ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕАНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ § 1. Понятие о предмете аналитической геометрии § 2. Координаты § 3. Прямоугольная система координат § 4. Прямоугольные координаты § 5. Координатные углы § 6. Косоугольная система координат § 7. Уравнение линии § 8. Взаимное расположение линии и точки § 9.  § 10. Расстояние между двумя точками § 11. Деление отрезка в данном отношении § 11а. Деление отрезка пополам § 12. Определитель второго порядка § 13. Площадь треугольника § 14. Прямая линия; уравнение, разрешенное относительно ординаты (с угловым коэффициентом) § 15. Прямая, параллельная оси § 16. Общее уравнение прямой § 17. Построение прямой по ее уравнению § 18. Условие параллельности прямых § 19. Пересечение прямых § 20. Условие перпендикулярности двух прямых § 21. Угол между двумя прямыми § 22. Условие, при котором три точки лежат на одной прямой § 23. Уравнение прямой, проходящей через две точки § 24. Пучок прямых § 25. Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой § 26. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой § 27. Взаимное расположение прямой и пары точек § 28. Расстояние от точки до прямой § 29. Полярные параметры прямой § 30.  2+bx+c§ 51. Директрисы эллипса и гиперболы § 52. Общее определение эллипса, гиперболы и параболы § 53. Конические сечения § 54. Диаметры конического сечения § 55. Диаметры эллипса § 56. Диаметры гиперболы § 57. Диаметры параболы § 58. Линии второго порядка § 59. Запись общего уравнения второй степени § 60. Упрощение уравнения второй степени; общие замечания § 61. Предварительное преобразование уравнения второй степени § 62. Завершающее преобразование уравнения второй степени § 63. О приемах, облегчающих упрощение уравнения второй степени § 64. Признак распадения линий второго порядка § 65. Нахождение прямых, составляющих распадающуюся линию второго порядка § 66. Инварианты уравнения второй степени § 67. Три типа линий второго порядка § 68. Центральные и нецентральные линии второго порядка § 70. Упрощение уравнения центральной линии второго порядка § 71.  Равносторонняя гипербола как график уравнения y=k/x§ 72. Равносторонняя гипербола как график уравнения y=(mx+n)/(px+q) § 73. Полярные координаты § 74. Связь между полярными и прямоугольными координатами § 75. Архимедова спираль § 76. Полярное уравнение прямой § 77. Полярное уравнение конического сечения АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ § 78. Понятие о векторах и скалярах § 79. Вектор в геометрии § 80. Векторная алгебра § 81. Коллинеарные векторы § 82. Нуль-вектор § 83. Равенство векторов § 84. Приведение векторов к общему началу § 85. Противоположные векторы § 86. Сложение векторов § 87. Сумма нескольких векторов § 88. Вычитание векторов § 89. Умножение и деление вектора на число § 90. Взаимная связь коллинеарных векторов (деление вектора на вектор) § 91. Проекция точки на ось § 92. Проекция вектора на ось § 93. Основные теоремы о проекциях вектора § 94. Прямоугольная система координат в пространстве § 95.  Координаты точки§ 96. Координаты вектора § 97. Выражения вектора через компоненты и через координаты § 98. Действия над векторами, заданными своими координатами § 99. Выражение вектора через радиусы-векторы его начала и конца § 100. Длина вектора. Расстояние между двумя точками § 101. Угол между осью координат и вектором § 102. Признак коллинеарности (параллельности) векторов § 103. Деление отрезка в данном отношении § 104. Скалярное произведение двух векторов § 104а. Физический смысл скалярного произведения § 105. Свойства скалярного произведения § 107. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей § 108. Условие перпендикулярности векторов § 109. Угол между векторами § 110. Правая и левая системы трех векторов § 111. Векторное произведение двух векторов § 112. Свойства векторного произведения § 113. Векторные произведения основных векторов § 114.  Выражение векторного произведения через координаты сомножителей§ 115. Компланарные векторы § 116. Смешанное произведение § 117. Свойства смешанного произведения § 118. Определитель третьего порядка § 119. Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей § 120. Признак компланарности в координатной форме § 121. Объем параллелепипеда § 122. Двойное векторное произведение § 123. Уравнение плоскости § 124. Особые случаи положения плоскости относительно системы координат § 125. Условие параллельности плоскостей § 126. Условие перпендикулярности плоскостей § 127. Угол между двумя плоскостями § 128. Плоскость, проходящая через данную точку параллельно данной плоскости § 129. Плоскость, проходящая через три точки § 130. Отрезки на осях § 131. Уравнение плоскости в отрезках § 132. Плоскость, проходящая через две точки перпендикулярно данной плоскости § 133. Плоскость, проходящая через данную точку перпендикулярно двум плоскостям § 134.  Точка пересечения трех плоскостей§ 135. Взаимное расположение плоскости и пары точек § 136. Расстояние от точки до плоскости § 137. Полярные параметры плоскости § 138. Нормальное уравнение плоскости § 139. Приведение уравнения плоскости к нормальному виду § 140. Уравнения прямой в пространстве § 141. Условие, при котором два уравнения первой степени представляют прямую § 143. Направляющий вектор § 144. Углы между прямой и осями координат § 145. Угол между двумя прямыми § 146. Угол между прямой и плоскостью § 147. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости § 148. Пучок плоскостей § 149. Проекции прямой на координатные плоскости § 150. Симметричные уравнения прямой § 151. Приведение уравнений прямой к симметричному виду § 152. Параметрические уравнения прямой § 153. Пересечение плоскости с прямой, заданной параметрически § 154. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки § 155.  Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой§ 156. Уравнения прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной плоскости § 157. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и данную прямую § 158. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной двум данным прямым § 159. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и параллельной другой данной прямой § 160. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и перпендикулярной данной плоскости § 161. Уравнения перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую § 162. Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую § 163. Условие, при котором две прямые пересекаются или лежат в одной плоскости § 164. Уравнения общего перпендикуляра к двум данным прямым § 165. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми § 165а. Правые и левые пары прямых § 166. Преобразование координат § 167. Уравнение поверхности § 168.  Цилиндрические поверхности, у которых образующие параллельны одной из осей координат§ 170. Проекция линии на координатную плоскость § 171. Алгебраические поверхности и их порядок § 172. Сфера § 173. Эллипсоид § 174. Однополостный гиперболоид § 175. Двуполостный гиперболоид § 176. Конус второго порядка § 177. Эллиптический параболоид § 178. Гиперболический параболоид § 179. Перечень поверхностей второго порядка § 180. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка § 181. Поверхности вращения § 182. Определители второго и третьего порядков § 183. Определители высших порядков § 184. Свойства определителей § 185. Практический прием вычисления определителей § 186. Применение определителей к исследованию и решению системы уравнений § 187. Два уравнения с двумя неизвестными § 188. Два уравнения с двумя неизвестными § 189. Однородная система двух уравнений с тремя неизвестными § 190.  Два уравнения с двумя неизвестными§ 190а. Система n уравнений с n неизвестными ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА § 192. Рациональные числа § 193. Действительные (вещественные) числа § 194. Числовая ось § 195. Переменные и постоянные величины § 196. Функция § 197. Способы задания функции § 198. Область определения функции § 199. Промежуток § 200. Классификация функций § 201. Основные элементарные функции § 202. Обозначение функции § 203. Предел последовательности § 204. Предел функции § 205. Определение предела функции § 206. Предел постоянной величины § 207. Бесконечно малая величина § 208. Бесконечно большая величина § 209. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами § 210. Ограниченные величины § 211. Расширение понятия предепа § 212. Основные свойства бесконечно малых величин § 213. Основные теоремы о пределах § 215. Предел sinx/x при x стремящемся к 0 § 216.  Эквивалентные бесконечно малые величины§ 217. Сравнение бесконечно малых величин § 217а. Приращение переменной величины § 218. Непрерывность функции в точке § 219. Свойства функций, непрерывных в точке § 219а. Односторонний предел; скачок функции § 220. Непрерывность функции на замкнутом промежутке § 221. Свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 223. Скорость § 224. Определение производной функции § 225. Касательная § 226. Производные некоторых простейших функций § 227. Свойства производной § 228. Дифференциал § 229. Механический смысл дифференциала § 230. Геометрический смысл дифференциала § 231. Дифференцируемые функции § 232. Дифференциалы некоторых простейших функций § 233. Свойства дифференциала § 234. Инвариантность выражения f'(x)dx § 235. Выражение производной через дифференциалы § 236. Функция от функции (сложная функция) § 237. Дифференциал сложной функции § 238.  Производная сложной функции§ 239. Дифференцирование произведения § 240. Дифференцирование частного (дроби) § 241. Обратная функция § 242. Натуральные логарифмы § 243. Дифференцирование логарифмической функции § 244. Логарифмическое дифференцирование § 245. Дифференцирование показательной функции § 246. Дифференцирование тригонометрических функций § 247. Дифференцирование обратных тригонометрических функций § 247а. Некоторые поучительные примеры § 248. Дифференциал в приближенных вычислениях § 249. Применение дифференциала к оценке погрешности формул § 250. Дифференцирование неявных функций § 251. Параметрическое задание линии § 252. Параметрическое задание функции § 253. Циклоида § 254. Уравнение касательной к плоской линии § 254а. Касательные к кривым второго порядка § 255. Уравнение нормали § 256. Производные высших порядков § 257. Механический смысл второй производной § 258. Дифференциалы высших порядков § 259.  