Уравнение с двумя переменными как решить: Линейное уравнение с двумя переменными и его график — урок. Алгебра, 7 класс.

alexxlab / / Разное

Уравнения с двумя переменными / Системы линейных уравнений с двумя переменными / Алгебра / Справочник по математике 5-9 класс

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по математике 5-9 класс
  4. Алгебра
  5. Системы линейных уравнений с двумя переменными
  6. Уравнения с двумя переменными

Равенства, содержащие две переменные, называют уравнениями с двумя переменными. Если при изучении уравнений с одной переменной говорят о их корнях, то, имея уравнение с двумя переменными, говорят о парах чисел — его решениях.

Пару значений переменных, обращающую уравнение в верное равенство, называют решением уравнения с двумя переменными.

Факт того, что пара чисел , является решением уравнения, условились записывать так: является решением уравнения. При такой записи на первом месте обязательно ставят значение той переменной, которая по алфавиту идет первой, в нашем случае это значение переменной .

При этом уравнение с двумя переменными может иметь как бесконечно много решений, так и не иметь не одного.

Решить уравнение с двумя переменными — это значит найти все его решения или показать, что оно не имеет решений.
Свойства уравнений с двумя переменными:
  • Если к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих их частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, имеющее те же решения, что и данное.
  • Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, имеющее те же решения, что и данное.
  • Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, имеющее те же решения, что и данное.

Как говорилось выше решением уравнения с двумя переменными является пара чисел, например , то мы можем изобразить это решение в виде точки

М на координатной плоскости. Если мы изобразим все решения уравнения, то получим график уравнения.

Графиком уравнения с двумя переменными называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех, и только тех точек координатной плоскости, координаты которых (пары чисел) являются решениями данного уравнения.

Если какая-то фигура является графиком уравнения, то выполняются два условия:

  1. все решения уравнения являются координатами точек, принадлежащих графику;
  2. координаты любой точки, принадлежащей графику, — это пара чисел, которая является решением данного уравнения.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Линейное уравнение с двумя переменными и его график

Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Решение систем линейных уравнений методом подстановки

Решение систем линейных уравнений методом сложения

Решение задач с помощью систем линейных уравнений

Введение в алгебру

Линейное уравнение с одной переменной

Решение задач с помощью уравнений

Тождественно равные выражения. Тождества

Степень с натуральным показателем

Свойства степени с натуральным показателем

Одночлены

Многочлены

Сложение и вычитание многочленов

Умножение одночлена на многочлен

Умножение многочлена на многочлен

Разложение многочленов на множители

Формулы сокращенного умножения

Функции

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Алгебра

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Номер 2, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 923, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 959, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 970, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1005, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1090, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1099, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1103, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1107, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 5, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

8 класс

Номер 13, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 14, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 91, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 200, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 10, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Как решать системы уравнений с двумя переменными

Оглавление

Время чтения:  5 минут

257

Понятие системы уравнений с двумя переменными

Определения 1 — 2

Уравнениями называются математические равенства разной степени сложности, в которых одна или несколько величин неизвестны. Значения всех переменных нужно найти таким образом, чтобы в результате их постановки в первоначальное уравнение получилось верное числовое равенство.

Под системой уравнений понимается условие, которое заключается в одновременном выполнении нескольких уравнений, логически связанных между собой, относительно одной или нескольких переменных. Рассмотрим все варианты решения систему уравнений с двумя переменными.

Основные виды систем уравнений 

В математике насчитывается достаточно много видов систем уравнений. Для более удобного их изучения и нахождения решений их разделяют на несколько групп с определёнными характеристиками.  

Классификация помогает рассматривать системы уравнений разных видов. Первый вариант – это классифицирование по количеству уравнений в системе. Если оно всего одно, то его называют обычным уравнением. Если уравнений несколько, тогда речь идет о системе.

Отличительным критерием для другого вида классификации является количество переменных. Если переменная одна, значит это уравнение с одной неизвестной, если их две – то с двумя неизвестными и т.д.

Основные способы решения системы уравнений

Для того чтобы решить систему уравнений с двумя переменными, необходимо определить значения пары переменных, которые при подстановке в каждое из уравнений обратят их в верные числовые неравенства. Если удалось вычислить эти значения правильно, то они и будут являться решением для всех уравнений рассматриваемой системы.

