Уравнение линейное пример: Решение линейных уравнений, примеры, тесты. Особые случаи

2+4x+4=0(полное квадратное уравнение оно решается по дискриминанту. Как решаются такие уравнение можно узнать здесь.)1/x+2=0(уравнение гиперболы)√(x-1)=1(иррациональное уравнение)

Чем отличаются линейные уравнения от не линейных?

У линейных уравнений x всегда находится в первой степени в числители. Если одно из условий не выполняется то уравнение нелинейное.

Как решаются линейные уравнения?

Все что связано с переменной x переносим в одну сторону, а обычные числа в другую. Это называется: “Неизвестные в одну сторону известные в другую”. В итоге корень уравнения будет равен x=-b/a. Рассмотрим на примере:

Как построить прямую? Как построить график прямой или линейной функции? Можно узнать здесь.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Пример №1:

2x+2=0 (здесь неизвестное это 2x его мы оставляем в левой стороне, а 2 переносим через равно в правую сторону, при переносе через равно знак с + меняется на -)

2x=-2 | : 2 (далее нам нужно получить просто x без коэффициента 2, поэтому мы все уравнение делим на 2, получим 2x:2=-2:2 )
x=-1 (получили корень уравнения)

2x+2=0 (здесь неизвестное это 2x его мы оставляем в левой стороне, а 2 переносим через равно в правую сторону, при переносе через равно знак с + меняется на -)
2x=-2 | : 2 (далее нам нужно получить просто x без коэффициента 2, поэтому мы все уравнение делим на 2, получим 2x:2=-2:2 )
x=-1

Сделаем проверку уравнения подставим вместо переменной x полученный корень:
2*(-1)+2=0
-2+2=0
0=0
Решено верно

Ответ: -1

Пример №2:

2x-6=4x (здесь неизвестное это 2x и 4x. 4х нужно перенести в левую часть уравнения, а -6 переносим через равно в правую сторону, при переносе через равно знак у -6 меняется с – на +, а у 4х знак меняется с + на -)
2x-4x=6 (при вычитании 2x-4x=-2x)

-2x=6 | : (-2) (далее нам нужно получить просто x без коэффициента -2, поэтому мы все уравнение делим на -2, получим -2x:(-2)=6:(-2) )
x= -3

Сделаем проверку уравнения подставим вместо переменной x полученный корень:
2*(-3)-6=4*(-3)
-6-6=-12
-12=-12
Решено верно

Ответ: -3

Пример №3:

x-3=x-3
x-x=3-3
0=0

Ответ: x может быть любое число

Пример №4:

2x+7=2x-3
2x-2x=-7-3
0=-10

Ответ: корней нет

Category: 7 класс, Линейное уравнение, Уроки Leave a comment

что такое, свойства, решение, примеры

Содержание:

• Что такое линейное уравнение с одной переменной
• Свойства уравнений с одной переменной
• Решение уравнений с одной переменной
• Примеры решения задач

Содержание

• Что такое линейное уравнение с одной переменной
• Свойства уравнений с одной переменной
• Решение уравнений с одной переменной
• Примеры решения задач

Что такое линейное уравнение с одной переменной

Уравнением называют какое-либо выражение минимум с одной переменной, части которого разделены знаком равенства.

Пример 1

Рассмотрим несколько наглядных примеров.

Пусть имеется выражение следующего вида: 5 – 3 = 2

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

В данном случае оно не является уравнением из-за отсутствия переменной. Другое подобное выражение (неверное) также нельзя отнести к числу уравнений: 5+3=2 Уравнениями являются следующие выражения, в состав которых входит переменная х: 5-x=2 5+3x=2

Равенства, в том числе, в составе системы, могут быть справедливыми и неверными. С целью проверки стоит лишь посчитать значения выражений, которые расположены по обе стороны от знака равенства. Когда результаты совпадают, стоит сделать вывод о том, что равенство верно. В случае получения по итогам вычислений разных чисел допустимо заключить, что равенство не является верным.

