Решение уравнений четвертой степени
Для уравнений четвертой степени применимы все те общие схемы решения уравнений высших степеней, что мы разбирали в предыдущем материале. Однако существует ряд нюансов в решении двучленных, биквадратных и возвратных уравнений, на которых мы хотели бы остановиться подробнее.
Также в статье мы разберем искусственный метод разложения многочлена на множители, решение в радикалах и метод Феррари, который используется для того, чтобы свести решение уравнения четвертой степени к кубическому уравнению.
Решение двучленного уравнения четвертой степени
Это простейший тип уравнений четвертой степени. Запись уравнения имеет вид Ax4+B=0.
Определение 1Для решения этого типа уравнений применяются формулы сокращенного умножения:
Ax4+B=0x4+BA=0x4+2BAx2+BA-2BAx2=0x2+BA2-2BAx2=0x2-2BA4x+BAx2+2BA4x+BA=0
Остается лишь найти корни квадратных трехчленов.
Пример 1Решить уравнение четвертой степени 4×4+1=0.
Решение
Для начала проведем разложение многочлена 4×4+1 на множители:
4×4+1=4×4+4×2+1=(2×2+1)2-4×2=2×2-2x+1(2×2+2x+1)
Теперь найдем корни квадратных трехчленов.
Первого:
2×2-2x+1=0D=(-2)2-4·2·1=-4×1=2+D2·2=12+ix2=2-D2·2=12-i
Второго:
2×2+2x+1=0D=22-4·2·1=-4×3=-2+D2·2=-12+ix4=-2-D2·2=-12-i
Мы получили четыре комплексных корня.
Ответ: x=12±i и x=-12±i.
Решение возвратного уравнения четвертой степени
Определение 2Возвратные уравнения четвертого порядка имеют вид Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0
х=0 не является корнем этого уравнения: A·04+B·03+C·02+B·0+A=A≠0. Поэтому на x2 можно смело разделить обе части этого уравнения:
Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0Ax2+Bx+C+Bx+Ax2=0Ax2+Ax2+Bx+Bx+C=0Ax2+1×2+Bx+1x+C=0
Проведем замену переменных x+1x=y⇒x+1×2=y2⇒x2+1×2=y2-2:
Ax2+1×2+Bx+1x+C=0A(y2-2)+By+C=0Ay2+By+C-2A=0
Так мы проведи сведение возвратного уравнения четвертой степени к квадратному уравнению.
Пример 2Найти все комплексные корни уравнения 2×4+23+2×3+4+6×2+23+2x+2=0.
Решение
Симметрия коэффициентов подсказывает нам, что мы имеем дело с возвратным уравнением четвертой степени.
Проведем деление обеих частей на x2:
2×2+23+2x+4+6+23+2x+2×2=0
Проведем группировку:
2×2+2×2+23+2x+23+2x+4+6+=02×2+1×2+23+2x+1x+4+6=0
Проведем замену переменной x+1x=y⇒x+1×2=y2⇒x2+1×2=y2-2
2×2+1×2+23+2x+1x+4+6=02y2-2+23+2y+4+6=02y2+23+2y+6=0
Решим полученное квадратное уравнение:
D=23+22-4·2·6=12+46+2-86==12-46+2=23-22y1=-23-2+D2·2=-23-2+23-24=-22y2=-23-2-D2·2=-23-2-23+24=-3
Вернемся к замене: x+1x=-22, x+1x=-3.
Решим первое уравнение:
x+1x=-22⇒2×2+2x+2=0D=22-4·2·2=-14×1=-2-D2·2=-24+i·144×2=-2-D2·2=-24-i·144
Решим второе уравнение:
x+1x=-3⇒x2+3x+1=0D=32-4·1·1=-1×3=-3+D2=-32+i·12×4=-3-D2=-32-i·12
Ответ: x=-24±i·144 и x=-32±i·12.
Решение биквадратного уравнения
Биквадратные уравнения четвертой степени имеют вид Ax4+Bx2+C=0. Мы можем свести такое уравнение к квадратному Ay2+By+C=0 путем замены y=x2. Это стандартный прием.
Пример 3Решить биквадратное уравнение 2×4+5×2-3=0.
Решение
Выполним замену переменной y=x2, что позволит нам свести исходное уравнение к квадратному:
2y2+5y-3=0D=52-4·2·(-3)=49y1=-5+D2·2=-5+74=12y2=-5-D2·2=-5-74=-3
Следовательно, x2=12 или x2=-3.
Первое равенство позволяет нам получить корень x=±12. Второе равенство не имеет действительных корней, зато имеет комплексно сопряженных корней x=±i·3.
Ответ: x=±12 и x=±i·3.
Пример 4Найти все комплексные корни биквадратного уравнения 16×4+145×2+9=0.
Решение
Используем метод замены y=x2 для того, чтобы свести исходное биквадратное уравнение к квадратному:
16y2+145y+9=0D=1452-4·16·9=20449y1=-145+D2·16=-145+14332=-116y2=-145-D2·16=-145-14332=-9
Поэтому, в силу замены переменной, x2=-116 или x2=-9.
Ответ: x1, 2=±14·i, x3, 4=±3·i.
Решение уравнений четвертой степени с рациональными корнями
Алгоритм нахождения рациональных корней уравнения четвертой степени приведен в материале «Решение уравнений высших степеней».
Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари
Уравнения четвертой степени вида x4+Ax3+Bx2+Cx+D=0 в общем случае можно решить с применением метода Феррари.
Корни, полученные в ходе вычислений, будут корнями исходного уравнения четвертой степени.
Пример 5Найти корни уравнения x4+3×3+3×2-x-6=0.
Решение
Имеем А=3, В=3, С=-1, D=-6. Применим метод Феррари для решения данного уравнения.
Составим и решим кубическое уравнение:
y3-By2+AC-4Dy-A2D+4BD-C2=0y3-3y2+21y-19=0
Одним из корней кубического уравнения будет y0=1, так как 13-3·12+21·1-19=0.
Запишем два квадратных уравнения:
x2+A2x+y02±A24-B+y0x2+A2y0-Cx+y024-D=0x2+32x+12±14×2+52x+254=0x2+32x+12±12x+522=0
x2+32x+12+12x+52=0 или x2+32x+12-12x-52=0
x2+2x+3=0 или x2+x-2=0
Корнями первого уравнения будут x=-1±i·2, корнями второго х=1 и х=-2.
Ответ: x1,2=-1±i2, x3=1, x4=-2.
Автор: Ирина Мальцевская
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Решение уравнений четвертой степени
Для уравнений четвертой степени применимы все те общие схемы решения уравнений высших степеней, что мы разбирали в предыдущем материале. Однако существует ряд нюансов в решении двучленных, биквадратных и возвратных уравнений, на которых мы хотели бы остановиться подробнее.
Также в статье мы разберем искусственный метод разложения многочлена на множители, решение в радикалах и метод Феррари, который используется для того, чтобы свести решение уравнения четвертой степени к кубическому уравнению.
Решение двучленного уравнения четвертой степени
Это простейший тип уравнений четвертой степени.
Запись уравнения имеет вид Ax4+B=0.
Для решения этого типа уравнений применяются формулы сокращенного умножения:
Ax4+B=0x4+BA=0x4+2BAx2+BA-2BAx2=0x2+BA2-2BAx2=0x2-2BA4x+BAx2+2BA4x+BA=0
Остается лишь найти корни квадратных трехчленов.
Пример 1Решить уравнение четвертой степени 4×4+1=0.
Решение
Для начала проведем разложение многочлена 4×4+1 на множители:
4×4+1=4×4+4×2+1=(2×2+1)2-4×2=2×2-2x+1(2×2+2x+1)
Теперь найдем корни квадратных трехчленов.
Первого:
2×2-2x+1=0D=(-2)2-4·2·1=-4×1=2+D2·2=12+ix2=2-D2·2=12-i
Второго:
2×2+2x+1=0D=22-4·2·1=-4×3=-2+D2·2=-12+ix4=-2-D2·2=-12-i
Мы получили четыре комплексных корня.
Ответ: x=12±i и x=-12±i.
Решение возвратного уравнения четвертой степени
Определение 2Возвратные уравнения четвертого порядка имеют вид Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0
х=0 не является корнем этого уравнения: A·04+B·03+C·02+B·0+A=A≠0.
Поэтому на x2 можно смело разделить обе части этого уравнения:
Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0Ax2+Bx+C+Bx+Ax2=0Ax2+Ax2+Bx+Bx+C=0Ax2+1×2+Bx+1x+C=0
Проведем замену переменных x+1x=y⇒x+1×2=y2⇒x2+1×2=y2-2:
Ax2+1×2+Bx+1x+C=0A(y2-2)+By+C=0Ay2+By+C-2A=0
Так мы проведи сведение возвратного уравнения четвертой степени к квадратному уравнению.
Пример 2Найти все комплексные корни уравнения 2×4+23+2×3+4+6×2+23+2x+2=0.
Решение
Симметрия коэффициентов подсказывает нам, что мы имеем дело с возвратным уравнением четвертой степени. Проведем деление обеих частей на x2:
2×2+23+2x+4+6+23+2x+2×2=0
Проведем группировку:
2×2+2×2+23+2x+23+2x+4+6+=02×2+1×2+23+2x+1x+4+6=0
Проведем замену переменной x+1x=y⇒x+1×2=y2⇒x2+1×2=y2-2
2×2+1×2+23+2x+1x+4+6=02y2-2+23+2y+4+6=02y2+23+2y+6=0
Решим полученное квадратное уравнение:
D=23+22-4·2·6=12+46+2-86==12-46+2=23-22y1=-23-2+D2·2=-23-2+23-24=-22y2=-23-2-D2·2=-23-2-23+24=-3
Вернемся к замене: x+1x=-22, x+1x=-3.
Решим первое уравнение:
x+1x=-22⇒2×2+2x+2=0D=22-4·2·2=-14×1=-2-D2·2=-24+i·144×2=-2-D2·2=-24-i·144
Решим второе уравнение:
x+1x=-3⇒x2+3x+1=0D=32-4·1·1=-1×3=-3+D2=-32+i·12×4=-3-D2=-32-i·12
Ответ: x=-24±i·144 и x=-32±i·12.
Решение биквадратного уравнения
Биквадратные уравнения четвертой степени имеют вид Ax4+Bx2+C=0. Мы можем свести такое уравнение к квадратному Ay2+By+C=0 путем замены y=x2. Это стандартный прием.
Пример 3Решить биквадратное уравнение 2×4+5×2-3=0.
Решение
Выполним замену переменной y=x2, что позволит нам свести исходное уравнение к квадратному:
2y2+5y-3=0D=52-4·2·(-3)=49y1=-5+D2·2=-5+74=12y2=-5-D2·2=-5-74=-3
Следовательно, x2=12 или x2=-3.
Первое равенство позволяет нам получить корень x=±12. Второе равенство не имеет действительных корней, зато имеет комплексно сопряженных корней x=±i·3.
Ответ: x=±12 и x=±i·3.
Найти все комплексные корни биквадратного уравнения 16×4+145×2+9=0.
Решение
Используем метод замены y=x2 для того, чтобы свести исходное биквадратное уравнение к квадратному:
16y2+145y+9=0D=1452-4·16·9=20449y1=-145+D2·16=-145+14332=-116y2=-145-D2·16=-145-14332=-9
Поэтому, в силу замены переменной, x2=-116 или x2=-9.
Ответ: x1, 2=±14·i, x3, 4=±3·i.
Решение уравнений четвертой степени с рациональными корнями
Алгоритм нахождения рациональных корней уравнения четвертой степени приведен в материале «Решение уравнений высших степеней».
Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари
Уравнения четвертой степени вида x4+Ax3+Bx2+Cx+D=0 в общем случае можно решить с применением метода Феррари. Для этого необходимо найти y0. Это любой из корней кубического уравнения y3-By2+AC-4Dy-A2D+4BD-C2=0. После этого необходимо решить два квадратных уравнения x2+A2x+y02+A24-B+y0x2+A2y0-Cx+y024-D=0, у которых подкоренное выражение является полным квадратом.
Корни, полученные в ходе вычислений, будут корнями исходного уравнения четвертой степени.
Найти корни уравнения x4+3×3+3×2-x-6=0.
Решение
Имеем А=3, В=3, С=-1, D=-6. Применим метод Феррари для решения данного уравнения.
Составим и решим кубическое уравнение:
y3-By2+AC-4Dy-A2D+4BD-C2=0y3-3y2+21y-19=0
Одним из корней кубического уравнения будет y0=1, так как 13-3·12+21·1-19=0.
Запишем два квадратных уравнения:
x2+A2x+y02±A24-B+y0x2+A2y0-Cx+y024-D=0x2+32x+12±14×2+52x+254=0x2+32x+12±12x+522=0
x2+32x+12+12x+52=0 или x2+32x+12-12x-52=0
x2+2x+3=0 или x2+x-2=0
Корнями первого уравнения будут x=-1±i·2, корнями второго х=1 и х=-2.
Ответ: x1,2=-1±i2, x3=1, x4=-2.
Преподаватель математики и информатики.
Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
— Существует ли общая формула для решения уравнений четвертой степени (степень $4$)?
Наверняка есть, но уродливое, сложное и не стоит запоминать. Люди знают об этом и цитировали или цитировали это для вас, но на самом деле они никогда не использовали бы это. Если вам нужно что-то действительно полезное для бумажных решений, вы можете понять реальную теорию, лежащую в основе решения. Я предоставлю один метод ниже.
Формула четвертой степени — это всего лишь конечный результат этой методологии, записанный в терминах исходных коэффициентов. Из-за этого метод гораздо легче запомнить, чем формулу, поэтому меня раздражает, когда люди приводят только формулу и говорят вам: «Не беспокойтесь, используйте вместо этого компьютер». Решение с ручкой и бумагой не сложное, оно просто требует времени.
Понимание того, как это делается, даже если вы никогда этим не пользуетесь, расширяет ваш мозг и ваше понимание, позволяет реализовать это в программировании и позволяет вам воссоздавать его, когда вам это может понадобиться, вместо чрезмерной зависимости от компьютеров, которые всегда будут рядом.
для вас, что, на мой взгляд, делает его плохим математиком.
Есть три метода решения квартик, которые я знаю и знаю:
- Квадратичная факторизация Декарта
- Метод Эйлера
- Метод Феррари
Если кто-то знает больше, пожалуйста, дайте мне знать.
Метод Феррари исторически является первым открытым методом. Метод Эйлера очень похож на метод Кардано для куба и, вероятно, был смоделирован на основе того же подхода. Но я неравнодушен к технике квадратичной факторизации Декарта. Это относительно простой процесс, который я буду использовать ниже. Если вы хотите посмотреть, как работают другие, дайте мне знать.
Все вышеперечисленные методы начинаются одинаково: депрессия (удаление члена степени $n-1$, в данном случае кубического члена) и нормализация (приведение опережающего коэффициента к 1, т. е. преобразование многочлена в монический). 92 + qz + r = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$
Для некоторых $p,q,r\in\mathbb {Р} $.
Это не влияет на корневые позиции; все, что делал опережающий коэффициент, — это увеличивал ненулевые значения. Относительно нулей нет абсолютно никакой потери общности. Все эти константы $p,q,r$ можно вычислить из исходных коэффициентов $a,b,c,d,e$. Кубического члена по-прежнему нет, а опережающего коэффициента теперь тоже нет.
Было бы интересно отметить, что произошло с многочленом. Мы начали с 5 произвольных констант и сократили их до 3, нормализовав шаг и удалив кубический член. Первоначально у нас были произвольные значения $a,b,c,d,e\in\mathbb{R}$, а теперь у нас есть произвольные значения $p,q,r\in\mathbb{R}$. Хотя последние три вычисляются из первоначальных пяти, они имеют произвольные значения, и нет потери общности. Это существенное упрощение задачи. Несуществование кубического члена окажется жизненно важным.
До сих пор все было просто установкой: запись полинома в сокращенной монической форме. Напомним, что все методы четвертой степени достигают по крайней мере этого.
Затем мы реализуем метод факторизации Декарта.
Метод факторизации Декарта
Мы должны предположить, что все коэффициенты действительны, $p,q,r\in\mathbb{R}$. Это необходимое условие для того, чтобы методология работала. Причина в том, что теперь все решения с ненулевыми мнимыми компонентами входят в комплексно-сопряженные пары. Большое дело? Это позволяет нам сгруппировать два решения вместе, даже если они чисто действительные, в квадратичные множители с действительными коэффициентами. Мы знаем, что 92 -\frac{q}{m}$$ Обратите внимание на то, что в левой части оба этих уравнения могут быть легко решены для $n$ и $\frac{r}{n}$ в терминах $m$, оба из которых входят в квадратичные множители (3). Их можно использовать позже, когда мы узнаем $m$ для завершения квадратичного множителя.
Мы можем найти $m$, взяв последние два уравнения и перемножив их, тем самым исключив неизвестное $n$. Обратите внимание, что $n$ в числителе одного и в знаменателе другого.
2 }$$ 92 =0$$
Итак, мы по существу закончили. У нас остался кубический полином от $w$, который разрешим собственными методами. Методы, о которых я только предполагаю, что вы уже знаете, если пытаетесь решить квартики. Как и в случае с квартиками, как вы уже знаете, существуют кубические формулы, но я рекомендую изучить методы, лежащие в их основе.
Если вам нужна помощь с кубиками, я рекомендую метод Кардано (оригинальное решение) или тригонометрическое решение Виета (мой любимый). Существует также Completing the Cube, хорошее доказательство концепции, но я бы никогда не стал его использовать. Не стесняйтесь задавать отдельный вопрос для кубика, и я буду рад ответить. 92 — mz + \frac{r}{n})=0$.
Еще не сделано. Каждый из этих квадратичных множителей теперь должен быть решен с помощью квадратичной формулы, и у вас есть решения в $z$. Это решает депрессивную моническую квартику, с которой мы начали метод квадратичной факторизации Декарта.
Наконец
Не забываем про исходную квартику, которая была у нас в самом начале, до депрессии и нормализации.
Мы ввели горизонтальный сдвиг $x = z-\frac{b}{4a}$. Выполнение этого последнего шага решит исходную квартику в терминах $x$, что является решением, которое вам нужно.
Когда закончишь, ты придешь к набору решений. Обязательно проверьте свои ответы. У вас могут быть избыточные или лишние решения. Некоторые избыточные решения могут быть записаны очень разными алгебраическими способами, но будут представлять одно и то же числовое значение.
Если вы выразите окончательный ответ $x$ через исходные $a,b,c,d,e$, вы получите те же самые «формулы четвертой степени», которые вам приводят другие люди. Выражение, конечно, будет немного отличаться в зависимости от того, какой из методов четвертой степени вы используете.
Опасения
Если вас беспокоит предположение, что коэффициенты $p,q,r$ реальны, не беспокойтесь. Все это означает, что $a,b,c,d,e$ реальны, что обычно является хорошим предположением. На самом деле, мы можем обобщить. Значения $p,q,r$ можно сделать комплексными, подразумевая только, что исходная квартика имеет комплексные $a,b,c,d,e$.
2-2x+1=0
- Курс
- NCERT
- Класс 12
- Класс 11
- Класс 10
- Класс 9
- Класс 8 9001 1 Класс 7
- Класс 6
- NCERT
- IIT JEE
- Экзамен
- JEE MAINS
- JEE ADVANCED
- X BOARDS
- XII BOARDS
- NEET
- Neet Предыдущий год (по годам)
- Physics Предыдущий год
- Химия Предыдущий год
- Биология Предыдущий год
- Нет Все образцы работ
- Образцы работ по биологии
- Образцы работ по физике
- Образцы работ по химии
- Скачать PDF-файлы
- Класс 12
- Класс 11
- Класс 10
- Класс 9
- Класс 8
- Класс 7
- Класс 6
- Экзаменационный уголок
- Онлайн-класс 9 0017
- Викторина
- Задать вопрос в Whatsapp
- Поиск Doubtnut
- Английский словарь
- Блог
- О нас
- Карьера
- Скачать
- Получить приложение
- 9 0011 Toppers Talk
Вопрос
Обновлено: 26/04/2023
ПУБЛИКАЦИЯ ВИКРАМ (ПУБЛИКАЦИЯ АНДРЫ)-ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ -DAM SURE LAQ -7 БАЛЛОВ 9(2)+2x-4=0 равно
1597122
04:35
Уравнение, корни которого обратны корням x4+3×3+6×2+2x+4=0, равно
1597154
90 002 04: 13 Найдите алгебраическое уравнение степени 4, корни которого в 3 раза больше корней уравнения.