В алгебре некоторые системы уравнений могут вовсе не иметь правильных решений или наоборот их может быть бесконечное множество. Убедиться в этом можно, если заняться углубленным изучением данной тематики. В итоге можно прийти к выводу, что системы представляют собой множества решений всех ее уравнений.

Рассмотрим основные способы решения систем с двумя неизвестными:

  1. способ подстановки;
  2. графический способ;
  3. способ сложения;
  4. способ введения новых переменных.

Чтобы подробно описать принцип решения на примере первых трех способов, будем рассматривать системы линейных уравнений с двумя неизвестными.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Способ подстановки

Этот способ считается одним из самых понятных и часто используемых для быстрого нахождения решения. Он заключается в следующем:

  • в любом уравнении системы y выражается через x;
  • полученное выражение подставляется в другое уравнение в результате чего остается только одна неизвестная;
  • после решения уравнения определяется значение x;
  • после этого легко вычисляется переменная y.

Пример 1

\[\left\{\begin{array}{c}3 x+2 y=16 \\2 x-y=6\end{array}\right.\]
Для того чтобы решить систему, выразим y через x во втором уравнении.
\[y=2 x-6\]
Подставим полученное выражение в первое уравнение и найдем значение x.
\[\begin{aligned}&3 x+4 x-12=16 \\&7 x=28 \\&x=4\end{aligned}\]
После этого найдем значение y.
\[y=8-6=2\]
Ответ (4,2).

Способ сложения 

Алгоритм решения системы линейных уравнений с двумя переменными заключается в выполнении последовательных действий:

  • сначала нужно уравнять модули коэффициентов при одном неизвестном;
  • сложить либо вычесть уравнения системы;
  • решить объединенное уравнение и найти значение одной переменной;
  • вычислить второе неизвестное.

Рассмотрим решение с помощью этого способа на том же примере.

Пример 2

\[\left\{\begin{array}{c}3 x+2 y=16 \\2 x-y=6\end{array}\right.\]
Умножим второе уравнение на 2, в результате получим:
\[\left\{\begin{array}{l}3 x+2 y=16 \\4 x-2 y=12\end{array}\right.\]
Теперь произведем сложение этих уравнений
\[\begin{aligned}&3 x+2 y+4 x-2 y=16+12 \\&7 x=28 \\&x=4\end{aligned}\]
Теперь можно определить значение y из второго уравнения. {y}=4\end{gathered}\]
Получаем далее:
\[\left\{\begin{array}{l}x=3 \\y=2\end{array}\right.\]
Ответ: (3,2).

Графический способ

Наиболее наглядным является графический способ решения систем уравнений. Он заключается в том, что на координатной плоскости изображаются оба уравнения и в итоге находится точка пересечения графиков. Ее координаты и будут соответствовать значениям переменных.

\[\left\{\begin{array}{l} 2 x+3 y=5 \\ 3 x-y=-9 \end{array}\right.\]

В обоих уравнениях выразим y через x, получим:

\[\left\{\begin{array}{c} y=5-2 x \\ 3 y=3 x+9 \end{array}\right.\]

Изобразим графики на координатной плоскости:

Ответ: (−2, 3).

Оценить статью (44 оценки):

Поделиться

Как решать линейные уравнения с двумя переменными

••• Hemera Technologies/AbleStock.com/Getty Images

Обновлено 24 апреля 2017 г. x- и y-переменная. Решением системы двух переменных является упорядоченная пара, верная для обоих уравнений. Системы линейных уравнений могут иметь одно решение, которое возникает там, где пересекаются две линии. Математики называют этот тип системы независимой системой. Системы уравнений могут попеременно иметь все решения, что происходит, когда уравнения приводят к двум одинаковым линиям. Это называется зависимой системой уравнений. Системы уравнений без решений возникают, когда две линии никогда не пересекаются. Вы можете решать системы линейных уравнений с двумя переменными путем замены или исключения.

Решение с подстановкой

    Решите одно уравнение для переменной x или y. Например, если ваши уравнения 2x + y = 8 и 3x + 2y = 12, решите первое уравнение относительно y, в результате чего y = -2x + 8. Если у вас уже есть уравнение, заданное в терминах x- или y-переменная, используйте это уравнение.

    Подставьте во второе уравнение выражение, которое вы решили или определили для этой переменной. Например, подставьте y = -2x + 8 вместо y во втором уравнении, в результате чего 3x + 2(-2x + 8) = 12. Это упрощается до 3x — 4x +16 = 12, что упрощается до -x = -4. или х = 4,

    Подставьте найденную переменную в любое уравнение, чтобы найти другую переменную. Например, y = -2(4) + 8, поэтому y = 0. Таким образом, решение (4,0).

    Проверьте свою работу, подставив решение в оба исходных уравнения.

Решение с исключением

    Выровняйте два уравнения, одно поверх другого, чтобы переменные были выровнены друг с другом.

    Сложите уравнения, чтобы исключить одну из переменных. Например, если ваши уравнения имеют вид 3x + y = 15 и -3x + 4y = 10, добавление уравнений исключает переменные x и дает 5y = 25. Возможно, вам придется умножить одно или оба уравнения на константу, чтобы уравнения совпадают.

    Упростите полученное уравнение, чтобы найти переменную. Например, 5y = 25 упрощается до y = 5. Затем подставьте это значение обратно в одно из исходных уравнений, чтобы найти другую переменную. Например, 3x + 5 = 15 упрощается до 3x = 10, поэтому x = 10/3. Следовательно, решение (10/3,5).

    Проверьте свою работу, подставив решение в оба исходных уравнения.

    • Вы также можете построить график двух уравнений. Любая точка их пересечения является решением системы уравнений. Если при решении системы уравнений вы получите невозможное утверждение, например, 10 = 5, то либо система не имеет решений, либо вы допустили ошибку. Построив уравнения на графике, проверьте, пересекаются ли они.

Связанные статьи

Ссылки

  • «Рабочая тетрадь для чайников»; Мишель Роуз Гилман и др. ал; 2009
  • Западно-техасский университет A&M: Решение систем линейных уравнений с двумя переменными

Советы

  • Вы также можете построить график двух уравнений. Любая точка их пересечения является решением системы уравнений.
  • Если при решении системы уравнений вы пришли к невозможному утверждению, например, 10 = 5, то либо система не имеет решений, либо вы допустили ошибку. Построив уравнения на графике, проверьте, пересекаются ли они.

Об авторе

Ребекка Ричардс — профессиональный писатель, чьи работы опубликованы в «Atlanta Journal-Constitution», «Юридическом журнале Университета Брандейса» и в Интернете на сайтеlerance.org. Она с отличием окончила Брандейский университет со степенью бакалавра в области творческого письма, англо-американской литературы и международных исследований. Ричардс получил степень магистра в Университете Карнеги-Меллона.

Фото Кредиты

Hemera Technologies/AbleStock.com/Getty Images

Python — решение линейного уравнения с несколькими переменными

Улучшить статью

Сохранить статью

  • Последнее обновление: 01 окт, 2020

  • Читать
  • Обсудить

    • Улучшить статью

    Сохранить статью

    Необходимое условие: Sympy.solve()

    В этой статье мы обсудим, как решить линейное уравнение с более чем одной переменной. Например, предположим, что у нас есть две переменные в уравнениях. Уравнения следующие:

    x+y =1

    x-y =1

    Когда мы решим это уравнение, мы получим x=1, y=0 как одно из решений. В Python мы используем метод Eq() для создания уравнения из выражения.
     

    Синтаксис: Уравнение(выражение,значение RHS)

    Например, если у нас есть выражение как x+y = 1. Его можно записать как Eq(x+y,1)

    Решение уравнения с две переменные

    Построить уравнения методом Eq(). Чтобы решить уравнения, передайте их как параметр в решить() функция.

    Example :  

    Python3

    from sympy import symbols, Eq, solve

       

    x, y = symbols( 'x,y' )

       

    eq1 = Eq((x + y), 1 )

    print ( "Equation 1:" )

    print (eq1)

    eq2 = Eq((x - y), 1 )

    print ( "Equation 2" )

    print (eq2)

       

    print ( "Values ​​of 2 неизвестные переменные следующие:" )

       

    print (solve((eq1, eq2), (x, y)))

    Output: 

     Equation 1:
Уравнение (х + у, 1)
Уравнение 2
Уравнение (х - у, 1)
Значения 2 неизвестных переменных следующие:
{х: 1, у: 0}

    Решение уравнения с тремя переменными

    Постройте следующие уравнения, используя Eq(), и решите их, чтобы найти неизвестные переменные.

    No related posts.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *