5\) не является первым шагом.
   5. Можно ли применить свойство распределения к выражению \(5(abc)\)? Объясните, почему или почему нет, и приведите несколько примеров.
   6. Как проверить, правильно ли вы упростили выражение? Приведите несколько примеров.

   Ответить

   1. Ответы могут отличаться

   3. Ответы могут отличаться

   5. Ответы могут отличаться

   ---

   Эта страница под названием 2.

   No related posts.