Выражение высших производных через дифференциалы§ 260. Высшие производные функций, заданных параметрически § 261. Высшие производные неявных функций § 262. Правило Лейбница § 263. Теорема Ролля § 264. Теорема Лагранжа о среднем значении § 265. Формула конечных приращений § 266. Обобщенная теорема о среднем значении (Коши) § 267. Раскрытие неопределенности вида 0/0 § 268. Раскрытие неопределенности вида бесконесность на бесконечность § 269. Неопределенные выражения других видов § 270. Исторические сведения о формуле Тейлора § 271. Формула Тейлора § 272. Применение формулы Тейлора к вычислению значений функции § 273. Возрастание и убывание функции § 274. Признаки возрастания и убывания функции в точке § 274а. Признаки возрастания и убывания функции в промежутке § 275. Максимум и минимум § 276. Необходимое условие максимума и минимума § 277. Первое достаточное условие максимума и минимума § 278. Правило нахождения максимумов и минимумов § 279.  Второе достаточное условие максимума и минимума§ 280. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции § 281. Выпуклость плоских кривых; точка перегиба § 282. Сторона вогнутости § 283. Правило для нахождения точек перегиба § 284. Асимптоты § 285. Нахождение асимптот, параллельных координатным осям § 286. Нахождение асимптот, не параллельных оси ординат § 287. Приемы построения графиков § 288. Решение уравнений. Общие замечания § 289. Решение уравнений. Способ хорд § 290. Решение уравнений. Способ касательных § 291. Комбинированный метод хорд и касательных ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 293. Первообразная функция § 294. Неопределенный интеграл § 295. Геометрический смысл интегрирования § 296. Вычисление постоянной интегрирования по начальным данным § 297. Свойства неопределенного интеграла § 298. Таблица интегралов § 299. Непосредственное интегрирование § 300. Способ подстановки (интегрирование через вспомогательную переменную) § 301.  Интегрирование по частям§ 302. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений § 303. Тригонометрические подстановки § 304. Рациональные функции § 304а. Исключение целой части § 305. О приемах интегрирования рациональных дробей § 306. Интегрирование простейших рациональных дробей § 307. Интегрирование рациональных функций (общий метод) § 308. О разложении многочлена на множители § 309. Об интегрируемости в элементарных функциях § 310. Некоторые интегралы, зависящие от радикалов § 311. Интеграл от биномиального дифференциала § 312. Интегралы вида … § 313. Интегралы вида S R(sinx, cosx)dx § 314. Определенный интеграл § 315. Свойства определенного интеграла § 316. Геометрический смысл определенного интеграла § 317. Механический смысл определенного интеграла § 318. Оценка определенного интеграла § 318а. Неравенство Буняковского § 319. Теорема о среднем интегрального исчисления § 320. Определенный интеграл как функция верхнего предела § 321.  Дифференциал интеграла§ 322. Интеграл дифференциала. Формула Ньютона — Лейбница § 323. Вычисление определенного интеграла с помощью неопределенного § 324. Определенное интегрирование по частям § 325. Способ подстановки в определенном интеграле § 326. О несобственных интегралах § 327. Интегралы с бесконечными пределами § 328. Интеграл функции, имеющей разрыв § 329. О приближенном вычислении интеграла § 330. Формулы прямоугольников § 331. Формула трапеций § 332. Формула Симпсона (параболических трапеций) § 333. Площади фигур, отнесенных к прямоугольным координатам § 334. Схема применения определенного интеграла § 335. Площади фигур, отнесенных к полярным координатам § 336. Объем тела по поперечным сечениям § 337. Объем тела вращения § 338. Длина дуги плоской линии § 339. Дифференциал дуги § 340. Длина дуги и ее дифференциал в полярных координатах § 341. Площадь поверхности вращения ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПЛОСКИХ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЛИНИЯХ § 342.  Кривизна§ 343. Центр, радиус и круг кривизны плоской линии § 344. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны плоской линии § 345. Эволюта плоской линии § 346. Свойства эволюты плоской линии § 347. Развертка (эвольвента) плоской линии § 348. Параметрическое задание пространственной линии § 349. Винтовая линия § 350. Длина дуги пространственной линии § 351. Касательная к пространственной линии § 352. Нормальная плоскость § 353. Вектор-функция скалярного аргумента § 354. Предел вектор-функции § 355. Производная вектор-функции § 356. Дифференциал вектор-функции § 357. Свойства производной и дифференциала вектор-функции § 358. Соприкасающаяся плоскость § 359. Главная нормаль. Сопутствующий трехгранник § 360. Взаимное расположение линии и плоскости § 361. Основные векторы сопутствующего трехгранника § 362. Центр, ось и радиус кривизны пространственной линии § 363. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны пространственной линии § 364.  О знаке кривизны§ 365. Кручение РЯДЫ § 367. Определение ряда § 368. Сходящиеся и расходящиеся ряды § 369. Необходимое условие сходимости ряда § 370. Остаток ряда § 371. Простейшие действия над рядами § 372. Положительные ряды § 373. Сравнение положительных рядов § 374. Признак Даламбера для положительного ряда § 375. Интегральный признак сходимости § 376. Знакопеременный ряд. Признак Лейбница § 377. Абсолютная и условная сходимость § 378. Признак Даламбера для произвольного ряда § 379. Перестановка членов ряда § 380. Группировка членов ряда § 381. Умножение рядов § 382. Деление рядов § 383. Функциональный ряд § 384. Область сходимости функционального ряда § 385. О равномерной и неравномерной сходимости § 386. Определение равномерной и неравномерной сходимости § 387. Геометрический смысл равномерной и неравномерной сходимости § 388. Признак равномерной сходимости; правильные ряды § 389. Непрерывность суммы ряда § 390.  Интегрирование рядов§ 391. Дифференцирование рядов § 392. Степенной ряд § 393. Промежуток и радиус сходимости степенного ряда § 394. Нахождение радиуса сходимости § 395. Область сходимости ряда, расположенного по степеням х – х0 § 396. Теорема Абеля § 397. Действия со степенными рядами § 398. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда § 399. Ряд Тейлора § 400. Разложение функции в степенной ряд § 401. Разложение элементарных функций в степенные ряды § 402. Применение рядов к вычислению интегралов § 403. Гиперболические функции § 404. Обратные гиперболические функции § 405. Происхождение наименований гиперболических функций § 406. О комплексных числах § 407. Комплексная функция действительного аргумента § 408. Производная комплексной функции § 409. Возведение положительного числа в комплексную степень § 410. Формула Эйлера § 411. Тригонометрический ряд § 412. Исторические сведения о тригонометрических рядах § 413.  Ортогональность системы функций cos nx, sin nx§ 414. Формулы Эйлера-Фурье § 415. Ряд Фурье § 416. Ряд Фурье для непрерывной функции § 417. Ряд Фурье для четной и нечетной функции § 418. Ряд Фурье для разрывной функции ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ § 420. Функция трех и большего числа аргументов § 421. Способы задания функций нескольких аргументов § 422. Предел функции нескольких аргументов § 424. Непрерывность функции нескольких аргументов § 425. Частные производные § 426. Геометрический смысл частных производных для случая двух аргументов § 427. Полное и частное приращения § 428. Частный дифференциал § 429. О выражении частной производной через дифференциал § 430. Полный дифференциал § 431. Геометрический смысл полного дифференциала (случай двух аргументов) § 432. Инвариантность выражения … полного дифференциала § 433. Техника дифференцирования § 434. Дифференцируемые функции § 435.  Касательная плоскость и нормаль к поверхности§ 436. Уравнение касательной плоскости § 437. Уравнения нормали § 438. Дифференцирование сложной функции § 439. Замена прямоугольных координат полярными § 440. Формулы для производных сложной функции § 441. Полная производная § 442. Дифференцирование неявной функции нескольких переменных § 443. Частные производные высших порядков § 444. Полные дифференциалы высших порядков § 445. Техника повторного дифференцирования § 446. Условное обозначение дифференциалов § 447. Формула Тейлора для функции нескольких аргументов § 448. Экстремум (максимум и минимум) функции нескольких аргументов § 449. Правило нахождения экстремума § 450. Достаточные условия экстремума (случай двух аргументов) § 451. Двойной интеграл § 452. Геометрический смысл двойного интеграла § 453. Свойства двойного интеграла § 454. Оценка двойного интеграла § 455. Вычисление двойного интеграла (простейший случай) § 456.  Вычисление двойного интеграла (общий случай)§ 457. Функция точки § 458. Выражение двойного интеграла через полярные координаты § 459. Площадь куска поверхности § 460. Тройной интеграл § 461. Вычисление тройного интеграла (простейший случай) § 462. Вычисление тройного интеграла (общий случай) § 463. Цилиндрические координаты § 464. Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты § 465. Сферические координаты § 466. Выражение тройного интеграла через сферические координаты § 467. Схема применения двойного и тройного интегралов § 468. Момент инерции § 471. Криволинейный интеграл § 472. Механический смысл криволинейного интеграла § 473. Вычисление криволинейного интеграла § 474. Формула Грина § 475. Условие, при котором криволинейный интеграл не зависит от пути § 476. Другая форма условия предыдущего параграфа ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 478. Уравнение первого порядка § 479. Геометрический смысл уравнения первого порядка § 480.  Изоклины§ 481. Частное и общее решения уравнения первого порядка § 482. Уравнения с разделенными переменными § 483. Разделение переменных. Особое решение § 484. Уравнение в полных дифференциалах § 484а. Интегрирующий множитель § 485. Однородное уравнение § 486. Линейное уравнение первого порядка § 487. Уравнение Клеро § 488. Огибающая § 489. Об интегрируемости дифференциальных уравнений § 490. Приближенное интегрирование уравнений первого порядка по методу Эйлера § 491. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов § 492. О составлении дифференциальных уравнений § 493. Уравнение второго порядка § 494. Уравнение n-го порядка § 495. Случаи понижения порядка § 496. Линейное уравнение второго порядка § 497. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами § 498. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами без правой части § 498а. Связь между случаями 1 и 3 § 498 § 499.  Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью§ 500. Линейные уравнения любого порядка § 501. Метод вариации постоянных § 502. Системы дифференциальных уравнений. Линейные системы НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ § 503. Строфоида § 504. Циссоида Диокла § 505. Декартов лист § 506. Верзьера Аньези § 507. Конхоида Никомеда § 508. Улитка Паскаля; кардиоида § 509. Линия Кассини § 510. Лемниската Бернулли § 511. Архимедова спираль § 512. Эвольвента (развертка) круга § 513. Логарифмическая спираль § 514. Циклоиды § 515. Эпициклоиды и гипоциклоиды § 516. Трактриса § 517. Цепная линия |
§ 1. Линейные уравнения и неравенства с двумя неизвестными
Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО
«Брянская государственная инженерно-технологическая академия»
Кафедра математики
Методические указания по выполнению расчетно-графической работы
«Линейная алгебра и аналитическая
геометрия» для подготовки бакалавров
по всем направлениям.
Утверждены
научно-методическим
советом академии
Протокол № __________
От _____ _________ 2011г.
Брянск 2011
Уравнением с двумя неизвестными называется выражение вида:
(1.1).
Если из уравнения (1.1) можно выразить переменную , то получим уравнение вида
(1.2).
Если уравнение (1.2) имеет вид или
(1.3),
то уравнение называют линейным, а графиком этой зависимости является прямая линия.
Из элементарной геометрии известно,
что через две точки проходит единственная
прямая.
Это значит, что для построения
прямой достаточно знать координаты
двух точек, принадлежащих данной прямой.
Пример 1.Построить прямую по ее уравнению.
Решение.
Введем систему координати определим координаты двух точек, принадлежащих этой прямой: при; при. Нанесем эти точки на координатную плоскость и проведем через них прямую Рис.1.
Рис. 1.
Линейным неравенством с двумя неизвестными называют неравенство вида
, гдеи- действительные числа.
Точки плоскости , удовлетворяющие уравнению(1.4) расположены на прямой, делящей всю координатную плоскость на две полуплоскостии. В одной из этих полуплоскостей выполняется неравенство, в другой -.
Пример 2.Решить неравенствои изобразить область решения на плоскости.
Решение. Построим прямую
Рис. 2.
Определим координаты двух точек, принадлежащих прямой: при ; при. Нанесем точки на координатную плоскость и построим прямую, проходящую через эти точки. Для определения области решения неравенства, возьмем произвольную точку плоскости, не лежащую на прямой, напримери подставим ее координаты в заданное неравенство:, т.е. неравенство не выполняется, следовательно, областью решения заданного неравенства служит полуплоскость, не содержащая точку. Рис.2.
Системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными называют совокупность двух уравнений вида:
(2.1).
Решением системы (2.1) называют пару чисел, удовлетворяющих каждому уравнению системы т.е.:
.
Каждое уравнение системы определяет
прямую на плоскости, следовательно,
решение системы есть точка пересечения
этих прямых.
Найдем координаты этой
точки. Выразим из первого уравнения
системы неизвестное
и подставим его во второе уравнение:;;.
.
Подставим значение в выражение, получим:.
Введем обозначение: . Величинубудем называть определителем второго порядка системы (2.1). Тогда,будем называть вспомогательными определителями системы. Запишем определители в виде таблиц, состоящих из двух строк и двух столбцов:
.
Как видно, определитель системы составлен из коэффициентов при неизвестных первого и второго уравнений. Определители иполучены из определителя, путем замены первого и второго столбцов, соответственно, столбцом свободных членов системы, что и оправдывает обозначенияи.
Очевидно, что решение системы (2.1) можно записать в виде: .
Пример 3.Решить систему:
.
Решение. Вычислим определитель :
.
Определитель .
Определитель . Тогда:.
Ответ:
.
Система линейных неравенств с двумя неизвестными имеет вид:
(2.2)
где — коэффициенты системы;- свободные члены или правые части неравенств, — действительные числа. Так как решением каждого неравенства системы является полуплоскость, то решением системы служит многоугольник, координаты точек которого удовлетворяют каждому неравенству системы. Можно показать, что этот многоугольник выпуклый.
Пример 4.Решить систему неравенств. Многоугольник решений изобразить на чертеже.
Решение. Найдем решение каждого неравенства системы. Заменим в каждом неравенстве знак неравенства на знак равно.
П
о полученным уравнениям, построим прямые. Рис.3
Рис.
3.
Решением служит многоугольник .
Предварительное исчисление по алгебре — Решение линейной системы из двух уравнений и двух неизвестных
спросил
Изменено 9 лет, 8 месяцев назад
Просмотрено 870 раз
$\begingroup$
Я немного пересматриваю и пытаюсь решить одновременные уравнения сегодня. Мне нужно решить эти две пары уравнений и найти $x$ и $y$. Что бы я сделал?
Снять условия, например, например. $x$ из обоих уравнений, а затем $y$ и техн $5$ — $1$? Я не уверен.
$$\begin{cases}x + y = 5 \\x — y = 1\end{cases}$$
Спасибо всем за помощь.
- алгебра-предварительное исчисление
$\endgroup$
5
$\begingroup$
Вот почему мы можем «сложить уравнения»:
Предположим, мы знаем, что $$\begin{cases} a = b \\ c = d \end{cases}$$
Тогда мы имеем, что $$\ подразумевает a + c = b + d$$
Если вы добавите то же количество к обеим частям уравнения, в результате получится уравнение , но верное.
Поскольку мы знаем, что $c = d$, мы можем добавить по единице к каждой части уравнения $a = b$, получив, скажем, $a + c = b + d$.
В ваших уравнениях, поскольку второе уравнение говорит, что $x−y$ и $1$ являются одной и той же величиной, мы можем добавить по единице к каждой части уравнения $x+y=5,$ и получить решение(я) для $x$ и $y$ будет без изменений .
Вот почему мы можем захотеть, чтобы сложил уравнения, которые вам даны: мы можем исключить переменную, а затем решить для одного неизвестного, сначала: $\begin{выравнивание} х + у & = 5 \\ +\; х — у & = 1 \\ \хлайн\\ 2x + 0 & = 6 \end{align}$
Решите для $x$, используя тот факт, что $2x = 6$, а затем вернитесь к или уравнению, чтобы решить $y$, используя ваше решение для $x$.
используя первое уравнение: $x + y = 5 \iff y = 5 — x.\;$ Зная $x$, вы можете легко найти $y$.
$\endgroup$
1
$\begingroup$
$\begin{cases}x + y = 5 \\x — y = 1\end{cases}$
Это очень простая система уравнений.
переменной). И я хочу показать вам другой метод, который также полезен, известный как метод подстановки.
ШАГ $1$. выберите любое уравнение и внесите некоторые изменения, чтобы любая из двух переменных находилась по обе стороны от знака =. Предположим, я выбираю уравнение 1. $$x + y = 5$$Теперь я пытаюсь выделить $x$ с одной стороны: $$x=5-y$$
ШАГ 2: теперь поместите это значение $x$ в другое уравнение (уравнение 2)
$$x-y=1$$ положить значение $x$ $$(5-y)-y=1$$ $$5-у-у=1$$ Теперь в этом уравнении у нас есть только одна переменная, поэтому мы можем легко узнать ее значение, как в одном из ваших предыдущих вопросов, на которые я ответил. $$5-2г=1$$ $$-2г=1-5$$ $$-2г=-4$$ $$y=\dfrac{-4}{-2}$$ $$y=2$$
ШАГ 3. Теперь у нас есть значение одной переменной $y$. Подставляем это значение в любое уравнение. Я беру уравнение(1)
$$x+y=5$$ $$х+2=5$$ $$х=5-2$$ $$x=3$$
поэтому ответ $x=3\;,y=2$
Также будет полезно: предположим, что система уравнений: $\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1\\a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$
тогда:
$$\dfrac{x}{b_1c_2-b_2c_1}=\ dfrac{y}{a_2c_1-a_1c_2}=\dfrac{-1}{a_1b_2-a_2b_1}$$
Теперь просто подставьте значения $a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2$ и решите так:
$$\dfrac{x}{b_1c_2-b_2c_1}=\dfrac{-1}{a_1b_2-a_2b_1}\;\;,\dfrac{y}{a_2c_1-a_1c_2}=\dfrac{-1}{a_1b_2- a_2b_1}$$
В кес.
$a_1=1,b_1=1,c_1=5,a_2=1,b_2=-1,c_2=1$
$$\dfrac{x}{b_1c_2-b_2c_1}=\dfrac{-1}{a_1b_2-a_2b_1}\;\;$$
$$\dfrac{x}{6}=\dfrac{-1}{-2}\;\;$$
$$x=\dfrac{6}{2}\;\;$$
$$х=3\;\;$$
тот же процесс для $y$
$\endgroup$
$\begingroup$
Использование исключения сложением:
$$ x + y = 5 \\ x — y = 1$$
Благодаря простоте этой системы нам не нужно ничего делать, чтобы исключить переменную поскольку нам уже даны положительный $y$ и отрицательный $y$.
Добавьте уравнение, $x+x=2x$, отмена $y$ и $5+1=6$:
$$ x + y = 5 \\ x — y = 1\\2x=6$$
$$\\\boxed{x=3}$$ Найдите $y$, подставив обратно $x$ в одно из исходных уравнений:
$$x+y=5\\3+y=5\\y=5-3$$
$$\boxed{ y=2}$$
Используя замену:
$$ x + y = 5 \\ x — y = 1$$
Найдите $y$ в одном из уравнений:
$$x +y=5\\y=-x+5$$
Подставить $y=-x+5$ обратно в $x-y=1$ :
$$x-(-x+5)=1\\x +x-5=1\\2x=6$$
$$\boxed{x=3}$$
Подставьте $x$ обратно в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$:
$$x+y=5\\3+y=5\\y=5-3$$
$$\в штучной упаковке {г=2}$$
$\endgroup$
Решение двух уравнений для двух неизвестных и задачи статики с помощью SymPy и Python
- Симпи
- Решение двух уравнений для двух неизвестных и статической задачи с помощью SymPy и Python
SymPy (http://www.
sympy.org) — это библиотека Python для символьной математики .
В символьной математике символы представляют собой математические выражения. В числовом вычислении значение pi сохраняется как оценка pi , числа с плавающей запятой, близкого к 9.0165 3.14… . В символьном математическом выражении значение pi является точным значением.
SymPy можно использовать для решения двух уравнений с двумя неизвестными. Рассмотрим приведенный ниже набор из двух уравнений, содержащих две переменные:
$$ х + у — 5 = 0 $$$$ х — у + 3 = 0 $$
Чтобы решить эту систему двух уравнений для двух неизвестных $x$ и $y$, сначала необходимо импортировать пакет SymPy . Из пакета SymPy мы будем использовать функции символов() , Eq() и решить() .
В [1]:
импортировать numpy как np из символов импорта sympy, уравнение, решить
Затем мы создаем два объекта символов SymPy , $x$ и $y$.
Обратите внимание, что строка, переданная в качестве аргумента функции символов() , 'x y' , не имеет запятых. Выходными данными функции символов() являются два объекта символов x и y . Эти выходные данные должны быть разделены запятой и не заключены в кавычки.
Будьте осторожны с синтаксисом при создании объектов символов SymPy .
В [2]:
x, y = символы ('x y')
Теперь мы определяем два уравнения как объекты уравнений SymPy , используя класс уравнений SymPy Eq . Уравнения в SymPy предполагаются равными нулю. Оба наших уравнения равны нулю, поэтому перед передачей уравнений в Eq() никаких изменений не требуется. Если бы уравнения не были равны нулю, мы бы просто вычли член справа от знака равенства из обеих частей уравнения. Операция вычитания приведет к уравнению, равному нулю.
В [3]:
eq1 = Eq(x + y - 5) eq2 = Eq(x - y + 3)
После определения символов и уравнений мы можем использовать функцию SymPy solve() для вычисления значений $x$ и $y$. Первый аргумент, передаваемый функции solve() , представляет собой кортеж из двух уравнений (eq1, eq2) . Второй аргумент, передаваемый функции solve() , — это кортеж переменных, которые мы хотим найти для (x, y) .
В [4]:
решить((eq1,eq2), (x, y))
Out[4]:
{x: 1, y: 4} Решение хранится в словаре Python. Ключи словаря — это объекты-символы (переменные), а значения словаря — это численное решение. Мы можем получить доступ к решениям в словаре, используя обычный синтаксис доступа к словарю Python: dict[key] .
В [5]:
sol_dict = решить((eq1,eq2), (x, y))
печать (f'x = {sol_dict [x]}')
печать (f'y = {sol_dict [y]}')
х = 1 у = 4
SymPy можно использовать для решения инженерных задач.
Рассмотрим следующую задачу инженерной статики:
ДАННО:¶
На кольце подвешен груз массой 22 фунта. Кольцо поддерживается двумя шнурами, шнур АС находится на 45 градусов выше горизонтали слева, а шнур ВС на 30 градусов выше горизонтали справа.
$m$ = 22 фунта
$T_{AC}$ @ +45 градусов по часовой стрелке относительно оси -x
$T_{BC}$ @ +30 градусов против часовой стрелки относительно оси +x
НАЙТИ:¶
Величина натяжения шнуров AC и BC. ($T_{AC}$ и $T_{BC}$)
РЕШЕНИЕ:¶
После построения диаграммы свободных тел кольца C мы видим три силы, действующие на кольцо C:
- Одна сила от шнура AC, который мы называем $T_{AC}$.
- Вторая сила исходит от шнура BC, который мы называем $T_{BC}$.
- Третья и последняя сила, действующая на кольцо C, — это сила шнура CD, возникающая из-за того, что коробка висит прямо вниз, и равная 22 фунтам, которую мы называем $m$.
Чтобы найти величины $T_{AC}$ и $T_{BC}$, нам нужно решить два уравнения для двух неизвестных.
Чтобы выполнить это с SymPy , сначала нам нужно импортировать sympy и функции символов , Eq и решить .
В [6]:
из символов импорта sympy, уравнение, решить
Далее мы определим символические математические переменные (которые будут использоваться в уравнениях) как SymPy символов объектов. Одновременно можно определить несколько символьных математических переменных. Обратите внимание, что имена аргументов (в правой части оператора присваивания = ) должны быть заключены в кавычки ' ' и разделены пробелами, без запятых. Имена объектов (в левой части оператора присваивания = ) разделяются запятыми, без кавычек.
В [7]:
Tac, Tbc = символы ("Tac Tbc")
Далее необходимо определить два уравнения, основанные на сумме сил в направлениях x и y. Предполагая, что кольцо C находится в статическом равновесии:
$$ \Sigma \vec{F} = 0 $$$$ \Sigma F_{x} = 0 $$$$ \Sigma F_{y} = 0 $$
Три силы, действующие на кольцо, определяются как:
$$ {T_{ac}} = натяжение \ в \ кабеле \ AC \ $$$$ \vec{T_{ac}} = — T_{ac} cos(45)\hat{i} + T_{ac} sin (45)\hat{j} $$$$ {T_{bc}} = натяжение \ в \ кабеле \ BC $$$$ \vec{T_{bc}} = T_{bc} cos(30)\hat{ i} + T_{bc} sin(30)\hat{j} $$$$ \vec{m} = 0 \hat{i} — 22 \hat{j} $$
Взяв $\Sigma F_{x } = 0$ (сумма членов $\hat{i}$) дает:
$$ — T_{ac} cos(45) + T_{bc} cos(30) = 0 $$
Принимая $\Sigma F_{y} = 0$ (сумма членов $\hat{j}$) производит:
$$ T_{ac} sin(45) + T_{bc} sin(30) — 22 = 0 $$
Наше первое уравнение, основанное на сумме сил в направлении x (члены $\hat{i}$):
$$ — T_{ac} cos(45) + T_{bc} cos(30) = 0 $$
Это уравнение может быть представлено как объект уравнения Sympy .
Обратите внимание, что правая часть уравнения равна 9.0165 0 . Объекты уравнений Sympy создаются с выражениями, равными нулю. Если бы выражение в левой части уравнения не было равно нулю, мы бы просто вычли обе части уравнения на член в правой части знака равенства, а затем использовали полученное выражение (равное нулю ) для создания объекта уравнения Sympy .
В [8]:
eq1=Eq(-Tac*np.cos(np.radians(45)) + Tbc*np.cos(np.radians(30))) печать (уравнение 1)
Уравнение (-0,707106781186548*Tac + 0,866025403784439*Tbc, 0)
Второе уравнение основано на сумме сил в направлении Y:
$$ T_{ac} sin(45) + T_{bc} sin(30) — 22 = 0 $$
Мы также определим это второе уравнение как объект уравнения SymPy :
В [9] :
eq2=Eq(Tac*np.sin(np.radians(45)) + Tbc*np.sin(np.radians(30))-22) печать (уравнение 2)
Уравнение (0,707106781186548*Tac + 0,5*Tbc - 22, 0)
Наконец, чтобы решить два уравнения для двух неизвестных, $T_{ac}$ и $T_{bc}$, мы используем метод SymPy solve() .
Первый аргумент, переданный в solve() , представляет собой кортеж уравнений, которые мы хотим решить (eq1, eq2) , второй аргумент, переданный в solve() , представляет собой кортеж переменных, которые мы хотим решить для (Tac, Tbc) .
В [10]:
решить((eq1, eq2),(Tac, Tbc))
Выход[10]:
{Tac: 19.7246603876972, Tbc: 16.1051177665153} Решение сохраняется в словаре Python. Ключи словаря — это имена переменных, а значения словаря — числовое решение. Обратите внимание: когда мы обращаемся к словарю решений, нам нужно использовать имена объектов символов SymPy Tac и Tbc в качестве ключей словаря (по сравнению с использованием строк 'Tac' и 'Tbc' в качестве ключей словаря). ключи словаря).
В [11]:
sol_dict = решить((eq1,eq2), (Tac, Tbc))
print(f'Tac = {раунд(sol_dict[Tac],1)} фунт')
print(f'Tbc = {раунд(sol_dict[Tbc],1)} фунт')
Такт = 19,7 фунта Тбк = 16,1 фунта
SymPy — это пакет Python для символьной математики.