С другой стороны, уравнение, которое содержит переменные, невозможно так быстро посчитать. Значение частей в уравнении зависит от того, какое значение примет неизвестная и несколько переменных. Путем подстановки численного значения по стандартному алгоритму на место переменной уравнение упрощают. Получив стандартное равенство, его справедливость достаточно просто оценить.

Пример 2

Представим, что имеется некое уравнение: х + 5 = 8

Когда х = 10, выражение примет следующий вид: 10 + 5 = 8

Сделаем вывод о том, что равенство не является верным при таком значении неизвестной. Попробуем подставить в выражение х = 3: 3 + 5 = 8 В результате получилось верное равенство.

Заметим, что существуют некие значения для переменной, при которых равенство становится справедливым. Кроме того, имеются такие значения неизвестной, которые обращают выражение в неверное равенство. Исходя из этой мысли, сформулируем понятие корня уравнения.

Корень уравнения является значением неизвестной, которое обращает рассматриваемое выражение в справедливое числовое равенство. {2} = 0\)

\(\frac{5}{х} = 1\)

\(|х| = 64\)

Свойства уравнений с одной переменной

Перечислим основные свойства, характерные для уравнений, записанных в виде линейных:

1. Допустимо выполнять перенос какого-то из слагаемых в противоположную часть уравнения, заменяя его знак на противоположный, то есть минус меняют на плюс, а плюс меняют на минус. Например: x + 2 = 0 \(\Rightarrow x = -2\).
2. Обе части уравнения допустимо увеличить на какое-либо число, что не приведет к изменению смысла рассматриваемого уравнения. К примеру: x + 2 + (-2) = 0 + (-2), x + 0 = 0 — 2 \(\Rightarrow x = -2\).
3. Обе части уравнения допустимо увеличить или уменьшить в какое-то число раз, отличное от нуля, что не приведет к изменению смысла рассматриваемого уравнения. К примеру: x + 2 = 0 \(\Rightarrow (x + 2)\cdot 4 = 0 \cdot 4, 4x + 8 = 0\).

Решение уравнений с одной переменной

Известно, что с линейными уравнениями можно совершать простейшие действия. Существует несколько видов элементарных преобразований для данного типа уравнений. Перечислим их:

• сложение обеих частей равенства с одинаковыми выражениями;
• умножение обеих частей равенства на одинаковые выражения, значения которых не равны нулю;
• перенос правой части равенства влево от знака равенства, а левой части — вправо.

Заметим, что перечисленные манипуляции не оказывают влияния на значения корней уравнения. С другой стороны, подобные действия в результате приводят к значительному упрощению записи, что позволяет быстро выполнить дальнейшие вычисления и решить уравнение. По итогам преобразований получается запись следующего вида:

х = а.

В данном случае а играет роль какого-то числового выражения, не содержащего переменную.

Пример 4

Представим, что имеется некое уравнение: х + 5 = 18 Заметим, что это уравнение является линейным по определению. Вспомним свойства подобных уравнений. Прибавим к левой и правой части выражения число (-5), получим: х + 5 – 5 = 18 – 5 х = 13 В результате получен корень линейного уравнения со значением 13. Заметим, что выражение х = 18 – 5 можно сформулировать как перенос слагаемого слева направо.

Пример 5

Рассмотрим следующее уравнение, которое также является линейным: ax + b = 0

Воспользуемся свойством переноса и переместим b в правую часть. Далее допустимо выполнить деление обеих частей равенства на а:

ax + b = 0

ax = -b

\(x = -\frac{b}{a}\)

Второй способ:

ax + b — b = 0 – b

ax = -b

В том случае, когда а не имеет нулевого значения, допустимо выполнить деление:

ax = -b

\(\frac{ax}{a} = -\frac{b}{a} x = -\frac{b}{a}\)

Пример 6

Представим, что нужно вычислить, чему равно х: 5x = 10

По аналогии с предыдущим примером выполним необходимые преобразования, а именно, деление правой и левой части уравнения на число 5:

5x = 10

x = 2

Пример 7

Типичный пример линейного уравнения, которое легко решить с помощью элементарных преобразований: -8x = 48

Выполним действия по аналогии с предыдущими выражениями:

\(\frac{-8x}{-8} = \frac{48}{-8}\)

 x = -6

Пример 8

Рассмотрим следующие примеры, которые отличаются повышенным уровнем сложности:

\(0\cdot x = 10\)

\(0\cdot x = 0\)

Заметим, что в первом уравнении решения отсутствуют, так как х может принимать любые значения, которые при умножении на 0 не дают в результате 10. Таким образом, сделаем вывод об отсутствии корней. Во втором выражении, напротив, за х можно принять абсолютно любое число, так как при умножении на 0 получится 0.

Сформулируем несколько ключевых принципов решений подобных уравнений, которые записаны в виде ax+b=0:

• при ненулевом значении а у линейного уравнения есть единственный корень, то есть \(x = -{b}/{a}\)x ;
• когда а имеет нулевое значение, а b отлично от нуля, линейное уравнение, записанное выше, лишено каких-либо корней;
• при таких а и b, которые равны нулю, корнями уравнения служат абсолютно все числа.

Примечание 2

В процессе решения линейных уравнений, которые записаны в формате ax+b=0, необходимо помнить о недопустимости деления на ноль.

Пример 9

Имеется некое уравнение, которое необходимо решить: 7x– 2 = 6 + 3x

Уменьшим обе части уравнения в 3x раза и прибавим 2:

\(7x – 2 = 6 + 3x-3x + 2\)

4x = 8

Поделим правую и левую части уравнения на 4:

4x = 8:4

x = 2

Примеры решения задач

Задача 1

Требуется найти корни следующего уравнения: 6x + 72 = 0

Решение

Начнем с того, что определим тип этого уравнения. Это линейное уравнение. Воспользуемся простыми преобразованиями и вычислим неизвестное:

6x + 72 = 0

6x = -72

\(x = -\frac{72}{6}\)

x = -12

Ответ: х = -12

Задача 2

Нужно найти решение для следующего уравнения: 5(x + 9) = 5x + 45

Решение

Заметим, что в данном линейном уравнении присутствуют скобки. Избавимся от них таким образом:

5x + 45 = 5x + 45

Перенесем выражения с неизвестной в одну часть:

5x + 45 = 5x + 45

5x — 5x = 45 – 45

\(0\cdot x = 0\)

Ответ: линейное уравнение обладает бесконечным количеством решений.

Задача 3

Дано линейное уравнение, корни которого требуется вычислить: (6 — x) + (12 + x) — (3 — 2x) = 15

Решение

Заметим, что по аналогичному принципу, как и в предыдущем задании, здесь целесообразно избавиться от скобок. В результате получим:

(6 – x) + (12 + x) — (3 — 2x) = 15

6 – x + 12 + x – 3 + 2x = 15

2x + 15 = 15

На следующем этапе можно приступить к элементарным действиям, чтобы преобразовать полученное уравнение:

2x = 15 – 15

2x = 0

x = 0

Ответ: x = 0

Задача 4

Имеется некий треугольник, в котором одна грань превышает размер второй в 2 раза и меньше по сравнению с третьей стороной на 3 см. Зная, что периметр рассматриваемой геометрической фигуры составляет 43 см, требуется вычислить величину каждой из ее сторон.

Решение

Введем следующее обозначение стороны треугольника:

АВ = х

Вспомним формулу, по которой рассчитывают периметр треугольника:

Р = АВ + АС + ВС = х + 2х + (2х + 3) = 43

Найдем переменную х:

5х + 3 = 43

5х = 40

х = 8

Исходя из условия задания, вычислим остальные грани геометрической фигуры:

АВ = х = 8

АС = 2х = 16

ВС = 2х + 3 = 19

Ответ: 8, 16, 19.

Задача 5

Железнодорожные станции удалены друг от друга. Это расстояние поезд преодолевает со скоростью 70 км/ч на 30 минут быстрее, чем со скоростью 60 км/ч. Необходимо вычислить расстояние.

Решение

Введем обозначение х для расстояния, которое проходит поезд. Обратимся к условиям задания и запишем уравнение:

\(\frac{x}{60} — \frac{x}{70} = \frac{1}{2}\)

\(\frac{x}{60} — \frac{x}{70} = \frac{1}{2} \times 420 \iff 7x-6x = 210 \iff x = 210\)

Ответ: 210.

Насколько полезной была для вас статья?

У этой статьи пока нет оценок.

Поиск по содержимому

Linear Equations (Типы и примеры решений) — ExamPlanning

Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение, в котором старший показатель переменной равен единице. Линейное уравнение имеет одну, две или три переменные, но не каждая линейная система с 03 уравнениями. Обычно система линейных уравнений имеет только единственное решение , но иногда не имеет решения или бесконечное число решений .

Линейное уравнение с двумя переменными описывает отношения, в которых значение одной переменной, скажем, «x», зависит от значение другой переменной скажем «y». При наличии двух переменных график линейного уравнения будет прямой линией.

Стандартная форма линейного уравнения

Линейные уравнения имеют стандартную форму:

Ax + By = C

и у — переменные.

Общая форма линейного уравнения с двумя переменными:

y = mx + c, m ≠  0

Формула линейного уравнения

Некоторые общие формулы:

900 39

Форма перехвата слива:    

Точечная форма:                    

Двухточечная форма:            

Примеры линейных уравнений

переменная равна 1.

• Уравнение с одной переменной:  Уравнение с одной переменной , например
• 12x – 10 = 0
• 12x = 10
• Уравнение с двумя переменными:  Уравнение с двумя переменными, например
• 12x +10y – 10 = 0
• 12x +23y = 20
• Уравнение с тремя Переменные: An уравнение с тремя переменными, например
• 12x +10y -3z – 10 = 0
• 12x +23y – 12z = 20

Решенные примеры линейных уравнений:

Пример №1:

Решение:

Пример №2:

Решение:

Пример №3:

Решение:

В линейном уравнении знак равенства (=) делит уравнение на две стороны, такие как L. H.S. и Р.Х.С.

В данном уравнении значение переменной, которое делает LHS = RHS, называется решением линейного уравнения.

Примеры №1

х + 6 = 8 — линейное уравнение.

Здесь, L.H.S. равно x + 6 и R.H.S. равно 8

Если мы положим x = 2, то левая часть будет 2 + 6, что равно правой части сторона

Таким образом, решением данного линейного уравнения будет x = 2 

Пример №2

3x – 2 = 2x – 3 является линейным уравнением

Если мы положим x = -1, то левая часть будет 3(-1) – 2 и правая часть будет 2(-1) – 3

Мы получено,

-3 – 2= -2 – 3

-5 = -5

Следовательно, Л.Х.С. = R.H.S.

Итак, x = -1 является решением данного линейного уравнения.

Типы линейных уравнений: 

Существует три типа линейных уравнений

1. Условное Уравнение
2. Идентичность Уравнение
3. Противоречие Уравнение

1. Условное уравнение:

Условное уравнение имеет только одно решение. Например,

2. Уравнение тождества:

Уравнение тождества всегда истинно, и каждое действительное число является ее решение, следовательно, она имеет бесконечные решения. Решение линейной уравнение, которое имеет тождество, обычно выражается как

Иногда левая сторона равна в правую часть (вероятно, получим 0=0), поэтому легко находим из того, что это уравнение является тождеством. Например,

3. Уравнение противоречия:

A Уравнение противоречия всегда ложно и не имеет решения. Противоречие Уравнение чаще всего записывается как:

Например,

Линейные уравнения представляют собой линии

Уравнение представляет собой линию на графике, и мы имеем требуется две точки, чтобы провести линию через эти точки. На графике переменные «x» и «y» показывают координаты «x» и «y». графика. Если мы поместим значение для «x», то мы можем легко вычислить соответствующее значение «y», и эти два значения покажут точку на графике. Точно так же, если мы продолжим помещать значения «x» и «y» в заданную линейную уравнения, мы можем получить прямую линию на графике.

Графическое представление линейного уравнения

Мы можем подставить значения «x» и «y» в уравнение, чтобы построить график линейного уравнения. Мы можем использовать точки «перехвата». Должны быть соблюдены следующие пункты:

• Поместите x = 0 в уравнение и найдите y и нанесите точку (0,y) на оси y
• Поместите y = 0 в уравнение и найдите x и начертите точку (x,0) на оси x
• Наконец, проведите прямую линию между двумя точками

Чек ваши навыки, чтобы найти решения этих линейных уравнений:

См. также: Типы математических уравнений

Линейная функция — определение, уравнение, график, примеры

Линейные функции

В математике функция отношение со свойством, при котором каждый вход связан ровно с одним выходом. Линейные функции имеют большое значение из-за их универсального характера. Они могут быть реализованы во многих ситуациях. Более того, они появляются в разных формах уравнений. Итак, что такое линейная функция? Линейная функция — это функция с одной или двумя переменными без показателей степени. Эта функция представляет собой прямую линию на координатной плоскости. Если функция имеет больше переменных, то они должны быть постоянными, чтобы оставаться в одном и том же состоянии линейной функции. В этой статье мы подробно узнаем о:

• Что такое линейная функция?
• Уравнение линейных функций
• Характеристики линейной функции
• Скорость изменения линейной функции
• График линейной функции
• Таблица линейных функций
• Примеры линейных функций из реальной жизни
• Решенные задачи на линейные функции

Что такое линейная функция?

Определение линейной функции: Линейная функция — это алгебраическая функция, которая образует прямую линию в координатной плоскости. Как правило, это полиномиальная функция с максимальной степенью 1 или 0. Линейные функции также выражаются в терминах исчисления и линейной алгебры. Основное отличие заключается в обозначении функции. Необходимо знать упорядоченную пару, записанную в функциональной записи. Например, функция записывается так:

f(2) = 3 и f(5) = 2

Упорядоченная пара будет (2, 3) (5, 2)

Линейная функция может быть записана как;

y = f(x) = mx + b

Это уравнение выглядит как форма пересечения наклона линии, которая задается как y = mx + b, потому что линейная функция представляет собой горизонтальную линию. т. е. его график представляет собой прямую.

Наоборот, нелинейная функция не является линейной, т. е. не образует на графике прямой линии. Показательная функция является примером нелинейной функции.

Уравнение линейных функций

Мы можем представить линейную функцию следующим выражением:

y = f(x) = mx + b (форма пересечения наклона)

В приведенном выше уравнении

‘ m» и «b» — действительные числа, где «m» — наклон линии, а «b» — точка пересечения линии по оси y.

«x» — независимая переменная

«y» или f(x) — зависимая переменная

Линейная функция также может быть представлена ​​в виде форма точки-наклона как

y−y ₁ =m(x−x ₁ )

Хотя в стандартной форме записывается как

Ax + By = C

Характеристики линейной функции

Вот некоторые важные характеристики линейных функций:

• Переменная — это символ, который показывает количество в выражении.
• Скорость, с которой линейная функция отклоняется от эталона, представлена ​​крутизной.
• Направление линейных функций может быть возрастающим, убывающим, горизонтальным или вертикальным.
• Убывающая линейная функция с отрицательным наклоном. Итак, если m<0, то f(x) = mx + b убывает.
• Возрастающая линейная функция — это функция с положительным наклоном. Итак, когда m>0, то f(x)=mx+b увеличивается.
• Y-пересечение — это значение функции, а ноль — входное значение. Оно известно как начальное значение.
• Когда m=0, линейная функция f(x) = mx + b представляет собой горизонтальную линию и называется постоянной функцией.

Скорость изменения линейной функции

Скорость изменения линейной функции также называется наклоном. Уравнение прямой линии в форме пересечения наклона. Он включает наклон и начальное значение функции. Y-отрезок или начальное значение является выходным значением, когда ноль является входом линейной функции.

Например, скорость — это скорость изменения расстояния во времени. Если мы знаем два момента времени и общее пройденное расстояние, мы можем определить скорость изменения, также известную как наклон. Используя информацию, мы можем составить линейное уравнение и делать прогнозы на основе линейного уравнения.

График линейной функции

Чтобы представить любое линейное уравнение на графике, выполните три простых шага:

• Сначала найдите две точки (x ₁ , x ₂ ) и (y 9028 8 1 , y ₂ ), которые удовлетворяют уравнению y = mx+b.
• Нанесите эти точки на график или по осям X-Y.
• Проведите прямую линию, чтобы соединить две точки на плоскости.

Кроме того, формула для наклона линейной функции : m= y ₂ -y ₁ /x ₂ -x ₁

Получив наклон, мы можем использовать одну из известных точек и формулу пересечения наклона, чтобы найти b.

Таблица линейной функции

Табличные данные, содержащие значения x и y, могут помочь проверить линейную функцию.

Чтобы определить, удовлетворяют ли заданные табличные данные линейной функции, мы вычислим разницу в значениях x. Далее мы определим различия в значениях y. Теперь каждый раз проверяйте отношение (разница в y)/(разница в x). Если отношение является константой, то данные представляют собой линейную зависимость.

Кроме того, в линейной функции скорость изменения y относительно переменной x остается постоянной. Как указывалось выше, эта скорость изменения представляет собой наклон линии при графическом представлении.

Рассмотрим следующую таблицу со значениями x и y: 0383 4 1 5 2 6 3 7 4 8

Из приведенной выше таблицы видно, что скорость изменения между x и y равна 4. Чтобы представить эти данные с помощью линейной функции, мы можем написать так как у = х+4.

Примеры линейных функций из реальной жизни

Существует множество реальных примеров линейных функций, включая задачи о расстоянии и скорости, расчеты размерностей, задачи ценообразования, смешивание процентов решений и многое другое. Приведенные ниже примеры линейных функций из реальных приложений помогают нам понять концепцию линейных функций.

• Игровой сервис взимает ежемесячную плату в размере 5,50 долларов США и дополнительную плату в размере 0,45 долларов США за каждую игру. Тогда общая ежемесячная плата может быть представлена ​​линейной функцией f(x) = 0,45x + 5,50, где x — количество игр, которые пользователь загружает в месяц.
• Пакет печенья стоит 20 долларов. Существует линейная зависимость между деньгами, которые вы тратите, и количеством упаковок печенья, которые вы покупаете. Итак, согласно стандартной форме, A=20x, где A — сумма потраченных денег, а x — количество купленных пакетов печенья.
• Пекарня зарабатывает 150 долларов в месяц, в то время как их единовременные начальные затраты составляли 200 долларов. Линейная функция, представляющая эту ситуацию, будет y=150x−200.

В этом уравнении переменная x представляет количество месяцев, в течение которых они получали прибыль. Переменная y представляет собой общий доход пекарни за месяц после первого месяца. Это уравнение линейной функции помогает пекарному комитету прогнозировать будущие доходы. Например, через 6 месяцев они могут рассчитывать на доход: 150(6)−200=700 долларов.

Решенные задачи на линейные функции

Пример 1: Перепишите следующую функцию в виде упорядоченных пар, чтобы успешно построить график. f(3) = -2 и f(-8) = -4 Ответ: Вышеуказанная функция может быть записана как (3, -2) и (-8, -4)

Пример 2: Найдите наклон графика для следующей функции. f(1) = -1 и f(-4) = -6 Ответ: Вышеупомянутая функция может быть записана в упорядоченной парной форме как (1, -1) и (-4, -6) Теперь, используя формулу наклона, мы можем оценить наклон. m = y 2 -y 1 /x 2 -x 1 (1, -1) и (-4, -6) соответствуют (x 1 , y 1 ) и (x 2 , y 2 ) Итак, m= -6-(-1)/-4-1 m= -5/-5 Итак, m = 1, т.е. наклон функции .

Пример 3: Найдите уравнение линейной функции (-1, 15) и (2, 27). No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт