Спустя пару лет после написания статьи появился сборник из 150 заданий для разложения квадратного многочлена по теореме Виета.
- Скачать сборник заданий по теореме Виета.
Ставьте лайки и задавайте вопросы в комментариях!
Как разложить на множители квадратный трехчлен
Главная » Математика
Математика
Автор Ольга Андрющенко На чтение 3 мин Просмотров 3.3к. Опубликовано
Что такое квадратный трехчлен и как разложить на множители квадратный трехчлен.
Содержание
- Квадратный трехчлен
- Разложение на множители квадратного трехчлена
- Краткая схема разложения на множители квадратного трехчлена
Квадратный трехчлен
Квадратным трехчленом называют выражение вида
Разложить на множители квадратный трехчлен — это значит, записать его в виде произведения.
Разложение на множители квадратного трехчлена
Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен используем следующее правило:
, где , где и — корни уравнения — корни уравнения .
Таким образом, нам нужно решить квадратное уравнение и затем найденные корни подставить сюда: и затем найденные корни подставить сюда:
Рассмотрим на примере: требуется разложить на множители квадратный трехчлен:
Решим уравнение: , находим дискриминант , находим дискриминант , тогда корни уравнения: и и , тогда по формуле разложения на множители получаем:
Давайте еще рассмотрим один пример: пусть требуется разложить на линейные множители квадратный трехчлен . Находим корни этого уравнения . Находим корни этого уравнения .
Находим дискриминант уравнения. Если вы забыли как найти дискриминант посмотрите здесь.
, отсюда корни уравнения , отсюда корни уравнения и . И разложение квадратного трехчлена на множители мы запишем так: . И разложение квадратного трехчлена на множители мы запишем так: .
Краткая схема разложения на множители квадратного трехчлена
- Приравнять квадратный трехчлен к нулю. Получим квадратное уравнение.
- Решим квадратное уравнение, найдем два корня.
- Подставим корни в формулу
Схема не сложная. Но иногда могут встречаться затруднения. Например — что если корень получился один, а не два. На самом деле в квадратном уравнении всегда два корня. Об этом нам «говорит» степень 2, над . Это означает, что если у вас дискриминант равен нулю, вы получаете не один корень, а два совпадающих друг с другом корня. И разложение на множители будет выглядеть так:
.
Например: квадратный трехчлен при равенстве нулю имеет два совпадающих корня при равенстве нулю имеет два совпадающих корня и раскладывать на множители мы будем его так
.
В дальнейшем, следует помнить — что в кубическом уравнении 3 корня, в биквадратном — 4. Сколько степеней в уравнении, столько и корней у него должно быть. Другое дело, что некоторые из них, и даже все, могут совпадать в значении.
Геометрический смысл такого совпадения в том, что график кривой, которая описывается уравнением, будет лишь касаться оси .
Итак, давайте выполним следующее задание: нужно разложить на множители квадратных трехчлен .
Найдем корни уравнения . Для этого сначала найдем дискриминант . Для этого сначала найдем дискриминант .
Тогда корни уравнения: . И . И .
Итак, получили и и . Подставляя в формулу разложения на множители квадратного трехчлена, получим:
.
Теперь вы знаете как разложить на множители квадратный трехчлен. Успехов в учебе!
Как разложить уравнение на множители
Все ресурсы по алгебре 1
10 Диагностические тесты 557 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
← Предыдущая 1 2 Следующая →
Алгебра 1 Помощь » Уравнения / Неравенства » Системы уравнений » Уравнения/наборы решений » Как разложить уравнение на множители
Что из следующего отображает полное решение с вещественными числами, установленное для в приведенном выше уравнении?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Переписав уравнение следующим образом, мы видим, что мы работаем с четырьмя терминами, поэтому методом факторизации является подходящий метод.
Между первыми двумя членами наибольший общий делитель (GCF) равен , а между третьим и четвертым членами GCF равен 4. Таким образом, мы получаем . Приравняв каждый фактор к нулю и найдя , мы получим из первого фактора и из второго фактора. Поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, мы проигнорируем второе решение и примем только .
Сообщить об ошибке
Фактор .
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Сначала вытащите 3u из обоих слагаемых.
3 U
4 — 24 UV 3 = 3 U ( U 3 — 8 V 3 ) = 3 U [ U 3 ) = 3 U [ U 3 ) = 3 U [ U 3 ) = 3 U [ U 3 ) = 3 9007 U – (2 против ) 3 ] Это разность кубов.
Вы увидите этот тип факторинга, если доберетесь до сложных вопросов на GRE. Их может быть больно вспоминать, но похлопайте себя по спине за то, что вы задали такие трудные вопросы! Разница в формуле кубиков составляет A 3 — B 3 = ( A — B ) ( A 2 + AB + B 2 ). В нашей задаче a = u и B = 2 V:
3 U 4 — 24 UV 3 = 3 U ( U 3 — 8 V 3 444444444444) = 4444444444444444) = 3 44) = 3 U [ U 3 — (2 V ) 3 ] = 3 U ( U — 2 V ) ( U 2 + 2 UVV) + 4 v 2 ) Сообщить об ошибке Фактор . Возможные ответы: Дальнейшее разложение невозможно. Правильный ответ: Объяснение: Это разность квадратов. Формула разности квадратов: a 2 – b 2 = ( a + b )( a – b ). В этой задаче A = 6 x и B = 7 Y : 36 x 2 — 49 Y 2 = (6 x + 7 Y ) (6 = x 
Отчет о ошибке
Решите уравнение:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Добавьте 8 к обеим частям, чтобы установить уравнение равным 0:
Чтобы разложить на множители, найдите два целых числа, которые умножаются на 24 и в сумме дают 10.
4 и 6 удовлетворяют обоим условиям. Таким образом, мы можем переписать квадратное число трех членов как квадратное число четырех членов, используя два целых числа, которые мы только что нашли, для разделения среднего коэффициента:
Затем разложите по группам:
Установите каждый коэффициент равным 0 и решить:
и
Сообщить об ошибке
Какое число является наибольшим общим делителем 90 и 315 разделить на наименьшее общее кратное 5 и 15?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Сначала найдите делители 90 и 315. Наибольший общий делитель – это наибольший делитель, общий для обоих чисел: 45.
Затем найдите наименьшее общее кратное чисел 5 и 15. Это будет наименьшее число, которое делится как на 5, так и на 15: 15.
Наконец, наибольший общий делитель (45), разделенный на наименьшее общее кратное (15) = 45/15 = 3,
Сообщить об ошибке
Разложите выражение на множители:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Данное выражение является специальным биномом, известным как «разность квадратов». Разность квадратов двучлена имеет заданную факторизацию: . Таким образом, мы можем переписать как и отсюда следует, что
Сообщить об ошибке
Фактор уравнения:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Произведение .
Для уравнения
должно быть равно и должно быть равно .
Таким образом и должно быть и , делая ответ .
Сообщить об ошибке
Решить для .
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Это квадратное уравнение. Мы можем найти либо с помощью факторизации, либо с помощью квадратичной формулы. Поскольку это уравнение факторизуемо, я представлю здесь метод факторизации.
Факторная форма нашего уравнения должна быть в формате .
Чтобы получить первое значение в исходном уравнении (), и .
Чтобы получить последний член в нашем исходном уравнении (), мы можем установить и .
Теперь, когда уравнение факторизовано, мы можем оценить . Мы устанавливаем каждый факторизованный член равным нулю и решаем.
Сообщить об ошибке
Упрощение:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
6 Пояснение:
Первый фактор числителя.
Нам нужны два числа с суммой 3 и произведением 2. Числа 1 и 2 удовлетворяют следующим условиям:
Теперь посмотрим, есть ли общие множители, которые сокращают:
числитель и знаменатель сокращаются, оставляя .
Сообщить об ошибке
Фактор следующего выражения:
Возможные ответы:
Объяснение:
Общая форма для факторизованного выражения порядка 2
, что, если FOILED, дает .
Сравнивая это обобщенное выражение с приведенным в задаче, мы видим, что термин должен быть равен , а термин должен быть равен 2.
Ресурсы
10 диагностических тестов 557 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
Факторинг Квадратные уравнения | Суперпроф
Слово «Факторинг» означает разбиение чего-то большого на маленькие части.
На математическом языке это означает разбить число или уравнение на его множители. Вы можете получить уравнение или число обратно, перемножив коэффициенты друг с другом. Возьмем, к примеру, число 24, число «24» имеет много множителей, например, если умножить 6 и 4, можно получить 24. Другие множители — это 8 и 3, 12 и 2, и не забывайте, что если умножишь 24 на 1, тоже получится 24. Вопрос в чем его полезность?
Практическое использование факторизации
Факторизация помогает нам находить неизвестные переменные. Представьте себе линейное уравнение, это линейное уравнение представляет собой скорость реакции химического вещества в единицу времени. Как инженеру узнать количество химического вещества, необходимого для протекания реакции? Чтобы найти это, инженеру необходимо разложить уравнение на множители и приравнять его числу, чтобы найти значение неизвестного. Более того, факторизация — это стандартный способ представить уравнение. Такое уравнение выглядит запутанным, однако факторизованное уравнение выглядит гораздо интереснее.
Лучшие репетиторы по математике
Поехали
Методы факторизации
Существует два метода факторизации: способ получить коэффициенты любого уравнения. Однако не все уравнения можно решить методом средних членов, поэтому можно полагаться на квадратную формулу. Вы можете найти коэффициенты любого уравнения с помощью квадратичной формулы, но использование квадратичной формулы сложнее по сравнению с методом разбиения среднего члена. Кроме того, есть большая вероятность того, что вы можете допустить типичные ошибки при использовании квадратичной формулы. Вот почему мы рекомендуем вам сначала использовать разбиение среднего члена, но если уравнение не может быть факторизовано методом разбиения среднего члена, вам следует сосредоточиться на квадратичной формуле.
*Пожалуйста, обратите внимание, что эти методы используются ТОЛЬКО для квадратных уравнений (уравнения, которые имеют степень x до 2).*
Повысьте скорость обучения и понимания с репетитором по математике на Superprof.
Метод разбивки среднего члена
Рассмотрим это уравнение:
Как говорится в методе, вам нужно разбить средний член на два фактора. В приведенном выше уравнении средний член равен , вы можете получить 3 со многими факторами, но есть некоторые условия при выборе правильных факторов, иначе этот метод не сработает. Давайте обратим вышеуказанный термин в эту форму. Итак, первый шаг — умножить a и c. В приведенном выше случае это будет . Теперь у вас есть число, которое нужно разбить на множители. Следующее, что вам нужно проверить, это знак . Если он положительный, то факторы будут добавлены, а если отрицательный, то факторы будут вычтены. В уравнении знак отрицательный, поэтому будем вычитать множители. Создадим факторы , здесь возможные факторы и , и и . Если мы вычтем из , мы получим , однако, если мы вычтем из , мы получим, что является значением в приведенном выше уравнении. В заключение выберем факторы и факторизуем наше уравнение.
Итак, мы взломали .
Всегда дважды проверяйте свое уравнение, если мы вычтем 1 из 4, мы получим 3, что приведет к уравнению вопроса. Это значит, что мы на правильном пути!
Умножая x на множители:
Вынося общее за пределы
Всегда есть что-то общее, то есть 1 в скобках. Видите, что переменная ? Это означает, что мы делаем это правильно, он должен быть таким же, иначе что-то не так.
Приведенные выше уравнения в скобках являются коэффициентами . Прекратите читать здесь и попробуйте перемножить два вышеуказанных фактора друг с другом и проверьте, что у вас получилось. Теперь вы видите, что там произошло?
Примеры:
1.
Разбить средний член:
Знак с = отрицательный
Возможные факторы=, , , ,
что означает, что мы выберем средний член =.
, взяв обыкновенный
2.
Переоценка уравнения:
Перерыв Средний термин:
. Знак на C = отрицательный. factor=, ,
Средний термин= означает, что мы выберем фактор.
квадратичная формула
Разделение всего уравнения на A:
Сделать левую сторону A Perfect Square:
. Уборка с обои.
Мы снова решим приведенные выше примеры, но на этот раз мы будем использовать квадратичную формулу. Помните, что вы можете использовать квадратную формулу для любого квадратного уравнения.
Найдите различные курсы по математике онлайн на Superprof.
Примеры:
1.
Сравнение обоих вышеупомянутых уравнений:
Заменить все значения A, B и C в Anthe Advate Advate:
17.