Уравнение с квадратом и кубом: Ошибка 403 — доступ запрещён

Квадратные и кубические корни — SAS

Упражнение 1

Напишите на доске уравнение x ² = 25. Попросите учащихся найти все решения и поднимите руки, когда они закончат. Когда большая часть класса закончит, спросите все решения. Если они не предоставляют x = −5, скажите им, что им не хватает одного решения.

Проиллюстрируйте тот факт, что легко забыть об отрицательном решении уравнения типа x ² = 25.

«Откуда вы узнали, что x = 5 — это решение?» Ответы, вероятно, будут включать в себя, что
5 × 5 = 25. «Как вы определили, что x = −5 является решением?» Используйте это как возможность убедиться, что учащиеся помнят правила умножения отрицательных чисел, т. е. произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Помогите учащимся понять, что квадратный корень из 25 равен ±5. (В зависимости от класса выберите, следует ли вводить символ ±.)

«Каковы все решения x ² = 100?» ( ± 10 ) «Откуда вы узнали, что x = 10 — это решение?» Здесь предложите учащимся не замечать, что 10 × 10 = 100, а отметить, что квадратный корень из 100 равен ±10. Цель состоит в том, чтобы заставить учащихся думать с точки зрения извлечения квадратного корня из обеих частей.

«Помните, что при решении уравнений мы обычно хотим получить переменную, в данном случае x , саму по себе. Если бы уравнение было x − 4 = 20, какую операцию мы должны выполнить с обеими частями уравнения, чтобы выделить x ?» ( Добавить 4. ) «Это работает, потому что сложение и вычитание являются обратными операциями. А если бы уравнение было 5 x = 80?» ( Разделить на 5. ) «Опять же, это работает, потому что умножение и деление являются обратными операциями. В нашей задаче x ² = 100, чтобы решить ее алгебраически, нам нужно знать, какая операция обратна возведению чего-либо в квадрат. Есть предположения? ( квадратный корень )

«Когда мы извлекаем квадратный корень из обеих частей, в левой части мы просто остаемся с x , потому что извлечение квадратного корня и возведение чего-то в квадрат — это обратные операции. Они компенсируют друг друга. В правой части у нас есть квадратный корень из 100, который, как мы знаем, равен 10 и − 10».

Напишите на доске x ² = 31. «Каковы решения этого уравнения?» Учащиеся могут затрудниться с этим уравнением или даже сказать, что решений нет. Напомните учащимся, что их задача состоит в том, чтобы изолировать х. Другими словами, избавиться от экспоненты. Подведите учащихся к осознанию того, что они должны извлечь квадратный корень из обеих сторон, в результате чего x = ± квадратный корень из 31. Убедитесь, что учащиеся включили отрицательный квадратный корень. Если символ ± не был введен до сих пор, его следует ввести сейчас как удобный способ указать как положительные, так и отрицательные решения.

«Есть ли у 31 квадратный корень?» Студентам легко сказать, что это не так. Обратите внимание, что оно имеет квадратный корень, но не является целым числом. (В зависимости от класса вы можете указать, что это иррациональное число, если класс был представлен рациональным и иррациональным числам.) «Однако это десятичная дробь, которая будет продолжаться бесконечно без какой-либо закономерности, поэтому мы просто оставим ее как квадратный корень из 31, поэтому нам не нужно округлять наш ответ. Мы знаем, что наш ответ абсолютно правильный».

Устно дайте учащимся несколько других уравнений для решения в форме x ² = p , где p — правильный квадрат (иногда) и неполный квадрат (включая дроби, десятичные знаки и т. д.) . Как только класс научится решать эти типы уравнений, напишите на доске следующее уравнение:

3 x ² = 90

«Помните, мы хотим получить x само по себе. Но здесь у нас есть две проблемы — нам нужно избавиться от 3, а также нам нужно избавиться от показателя степени. От чего нам следует избавиться в первую очередь?» Разрешите некоторое обсуждение, отметив, что если мы возьмем квадратный корень из обеих частей уравнения, мы должны извлечь квадратный корень из 3. После некоторого обсуждения продолжайте: «Подумайте о порядке операций. Когда мы упрощаем выражение, мы знаем, что показатели степени и корни предшествуют делению. Однако здесь мы «отменяем» эти операции, чтобы изолировать переменную и решить уравнение, и поэтому нам нужно использовать обратный порядок операций. Это означает, что мы должны сначала разделить обе части на 3, а затем извлечь квадратный корень из любой части уравнения.

«Итак, мы разделим на 3, чтобы получить x ² = 30. Каковы решения нашего уравнения? ()

Как насчет уравнения типа x ² = − 6? Каковы решения этого уравнения?» Разрешите некоторое обсуждение, исследуя идею извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Укажите учащимся, что вы можете извлечь квадратный корень из отрицательного числа, но вы получите то, что называется мнимой девяткой.0122 номер. «Сейчас нам больше ничего не нужно знать о мнимых числах. Однако для нашего уравнения мы можем сказать, что оно не имеет 90 121 действительного 90 122 решения, потому что не существует действительного числа, являющегося квадратным корнем из −6».

Дайте каждому учащемуся копию рабочего листа «Уравнения квадратного корня» (M-8-4-3_Уравнения квадратного корня и KEY.docx). Дайте им время заполнить его, прежде чем просматривать ответы и собирать их.

Действие 2

Запись x ³ = 64 и попросите учащихся найти все действительные решения уравнения. Здесь ответы будут смешанными, так как учащиеся могут предположить, что это проблема с квадратным корнем, не присматриваясь внимательно, что приведет к ответам ±8. Другие учащиеся могут заметить, что это кубический корень, но предположить, что решения равны ±4 (а не просто 4).

Если ответы учащихся включали ±8, укажите, что эта переменная возводится в куб, а не в квадрат.

«Откуда мы знаем, что 4 является решением уравнения?» ( Кубический корень из 64 равен 4, а
4 × 4 × 4 = 64 . )

«А как насчет − 4? Каково значение − 4 × − 4 × − 4?» ( Значение равно − 64 .) Если необходимо, найдите время, чтобы объяснить, почему знак (−4) ³ оказывается отрицательным, а не положительным.

«Итак, −4 — это решение?» ( № ) «Для этой задачи на кубический корень у нас действительно есть только одно решение: 4. Так что это одно различие между решением задач с квадратными и кубическими корнями. С квадратными корнями вы обычно должны помнить о включении знака плюс или минус. С кубическими корнями вы его не включаете».

«Как насчет x ³ = 8?» ( x = 2 )

«Как насчет x ³ = − 8?» Учащиеся могут ответить, что решения нет. Напомните им, что когда мы сделали -4 × -4 × -4, мы получили отрицательное произведение. Это намек на то, что уравнения, содержащие x ³ , могут иметь отрицательные решения. Помогите учащимся понять, что решение x = −2.

Запись x ³ = 7 на доске. «Каково решение этого уравнения?» Как и раньше, учащиеся могут сказать, что его нет, так как 7 не является идеальным кубом. «Помните, наша цель — изолировать x . Когда это было x в квадрате, мы извлекли квадратный корень. Теперь, когда это 90 121 x 90 122 в кубе, что нам делать?» Подчеркивая повторяющееся слово в квадрате , учащиеся должны хотя бы приблизительно предположить, даже если они никогда о нем не слышали, как извлечь кубический корень из обеих сторон.

«Когда мы берем кубический корень из x ³ , корень и показатель степени сокращают друг друга, потому что это обратные операции. Это просто оставляет нас с x слева. В правой части
у нас остался кубический корень из 7». Напишите на доске.

«Обратите внимание, что символ кубического корня почти такой же, как символ квадратного корня. У нас есть радикальный знак, но есть одно маленькое и важное отличие. Мы поставили маленькую цифру 3 на «полку» радикала, чтобы показать, что это кубический корень, обратный возведению чего-либо в третью степень. Когда мы извлекаем квадратный корень, мы не пишем немного 2, хотя могли бы, потому что это просто предполагается, так как квадратные корни очень распространены. Это означает, что если вы видите знак радикала без маленькой цифры, это означает, что это квадратный корень (или ).

«Итак, наше решение здесь — это кубический корень из 7. Опять же, мы не ставим здесь знак ±, потому что, когда мы возводим в куб отрицательное число, мы не получаем положительное число».

Запись x ³ = −4. «Каково решение для x ?» Здесь учащиеся должны объединить оба новых понятия о кубических корнях: что решение может быть отрицательным, и что решение должно включать кубический, а не квадратный корень. Студенты должны признать, что решение здесь.

Дайте учащимся копию рабочего листа Уравнения кубических корней (M-8-4-3_Уравнения кубических корней и KEY.docx) и дайте им время заполнить его, прежде чем просматривать ответы и собирать их.

Перед выходом учащиеся также должны заполнить выходной билет к уроку 3 (M-8-4-3_Выходной билет из урока 3 и KEY.docx).

Дополнительный номер:

Используйте следующие стратегии, чтобы адаптировать урок к потребностям учащихся в течение года.

• Обычный: Идеи этого урока можно повторять в течение года, пока учащиеся учатся решать более сложные уравнения с квадратными и кубическими корнями, например, 4 x ³ −12 = x ³ + 8,

Понятия этого урока также могут быть введены в геометрическом смысле при работе с площадью и объемом. Например, учитывая, что объем куба равен 125 в ³ , какова длина одной стороны куба? Вопросы такого типа требуют составления уравнения х ³ = 125 и решение.

• Маленькая группа: Чтобы улучшить навыки работы с обычными квадратами и кубами (квадраты до 144 и кубы до 125), учащиеся могут создавать карточки и задавать друг другу вопросы. Студенты также могут работать в группах, чтобы увидеть, сколько квадратов (или кубов) их группа может запомнить вместе, и сравнить с другими группами.
• Расширение: Учащиеся, которые хотят решить задачу, выходящую за рамки требований стандарта, могут изучить использование ^x √ на своих калькуляторах и используйте ее для решения уравнений более высокой степени, таких как x ⁴ = 1,024. (Решение таких уравнений без кнопки ^x √ может разочаровать студентов, хотя это также может помочь учащимся почувствовать быстрое увеличение размера степеней по мере увеличения показателей.)

Точно так же учащиеся могут использовать калькулятор, чтобы начать изучать дробные и отрицательные степени.